10.15: Зарядка конденсатора через та індуктивність та опір

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78510

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У розділі 5.19 ми підключили акумулятор до ємності та опору послідовно, щоб побачити, як струм в ланцюзі та заряд в конденсаторі змінювалися з часом; У цьому розділі, Розділ 10.12, ми підключили батарею до індуктивності та опору послідовно, щоб побачити, як струм збільшувався з часом. Ми ще не підключали\(R\) батарею\(C\) до послідовно.\(L\) Ми збираємося це зробити. Нагадаємо також, з розділу 5.19, коли ми підключаємо батарею до\(C\) і\(R\) послідовно, струм, мабуть, миттєво збільшується з нуля до того,\(E/R\) як тільки ми закрили вимикач. Ми вказали, що будь-яка реальна ланцюг (яка обов'язково є контуром) повинна мати деяку індуктивність, хоч і малу, і, отже, струм займає кінцевий час, хоч і невеликий, щоб досягти свого максимального значення після замикання вимикача.

Диференціальне рівняння, яке показує, як ЕРС батареї дорівнює сумі різниць потенціалів по трьом елементам

\[\label{10.15.1}E=IR+Q/C+L\dot I \]

Якщо ми\(L=\dot Q\text{ and }\dot I =\ddot Q\) запишемо, то приходимо до диференціального рівняння заряду в конденсаторі:

\[\label{10.15.2}LC\ddot Q +RC\dot Q +Q=EC\]

Загальні рішення цього рішення такі ж, як і для Рівняння 10.14.2, за винятком додавання конкретного інтеграла, який прихильники диференціальних рівнянь визнають просто\(EC\). Загальні рішення для струму I можна знайти шляхом диференціації розв'язків по\(Q\) відношенню до часу.

Таким чином, загальні рішення

Якщо опір менше\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі і струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.15.3}Q=Le^{-\gamma T}\sin (\omega^\prime t+\alpha)+EC.\]

\[\label{10.15.4}I=Ke^{-\gamma t}[\omega ^\prime +\alpha )-\gamma \sin (\omega ^\prime t +\alpha )].\]

Визначення констант\(\gamma \text{ and }\omega ^\prime\) давалися рівняннями 10.14.4.

Якщо опір більше\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі і струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.15.5}Q=Ae^{-\lambda_1t}+Be^{-\lambda_2t}+EC.\]

\[\label{10.15.6}I=-(\lambda_1Ae^{-\lambda_1t}+\lambda_2Be^{-\lambda_2t}).\]

Визначення констант\(\lambda_1\text{ and }\lambda_2\) давалися рівняннями 10.14.7.

Якщо опір дорівнює\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі, а струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.15.7}Q=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}(1+at)+EC.\]

\[\label{10.15.8}I=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}\left [ a-\frac{R}{2L}(1-at)\right ] .\]

Константи інтеграції можна знайти з початкових умов. При\(t = 0,\, Q\), заряд в конденсаторі, дорівнює нулю. (Це відрізняється від прикладу в розділі 10.14, де початковий заряд був\(Q_0\). Також при\(t = 0\), поточному\(I = 0\). Дійсно, це одна з мотивацій для проведення цього розслідування - пам'ятайте про наші труднощі в Розділі 5.19. Результатами застосування початкових умов є:

Якщо опір більше, ніж\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) константи інтеграції задаються

\[\label{10.15.10}\tan \alpha = \frac{\omega^\prime}{\gamma}\]

\[\label{10.15.11}K=-\frac{EC}{\sin \alpha}\]

Вони в принципі можуть бути вставлені в рівняння\ ref {10.15.3} і\ ref {10.15.4}. Для обчислювальних цілей легше залишити рівняння такими, якими вони є.

Якщо опір більше\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі і струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.15.12}Q=EC\left [ 1-\left ( \frac{\lambda_2 e^{-\lambda_1 t}-\lambda_1e^{-\lambda_2t}}{\lambda_2 -\lambda_1}\right ) \right ]\]

\[\label{10.15.13}I=EC\left ( \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 -\lambda_1}\right ) \left ( e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right ).\]

Якщо опір дорівнює\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі, а струм в ланцюзі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.15.14}Q=EC\left [ 1-e^{-Rt/(2L)}\left ( 1+\frac{Rt}{2L}\right ) \right ]\]

\[\label{10.15.15}I=\frac{ECR^2}{4L^2}te^{-Rt/(2L)}.\]

У всіх трьох випадках буде зазначено, що додатковою функцією розв'язку диференціального рівняння є перехідним, який зрештою зникає, тоді як конкретний інтеграл представляє остаточне рішення стійкого стану. Читачі, можливо, помітили, що коли дує запобіжник, він часто дме саме при включенні; саме тимчасовий сплеск завдає смертельного удару.

Ситуацією, яка спочатку нас зацікавила ця проблема, був випадок, коли індуктивність в ланцюзі була дуже маленькою - тобто коли опір більше ніж\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\). Ми були стурбовані тим, що, коли індуктивність була фактично нульовою, струм, мабуть, відразу піднявся до того,\(EC\) як тільки вимикач був закритий. Отже, давайте подивимося на Рівняння\ ref {10.15.13}. Якщо ми помножимо обидві сторони на\(CR\) нього, то можна записати в безрозмірному вигляді як

\[\label{10.15.16}\frac{I}{E/R}=\left ( \frac{l_1 l_2}{l_2-l_1}\right ) \left (e^{-l_1\tau}-e^{-l_2\tau}\right ),\]

де

\[\label{10.15.17}\tau=t/(CR) \quad \text{and}\quad l_i = CR\lambda_i .\]

Іншими словами, ми виражаємо час в одиницях\(CR\).

За допомогою диференціації рівняння\ ref {10.15.16} можна спостерігати, що струм досягне максимального значення (яке менше\(E/R\)) у час, заданий

\[\label{10.15.18}\tau = \frac{\ln (l_2/l_1)}{l_2-l_1}=\frac{\ln (\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2-\lambda_1}.\]

Дві\(\lambda\) константи, вперше визначені в рівняннях 10.14.7, можна записати у вигляді

\[\label{10.15.19}\lambda_1 =\frac{R}{2L}\left [ 1-\sqrt{1-\frac{4(L/R)}{RC}}\right ] ,\, \lambda_2 = \frac{R}{2L}\left [ 1+\sqrt{1-\frac{4(L/R)}{RC}}\right ] \]

Ввожу безрозмірне співвідношення

\[\label{10.15.20}x=\frac{L/R}{CR},\]

щоб

\[\label{10.15.21}l_1=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x},\quad l_2 =\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}\]

У таблиці та графіку нижче я показую, як\(I\) змінюється струм з часом (Equation\ ref {10.15.13}, або, в безрозмірному вигляді,\ ref {10.15.16}) для\(x=\frac{1}{10}\) і для\(x=\frac{1}{25}\). Струм задається в одиницях\(E/R\), а час - в одиницях\(RC\). Тільки якщо індуктивність ланцюга дорівнює рівно нулю (що неможливо отримати в жодному реальному замкнутому ланцюзі) струм стрибне відразу з 0 до\(E/R\) моменту, коли вимикач замкнутий.

\[\nonumber \begin{matrix} x & l_1 & l_2 & \frac{l_1l_2}{l_2-l_1} & \tau_{max} & \frac{I_{max}}{E/R} \\ \nonumber \\ \nonumber 0.10 & 1.12702 & 8.87298 & 1.29099 & 0.26639 & 0.83473 \\ \nonumber 0.04 & 1.04356 & 23.95644 & 1.09109 & 0.13676 & 0.90476 \\ \end{matrix}\]