Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.3: Перша теорема про інтеграцію

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78752

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перша теорема про інтеграцію

    Теорема така:

    \[\textbf{L} \int_0^t y(x)dx = \frac{\bar{y}(s)}{s}.\]

    Перш ніж вивести цю теорему, ось короткий приклад, щоб показати, що вона означає. Теорема найбільш корисна, як і в даному прикладі, для знаходження оберненого перетворення Лапласа, тобто.

    \[\textbf{L}^{-1} \frac{\bar{y} (s)}{s} = \int_0^t y(x)dx.\]

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Розрахувати

    \[\textbf{L}^{-1} \frac{1}{s(s-a)}.\]

    Рішення

    З таблиці ми бачимо, що\(\textbf{L}^{-1} \frac{1}{s-a}=e^{at}\). The integration theorem tells us that

    \[\textbf{L}^{-1} \frac{1}{s(s-a)}=\int_o^t e^{ax}dx = (e^{at}-1)/a.\]

    Тепер ви повинні переконатися, що це правильна відповідь, замінивши це в Рівняння 14.1.2 та інтегруючи - або (і!) за допомогою таблиці перетворень Лапласа.

    Доказ

    Доказом теореми є лише питання інтеграції частинами. Таким чином

    \[\begin{align} \textbf{L}\int_0^t y(x)dx & = \int_0^\infty \left( \int_0^t y(x)dx \right) e^{-st}dt = -\frac{1}{s}\int_0^\infty \left( \int_0^t y(x)dx \right) d\left( e^{-st} \right) \\ &= \left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \int_0^t y(x)dx \right]^\infty_{t=0} + \frac{1}{s} \int_0^\infty e^{-st}y(t)dt. \end{align}\]

    Вираз в дужках дорівнює нулю в обох межах, і тому теорема доведена.