10.15: Зарядка конденсатора через та індуктивність та опір

У розділі 5.19 ми підключили акумулятор до ємності та опору послідовно, щоб побачити, як струм в ланцюзі та заряд в конденсаторі змінювалися з часом; У цьому розділі, Розділ 10.12, ми підключили батарею до індуктивності та опору послідовно, щоб побачити, як струм збільшувався з часом. Ми ще не підключали$R$ батарею$C$ до послідовно.$L$ Ми збираємося це зробити. Нагадаємо також, з розділу 5.19, коли ми підключаємо батарею до$C$ і$R$ послідовно, струм, мабуть, миттєво збільшується з нуля до того,$E/R$ як тільки ми закрили вимикач. Ми вказали, що будь-яка реальна ланцюг (яка обов'язково є контуром) повинна мати деяку індуктивність, хоч і малу, і, отже, струм займає кінцевий час, хоч і невеликий, щоб досягти свого максимального значення після замикання вимикача.

Диференціальне рівняння, яке показує, як ЕРС батареї дорівнює сумі різниць потенціалів по трьом елементам

$$\label{10.15.1}E=IR+Q/C+L\dot I$$

Якщо ми$L=\dot Q\text{ and }\dot I =\ddot Q$ запишемо, то приходимо до диференціального рівняння заряду в конденсаторі:

$$\label{10.15.2}LC\ddot Q +RC\dot Q +Q=EC$$

Загальні рішення цього рішення такі ж, як і для Рівняння 10.14.2, за винятком додавання конкретного інтеграла, який прихильники диференціальних рівнянь визнають просто$EC$. Загальні рішення для струму I можна знайти шляхом диференціації розв'язків по$Q$ відношенню до часу.

Таким чином, загальні рішення

Якщо опір менше$2\sqrt{\frac{L}{C}}$ заряду в конденсаторі і струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

$$\label{10.15.3}Q=Le^{-\gamma T}\sin (\omega^\prime t+\alpha)+EC.$$

$$\label{10.15.4}I=Ke^{-\gamma t}[\omega ^\prime +\alpha )-\gamma \sin (\omega ^\prime t +\alpha )].$$

Визначення констант$\gamma \text{ and }\omega ^\prime$ давалися рівняннями 10.14.4.

Якщо опір більше$2\sqrt{\frac{L}{C}}$ заряду в конденсаторі і струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

$$\label{10.15.5}Q=Ae^{-\lambda_1t}+Be^{-\lambda_2t}+EC.$$

$$\label{10.15.6}I=-(\lambda_1Ae^{-\lambda_1t}+\lambda_2Be^{-\lambda_2t}).$$

Визначення констант$\lambda_1\text{ and }\lambda_2$ давалися рівняннями 10.14.7.

Якщо опір дорівнює$2\sqrt{\frac{L}{C}}$ заряду в конденсаторі, а струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

$$\label{10.15.7}Q=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}(1+at)+EC.$$

$$\label{10.15.8}I=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}\left [ a-\frac{R}{2L}(1-at)\right ] .$$

Константи інтеграції можна знайти з початкових умов. При$t = 0,\, Q$, заряд в конденсаторі, дорівнює нулю. (Це відрізняється від прикладу в розділі 10.14, де початковий заряд був$Q_0$. Також при$t = 0$, поточному$I = 0$. Дійсно, це одна з мотивацій для проведення цього розслідування - пам'ятайте про наші труднощі в Розділі 5.19. Результатами застосування початкових умов є:

Якщо опір більше, ніж$2\sqrt{\frac{L}{C}}$ константи інтеграції задаються

$$\label{10.15.10}\tan \alpha = \frac{\omega^\prime}{\gamma}$$

і

$$\label{10.15.11}K=-\frac{EC}{\sin \alpha}$$

Вони в принципі можуть бути вставлені в рівняння\ ref {10.15.3} і\ ref {10.15.4}. Для обчислювальних цілей легше залишити рівняння такими, якими вони є.

Якщо опір більше$2\sqrt{\frac{L}{C}}$ заряду в конденсаторі і струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

$$\label{10.15.12}Q=EC\left [ 1-\left ( \frac{\lambda_2 e^{-\lambda_1 t}-\lambda_1e^{-\lambda_2t}}{\lambda_2 -\lambda_1}\right ) \right ]$$

$$\label{10.15.13}I=EC\left ( \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 -\lambda_1}\right ) \left ( e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right ).$$

Якщо опір дорівнює$2\sqrt{\frac{L}{C}}$ заряду в конденсаторі, а струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

$$\label{10.15.14}Q=EC\left [ 1-e^{-Rt/(2L)}\left ( 1+\frac{Rt}{2L}\right ) \right ]$$

$$\label{10.15.15}I=\frac{ECR^2}{4L^2}te^{-Rt/(2L)}.$$

У всіх трьох випадках буде зазначено, що додатковою функцією розв'язку диференціального рівняння є перехідним, який зрештою зникає, тоді як конкретний інтеграл представляє остаточне рішення стійкого стану. Читачі, можливо, помітили, що коли дує запобіжник, він часто дме саме при включенні; саме тимчасовий сплеск завдає смертельного удару.

Ситуацією, яка спочатку нас зацікавила ця проблема, був випадок, коли індуктивність в ланцюзі була дуже маленькою - тобто коли опір більше ніж$2\sqrt{\frac{L}{C}}$. Ми були стурбовані тим, що, коли індуктивність була фактично нульовою, струм, мабуть, відразу піднявся до того,$EC$ як тільки вимикач був закритий. Отже, давайте подивимося на Рівняння\ ref {10.15.13}. Якщо ми помножимо обидві сторони на$CR$ нього, то можна записати в безрозмірному вигляді як

$$\label{10.15.16}\frac{I}{E/R}=\left ( \frac{l_1 l_2}{l_2-l_1}\right ) \left (e^{-l_1\tau}-e^{-l_2\tau}\right ),$$

де

$$\label{10.15.17}\tau=t/(CR) \quad \text{and}\quad l_i = CR\lambda_i .$$

Іншими словами, ми виражаємо час в одиницях$CR$.

За допомогою диференціації рівняння\ ref {10.15.16} можна спостерігати, що струм досягне максимального значення (яке менше$E/R$) у час, заданий

$$\label{10.15.18}\tau = \frac{\ln (l_2/l_1)}{l_2-l_1}=\frac{\ln (\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2-\lambda_1}.$$

Дві$\lambda$ константи, вперше визначені в рівняннях 10.14.7, можна записати у вигляді

$$\label{10.15.19}\lambda_1 =\frac{R}{2L}\left [ 1-\sqrt{1-\frac{4(L/R)}{RC}}\right ] ,\, \lambda_2 = \frac{R}{2L}\left [ 1+\sqrt{1-\frac{4(L/R)}{RC}}\right ]$$

Ввожу безрозмірне співвідношення

$$\label{10.15.20}x=\frac{L/R}{CR},$$

щоб

$$\label{10.15.21}l_1=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x},\quad l_2 =\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}$$

У таблиці та графіку нижче я показую, як$I$ змінюється струм з часом (Equation\ ref {10.15.13}, або, в безрозмірному вигляді,\ ref {10.15.16}) для$x=\frac{1}{10}$ і для$x=\frac{1}{25}$. Струм задається в одиницях$E/R$, а час - в одиницях$RC$. Тільки якщо індуктивність ланцюга дорівнює рівно нулю (що неможливо отримати в жодному реальному замкнутому ланцюзі) струм стрибне відразу з 0 до$E/R$ моменту, коли вимикач замкнутий.

$$\nonumber \begin{matrix} x & l_1 & l_2 & \frac{l_1l_2}{l_2-l_1} & \tau_{max} & \frac{I_{max}}{E/R} \\ \nonumber \\ \nonumber 0.10 & 1.12702 & 8.87298 & 1.29099 & 0.26639 & 0.83473 \\ \nonumber 0.04 & 1.04356 & 23.95644 & 1.09109 & 0.13676 & 0.90476 \\ \end{matrix}$$