10.3: Додаток А (частина 3)

«Чи залежить інерція тіла від його енергетичного вмісту?»

Ейнштейн, Аннален дер Фізика. 18 (1905) 639.

Результати попереднього розслідування призводять до дуже цікавого висновку, який тут слід вивести.

Я базував це дослідження на рівняннях Максвелла Герца для порожнього простору, разом з Максвеллівським виразом для електромагнітної енергії простору, і, крім того, принцип, що: —

Закони, за якими змінюються стани фізичних систем, не залежать від альтернативи, до якої з двох систем координат, при рівномірному русі паралельного перекладу відносно один одного, відносяться ці зміни стану (принцип відносності).

З цими принципами ³² в якості моєї основи я вивів, серед іншого, наступний результат (§ 8) :—

Нехай система плоских хвиль світла, що відноситься до системи координат (x, y, z), володіють енергією l; нехай напрямок променя (хвиля-нормаль) складають кут$\phi$ з віссю x системи. Якщо ввести нову систему координат ($\xi, \eta, \zeta$), що рухаються в рівномірному паралельному перекладі відносно системи (x, y, z) і мають своє походження координат в русі вздовж осі x зі швидкістю v, то ця кількість світла, виміряна в системі ($\xi, \eta, \zeta$), володіє енергією ³³

$$l^{*} = l \frac{1 - \frac{v}{c} \cos \phi}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$

де c позначає швидкість світла. Ми скористаємося цим результатом у наступному.

Нотатки

³² Принцип сталості швидкості світла, звичайно, міститься в рівняннях Максвелла. —ЯК

³³ Див. Розділ 4 проблема 11. —ДО Н.Е.

Нехай у системі буде нерухоме тіло (x, y, z), і нехай його енергія - віднесена до системи (x, y, z) дорівнює E ₀. Нехай енергія тіла щодо системи ($\xi, \eta, \zeta$) рухається як зазначено вище зі швидкістю v, дорівнює H ₀.

Нехай це тіло посилає, в напрямку, що робить кут$\phi$ з віссю х, плоских хвиль світла, енергії$\frac{1}{2}$ L вимірюється відносно (x, y, z), і одночасно рівну кількість світла в протилежному напрямку. Тим часом організм залишається в стані спокою по відношенню до системи (x, y, z). Принцип енергії повинен застосовуватися до цього процесу, а фактично (за принципом відносності) щодо обох систем координат. Якщо назвати енергію тіла після випромінювання світла Е _{1 або Н 1} відповідно, виміряної щодо системи (x, y, z) або ($\xi, \eta, \zeta$) відповідно, то, використовуючи відношення, наведене вище, отримаємо

$$\begin{split} E_{0} &= E_{1} + \frac{1}{2} L + \frac{1}{2} L, \\ H_{0} &= H_{1} + \frac{1}{2} L \frac{1 - \frac{v}{c} \cos \phi}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{1}{2} L \frac{1 + \frac{v}{c} \cos \phi}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \\ &= H_{1} + \frac{L}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \ldotp \end{split}$$

Шляхом віднімання отримаємо з цих рівнянь

$$H_{0} - E_{0} - (H_{1} - E_{1}) = L \Bigg\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - 1 \Bigg\} \ldotp$$

Дві відмінності форми H − E, що виникають у цьому виразі, мають прості фізичні значення. H і E - це енергетичні значення одного тіла, що відносяться до двох систем координат, які знаходяться в русі відносно один одного, тіло знаходиться в спокої в одній з двох систем (система (x, y, z)). Таким чином, зрозуміло, що різниця H − E може відрізнятися від кінетичної енергії K тіла, по відношенню до іншої системи ($\xi, \eta, \zeta$), тільки адитивною постійною С, яка залежить від вибору довільних адитивних констант ³⁴ енергій H і E. Таким чином, ми можемо розмістити

$$\begin{split} H_{0} - E_{0} &= K_{0} + C, \\ H_{1} - E_{1} &= K_{1} + C, \end{split}$$

так як С не змінюється під час випромінювання світла. Отже, у нас є

$$K_{0} - K_{1} = L \Bigg\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - 1 \Bigg\} \ldotp$$

Примітка

Потенційна енергія U визначається лише до адитивної константи. Якщо, наприклад, U залежить від відстані між частинками, а відстань зазнає стиснення Лоренца, немає підстав уявляти, що константа залишиться колишньою. —ДО Н.Е.

Кінетична енергія тіла по відношенню до ($\xi, \eta, \zeta$) зменшується в результаті випромінювання світла, а величина зменшення не залежить від властивостей тіла. Причому різниця K ₀ − K ₁, як і кінетична енергія електрона (§ 10), залежить від швидкості.

Нехтуючи величинами четвертого і вищого порядку ³⁵, ми можемо розмістити

$$K_{0} - K_{1} = \frac{1}{2} \frac{L}{c^{2}} v^{2} \ldotp$$

Примітка

Мета наближення - показати, що в реалістичних лабораторних умовах ефект точно імітує зміну ньютонівської маси.

З цього рівняння прямо випливає ³⁶, що: —

Якщо тіло виділяє енергію L у вигляді випромінювання, його маса зменшується на$\frac{L}{c^{2}}$. Той факт, що енергія, виведена з організму, стає енергією випромінювання, очевидно, не має ніякого значення, так що ми приводимо до більш загального висновку, що

Маса тіла - це міра його енерговмісту; якщо енергія змінюється на L, маса змінюється в тому ж сенсі на$\frac{L}{9}$ × 10 ²⁰, енергія вимірюється в ергах, а маса в грамах.

Не виключено, що з тілами, вміст енергії яких змінюється в значній мірі (наприклад, з солями радію), теорія може бути успішно випробувана.

Якщо теорія відповідає фактам, випромінювання передає інерцію між випромінюючими і поглинаючими тілами.

Примітка

Об'єкт має однакову швидкість v до і після випромінювання світла, тому це зниження кінетичної енергії доводиться пояснювати зміною маси. —ДО Н.Е.

«Основи загальної теорії відносності»

Ейнштейн, Аннален дер Фізика 49 (1916) 769.

[Односторінковий вступ, що стосується історії та особистостей, опущено. —BC]

A. Фундаментальні міркування щодо постулату відносності

§1. Спостереження за спеціальною теорією відносності

Спеціальна теорія відносності заснована на наступному постулаті, який також задовольняє механіка Галілея і Ньютона. Якщо система координат K підібрана так, щоб по відношенню до неї фізичні закони добре тримали в найпростішому вигляді, ті ж закони добре тримаються і по відношенню до будь-якої іншої системи координат K', що рухаються в рівномірному перекладі відносно К. цей постулат ми називаємо «особливим принципом відносності». Слово «особливий» мається на увазі інтимним, що принцип обмежується випадком, коли K' має рух рівномірного перекладу ³⁷ щодо K, але що еквівалентність K' і K не поширюється на випадок неоднорідного руху K' відносно К.

Примітка

Тут Ейнштейн визначає різницю між спеціальною та загальною відносністю відповідно до того, чи дозволені прискорені рамки відліку. Сучасна тенденція полягає в тому, щоб поставити цю відмінність з точки зору плоского та вигнутого просторового часу, так що прискорені рамки відліку в плоскому просторовому часі вважаються частиною спеціальної теорії відносності. Ніщо з цього не має нічого спільного зі здатністю описувати прискорені об'єкти. Наприклад, особлива відносність прекрасно здатна описати парадокс близнюків. —ДО Н.Е.

Таким чином, спеціальна теорія відносності відходить не від класичної механіки через постулат відносності, а через постулат сталості швидкості світла у вакуумі, з якого в поєднанні зі спеціальним принципом відносності випливають, відомим чином, відносність одночасності, Лоренціанське перетворення та пов'язані з ними закони поведінки рухомих тіл і годинників.

Модифікація, якій спеціальна теорія відносності піддала теорія простору і часу, дійсно далекосяжна, але один важливий момент залишився незмінним. Бо закони геометрії, навіть відповідно до спеціальної теорії відносності, слід інтерпретувати безпосередньо як закони, що стосуються можливих взаємних положень твердих тіл у спокої; і, більш загальним чином, закони кінематики слід інтерпретувати як закони, які описують відносини вимірювання корпусів і годинників. До двох обраних матеріальних точок нерухомого жорсткого тіла завжди відповідає відстань цілком певної довжини, яке не залежить від місцевості і орієнтації тіла, а також не залежить від часу. До двох обраних положень стрілок годинника в спокої щодо привілейованої системи відліку завжди відповідає інтервал часу певної довжини, який не залежить від місця і часу. Незабаром ми побачимо, що загальна теорія відносності не може дотримуватися цієї простої фізичної інтерпретації простору і часу. ³⁸

Примітка

Ейнштейн тільки починає викладати свій аргумент, і поки не дав зрозуміти, в якому сенсі ці твердження про місцезнаходження-незалежність годин і правителів можна було б емпірично перевірити. Пізніше стає зрозуміліше, що він має на увазі щось подібне. Ми могли б спробувати заповнити просторовий час гратами годинника і лінійки, синхронізувати годинник і побудувати решітку так, щоб вона складалася з прямих кутів і рівних відрізків ліній. Це досягає успіху в особливій відносності, так що геометрія простору-часу сумісна з рамками відліку, які розділяють простор-час на 3+1 виміри, де три виміри є евклідовими. Один і той же рецепт не вдається в загальній теорії відносності. —ДО Н.Е.

§2. Необхідність продовження постулату відносності

У класичній механіці, і не менше в спеціальній теорії відносності, є властивий гносеологічний дефект, на який, мабуть, вперше чітко вказував Ернст Мах. Ми з'ясуємо це на наступному прикладі: ³⁹ - Два рідких тіла однакового розміру і природи вільно парять в просторі на такій великій відстані один від одного і від всіх інших мас, що потрібно враховувати тільки ті гравітаційні сили, які виникають внаслідок взаємодії різних частин. одного і того ж корпусу. Нехай відстань між двома тілами буде незмінним, і ні в одному з тіл не допускайте будь-яких відносних рухів частин відносно один одного.

Примітка

Цей приклад був описаний в розділі 3.6. —ДО Н.Е.

Але нехай або маса, як судить спостерігач в спокої щодо іншої маси, обертається з постійною кутовою швидкістю навколо лінії, що з'єднує маси. Це перевіряється відносний рух двох тіл. Тепер уявімо, що кожне з тіл було обстежено за допомогою вимірювальних приладів у спокої відносно себе, і нехай поверхня S ₁ виявляється сферою, а поверхня S ₂ - еліпсоїдом обертання. Після цього ми ставимо питання — у чому причина такої різниці в двох тілах? Жодна відповідь не може бути визнана гносеологічно задовільною, ⁴⁰, якщо дана причина не є помітним фактом досвіду. Закон причинності не має значення твердження щодо світу досвіду, за винятком випадків, коли спостережувані факти в кінцевому підсумку з'являються як причини та наслідки.

Примітка

Звичайно, відповідь може бути задовільною з точки зору гносеології, і все ж бути нерозумною фізично, якщо вона конфліктує з іншими переживаннями. —ЯК

Ньютонівська механіка не дає задовільної відповіді на це питання. Він вимовляється так: — Закони механіки застосовуються до простору R ₁, щодо якого тіло S ₁ знаходиться в стані спокою, але не до простору R ₂, щодо якого тіло S ₂ знаходиться в стані спокою. Але привілейований простір R ₁ Галілея, введений таким чином, є просто фіктивною причиною ⁴¹, а не річ, яку можна спостерігати. Тому зрозуміло, що механіка Ньютона насправді не задовольняє вимогу причинності в розглянутому випадку, а лише очевидно, робить це, оскільки робить фактивну причину R ₁ відповідальною за спостережувану різницю в тілах S ₁ і S ₂.

Примітка

тобто штучний —BC

Єдиною задовільною відповіддю має бути те, що фізична система, що складається з S ₁ і S ₂, виявляє всередині себе жодної мислимої причини, до якої можна віднести різну поведінку S ₁ і S ₂. Тому причина повинна лежати поза цією системою. Ми повинні вважати, що загальні закони руху, які, зокрема, визначають форми S ₁ і S ₂, повинні бути такими, що механічна поведінка S ₁ і S ₂ частково обумовлена досить істотними аспектами, віддаленими масами, які ми не включили. в даній системі. Ці віддалені маси та їх рухи щодо S ₁ та S ₂ повинні розглядатися як місце причин (які повинні бути сприйнятливі до спостереження) різної поведінки наших двох тіл S ₁ та S ₂. Вони беруть на себе роль штучної причини R ₁. З усіх уявних просторів R ₁, R ₂ тощо, у будь-якому русі відносно один одного немає жодного, на який ми можемо апріорі розглядати як привілейований, не відроджуючи вищезгадане гносеологічне заперечення. Закони фізики повинні бути такого характеру, щоб вони застосовувалися до систем відліку в будь-якому виді руху. ⁴² По цій дорозі ми приходимо до продовження постулату відносності.

Примітка

В цей час Ейнштейн покладав великі надії на те, що його теорія буде повністю Макіана. Він вже знав про рішення Шварцшильда (він посилається на нього в кінці статті), яке образило його макінські чутливості, оскільки воно ставило властивості простору-часу у Всесвіті, що містить лише одну точку-масу. У цьому прикладі тіл S ₁ і S ₂ загальна відносність насправді виявляється, щоб дати не-Макіановий результат, який Ейнштейн тут каже, був би незадовільним. —ДО Н.Е.

На додаток до цього вагомого аргументу з теорії знань, існує відомий фізичний факт, який сприяє розширенню теорії відносності. Нехай К - галілеевская система відліку, тобто система, щодо якої (по крайней мере, в розглянутій чотиривимірній області) маса, досить віддалена від інших мас, рухається рівномірним рухом по прямій. Нехай K 'є другою системою відліку, яка рухається відносно K у рівномірно прискореному перекладі. Тоді щодо К 'маса, досить віддалена від інших мас, мала б прискорений рух таким чином, що її прискорення і напрямок прискорення не залежать від матеріального складу і фізичного стану маси.

Чи дозволяє це спостерігачеві в спокої відносно K 'зробити висновок, що він знаходиться на «дійсно» прискореній системі відліку? Відповідь негативна; бо вищезгадане відношення вільно рухомих мас до K 'можна інтерпретувати однаково добре наступним чином. Система відліку K 'є неприскореною, але розглянута просторово-часова територія знаходиться під впливом гравітаційного поля, яке породжує прискорений рух тіл відносно K'.

Такий погляд стає можливим для нас завдяки навчанню досвіду про існування силового поля, а саме гравітаційного поля, яке володіє чудовою властивістю надавати однакове прискорення всім тілам. ⁴³ Механічна поведінка тіл відносно K 'така ж, як представляє себе досвід у випадку систем, які ми не будемо вважати «стаціонарними» або «привілейованими». Тому, з фізичної точки зору, припущення легко говорить про те, що системи K і K 'можуть як з однаковим правом розглядатися як «стаціонарні», тобто вони мають рівну назву як системи відліку для фізичного опису явищ.

Примітка

Етвеш експериментально довів, що гравітаційне поле має цю властивість з великою точністю. —ЯК

З цих роздумів буде видно, що, дотримуючись загальної теорії відносності, ми будемо приведені до теорії гравітації, оскільки ми можемо «виробляти» гравітаційне поле лише шляхом зміни системи координат. Також буде очевидно, що принцип сталості швидкості світла у вакуумі повинен бути змінений, оскільки ми легко визнаємо, що шлях променя світла по відношенню до K 'повинен бути загалом криволінійним, якщо щодо K світло поширюється по прямій лінії з певним постійна швидкість.

§3. Просторово-часовий континуум. Вимога загальної коваріації для рівнянь, що виражають загальні закони природи

У класичній механіці, а також в спеціальній теорії відносності координати простору і часу мають пряме фізичне значення. _{Сказати, що точка-подія має координату X 1 x 1 означає, що проекція точки-події на вісь X 1, визначена жорсткими стрижнями і відповідно до правил евклідової геометрії, виходить шляхом вимірювання заданого стрижня (одиниці довжини) х 1} разів від початку координат уздовж осі X ₁. Сказати, що точка-подія має координату X ₄ x ₄ = t, означає, що стандартний годинник, зроблений для вимірювання часу в певному одиничному періоді, і який є нерухомим щодо системи координат і практично збігається в просторі з точкою-подією, ⁴⁴ матиме вимірюється від х ₄ = t періодів при настанні події.

Примітка

Ми припускаємо можливість перевірки «одночасності» для подій, безпосередньо наближених у просторі, або — якщо говорити точніше — на безпосередню близькість або збіг у простору-часі, не даючи визначення цьому фундаментальному поняттю. —ЯК

Такий погляд на простір і час завжди був у свідомості фізиків, навіть якщо, як правило, вони не усвідомлювали його. Це зрозуміло з тієї частини, яку ці поняття відіграють у фізичних вимірах; це також повинно було лежати в основі роздумів читача про попередній абзац, щоб він пов'язував будь-яке значення з тим, що він там читав. Але зараз ми покажемо, що ми повинні відкласти його в сторону і замінити його більш загальним поглядом, щоб мати можливість провести через постулат загальної відносності, якщо спеціальна теорія відносності застосовується до особливого випадку відсутності гравітаційного поля.

У просторі, вільному від гравітаційних полів, введено галілеєву систему відліку K (x, y, z, t), а також систему координат K' (x', y', z', t') у рівномірному обертанні ⁴⁵ відносно K. Нехай витоки обох систем, а також їх осі Z постійно збігаються. Ми покажемо, що для вимірювання простору-часу в системі K' вищевказане визначення фізичного значення довжин і часу не може бути збережено. З міркувань симетрії зрозуміло, що коло навколо початку в площині X, Y K може одночасно розглядатися як коло в площині X ', Y' від K'. Ми припускаємо, що окружність і діаметр цього кола були виміряні з одиницею виміру нескінченно малі порівняно з радіусом, і що ми маємо частку двох результатів. Якби цей експеримент проводився з вимірювальним стрижнем ⁴⁶ в спокої щодо галілеєвої системи К, частка була б$\pi$. З вимірювальним стрижнем у спокої відносно K ', частка буде більше, ніж$\pi$. Це легко зрозуміти, якщо передбачити весь процес вимірювання від «стаціонарної» системи К, і взяти до уваги, що вимірювальний стрижень, застосований до периферії, піддається лоренціанському стисненню, тоді як той, що застосовується по радіусу, - ні. ⁴⁷ Отже, евклідова геометрія не застосовується до K '. Поняття координат, визначене вище, що передбачає обґрунтованість евклідової геометрії, тому руйнується по відношенню до системи K'. Отже, ми також не можемо ввести час, що відповідає фізичним вимогам у K ', позначений годинником у спокої відносно K'. Щоб переконати себе в цій неможливості, уявімо два годинника однакової конституції, розміщені, один біля початку координат, а інший - по окружності кола, причому обидва передбачені з «стаціонарної» системи К. знайомим результатом спеціальної теорії відносності годинник на окружність - судять з K - йде повільніше, ніж інша, тому що перша знаходиться в русі, а друга в стані спокою. Спостерігач із загальним походженням координат, здатний спостерігати за годинником по колу за допомогою світла, тому бачить, що він відстає від годинника поруч з ним. Оскільки він не вирішить дозволити швидкості світла вздовж відповідного шляху явно залежати від часу, він буде інтерпретувати свої спостереження як показ того, що годинник в окружності «дійсно» йде повільніше, ніж годинник на початку. Так він буде зобов'язаний визначити час таким чином, щоб частота годин залежала від того, де можуть перебувати годинник.

Нотатки

⁴⁵ Цей приклад обертової системи відліку розглядався в розділі 3.5. —ДО Н.Е.

⁴⁶ Ейнштейн неявно припускає, що вимірювальні стрижні абсолютно жорсткі, але не очевидно, що це можливо. Це питання розглядається в розділі 3.5. —ДО Н.Е.

⁴⁷ Як описано в розділі 3.5, Еренфест спочатку уявляв, що окружність диска буде зменшена за рахунок його обертання. Його аргумент був невірним, оскільки передбачав можливість запуску обертання диска, коли він спочатку перебував у стані спокою. Цей документ вперше відзначає, що Ейнштейн стверджував протилежне, що окружність збільшується. —ДО Н.Е.

Тому ми досягаємо цього результату: — У загальній теорії відносності простір і час не можуть бути визначені таким чином, що відмінності просторових координат можуть бути безпосередньо виміряні одиницею виміру стрижня, або відмінності в часовій координаті стандартним годинником.

Метод, який досі застосовувався для закладення координат у просторово-часовий континуум певним чином, таким чином, руйнується, і, здається, немає іншого способу, який би дозволив нам адаптувати системи координат до чотиривимірного Всесвіту, щоб ми могли очікувати від їх застосування особливо простого формулювання законів природи. Так що немає нічого, крім як розцінювати всі мислимі системи координат, в принципі, однаково придатні для опису природи. ⁴⁸ Це стосується того, щоб вимагати, щоб: -

Загальні закони природи повинні виражатися рівняннями, які добре підходять для всіх систем координат, тобто є коваріантними щодо будь-яких замін (загалом коваріантних). ⁴⁹

Нотатки

⁴⁸ Це концептуальний стрибок, а не прямий висновок з аргументу про обертовий кадр. Ейнштейн почав думати про цей аргумент у 1912 році і зробив висновок з нього, що він повинен базувати теорію гравітації на неевклідовій геометрії. Під впливом Леві-Чівіти, він намагався здійснити цей проект координатно-незалежним способом, але спочатку він провалився, і деякий час досліджував теорію, яка не була координатно-незалежною. Лише пізніше він повернувся до координатно-незалежності. Тоді повинно бути зрозуміло, що зв'язок між аргументом обертається кадру та координатно-незалежністю була не такою чіткою, як це робить тут Ейнштейн, оскільки він сам втратив віру в це на деякий час. —ДО Н.Е.

⁴⁹ У цій книзі я використав більш прозору термінологію «координувати незалежність», а не «загальну коваріацію». —ДО Н.Е.

Зрозуміло, що фізична теорія, яка задовольняє цей постулат, також підійде для загального постулату відносності. ⁵⁰ До суми всіх підстав в будь-якому випадку входять ті, які відповідають всім відносним рухам тривимірних систем координат. Те, що ця вимога загальної коваріації, яка забирає з простору та часу останній залишок фізичної об'єктивності, ⁵¹, є природною, буде видно з наступного відображення. Всі наші просторово-часові перевірки незмінно складають визначення просторово-часових збігів. ⁵² Якщо, наприклад, події полягали лише у русі матеріальних точок, то в кінцевому підсумку нічого не можна було б спостерігати, крім зустрічей двох або більше цих пунктів. Більш того, результати наших вимірювань - це не що інше, як перевірки таких зустрічей матеріальних точок наших вимірювальних приладів з іншими матеріальними точками, збігів між стрілками годинника і точок на годиннику-циферблаті, а також спостережуваних точкових подій, що відбуваються в одному і тому ж місці одночасно.

Нотатки

⁵⁰ Докладніше про цей момент див. Розділ 3.7. —ДО Н.Е.

⁵¹ Це крайня інтерпретація загальної коваріації, і така, яку Ейнштейн сам не тесив близько до пізніше. Він представив майже діаметрально протилежну інтерпретацію в філософській роботі «Про ефір», Schweizerische naturforschende Gesellschaft 105 (1924) 85. —ДО Н.Е.

⁵² тобто те, що ця книга називає вимірюваннями захворюваності (розділ 3.4) —BC

Впровадження системи відліку служить не іншій меті, як полегшити опис сукупності таких збігів. Ми виділяємо Всесвіту чотири просторово-часові змінні x ₁, x ₂, x ₃, x ₄ таким чином, щоб для кожної точки-події існувала відповідна система значень змінних x ₁. x ₄. Дві збігаються точки-події відповідає одна система значень змінних x ₁. x ₄, тобто збіг характеризується ідентичністю координат. Якщо замість змінних x ₁.. x ₄, ми введемо функції з них, x' ₁, x' ₂, x' ₃, x' ₄, як нову систему координат, так що системи значень зроблені так, щоб відповідати один одному без двозначності, то рівність всіх чотирьох координат в новій системі також буде служити виразом для просторово-часового збігу двох точок-подій. Оскільки весь наш фізичний досвід в кінцевому підсумку може бути зведений до таких збігів, немає безпосередньої причини віддавати перевагу певним системам координат іншим, тобто ми приходимо до вимоги загальної коваріації.

Автори та атрибуція