10.2: Додаток А (частина 2)

§ 4. Фізичне значення рівнянь, отриманих щодо рухомих жорстких тіл та рухомих годинників

Ми передбачаємо жорстку сферу ²⁶ радіусом R, в спокої відносно рухомої системи k, і її центром у початку координат k Рівняння поверхні цієї сфери, що рухається відносно системи K зі швидкістю v, дорівнює

$$\xi^{2} + \eta^{2} + \zeta^{2} = R^{2} \ldotp$$

Примітка

Тобто тіло, що володіє кулястою формою при огляді в спокої. —ЯК

Рівняння цієї поверхні, виражене в x, y, z в момент t = 0 дорівнює

$$\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}} \right)^{2}} + y^{2} + z^{2} = R^{2} \ldotp$$

Тверде тіло, яке вимірюється в стані спокою, має форму сфери, тому має в стані руху, розглянутому зі стаціонарної системи, форму еліпсоїда обертання з осями

$$R \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}, R, R \ldotp$$

Таким чином, в той час як Y і Z розміри сфери (а отже, кожного твердого тіла незалежно від того, яка форма) не здаються модифікованими рухом, X вимір виявляється скороченим у співвідношенні 1:$sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}$, тобто чим більше значення v, тим більше скорочення. Для v = c всі рухомі об'єкти, які розглядаються з «стаціонарної» системи, згортаються до плоских фігур. ²⁷ Для швидкостей, більших за швидкість світла, наші обговорення стають безглуздими; однак, ми виявимо, що швидкість світла в нашій теорії відіграє роль, фізично, нескінченно великої швидкості.

Примітка

Тобто тіло, що володіє кулястою формою при огляді в спокої. —ЯК

Зрозуміло, що ті ж результати добре тримають тіла в стані спокою в «стаціонарній» системі, розглядаються з системи в рівномірному русі.

Далі ми уявляємо один з годин, які кваліфіковані для позначення часу t, коли в спокої щодо стаціонарної системи, і час,$\tau$ коли в спокої щодо рухомої системи, повинен бути розташований у початку координат k, і так відрегульований, щоб він позначав час$\tau$. Яка норма цього годинника, якщо дивитися зі стаціонарної системи?

Між величинами x, t$\tau$, і, які відносяться до положення годинника, ми маємо, очевидно, x = vt і

$$\tau = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \left( t - \dfrac{vx}{c^{2}} \right) \ldotp$$

Тому,

$$\tau = t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = t - \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}} \right) t$$

звідки випливає, що час, позначений годинником (розглядається в стаціонарній системі), повільний на 1 −$\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}$ секунди в секунду, або - нехтуючи величинами четвертого і вищого порядку - на$\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}$.

З цього випливає наступне своєрідне наслідок. Якщо в точках А і В К є стаціонарні годинники, які, розглядаючи в стаціонарній системі, синхронні; а якщо годинник на А переміщаються зі швидкістю v по лінії AB до B, то після його прибуття в B два годинника вже не синхронізуються, але годинник перемістилися з А в Б відстає від іншого, який залишився на рівні B$\frac{1}{2} \frac{tv^{2}}{c^{2}}$ (до величин четвертого і вищого порядку), t є часом, зайнятим у дорозі від А до Б.

Відразу видно, що цей результат все ще добре тримається, якщо годинник рухаються від А до Б в будь-якій багатокутній лінії, а також при збігу точок А і В.

Якщо припустити, що результат, доведений для полігональної лінії, також справедливий для безперервно вигнутої лінії, ми дійдемо до такого результату: Якщо один з двох синхронних годин на A переміщається по замкнутій кривій з постійною швидкістю, поки він не повернеться до A, подорожі тривалістю t секунд, то за годинником, який залишився на відпочинок подорожував годинник після його прибуття в А буде$\frac{1}{2} \frac{tv^{2}}{c^{2}}$ другий повільний. Звідси робимо висновок, що пружинний годинник на екваторі повинен йти повільніше, на дуже малу величину, ніж точно аналогічний годинник, розташований на одному з полюсів за інших однакових умов. ²⁸

Примітка

Ейнштейн вказує пружинний годинник («unruhuhr»), оскільки ефективне гравітаційне поле слабше на екваторі, ніж на полюсах, тому маятниковий годинник на екваторі працював би повільніше приблизно на дві частини на тисячу, ніж одна на північному полюсі, з нерелятивістських причин. Це повністю маскує будь-який релятивістський ефект, який, як він очікував, буде у порядку$\frac{v^{2}}{c^{2}}$, або приблизно 10 ⁻¹³. У будь-якому випадку пізніше з'ясувалося, що Ейнштейн помилився з приводу цього прикладу. Існує також гравітаційне розширення часу, яке скасовує кінематичний ефект. Див. Приклад 10. Два годинники насправді погодяться. —ДО Н.Е.

§ 5. склад швидкостей

У системі k, що рухається по осі X системи K зі швидкістю v, нехай точка рухається відповідно до рівнянь

$$\xi = w_{\xi} \tau, \quad \eta = w_{\eta} \tau, \quad \zeta = 0,$$

де$w_{\xi}$ і$w_{\eta}$ позначають константи.

Потрібно: рух точки щодо системи К. якщо за допомогою рівнянь перетворення, розроблених в § 3, ввести величини x, y, z, t в рівняння руху точки, отримаємо

$$\begin{split} x &= \frac{w_{\xi} + v}{1 + \frac{vw_{\xi}}{c^{2}}} t, \\ y &= \frac{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{vw_{\xi}}{c^{2}}} w_{\eta} t, \\ z &= 0 \ldotp \end{split}$$

Таким чином, закон паралелограма швидкостей справедливий згідно з нашою теорією лише до першого наближення. Встановлюємо ²⁹

$$\begin{split} V^{2} &= \left(\dfrac{dx}{dt} \right)^{2} + \left(\dfrac{dy}{dt} \right)^{2}, \\ w^{2} &= w^{2}_{\xi} + w^{2}_{\eta}, \\ a &= \tan^{-1} \frac{w_{\eta}}{w_{\xi}}, \end{split}$$

a потім слід розглядати як кут між швидкостями v і w. після простого обчислення отримаємо

$$V = \frac{\sqrt{(v^{2} + w^{2} + 2vw \cos a) - (vw \sin \frac{a}{c})^{2}}}{1 + vw \cos \frac{a}{c^{2}}} \ldotp$$

Примітка

Це рівняння було неправильно дано в оригінальному документі Ейнштейна та англійському перекладі 1923 року як a = tan ⁻¹$\frac{w_{y}}{w_{x}}$. —JW

Варто зауважити, що v і w входять у вираз для результуючої швидкості симетрично. Якщо ж ж має напрямок осі X, отримаємо

$$V = \frac{v + w}{1 + \frac{vw}{c^{2}}} \ldotp$$

З цього рівняння випливає, що зі складу двох швидкостей, менших за c, завжди виходить швидкість менше c, бо якщо встановити v = c −$\kappa$, w = c −$\lambda$,$\kappa$ і$\lambda$ будучи додатною і меншою за c, то

$$V = c \frac{2c - \kappa - \lambda}{2c - \kappa - \lambda + \frac{\kappa \lambda}{c}} < c \ldotp$$

Далі випливає, що швидкість світла c не може бути змінена складом зі швидкістю менше, ніж швидкість світла. Для цього випадку отримуємо

$$V = \frac{c + w}{1 + \frac{w}{c}} = c \ldotp$$

Ми також могли б отримати формулу для V, для випадку, коли v і w мають однаковий напрямок, шляхом складання двох перетворень відповідно до § 3. Якщо крім систем K і k, що фігурують в § 3, ввести ще одну систему координат k', що рухаються паралельно k, її початкова точка рухається по осі$\Xi$ ³⁰ зі швидкістю w, отримаємо рівняння між величинами x, y, z, t і відповідними величинами k', які відрізняються від рівнянь, знайдених в § 3, лише тим, що місце «v» займає величина

$$\frac{v + w}{1 + \frac{vw}{c^{2}}};$$

з якого ми бачимо, що такі паралельні трансформації—обов'язково—утворюють групу.

Примітка

«Х» в перекладі з англійської мови 1923 року. —JW

Зараз ми вивели необхідні закони теорії кінематики, відповідні двом нашим принципам, і переходимо до показу їх застосування до електродинаміки. ³¹

Примітка

Решту статті тут не наведено, але її можна отримати на веб-сайті Джона Уокера за адресою www.fourmilab.ch. —ДО Н.Е.

Дописувачі та атрибуція