14.12: Інший приклад

$\text{FIGURE XIV.1}$

Схема на малюнку$\text{XIV.1}$ contains two equal resistances, two equal capacitances, and a battery. The battery is connected at time $t=0$. Find the charges held by the capacitors after time $t$.

Застосуйте друге правило Кірхгофа до кожної половинки:

$$(\dot Q_1 + \dot Q_2)RC + Q_2 = CV, \tag{14.12.1}$$

і $$\dot Q_1 RC + Q_1 - Q_2 = 0.\tag{14.12.2}$$

Усунути$Q_2$:

$$R^2C^2\ddot Q_1 + 3 RC Q_1 + Q_1 = CV. \tag{14.12.3}$$

Трансформувати, з$Q_1$ and $\dot Q_1$ initially zero:

$$(R^2C^2s^2 + 3RCs + 1) \bar{Q_1} = \frac{CV}{s}.\tag{14.12.4}$$

Тобто. $$R^2C\bar{Q_1} = \frac{1}{s(s^2 + 3as + a^2)} \cdot V , \tag{14.12.5}$$

де $$a=1/(RC). \tag{14.12.6}$$

Тобто $$R^2C \bar{Q_1}= \frac{1}{s(s+2.618a)(s+0.382a)}V. \tag{14.12.7}$$

Часткові дроби: $$R^2C\bar{Q_1} = \left[\frac{1}{s} + \frac{0.1708}{s+2.618a} - \frac{1.1708}{s+0.382a} \right] \frac{V}{a^2}. \tag{14.12.8}$$

Тобто, $$\bar{Q_1} = \left[ \frac{1}{s} + \frac{0.1708}{s+2.618a} - \frac{1.1708}{s+0.382a} \right]CV. \tag{14.12.9}$$

Обернене перетворення: $$Q_1 = \left[ 1 + 0.1708e^{-2.618t/(RC)} - 1.1708e^{-0.382t/(RC)} \right]. \tag{14.12.10}$$

Струм можна знайти по диференціації.

Я залишаю це читачеві, щоб усунути$Q_1$ from equations 14.12.1 and 2 and hence to show that

$$Q_2 = \left[1 - 0.2764 e^{-2.618 t/(RC)} - 0.7236 e^{-0.382 t/(RC)} \right]. \tag{14.12.11}$$