3.11: Вправи
- Page ID
- 76981
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- Монохроматичне світло з довжиною хвилі\(6000 \unicode{x212b}\) проходить через швидкий затвор, який відкривається на\(10^{-9}\) сек. Яке подальше поширення в довжині хвиль більше не монохроматичного світла?
- Обчисліть\(\langle x\rangle\)\(\langle x^{\,2}\rangle\)\(\sigma_x\), і, а також\(\langle p\rangle\)\(\langle p^{\,2}\rangle\), і\(\sigma_p\), для нормованої хвильової функції\[\psi(x) = \sqrt{\frac{2\,a^{\,3}}{\pi}}\,\frac{1}{x^{\,2}+a^{\,2}}.\] Використовуйте їх для пошуку\(\sigma_x\,\sigma_p\). Зауважте, що\(\int_{-\infty}^{\infty} dx/(x^{\,2}+a^{\,2}) = \pi/a\).
- Класично, якщо частка не спостерігається, то ймовірність знаходження її в одновимірній коробці довжини\(L\), яка простягається від\(x=0\) до\(x=L\), є постійною\(1/L\) на одиницю довжини. Показати, що класичне значення очікування\(x\) є\(L/2\), очікуване значення\(x^{\,2}\) є\(L^2/3\), і стандартне відхилення\(x\) є\(L/\sqrt{12}\).
- Продемонструйте, що якщо частка в одновимірному стаціонарному стані пов'язана, то очікуване значення її імпульсу має дорівнювати нулю.
- Припустимо, що\(V(x)\) це складно. Отримати вираз для\(\partial P(x,t)/\partial t\) і\(d/dt \int P(x,t)\,dx\) з рівняння Шредінгера. Що це говорить нам про комплекс\(V(x)\)?
- \(\psi_1(x)\)і\(\psi_2(x)\) нормалізуються власні функції, що відповідають одному і тому ж власному значенню. Якщо\[\int_{-\infty}^\infty \psi_1^\ast\,\psi_2\,dx = c,\] де\(c\) дійсне, знайдіть нормовані лінійні комбінації\(\psi_1\) і\(\psi_2\) які ортогональні до (a)\(\psi_1\), (b)\(\psi_1+\psi_2\).
- Продемонструйте, що\(p=-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x\) це ермітієвий оператор. Знайдіть гермітійського сполучення\(a = x + {\rm i}\,p\).
- Оператор\(A\), що відповідає фізичній величині\(\alpha\), має дві нормовані власні функції\(\psi_1(x)\) і\(\psi_2(x)\), з власними значеннями\(a_1\) і\(a_2\). Оператор\(B\), що відповідає іншій фізичній\(\beta\) величині, має нормалізовані власні функції\(\phi_1(x)\) і\(\phi_2(x)\), з власними значеннями\(b_1\) і\(b_2\). Власні функції пов'язані через\[\begin{aligned} \psi_1 &= (2\,\phi_1+3\,\phi_2) \left/ \sqrt{13},\right.\nonumber\\[0.5ex] \psi_2 &= (3\,\phi_1-2\,\phi_2) \left/ \sqrt{13}.\right.\nonumber\end{aligned}\]\(\alpha\) вимірюється і отримано значення\(a_1\). Якщо\(\beta\) потім вимірюється, а потім\(\alpha\) знову, показати, що ймовірність\(a_1\) отримання вдруге є\(97/169\).
- Продемонструйте, що оператор, який працює з гамільтоном і не містить явної залежності від часу, має значення очікування, яке є постійним у часі.
- Для певної системи оператор, відповідний фізичній величині,\(A\) не їздить на роботу з гамільтоном. Він має власні значення\(a_1\) і\(a_2\), що відповідають належним чином нормованим власним\[\begin{aligned} \phi_1 &= (u_1+u_2)\left/\sqrt{2},\right.\nonumber\\[0.5ex] \phi_2 &= (u_1-u_2)\left/\sqrt{2},\right.\nonumber\end{aligned}\]\(u_1\) функціям, де і належним чином\(u_2\) нормовані власні функції гамільтоніана з власними значеннями\(E_1\) і\(E_2\). Якщо система знаходиться в стані\(\psi=\phi_1\) в часі\(t=0\), покажіть, що\(A\) очікуване значення часу\(t\) дорівнює\[\langle A\rangle = \left(\frac{a_1+a_2}{2}\right) + \left(\frac{a_1-a_2}{2}\right)\cos\left(\frac{[E_1-E_2]\,t}{\hbar}\right).\]