10.1: Додаток А (частина 1)

Наступні англійські переклади уривків з трьох робіт Ейнштейна були спочатку опубліковані в «Принципі відносності», Methuen and Co., 1923. Переклад був У. Перретт і Г.Б. Джеффрі, а нотатки були надані А.Зоммерфельдом. Джон Уокер (www. fourmilab.ch) надав машиночитані версії перших двох і розмістив їх у відкритому доступі. Деякі позначення були модернізовані, британська орфографія була американізована і т.д. виноски Зоммерфельда, Уокера і Б. Кроуелла позначені ініціалами. Модифікації Б.Кроуелла до цієї версії також знаходяться у відкритому доступі.

• Стаття «Про електродинаміку рухомих тіл» містить дві частини, перша з яких стосується кінематики, а друга - з електродинамікою. Я привів тут тільки першу частину, так як друга довга, і боляче читати через громіздкі старомодні позначення. Другий розділ можна отримати на веб-сайті Джона Уокера.
• Стаття «Чи залежить інерція тіла від його енергетичного вмісту? », який починається пізніше, дуже короткий і читабельний. Коротший і менш загальний варіант його основного аргументу наведено в розділі 4.2.
• «Основою загальної теорії відносності» є довга оглядова стаття, в якій Ейнштейн систематично виклав загальну теорію, яку він раніше опублікував в серії коротших робіт. Перші три розділи статті дають загальне фізичне міркування координатної незалежності, яке називається загальною коваріацією. Починається вона пізніше.

Читач, який зацікавлений у тому, щоб побачити ці документи в повному обсязі, може отримати їх недорого в Dover передрук оригінальної антології Метуен.

«Про електродинаміку рухомих тіл»

Ейнштейн, Аннален дер Фізика 17 (1905) 891. Відомо, що електродинаміка Максвелла - як зазвичай розуміється в даний час - при застосуванні до рухомих тіл призводить до асиметрій, які, здається, не притаманні явищам. ¹³ Візьмемо, наприклад, зворотну електродинамічну дію магніту і провідника. Спостережуване явище тут залежить тільки від відносного руху провідника і магніту, тоді як звичний погляд проводить різку різницю між двома випадками, в яких або те, чи інше з цих тіл знаходиться в русі. Бо якщо магніт знаходиться в русі і провідник в спокої, виникає в районі магніту електричне поле з певною певною енергією, виробляючи струм в місцях розташування частин провідника. Але якщо магніт нерухомий, а провідник знаходиться в русі, в районі магніту не виникає електричного поля. Однак у провіднику ми знаходимо електрорушійну силу, до якої сама по собі немає відповідної енергії, але яка породжує - припускаючи рівність відносного руху в двох обговорюваних випадках - електричним струмам того ж шляху та інтенсивності, що і виробляються електричними силами в першому випадку.

Примітка

Ейнштейн починає з прикладу, що включає електромагнітну індукцію, розглянуту в двох різних системах відліку. Сучасним заднім числом ми б описали це, сказавши, що імпульс Лоренца змішує електричне та магнітне поля, як описано в розділі 4.2. —ДО Н.Е.

Приклади такого роду, разом з невдалими спробами виявити будь-який рух землі щодо «легкого середовища», свідчать про те, що явища електродинаміки, як і механіки, не мають властивостей, що відповідають ідеї абсолютного спокою. ¹⁴ Вони припускають скоріше, що, як вже було показано до першого порядку малих величин, ¹⁵ однакових законів електродинаміки та оптики будуть дійсні для всіх систем відліку, для яких рівняння механіки добре тримаються. ¹⁶ Ми піднімемо цю здогаду (мета якої надалі буде називатися «Принцип відносності») до статусу постулату, а також введемо ще один постулат, який лише очевидно непримиренний з першим, а саме, що світло завжди поширюється в порожньому просторі з певна швидкість c, яка не залежить від стану руху випромінюючого тіла. ¹⁷ Цих двох постулатів вистачає для досягнення простої і послідовної теорії електродинаміки рухомих тіл, заснованої на теорії Максвелла для стаціонарних тіл. Введення «світлоносного ефіру» виявиться зайвим, так як вид, який слід тут розробити, не зажадає «абсолютно стаціонарного простору», забезпеченого спеціальними властивостями, а також не привласнить швидкіс-вектор точці порожнього простору, в якому відбуваються електромагнітні процеси.

Нотатки

¹⁴ Ейнштейн знав про експеримент Майкельсона-Морлі до 1905 року (J. van Dongen, arxiv.org/abs/0908.1545), але він не цитується конкретно тут. Статті Майкельсона-Морлі 1881 та 1887 років доступні в Інтернеті за адресою: wikisource.org. —ДО Н.Е.

¹⁵ Тобто, до першого порядку в$\frac{v}{c}$. Експериментатори ще Френеля (1788-1827) показали, що не було ніяких ефектів порядку$\frac{v}{c}$ через рух землі через ефір, але вони змогли інтерпретувати це, не викидаючи ефір, шляхом придумування моделей, в яких тверді речовини тягнули ефір разом з ними. Негативний результат експерименту Майкельсона-Морлі показав відсутність ефекту порядку ($\frac{v}{c}$) ². —ДО Н.Е.

¹⁶ Попередні мемуари Лоренца не були в цей час відомі автору. —ЯК

¹⁷ Другий постулат є надмірним, якщо взяти «закони електродинаміки та оптики» для позначення рівнянь Максвелла. Рівняння Максвелла вимагають, щоб світло рухався при c в будь-якій системі відліку, в якій вони дійсні, і перший постулат вже стверджував, що вони дійсні у всіх інерційних системах відліку. Ейнштейн, ймовірно, стверджує сталість c як окремий постулат, оскільки його аудиторія звикла думати про рівняння Максвелла як про часткове математичне зображення певних аспектів основної теорії ефіру. Протягом першої частини статті Ейнштейн здатний вивести всі свої результати, не припускаючи нічого з рівнянь Максвелла, крім сталості c Використання терміна «постулат» передбачає побудову формальної аксіоматичної системи, як евклідова геометрія, але реальний намір Ейнштейна тут полягає в тому, щоб закласти з набору філософських критеріїв оцінки кандидатських теорій; він вільно вносить інші, менш центральні, припущення пізніше в роботі, як коли він посилається на однорідність просторучасу пізніше. —ДО Н.Е.

¹⁸ По суті, Ейнштейн означає, що ви не можете мати рівняння Максвелла без встановлення координат положення та часу, і ви не можете мати координати позиції та часу без годинника та лінійки. Тому навіть опис суто електромагнітного явища, такого як світлова хвиля, залежить від існування матеріальних об'єктів. Він не визначає, що саме він має на увазі під «жорстким», і тепер ми знаємо, що відносність насправді не дозволяє існувати абсолютно жорстких твердих тіл (див. Розділ 3.5). По суті, він хоче мати можливість говорити про правителів, які поводяться як тверді речовини, а не рідини, в тому сенсі, що якщо їх досить м'яко прискорити з відпочинку і пізніше м'яко повернути в спокій, їх властивості будуть незмінними. Коли він отримує скорочення довжини пізніше, він хоче, щоб було зрозуміло, що це не динамічне явище, спричинене таким ефектом, як перетягування ефіру. —ДО Н.Е.

Теорія, яка повинна бути розроблена, базується - як і вся електродинаміка - на кінематиці твердого тіла, оскільки твердження будь-якої такої теорії мають відношення між жорсткими тілами (системами координат), годинником та електромагнітними процесами. ¹⁸ Недостатнє врахування цієї обставини лежить в основі труднощів, з якими в даний час стикається електродинаміка рухомих тіл.

Кінематична частина

§1. Визначення одночасності

Візьмемо систему координат, в якій рівняння ньютонівської механіки тримають добре. ¹⁹ Для того, щоб зробити нашу презентацію більш точною і відрізнити цю систему координат усно від інших, які будуть введені далі, ми називаємо її «стаціонарною системою».

Примітка

тобто, до першого наближення. —ЯК

Якщо матеріальна точка знаходиться в спокої щодо цієї системи координат, її положення можна визначити відносно неї за допомогою застосування жорстких стандартів вимірювання та методів евклідової геометрії, а також може бути виражено декартовими координатами.

Якщо ми хочемо описати рух матеріальної точки, ми наводимо значення її координат як функції часу. Тепер ми повинні уважно пам'ятати, що математичний опис такого роду не має фізичного значення, якщо ми не зрозуміємо, що ми розуміємо під «часом». Ми повинні враховувати, що всі наші судження, в яких час відіграє роль, завжди є судженнями одночасних подій. Якщо, наприклад, я кажу: «Цей поїзд прибуває сюди о 7 годині», я маю на увазі щось подібне: «Наведення маленької руки мого годинника на 7 і прибуття поїзда - це одночасні події». ²⁰

Примітка

Ми не будемо тут обговорювати неточність, яка ховається в концепції одночасності двох подій приблизно в одному і тому ж місці, яке може бути усунуто лише абстракцією. —ЯК

Можливо, можна подолати всі труднощі, пов'язані з визначенням «часу», замінивши «положення маленької руки мого годинника» на «час». І насправді таке визначення є задовільним, коли ми стурбовані визначенням часу виключно для місця, де знаходиться годинник; але це вже не задовільно, коли нам доводиться з'єднувати часові ряди подій, що відбуваються в різних місцях, або - що стосується того ж - оцінити час події, що відбуваються в місцях, віддалених від годинника.

Ми могли б, звичайно, задовольнитися значеннями часу, визначеними спостерігачем, розміщеним разом із годинником біля початку координат, і координувати відповідні положення стрілок світловими сигналами, що видаються кожною подією, яку потрібно приурочити, і дістаючись до нього через порожній простір. Але ця координація має той недолік, що вона не незалежна від точки зору спостерігача з годинником або годинником, як ми знаємо з досвіду. Ми приходимо до набагато більш практичного визначення за наступною лінією думки.

Якщо в точці А простору є годинник, спостерігач в А може визначити часові значення подій в безпосередній близькості від А шляхом знаходження позицій стрілок, які є одночасними з цими подіями. Якщо в точці B простору є інший годинник за всіма параметрами, що нагадують той, що на А, то спостерігач в B може визначити часові значення подій в безпосередній близькості від Б. Але неможливо без подальшого припущення порівняти, щодо часу, подію при А з подією На Б. ми поки що визначили лише «Час А» та «B час». Ми не визначили загального «часу» для A і B, бо останнє не може бути визначено взагалі, якщо ми не встановимо за визначенням, що «час», необхідний світлу для подорожі від A до B, дорівнює «часу», необхідному для подорожі від B до A. Нехай промінь світла починається з «A time» t _A від A до B, нехай це в «B час» t _B буде відображено в B у напрямку A, і знову прибути до A в «A time» t' _A.

Відповідно до визначення два годинника синхронізують ²¹, якщо

$$t_{B} - t_{A} = t'_{A} - t_{B} \ldotp$$

Примітка

Описана тут процедура відома як синхронізація Ейнштейна. —ДО Н.Е.

Ми припускаємо, що це визначення синхронності вільне від суперечностей і можливе для будь-якої кількості моментів; і що універсально дійсні такі відносини: —

1. Якщо годинник в B синхронізуються з годинником на А, то годинник на А синхронізуються з годинником в B.
2. Якщо годинник на А синхронізуються з годинником в B, а також з годинником на C, годинник в B і C також синхронізуються один з одним. ²²

Примітка

Це припущення не вдається в обертовій рамці (див. Розділ 3.5), але Ейнштейн обмежив себе тут приблизно інерційною системою відліку. —ДО Н.Е.

Таким чином, за допомогою певних уявних фізичних експериментів ми вирішили, що слід розуміти під синхронними стаціонарними годинниками, розташованими в різних місцях, і, очевидно, отримали визначення «одночасний» або «синхронний» та «час». «Час» події - це те, яке задається одночасно з подією стаціонарним годинником, розташованим в місці події, цей годинник синхронний, і дійсно синхронний для всіх часових визначень, з заданим стаціонарним годинником.

У згоді з досвідом ми далі припускаємо кількість

$$\frac{2AB}{t'_{A} - t_{A}} = c,$$

бути універсальною константою—швидкість світла в порожньому просторі.

Важливо мати час, визначений за допомогою стаціонарних годин у стаціонарній системі, а час, який зараз визначено, відповідає стаціонарній системі, ми називаємо це «часом стаціонарної системи».

§ 2. Про відносність довжин і часів

Наступні відображення засновані на принципі відносності і на принципі сталості швидкості світла. Ці два принципи ми визначаємо наступним чином: -

1. Закони, за якими стани фізичних систем зазнають змін, не впливають, чи слід віднести ці зміни стану до тієї чи іншої з двох систем координат у рівномірному перекладному русі.
2. Будь-промінь світла рухається в «стаціонарній» системі координат з визначеною швидкістю c, будь промінь випромінюється нерухомим або рухомим тілом. Звідси $velocity =\ frac {light\; шлях} {time\; інтервал} $$ де часовий інтервал повинен бути прийнятий у значенні визначення в § 1.

Нехай буде дано нерухомий жорсткий стрижень; і нехай його довжина буде l, як вимірюється вимірювальним стрижнем, який також нерухомий. Тепер уявімо вісь стрижня, що лежить уздовж осі х нерухомої системи координат, і що рівномірний рух паралельного перекладу зі швидкістю v уздовж осі х у напрямку збільшення х потім передається стрижню. Тепер ми запитуємо про довжину рухомого стрижня, і уявіть, що його довжина повинна бути визначена наступними двома операціями: —

1. Спостерігач рухається разом із заданим вимірювальним стрижнем та стрижнем, який потрібно виміряти, і вимірює довжину стрижня безпосередньо шляхом накладання вимірювального стрижня, точно так само, як якщо б всі три були в стані спокою.
2. За допомогою стаціонарних годинників, встановлених в стаціонарній системі і синхронізуючих відповідно до § 1, спостерігач з'ясовує, в яких точках стаціонарної системи розташовані два кінці вимірюваного стрижня в певний час. Відстань між цими двома точками, виміряна вже зайнятим вимірювальним стрижнем, який у цьому випадку знаходиться в стані спокою, також є довжиною, яка може бути позначена «довжиною стрижня».

Відповідно до принципу відносності довжина, яка повинна бути виявлена операцією (а) - ми будемо називати її «довжиною стрижня в рухомій системі» —повинна дорівнювати довжині l нерухомого стрижня.

Довжину, яку потрібно виявити операцією (b), ми будемо називати «довжиною (рухомого) стрижня в стаціонарній системі». Це ми визначимо на основі двох наших принципів, і знайдемо, що воно відрізняється від l.

Кінематика струму мовчазно передбачає, що довжини, визначені цими двома операціями, точно рівні, або іншими словами, що рухоме тверде тіло в епоху t може в геометричному відношенні бути ідеально представлено одним і тим же тілом в спокої в певному положенні.

Ми уявляємо далі, що на двох кінцях А і В штока розміщені годинник, які синхронізуються з годинниками стаціонарної системи, тобто їх показання відповідають в будь-який момент «часу стаціонарної системи» в тих місцях, де вони трапляються. Тому ці годинники «синхронні в стаціонарній системі».

Ми уявляємо далі, що з кожним годинником є рухомий спостерігач, і що ці спостерігачі застосовують до обох годин критерій, встановлений в § 1 для синхронізації двох годин. Нехай промінь світла відійде від А в той час ²³ t _A, нехай він буде відображатися в B в момент t _B, і знову досягне A в той час t' _A. Беручи до уваги принцип сталості швидкості світла, ми виявляємо, що

$$t_{B} - t_{A} = \frac{r_{AB}}{c - v}\quad and\quad t_{A} - t_{B} = \frac{r_{AB}}{c + v}$$

де r _AB позначає довжину рухомого стрижня, виміряну в стаціонарній системі. Спостерігачі, що рухаються з рухомим стрижнем, таким чином виявить, що два годинники не були синхронними, тоді як спостерігачі в стаціонарній системі оголосять годинник синхронними.

Примітка

«Час» тут позначає «час стаціонарної системи», а також «положення стрілок рухомого годинника, що знаходиться в обговорюваному місці». —ЯК

Таким чином, ми бачимо, що ми не можемо надати жодного абсолютного значення поняттю одночасності, але що дві події, які, розглядаються з системи координат, є одночасними, більше не можна розглядати як одночасні події, якщо вони передбачені з системи, яка знаходиться в русі відносно цієї системи.

§ 3. Теорія перетворення координат і часу зі стаціонарної системи в іншу систему при рівномірному русі перекладу відносно колишньої

Давайте в «стаціонарному» просторі візьмемо дві системи координат, тобто дві системи, кожна з трьох жорстких матеріальних ліній, перпендикулярних одна до одної і видаючи з точки. Нехай осі X двох систем збігаються, а їх осі Y і Z відповідно паралельні. Нехай кожна система буде забезпечена жорстким вимірювальним стрижнем і кількістю годинників, і нехай два вимірювальні стрижні, а також усі годинники двох систем, будуть у всіх відношеннях однаковими.

Тепер до початку однієї з двох систем (k) нехай постійна швидкість v передається у напрямку зростаючої х іншої нерухомої системи (K), і нехай ця швидкість буде повідомлена осям координат, відповідного вимірювального стрижня та годинника. До будь-якого моменту стаціонарної системи К там тоді буде відповідати певне положення осей рухомої системи, і з міркувань симетрії ми маємо право припустити, що рух k може бути таким, що осі рухомої системи знаходяться в момент t (це «t» завжди позначає час стаціонарного системи) паралельно осям стаціонарної системи.

Тепер ми уявляємо простір, який потрібно вимірювати від стаціонарної системи K за допомогою стаціонарного вимірювального стрижня, а також від рухомої системи k за допомогою вимірювального стрижня, що рухається з ним; і що ми таким чином отримуємо координати x, y, z і$\xi, \eta, \zeta$ відповідно. Далі, нехай буде визначено час t стаціонарної системи для всіх її точок, в яких знаходяться годинник за допомогою світлових сигналів способом, зазначеним в § 1; аналогічно нехай визначається час τ рухомої системи для всіх точок рухомої системи, в яких знаходяться годинник в спокої щодо ця система шляхом застосування методу, наведеного в § 1, світлових сигналів між точками, в яких розташовані останні годинники.

До будь-якої системи значень x, y, z, t, яка повністю визначає місце і час події в стаціонарній системі, належить система значень$\xi, \eta, \zeta, \tau$, що визначають цю подію щодо системи k, і наше завдання тепер знайти систему рівнянь, що з'єднують ці величини.

В першу чергу зрозуміло, що рівняння повинні бути лінійними з урахуванням властивостей однорідності, які ми приписуємо простору і часу.

Якщо поставити x' = x − vt, то зрозуміло, що точка спокою в системі k повинна мати систему значень x', y, z, незалежно від часу. Спочатку ми визначимо τ як функцію x;, y, z і t Для цього ми повинні висловити в рівняннях, що τ - це не що інше, як підсумок даних годинника в спокої в системі k, які були синхронізовані відповідно до правила, наведеного в § 1.

Від походження системи k нехай промінь буде випромінюватися в той час$\tau_{0}$ вздовж осі X ', і в той час$\tau_{1}$ відображатися звідти до початку координат, що надходять туди в той час$\tau_{2}$; ми повинні мати$\frac{1}{2} (\tau_{0} + \tau_{2}) = \tau_{1}$, або, вставляючи аргументи функції$\tau$ і застосування принципу сталості швидкості світла в стаціонарній системі: —

$$\frac{1}{2} \Bigg[ \tau (0, 0, 0, t) + \tau \left( 0, 0, 0, t + \dfrac{x'}{c - v} + \dfrac{x'}{c + v} \right) \Bigg] = \tau \left( x', 0, 0, t + \dfrac{x'}{c - v} \right) \ldotp$$

Отже, якщо x' бути обраний нескінченно малий,

$$\frac{1}{2} \left(\dfrac{1}{c - v} + \dfrac{1}{c + v} \right) \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{1}{c - v} \frac{\partial \tau}{\partial t},$$

або

$$\frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{v}{c^{2} - v^{2}} \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0 \ldotp$$

Слід зазначити, що замість початку координат ми могли б обрати будь-яку іншу точку для точки початку променя, і щойно отримане рівняння, отже, дійсне для всіх значень x', y, z.

Аналогічне міркування - застосовується до осей Y і Z - має на увазі, що світло завжди поширюється вздовж цих осей, якщо дивитися зі стаціонарної системи, зі швидкістю$\sqrt{c^{2} − v^{2}}$ дає нам

$$\frac{\partial \tau}{\partial y} = 0,\; \frac{\partial \tau}{\partial z} = 0 \ldotp$$

Оскільки$\tau$ є лінійною функцією, то з цих рівнянь випливає, що

$$\tau = a \left(t - \dfrac{v}{c^{2} - v^{2}} x' \right)$$

де a - функція$\phi$ (v) в даний час невідома, а де для стислості передбачається, що при початку k,$\tau$ = 0, коли t = 0.

За допомогою цього результату ми легко визначаємо величини,$\xi, \eta, \zeta$ висловивши в рівняннях, що світло (як того вимагає принцип сталості швидкості світла, в поєднанні з принципом відносності) також поширюється зі швидкістю c при вимірюванні в рухомій системі. Для променя світла, випромінюваного в той час$\tau$ = 0 в бік збільшення$\xi$

$$\xi = c \tau \quad or \quad \xi = ac \left( t - \dfrac{v}{c^{2} - v^{2}} x' \right) \ldotp$$

Але промінь рухається відносно початкової точки k, при вимірюванні в стаціонарній системі, зі швидкістю c − v, так що

$$\frac{x'}{c - v} = t \ldotp$$

Якщо вставити це значення t в рівняння для$\xi$, отримаємо

$$\xi = a \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}} x' \ldotp$$

Аналогічним чином ми знаходимо, розглядаючи промені, що рухаються уздовж двох інших осей, що

$$\eta = c \tau = ac \left( t - \dfrac{v}{c^{2} - v^{2}} x' \right)$$

коли

$$\frac{y}{\sqrt{c^{2} - v^{2}}} = t, x' = 0 \ldotp$$

Таким чином

$$\eta = a \frac{c}{\sqrt{c^{2} - v^{2}}} y \quad and \quad \zeta = a \frac{c}{\sqrt{c^{2} - v^{2}}} z \ldotp$$

Підставивши на x' його значення, отримаємо

$$\begin{split} \tau &= \phi (v) \beta \left( t - \dfrac{vx}{c^{2}} \right), \\ \xi &= \phi (v) \beta (x - vt), \\ \eta &= \phi (v) y, \\ \zeta &= \phi (v) z, \end{split}$$

де

$$\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}},$$

і$\phi$ є поки невідомою функцією v. Якщо немає припущення, що б не було зроблено щодо початкового положення рухомої системи та щодо нульової точки$\tau$, адитивна константа повинна бути розміщена на правій стороні кожного з цих рівнянь.

Тепер ми повинні довести, що будь-який промінь світла, виміряний в рухомій системі, поширюється зі швидкістю c, якщо, як ми вже припускали, це відбувається в стаціонарній системі; бо ми ще не надали доказу того, що принцип сталості швидкості світла сумісний з принципом відносності.

У той час t$\tau$ = 0, коли початок координат є загальним для двох систем, нехай сферична хвиля буде випромінюватися з неї і поширюватися зі швидкістю c в системі K. Якщо (x, y, z) бути точкою, щойно досягнутою цією хвилею, то

$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2} t^{2} \ldotp$$

Трансформуючи це рівняння за допомогою наших рівнянь перетворення, отримаємо після простого обчислення.

$$\xi^{2} + \eta^{2} + \zeta^{2} = c^{2} \tau^{2} \ldotp$$

Отже, розглянута хвиля є не менш сферичною хвилею зі швидкістю поширення c при огляді в рухомій системі. Це показує, що наші два основні принципи сумісні. ²⁴

Примітка

Рівняння перетворення Лоренца можуть бути більш просто виведені безпосередньо з умови, що в силу цих рівнянь відношення x ² + y ² + z ² = c ^{2 t 2} має як наслідок друге відношення$\xi^{2} + \eta^{2} + \zeta^{2} = c^{2} \tau^{2}$. —ЯК

У розроблені рівняння перетворення входить невідома функція$\phi$ v, яку ми зараз і визначимо.

Для цього введено третю систему координат K', яка відносно системи k перебуває у стані паралельного поступального руху паралельно осі$\Xi$, ²⁵ таким чином, що початок координат системи K' рухається зі швидкістю −v по осі$\Xi$. У момент t = 0 нехай збігаються всі три джерела, а коли t = x = y = z = 0 нехай час t' системи K' дорівнює нулю. Ми називаємо координати, виміряні в системі K ', x', y', z', і шляхом дворазового застосування наших рівнянь перетворення отримуємо

$$\begin{split} t' &= \phi (-v) \beta (-v) \left(\tau + \dfrac{v \xi}{c^{2}} \right) &= \phi (v) \phi (-v) t, \\ x' &= \phi (-v) \beta (-v) (\xi + v \tau) &= \phi (v) \phi (-v) x, \\ y' &= \phi (-v) \eta &= \phi (v) \phi (-v) y, \\ z' &= \phi (-v) \zeta &= \phi (v) \phi (-v) z \ldotp \end{split}$$

Примітка

У оригінальній роботі Ейнштейна символи ($\Xi$, H, Z) для координат рухомої системи k були введені без їх явного визначення. В англійському перекладі 1923 року були використані (X, Y, Z), створюючи неоднозначність між координатами X у фіксованій системі K і паралельною віссю в рухомій системі k Тут і в наступних посиланнях ми використовуємо$\Xi$ при зверненні до осі системи k, по якій система перекладається щодо K. Крім того, посилання на систему K 'пізніше в цьому реченні було неправильно дано як «k» в перекладі з англійської мови 1923 року. —JW

Оскільки відносини між x', y', z' і x, y, z не містять часу t, системи K і K' знаходяться в спокої відносно один одного, і зрозуміло, що перетворення від K до K 'має бути ідентичним перетворенням. Таким чином

$$\phi (v) \phi (-v) = 1 \ldotp$$

Тепер ми запитуємо значення$\phi$ (v). Звертаємо увагу на ту частину осі Y системи k, яка лежить між$\xi$ = 0,$\eta$ = 0,$\zeta$ = 0 і$\xi$ = 0,$\eta$ = l,$\zeta$ = 0. Ця частина осі Y є стрижнем, що рухається перпендикулярно своїй осі зі швидкістю v щодо системи K. Його кінці мають в К координати.

$$x_{1} = vt, \quad y_{1} = \frac{l}{\phi (v)}, \quad z_{1} = 0$$

і

$$x_{2} = vt, \quad y_{2} = 0, \quad z_{2} = 0 \ldotp$$

Довжина стрижня, виміряна в К, отже, дорівнює$\frac{l}{\phi}$ (v); і це дає нам значення функції$\phi$ (v). З причин симетрії тепер видно, що довжина даного стрижня, що рухається перпендикулярно його осі, виміряна в стаціонарній системі, повинна залежати тільки від швидкості, а не від напрямку і сенсу руху. Довжина рухомого стрижня, виміряна в стаціонарній системі, не змінюється, отже, якщо v і −v поміняються місцями. Звідси випливає, що$\frac{l}{\phi}$ (v) =$\frac{l}{\phi}$ (−v), або

$$\phi (v) = \phi (-v) \ldotp$$

З цього співвідношення випливає і те, що раніше знайдено, що$\phi$ (v) = 1, так що знайдені рівняння перетворення стали

$$\begin{split} \tau &= \beta \left( t - \dfrac{vx}{c^{2}} \right), \\ \xi &= \beta (x - vt), \\ \eta &= y, \\ \zeta &= z, \end{split}$$

де

$$\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \ldotp$$

Дописувачі