2.4: Інші аксіоматизації

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.3: Додаткові постулати
- 2.5: Лемма - Просторово-часова область інваріантна

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

постулати Ейнштейна
Постулати Лорана

постулати Ейнштейна

Ейнштейн використовував іншу аксіоматизацію у своїй статті 1905 року про спеціальну відносність: ¹

E1: Принцип відносності

Закони електродинаміки і оптики справедливі для всіх систем відліку, за якими рівняння механіки тримаються добре.

E2: Поширення світла

Світло завжди поширюється в порожньому просторі з певною швидкістю, $c$ яка не залежить від стану руху випромінюючого тіла.

Вони повинні бути доповнені нашими P2 і P3. Підхід Ейнштейна рабски дотримувався в багатьох пізніших підручниках презентацій, хоча особлива роль, яку він відводить світлу, не узгоджується з тим, як сучасні фізики думають про фундаментальну структуру законів фізики. (У 1905 році не було іншого явища, відомого для подорожей $c$ .) Ейнштейн явно не заявив нічого подібного до нашого P2 (площинності), оскільки він ще не розробив теорію загальної відносності або ідею представлення гравітації в відносності як кривизни простору-часу. Коли він опублікував загальну теорію, він описав відмінність між спеціальною та загальною відносністю як узагальнення класу прийнятних кадрів відліку для включення прискореного, а також інерційного кадрів. Цей опис не витримало випробування часом, і сьогодні релятивісти використовують площинність як відмітний критерій. Зокрема, це неправда, як іноді ще чує стверджував, що особлива відносність несумісна з прискореними рамками відліку.

Максимальний час

Інший підхід, представлений, наприклад, Laurent, ² поєднує наш P2 з наступним:

t1: Метрична

Внутрішній продукт існує. Правильний час вимірюється квадратним коренем внутрішнього продукту світової лінії з собою.

T2: Максимальний належний час

Інерційний рух дає світову лінію, вздовж якої належний час знаходиться на максимумі щодо невеликих змін у світовій лінії. Інерційний рух моделюється векторами та паралелізмом, і цей векторно-космічний апарат має звичайні алгебраїчні властивості по відношенню до внутрішнього добутку, згаданого в Т1, наприклад,

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Концептуально T2 схожий на визначення лінії як найкоротшого шляху між двома точками, за винятком того, що ми визначаємо геодезичну як найдовшу (чотири наші $+---$ підписи).

Порівняння систем

Корисно порівнювати аксіоматизації $P$ $E$ , причому $T$ з розділів 2.1 - 2.4 один з одним, щоб отримати уявлення про те, скільки «приміщення для похитування» існує в побудові теорій простору-часу. Оскільки вони логічно еквівалентні, будь-яке твердження, що відбувається в одній аксіоматизації, може бути доведено як теорема в будь-якому з інших. Наприклад, ми можемо задатися питанням, чи можна оснастити галілеєвий простор-час метрикою. Відповідь - ні, оскільки система з метрикою задовольняла б аксіоми системи $T$ , які логічно еквівалентні нашій системі $P$ . Основна причина цього полягає в тому, що в галілеївському просторічасу немає природного способу порівняти шкали відстані і часу.

Або ми могли б запитати, чи можна складати варіації на тему особливої відносності, альтернативних теорій, властивості яких певним чином відрізняються. Система $P$ показує, що це навряд чи вдасться, не порушивши симетрію простору-часу. Іншим цікавим прикладом є подвійно-спеціальна відносність Амеліно-Камелії, ³, в якій ми маємо як інваріантну швидкість $L$ , так $c$ і $p$ інваріантну довжину, яка вважається довжиною Планка:

$L=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}.$

Інваріантність цієї довжини суперечить існуванню скорочення довжини. Для того, щоб змусити свою теоретичну роботу, Амеліно-Камелія зобов'язаний припустити, що вектори енергії-імпульсу (Розділ 4.3) мають свій особливий внутрішній твір, який порушує алгебраїчні властивості, згадані в Т2.

Посилання

Перефразовано з перекладу У. Перретта та Г.Б. Джеффрі.
Бертель Лоран, Вступ до SpaceTime: Перший курс з відносності
Відносність у просторових часах із структурою коротких відстаней, що регулюється незалежною від спостерігача (планкської) шкалою довжини