10.4: Додаток C

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77547

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Евклідова геометрія

E1 Дві точки визначають лінію.

Відрізки лінії E2 можуть бути розширені.

E3 Унікальне коло може бути побудовано з урахуванням будь-якої точки як його центру і будь-якого відрізка лінії як його радіус.

E4 Всі прямі кути рівні один одному.

E5 Паралельний постулат: З огляду на лінію і точку, яка не знаходиться на лінії, через точку можна провести рівно одну лінію і паралельно заданій лінії. ¹

Примітка

Це форма, відома як аксіома Playfair, а не версія постулату, спочатку надана Евклідом.

замовлена геометрія

O1 Дві події визначають лінію.

Відрізки лінії O2 можуть бути розширені: задані A і B, є принаймні одна подія така, що [ABC] є істинним.

Лінії O3 не обертаються навколо: якщо [ABC] вірно, то [BCA] є помилковим.

O4 Міжостість: Для будь-яких трьох різних подій A, B та C, що лежать на одній лінії, ми можемо визначити, чи знаходиться B між A та C (і за твердженням 3 цей порядок є унікальним, за винятком можливого загального розвороту для формування [CBA]).

Аффінна геометрія

Крім O1-O4 постулюють наступні аксіоми:

A1 Конструктивність паралелограмів: З урахуванням будь-яких P, Q і R існує S такий, що [PQRS], і якщо P, Q і R різні, то S є унікальним.

A2 Симетрична обробка сторін паралелограма: якщо [PQRS], то [QRSP], [QPSR] і [PRQS].

Лінії A3, паралельні одній лінії, паралельні одна одній: якщо [ABCD] і [ABEF], то [CDEF].

Експериментально мотивовані заяви про лоренціанську геометрію

L1 SpaceTime однорідний і ізотропний. Жодна точка не має особливих властивостей, які роблять її помітною від інших точок, а також не відрізняється один напрямок від іншого.

L2 Інерційні системи відліку існують. Це кадри, в яких частинки рухаються з постійною швидкістю, якщо не піддаються будь-яким силам. Побудувати такий каркас можна, використовуючи в якості точки відліку ту чи іншу частку, яка не піддається будь-яким зусиллям.

L3 Еквівалентність інерційних кадрів: Якщо кадр знаходиться в поступальному русі з постійною швидкістю відносно інерційного кадру, то він також є інерційною рамкою. Жоден експеримент не зможе відрізнити одну інерційну рамку від іншої.

L4 Причинність: Існують події 1 і 2 такі, що t ₁ < t ₂ у всіх кадрах.

L5 Відносність часу: Існують події 1 і 2 та системи відліку (t, x) та (t', x ') такі, що t ₁ < t ₂, але t' ₁ > t' ₂.

Заяви принципу еквівалентності

Прискорення і гравітаційні поля рівнозначні. Не існує експерименту, який би міг відрізнити одне від іншого (розділ 1.5).

Завжди можна визначити локальний кадр Лоренца в певному районі простору-часу (розділ 1.5).

Немає можливості зв'язати бажане тензорне поле з простором часу (розділ 4.4).

Вектори

Координати взагалі не можуть бути додані до множника, тому вони не утворюють векторного простору, але нескінченно малі відмінності координат можуть і роблять. Векторний простір, в якому існують різниці координат, є різним простором у кожній точці, який називається дотичним простором у цій точці (див. Розділ 7.1).

Вектори записуються абстрактними позначеннями індексу з верхніми індексами, x ^a, і представлені векторами стовпців, стрілками або пташиними доріжками з вхідними стрілками, → x.

Подвійні вектори, також відомі як ковектори або 1-форми, записуються в абстрактних індексних позначеннях з нижчими індексами, xa, і представлені векторами рядків, впорядкованими парами паралельних ліній (див. Розділ 2.1), або пташиними доріжками з вихідними стрілками, ← x.

У позначеннях конкретних індексів x ^\(\mu\)є списком чисел, які називаються контраваріантними компонентами вектора, тоді як x _\(\mu\)буде коваріантними компонентами подвійного вектора.

Принципово відмінність між двома типами векторів визначається законами тензорного перетворення, розділ 4.3. Наприклад, показання одометра є контрастним, оскільки перетворення його з кілометрів на метри збільшує його. Градієнт температури є коваріантним, оскільки перетворення його з градусів/км в градуси/м зменшує його.

За відсутності метрики кожна фізична величина має певний векторний або подвійний векторний характер. Нескінченно малі різниці координат dx a та швидкості dx a/ dτ є векторами, тоді як імпульс pa та сила Fa подвійні (див. Розділ 4.3). Багатьом звичайним і цікавим реальним системам відсутня метрика (див. Розділ 2.1). Коли метрика присутня, ми можемо підвищувати та знижувати індекси за бажанням. Існує ідеальна симетрія подвійності між двома типами векторів, але ця симетрія порушується умовністю про те, що вимірювання за допомогою лінійки є\(\Delta\) x ^a, а не\(\Delta\) x _a.

Для узгодженості із законами трансформації диференціація щодо кількості перевертає індекс, наприклад,\(\partial_{\mu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\). Оператори часто\(\partial \mu\) використовуються як базисні вектори для дотичної площини. Загалом, вираження векторів в основі за допомогою умовності про позначення Ейнштейна призводить до потворного нотаційного зіткнення, описаного в розділі 7.1.