Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.8: Диференціальне рівняння першого порядку

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78747

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Вирішити\(\dot y + 2y = 3te^t\) with initial condition \(y_0=0\).

    Рішення

    Якщо ви добре практикуєте рішення цього типу рівняння, ви, ймовірно, помножите його на\(e^{2t}\), so that it becomes

    \[\frac{d}{dt}\left(ye^{2t}\right) = 3te^{3t},\]

    з якого

    \(y = (t-\frac{1}{3})e^t + Ce^{-2t}.\)

    (Тепер ви можете замінити це назад у вихідне диференціальне рівняння, щоб переконатися, що це дійсно правильне рішення.)

    При заданому початковому стані швидко з'ясовується, що\(C=\frac{1}{3}\) so that the solution is

    \[y = te^t -\frac{1}{3}e^t + \frac{1}{3} e^{-2t}.\]

    Тепер ось те саме рішення, використовуючи перетворення Лапласа.

    Приймаємо перетворення Лапласа обох сторін вихідного диференціального рівняння:

    \[s\bar{y} +2\bar{y} = 3 \textbf{L}(te^t) = \frac{3}{(s-1)^2}.\]

    Таким чином

    \[\bar{y} = \frac{3}{(s+2)(s-1)^2}.\]

    Часткові дроби:

    \[\bar{y} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{s+2} \right) - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{s-1} \right) + \frac{1}{(s-1)^2}.\]

    Зворотне перетворення:

    \[y=\frac{1}{3} e^{-2t} - \frac{1}{3} e^t +te^t.\]

    Ви, напевно, зізнаєтеся, що можете стежити за цим, але скажете, що ви можете зробити це на швидкості тільки після великої практики з багатьма подібними рівняннями. Але це однаково справедливо і до першого способу.