7.E: Симетрії (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77736

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У прикладі 3 наведено вектори Killing$\partial_{z}$ і$\partial_{\phi}$ циліндра. Якщо ми виражаємо їх натомість як два лінійно незалежні вектори вбивства, які є лінійними комбінаціями цих двох, яка геометрична інтерпретація?
Розділ 7.4 розповів історію Аліси, яка намагалася знайти докази того, що її простор-час не є стаціонарним, а також перераховані наступні приклади космічних часів, які не були стаціонарними: (а) Сонячна система, (б) космологічні моделі, (в) гравітаційні хвилі, що поширюються зі швидкістю світла, і (г) хмара речовини зазнає гравітаційного колапсу. Для кожного з них покажіть, що Аліса може виконати свою місію.
Якщо просторовий час має певну симетрію, то ми очікуємо, що симетрія буде виявлена у поведінці скалярів кривизни, таких як скалярна кривизна R = R ^_a та інваріант Кретчмана k = R ^abcd R _abcd.
1. Показати, що метрика $$ds^ {2} = e^ {2gz} dt^ {2} - dx^ {2} - dy^ {2} - dz^ {2} $з розділу 7.5 має постійні значення R = 1/2 і k = 1/4. Зауважте, що пакет ctensor Maxima має вбудовані функції для них; вам слід викликати lriemann та uriemann перед їх викликом.
2. Аналогічно показують, що метрика Петрова $$ds^ {2} = -др^ {2} - e^ {-2r} дз^ {2} + e^ {r} [2\ sin\ sqrt {3} r d\ phi dt -\ cos\ sqrt {3} r (d\ phi^ {2} - dt^ {2}] $має R = 0 і k = 0.
У розділі 7.5 представлена метрика Петрова. Мета цієї проблеми полягає в тому, щоб переконатися, що гравітаційне поле, яке воно представляє, не падає з відстанню. Для простоти, давайте обмежимо нашу увагу частинкою, що виділяється при r такий, що cos$\sqrt{3}$ r = 1, так що t - часова координата. Нехай частинка буде випущена в спокої в тому сенсі, що спочатку вона має$\dot{z} = \dot{r} = \dot{\phi} = 0$, де точки представляють диференціацію щодо належного часу частинки. Показати, що величина правильного прискорення не залежить від r.
Ідея про те, що кадр «обертається» в загальній теорії відносності, можна формалізувати, сказавши, що кадр нерухомий, але не статичний. Припустимо, хтось говорить, що будь-яке обертання повинно мати центр. Наведемо зустрічний приклад.