10.14: Розряд конденсатора через індуктивність і опір

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78493

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У розділі і наступному передбачається, що читач має певний досвід у вирішенні диференціальних рівнянь. Коли ми дійдемо до диференціального рівняння, я не буду вдаватися в механіку того, як його вирішити, я просто запишу рішення рівняння відразу після нього, без пояснення причин. Не передбачається, що читач відразу зможе вирішити рівняння своєї голови, але зможе зробити це за півгодини в спокійній кімнаті. Тим, хто не має досвіду в диференціальних рівняннях, доведеться приймати рішення, наведені на довірі.

Заряджений конденсатор ємності\(C\) з'єднаний послідовно з вимикачем і індуктором індуктивності\(L\). Вимикач замкнутий, і заряд витікає з конденсатора і, отже, через індуктор протікає струм. Таким чином, поки електричне поле в конденсаторі зменшується, магнітне поле в індукторі зростає, і в індукторі індукується зворотна електрорушійна сила (ЕРС). Нехай\(Q\) буде заряд в конденсаторі в якийсь час. Струм,\(I\) що протікає з позитивної пластини, дорівнює\(-\dot Q\). Різниця потенціалів на конденсаторі є,\(Q/C\) а задня ЕРС через індуктор\(L\dot I = -L\ddot Q\). Падіння потенціалу навколо всієї ланцюга дорівнює нулю, так що\(Q /C = -L\ddot Q\). Таким чином, заряд на конденсаторі регулюється диференціальним рівнянням.

\[\label{10.14.1}\ddot Q = -\frac{Q}{LC},\]

який є простим гармонійним рухом с\(\omega_0 = 1/ \sqrt{ LC}\). Ви повинні переконатися, що це має розміри\(\text{T}^{-1}\).

Якщо в ланцюзі є резистор\(R\) опору, тоді як струм протікає через резистор є

падіння потенціалу\(RI= -R\dot Q\) через нього, і диференціальне рівняння, що регулює заряд на конденсаторі, то

\[\label{10.14.2}LC\ddot Q + RC\dot Q +Q=0.\]

Це загасання коливального руху, умовою критичного демпфування є\(R^2 = 4L/C\). Насправді зовсім необов'язково мати фізичний резистор в ланцюзі. Навіть якщо конденсатор і індуктор були з'єднані надпровідними проводами нульового опору, при цьому заряд в ланцюзі нахиляється між конденсатором і індуктором, він буде випромінювати електромагнітну енергію в простір і, отже, втрачати енергію. Ефект такий же, як якщо б опір був в ланцюзі.

Ті, хто знайомий з диференціальними рівняннями, визнають, що характер рішення буде залежати від того, чи буде опір більше, менше або дорівнює\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\). Ви можете скористатися таблицею розмірів у главі 11, щоб переконатися, що\(\sqrt{\frac{L}{C}}\) розмірна схожа на опір.

Якщо опір менше\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.14.3}Q=Ke^{- \gamma t/2}\sin (\omega^\prime t+\alpha ),\]

де\(\label{10.14.4}\gamma = R/L\) і

\[ \omega^\prime = \sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}},\]

Це синусоїдальна функція, амплітуда якої з часом зменшується в геометричній прогресії. Константи\(K\) і\(\alpha\) є довільними константами інтеграції, які залежать від початкових умов. Якщо початкові умови такі, що, в той час\(t=0\),\(Q = Q_0\) і\(\dot{Q}=I =0\), то Equation\ ref {10.14.3} стає, після невеликої алгебри і тригонометрії

\[\label{10.14.5}Q=Q_0 e^{-\gamma t/2} \left( \dfrac{\gamma}{2 \omega^\prime} \sin \omega^\prime t + \cos \omega^\prime t. \right).\]

Це синусоїдальна функція, амплітуда якої з часом зменшується в геометричній прогресії.

Якщо опір більше\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.14.6}Q=Ae^{-\lambda_1 t}+Be^{-\lambda_2 t},\]

де

\[\label{10.14.7}\lambda_1=\dfrac{R}{2L}-\sqrt{\dfrac{R^2}{4L^2}-\dfrac{1}{LC}},\quad \lambda_2=\frac{R}{2L}+\sqrt{\dfrac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}\]

Тут і\(A\text{ and }B\) знаходяться довільні константи інтеграції, які залежать від початкових умов. Якщо початкові умови такі, що в момент 0\(Q = Q_0\text{ and }\dot Q = I = 0\), то Equation\ ref {10.14.6} стає

\[\label{10.14.8}Q=\frac{Q_0}{\lambda_2 - \lambda_1}\left ( \lambda_2 e^{-\lambda_1t}-\lambda_1 e^{-\lambda_2 t}\right ).\]

Таким чином, при цих початкових умовах,\(Q\) зменшується монотонно, без коливань, до нуля як\(t → \infty\).

Якщо опір дорівнює\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) заряду в конденсаторі буде змінюватися з часом як

\[\label{10.14.9}Q=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}(1+at). \]

Якщо початкові умови такі, що в момент 0\(Q = Q_0\text{ and }\dot Q = I = 0\), то Equation\ ref {10.14.9} стає

\[\label{10.14.10}Q=Q_0e^{-\frac{Rt}{2L}}\left ( 1+\frac{Rt}{2L}\right ),\]

який монотонно зменшується до нуля як\(t → \infty, \text{ reaching }\frac{1}{2}Q_0\text{ at }t= 3. 3567 R / L\).