10.10: Взаємна індуктивність

Розглянемо дві котушки, не з'єднані одна з одною, крім того, щоб бути близько один до одного в просторі. Якщо струм змінюється в одній з котушок, так буде і магнітне поле в іншій, а отже, ЕРС буде індукована в другій котушці. Визначення: Ставлення ЕРС,$V_2$ індукованої в другій котушці, до швидкості зміни струму$\dot I_1$ в першій називається коефіцієнтом взаємної індуктивності$M$ між двома котушками:

$$V_2 = M\dot I_1 .$$

Розміри взаємної індуктивності можна знайти за розмірами ЕРС і струму, і їх легко знайти$\text{ML}^2\text{Q}^{ −2}$.

Визначення: Якщо ЕРС одного вольта індукується в одній котушці, коли швидкість зміни струму в іншій дорівнює 1 ампер в секунду, коефіцієнт взаємної індуктивності між ними становить 1 Генрі,$\text{H}$.

Психічна вправа: Якщо струм в котушці 1 змінюється зі швидкістю$\dot I_1$, ЕРС, індукована в котушці 2, є$M\dot I_1$. Тепер запитайте себе так: Якщо струм в котушці 2 змінюється зі швидкістю, чи$\dot I_2$ правда, що ЕРС, індукована в котушці 1, буде$M\dot I_2$? (Відповідь «так» - але ви не виправдаєте розумових зусиль, необхідних для того, щоб переконати себе в цьому.)

Приклад: Припустимо, що первинна котушка являє собою нескінченний соленоїд, що має$n_1$ витки на одиницю довжини, намотані навколо сердечника$\mu$ Щільно б навколо цього знаходиться звичайна кругова котушка$N_2$ витків. Соленоїд і котушка, обгорнута щільно навколо нього, мають площу$A$. Ми можемо обчислити взаємну індуктивність цього розташування наступним чином. Магнітне поле в первинному є$\mu n_1I$ таким чином потік через кожну котушку$\mu n_1AI$. Якщо струм змінюється зі швидкістю$\dot I$, потік буде змінюватися зі швидкістю$\mu n A\dot I$ і ЕРС, індукована у вторинній котушці, буде$\mu n_1 N_2 a\dot I$. Тому взаємна індуктивність

$$M=\mu n_1 N_2 A.\label{10.10.2}$$

Кілька моментів:

1. Переконайтеся, що це має правильні розміри.
2. Якщо струм в соленоїді змінюється таким чином, щоб викликати збільшення магнітного поля вправо, ЕРС, індукована у вторинній котушці, така, що, якщо вона була підключена до замкнутого ланцюга так, щоб протікає вторинний струм, напрямок цього струму буде виробляти магнітне поле ліворуч — тобто такі, щоб протистояти правому збільшенню$B$.
3. Через невеликі розумові зусилля, які ви доклали кілька хвилин тому, тепер ви переконані, що, якби ви змінили струм в площині котушки зі швидкістю$\dot I$, ЕРС, індукована в соленоїді, була б$M\dot I$, де$M$ задається Equation\ ref {10.10.2}.
4. Рівняння\ ref {10.10.2} - рівняння взаємної індуктивності системи за умови, що котушка і соленоїд щільно з'єднані між собою. Якщо котушка досить вільно драпірована навколо соленоїда, або якщо соленоїд не нескінченний по довжині, взаємна індуктивність буде скоріше менше, ніж задана рівнянням\ ref {10.10.2}. Було б, по суті, де$k\mu n_1N_2 A$$k$, безрозмірне число між 0 і 1, є коефіцієнтом зчеплення.
5. Хоча ми маємо досі виражену проникність в одиницях тесла метрів на ампер ($\text{T m A}^{−1}$) або деяку таку комбінацію, Equation\ ref {10.10.2} показує, що проникність може однаково добре бути (і зазвичай є) вираженим у генрі на метр,$\text{H m}^{−1}$. Таким чином, ми говоримо, що проникність вільного простору є$\mu_0= 4\pi \times 10^{-7}\text{ H m}^{-1}$.

Плоска котушка з 10 витків щільно намотується навколо соленоїда діаметром 2 см, що має 400 витків на сантиметр. Відносна проникність сердечника - 800. Обчисліть взаємну індуктивність. (Я роблю це 0.126$\text{H}$.)