3.11: Вправи

1. Монохроматичне світло з довжиною хвилі$6000 \unicode{x212b}$ проходить через швидкий затвор, який відкривається на$10^{-9}$ сек. Яке подальше поширення в довжині хвиль більше не монохроматичного світла?
2. Обчисліть$\langle x\rangle$$\langle x^{\,2}\rangle$$\sigma_x$, і, а також$\langle p\rangle$$\langle p^{\,2}\rangle$, і$\sigma_p$, для нормованої хвильової функції $$\psi(x) = \sqrt{\frac{2\,a^{\,3}}{\pi}}\,\frac{1}{x^{\,2}+a^{\,2}}.$$ Використовуйте їх для пошуку$\sigma_x\,\sigma_p$. Зауважте, що$\int_{-\infty}^{\infty} dx/(x^{\,2}+a^{\,2}) = \pi/a$.
3. Класично, якщо частка не спостерігається, то ймовірність знаходження її в одновимірній коробці довжини$L$, яка простягається від$x=0$ до$x=L$, є постійною$1/L$ на одиницю довжини. Показати, що класичне значення очікування$x$ є$L/2$, очікуване значення$x^{\,2}$ є$L^2/3$, і стандартне відхилення$x$ є$L/\sqrt{12}$.
4. Продемонструйте, що якщо частка в одновимірному стаціонарному стані пов'язана, то очікуване значення її імпульсу має дорівнювати нулю.
5. Припустимо, що$V(x)$ це складно. Отримати вираз для$\partial P(x,t)/\partial t$ і$d/dt \int P(x,t)\,dx$ з рівняння Шредінгера. Що це говорить нам про комплекс$V(x)$?
6. $\psi_1(x)$і$\psi_2(x)$ нормалізуються власні функції, що відповідають одному і тому ж власному значенню. Якщо $$\int_{-\infty}^\infty \psi_1^\ast\,\psi_2\,dx = c,$$ де$c$ дійсне, знайдіть нормовані лінійні комбінації$\psi_1$ і$\psi_2$ які ортогональні до (a)$\psi_1$, (b)$\psi_1+\psi_2$.
7. Продемонструйте, що$p=-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x$ це ермітієвий оператор. Знайдіть гермітійського сполучення$a = x + {\rm i}\,p$.
8. Оператор$A$, що відповідає фізичній величині$\alpha$, має дві нормовані власні функції$\psi_1(x)$ і$\psi_2(x)$, з власними значеннями$a_1$ і$a_2$. Оператор$B$, що відповідає іншій фізичній$\beta$ величині, має нормалізовані власні функції$\phi_1(x)$ і$\phi_2(x)$, з власними значеннями$b_1$ і$b_2$. Власні функції пов'язані через $$\begin{aligned} \psi_1 &= (2\,\phi_1+3\,\phi_2) \left/ \sqrt{13},\right.\nonumber\\[0.5ex] \psi_2 &= (3\,\phi_1-2\,\phi_2) \left/ \sqrt{13}.\right.\nonumber\end{aligned}$$ $\alpha$ вимірюється і отримано значення$a_1$. Якщо$\beta$ потім вимірюється, а потім$\alpha$ знову, показати, що ймовірність$a_1$ отримання вдруге є$97/169$.
9. Продемонструйте, що оператор, який працює з гамільтоном і не містить явної залежності від часу, має значення очікування, яке є постійним у часі.
10. Для певної системи оператор, відповідний фізичній величині,$A$ не їздить на роботу з гамільтоном. Він має власні значення$a_1$ і$a_2$, що відповідають належним чином нормованим власним $$\begin{aligned} \phi_1 &= (u_1+u_2)\left/\sqrt{2},\right.\nonumber\\[0.5ex] \phi_2 &= (u_1-u_2)\left/\sqrt{2},\right.\nonumber\end{aligned}$$ $u_1$ функціям, де і належним чином$u_2$ нормовані власні функції гамільтоніана з власними значеннями$E_1$ і$E_2$. Якщо система знаходиться в стані$\psi=\phi_1$ в часі$t=0$, покажіть, що$A$ очікуване значення часу$t$ дорівнює $$\langle A\rangle = \left(\frac{a_1+a_2}{2}\right) + \left(\frac{a_1-a_2}{2}\right)\cos\left(\frac{[E_1-E_2]\,t}{\hbar}\right).$$

Автори та авторства

• Template:ContribFitzpatrick