6.4: Чорні діри (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77596

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Сингулярності

Провокаційна особливість метрики Шварцшильда полягає в тому, що в ній є елементи, які вибухають в\(r = 0\) і при\(r = 2m\). Якщо це опис сонця, наприклад, то ці особливості не мають фізичного значення, оскільки ми вирішили лише рівняння поля Ейнштейна для вакуумної області поза сонцем, тоді як лежали\(r = 2m\) б приблизно в 3 км від центру сонця. Крім того, можливо, що одна або обидві ці особливості є не що інше, як місце, де наша система координат погано поводиться. Це було б відоме як координатна сингулярність. Наприклад, метрика звичайних полярних координат в евклідовій площині має\(g^{\theta \theta} → \infty\) як\(r → 0\).

Одним із способів перевірити, чи є сингулярність координатною сингулярністю, є обчислення скалярної міри кривизни, значення якої не залежить від системи координат. Ми можемо взяти слід тензора Річчі\(R^a_a\), відомого як скалярна кривизна або скаляр Річчі, але оскільки тензор Річчі дорівнює нулю, не дивно, що це нуль. Інший скаляр, який ми можемо побудувати, - це\(R^{abcd}R_{abcd}\) добуток тензора Рімана з самим собою. Це відомо як інваріант Кречмана. Команда Maxima lriemann (true) відображає незникаючі компоненти R _abcd Компонент, який поводиться найсуворіше при r = 0, є R _trrt =\(\frac{2m}{r^{3}}\). Через це інваріант Кречмана вибухає як\(r^{−6}\) як\(r → 0\). Це показує, що сингулярність при r = 0 є реальною фізичною сингулярністю.

Сингулярність при\(r = 2m\), з іншого боку, виявляється лише координатною сингулярністю. Щоб довести це, ми повинні використовувати деяку техніку, крім побудови скалярних мір кривизни. Навіть якщо кожен такий скаляр, який ми будуємо, є кінцевим\(r = 2m\), що не доводить, що кожен такий скаляр, який ми могли б побудувати, також добре поводиться. Ми можемо замість цього шукати якусь іншу систему координат, в якій висловити рішення польових рівнянь, той, в якому немає такої сингулярності. Частково успішна зміна координат метрики Шварцшильда, знайденої Еддінгтоном в 1924 році, є (див. Задача 8):

\[t → t' = t − 2m \ln(r −2m).\]

Це робить коваріантну метрику кінцевою на\(r = 2m\), хоча контраваріантна метрика все ще вибухає там. Більш складна зміна координат, яка повністю усуває сингулярність,\(r = 2m\) була знайдена Еддінгтоном і Фінкельштейном в 1958 році, встановивши, що сингулярність була лише координатною сингулярністю. Таким чином, якщо спостерігачеві так не пощастить, що впасти в чорну діру, він не буде піддаватися нескінченним приливним напруженням - або нескінченним чим-небудь - при\(r = 2m\). Він може взагалі не помітити нічого особливого в своєму місцевому оточенні. (Або він, можливо, вже мертвий, тому що приливні стреси при\(r > 2m\), хоча і кінцеві, все ж були досить великими, щоб вбити його.)

Горизонт подій

Незважаючи на те,\(r = 2m\) що це не справжня сингулярність, там відбуваються цікаві речі. Бо\(r < 2m\), ознака\(g_{tt}\) стає негативним, в той час як\(g_{rr}\) позитивним. У нашому підписі + − −− ця інтерпретація має наступну інтерпретацію. Для світової лінії матеріальної частинки\(ds^2\) передбачається квадрат належного часу частинки, і він завжди повинен бути позитивним. Якби частка мала постійне значення\(r\), бо\(r < 2m\), вона мала б\(ds^2 < 0\), що неможливо.

Тимчасові та просторові символи\(r\) та\(t\) координати були замінені місцями, тому\(r\) діє як часова координата.

Таким чином, для об'єкта досить компактний, що\(r = 2m\) є зовнішнім,\(r = 2m\) є горизонт подій: майбутні світлові конуси перекидаються настільки далеко, що вони не дозволяють причинно-наслідковим зв'язкам з'єднуватися з простором-часом зовні. У відносності горизонти подій відбуваються не лише в контексті чорних дір; їх властивості та деякі наслідки для чорних дір вже обговорювалися в розділі 6.1.

Гравітаційне часове розширення в полі Шварцшильда відносно годинника на нескінченності задається квадратним коренем\(g_{tt}\) компонента метрики. Це йде до нуля на горизонті подій, а це означає, що, наприклад, фотон, що випромінюється з горизонту подій, буде нескінченно червоним зміщенням, коли він досягне спостерігача на нескінченності. Це має сенс, тому що фотон тоді неможливо виявити, як це було б, якби він був випущений зсередини горизонту подій.

Западання матерії

Якщо матерія падає в чорну діру, то через часове розширення спостерігач на нескінченності «бачить» цю речовину як уповільнення все більше і більше, коли вона наближається до горизонту. Це має деякі контрінтуїтивні ефекти. Радіально запалюється частинка має

\[\frac{d^{2} r}{dt^{2}} > 0\]

як тільки він падає повз певний момент, який можна трактувати як гравітаційне відштовхування. Спостерігач на нескінченності також може бути змушений описати чорну діру як складається з порожньої сферичної оболонки матерії, яка ніколи не проходила через горизонт. Якщо запитати, що тримає снаряд, спостерігач міг би сказати, що він утримується гравітаційним відштовхуванням.

Насправді нічого поганого в цьому немає, але слід розуміти, що це лише один можливий опис в одній можливій системі координат. Спостерігач, що ширяє безпосередньо за горизонтом подій, бачить зовсім іншу картину, причому матерія падає повз зі швидкостями, які наближаються до швидкості світла, коли справа доходить до горизонту подій. Якщо атом випромінює фотон з горизонту подій, зависаючий спостерігач бачить його нескінченно червоним зміщенням, але пояснює червоний зсув як кінематичний, а не гравітаційний.

Ми можемо собі уявити ще третього спостерігача, того, хто вільно падає разом з падаючою матерією. На думку цього спостерігача, гравітаційне поле завжди дорівнює нулю, і пройти через горизонт подій потрібно лише кінцевий час.

Якщо від гравітаційного колапсу хмари матерії утворилася чорна діра, то деякі наші спостерігачі можуть сказати, що «прямо зараз» матерія розташована в сферичній оболонці на горизонті подій, інші ж можуть сказати, що вона зосереджена при нескінченно щільної сингулярності в центрі. Оскільки одночасність не дуже чітко визначена в відносності, не дивно, що вони не погоджуються з тим, що відбувається «прямо зараз». Незалежно від того, де вони кажуть, що справа, всі вони погоджуються з кривизною простору-часу. Насправді теорема Біркгофа говорить нам, що будь-який сферично симетричний вакуумний простор є Шварцшильдом за формою, тому не має значення, де ми говоримо, що справа, якщо вона розподілена сферично симетрично і оточена вакуумом.

Особливо приємним способом узагальнення та розуміння цих питань є використання діаграми Пенроуза, як обговорюється в розділі 7.3.

Очікуване формування

Ейнштейн і Шварцшильд не вірили, однак, що будь-яка з цих особливостей метрики Шварцшильда була більш ніж математичною цікавістю, і термін «чорна діра» був придуманий тільки в 1967 році Джоном Уілером. У наші дні є досить багато доказів того, що наш Всесвіт дійсно містить об'єкти, які зазнали повного гравітаційного колапсу, в тому сенсі, що їх маса M міститься в радіусі\(r \lesssim M\) (в геометризованих одиницях). Ці об'єкти, ймовірно, є чорними дірами, хоча останнім часом виникають сумніви щодо того, чи є вони насправді іншими об'єктами, такими як оголені особливості. ¹⁰ Припускаючи, що чорні діри дійсно існують, виникає також питання про те, які розміри вони входять.

Ми можемо наївно очікувати, що оскільки гравітація є привабливою силою, існувала б тенденція до того, щоб будь-яка споконвічна хмара газу або пилу спонтанно руйнувалася в чорну діру. Але хмари розміром менше близько 0,1 М _\(\odot\)(0,1 сонячної маси) утворюють планети, які досягають постійної рівноваги між гравітацією і внутрішнім тиском. Більш важкі об'єкти ініціюють ядерний синтез, але ті, у яких маса вище близько 100 М _\(\odot\), негайно розриваються власними сонячними вітрами. У діапазоні від 0,1 до _\(\odot\)100М утворюються зірки. Як обговорювалося в розділі 4.4, ті, у кого маса перевищує приблизно кілька М, як очікується _\(\odot\), утворюють чорні діри, коли вони вмирають. Тому ми очікуємо, на теоретичних підставах, що Всесвіт повинен містити чорні діри з масами, що варіюються від декількох сонячних мас до декількох десятків сонячних мас.

Спостережні докази

Очікується, що чорна діра буде дуже компактним об'єктом, з сильним гравітаційним полем, який не випромінює жодного власного світла. Голу, ізольовану чорну діру було б важко виявити, за винятком, можливо, через її лінзування світлових променів, які трапляються проходити повз неї. Але якщо чорна діра виникає в двійковій зоряній системі, можна перенести масу на чорну діру від її супутника, якщо еволюція супутника змушує її розширюватися в гіганта і вторгнутися в гравітаційну колодязь чорної діри. Нападаючий газ потім нагрівається і випромінює випромінювання, перш ніж зникнути за горизонтом подій (рис.\(\PageIndex{1}\)). Об'єкт, відомий як Cygnus X-1, є найбільш вивченим прикладом. Цей рентгенівський випромінюючий об'єкт був виявлений в результаті ракетного експерименту в 1964 році. Він є частиною системи подвійних зірок, інший член - синій надгігант. Вони обертаються навколо свого загального центру мас з періодом 5,6 дня. Орбіта майже кругова і має велику піввісь приблизно в 0,2 рази більше відстані від землі до сонця. Застосування закону періодів Кеплера до цих даних обмежує суму мас, а знання зоряної структури фіксує масу надгіганта. Результатом є те, що маса Лебедя X-1 більше приблизно 10 сонячних мас, і це підтверджується множинними методами. Оскільки це набагато вище межі Толмана-Оппенгеймера - Волкова, Cygnus X-1 вважається чорною дірою, а її рентгенівські випромінювання інтерпретуються як випромінювання диска перегрітого матеріалу, що накопичується на нього від його супутника. Вважається, що має більше 90% максимально можливого віджиму для чорної діри своєї маси. ¹¹

Малюнок 6.3.1.png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Чорна діра аккретує матерію від зірки-компаньйона. (Громадське надбання; NASA).

Приблизно на рубежі 21 століття були знайдені нові докази поширеності надмасивних чорних дір поблизу центрів майже всіх галактик, в тому числі і нашої власної. Поруч з центром нашої галактики знаходиться об'єкт під назвою Стрілець A*, виявлений тому, що навколо нього орбітують сусідні зірки. Орбітальні дані показують, що Стрілець А* має масу близько чотирьох мільйонів сонячних мас, обмежених в межах сфери радіусом менше 2,2 × 10 ⁷ км. Не існує відомої астрофізичної моделі, яка могла б запобігти руйнуванню такого компактного об'єкта в чорну діру, і не існує жодної правдоподібної моделі, яка дозволила б цій великій масі існувати в рівновазі в такому маленькому просторі, не випромінюючи достатньої кількості світла, щоб бути помітним.

Існування надмасивних чорних дір дивує. Газові хмари з масою більше близько 100 мас Сонця не можуть нормально утворювати стійкі зірки, тому надмасивні чорні діри не можуть бути кінцевою точкою еволюції важких зірок. Злиття декількох зірок для формування більш масивних об'єктів, як правило, статистично малоймовірні, оскільки зірка є такою маленькою мішенню по відношенню до відстані між зірками. Після того, як астрономи зіткнулися з емпіричним фактом свого існування, для їх формування були запропоновані різноманітні механізми. Мало відомо про те, який із цих механізмів є правильним, хоча існування квазарів у ранньому Всесвіті трактується як доказ того, що маса швидко зростала на надмасивні чорні діри на ранніх стадіях еволюції галактик. Станом на 2016 рік пояснення, яке приділяє багато уваги, полягає в тому, що в ранньому Всесвіті був короткий період, коли навколишні умови дозволили створити надмасивні чорні діри шляхом прямого колапсу. ¹²

Скептик міг би заперечити, що хоча Лебідь X-1 і Стрілець A* більш компактні, ніж вважається можливим для нейтронної зірки, це не обов'язково доводить, що вони є чорними дірами. Дійсно, були запропоновані спекулятивні теорії, в яких можуть існувати екзотичні об'єкти, які є проміжними за компактністю між чорними дірами та нейтронними зірками. Ці гіпотетичні істоти мають такі назви, як чорні зірки, гравазірки, кваркові зірки, бозонні зірки, Q-кулі та електрослабкі зірки. Хоча немає доказів того, що ці теорії мають рацію або що ці об'єкти існують, перед нами постає питання про те, як визначити, чи дійсно даний об'єкт є чорною дірою або одним з цих інших видів. Визначальною характеристикою чорної діри є те, що вона має горизонт подій, а не фізичну поверхню. В даний час ми маємо два способи зондування структури цих зірок на радіусах, де загальна відносність передбачає існування горизонту подій.

Якщо об'єкт не є чорною дірою, то, зберігаючи енергію, будь-яка речовина, яка потрапляє на нього, повинна звільнити свою гравітаційну потенційну енергію, коли вона потрапляє на цю поверхню. Cygnus X-1 має рясний запас речовини, що падає на нього від свого супергігантського супутника, а Стрілець A* також нарощує величезну кількість газу від зоряного вітру сусідніх зірок. Аналізуючи спостереження міліметрової та інфрачервоної дуже довгої базисно-інтерферометрії, Бродерік, Леб і Нараян ¹³ показали, що якщо Стрілець А* мав поверхню, то світність цієї поверхні повинна бути менше 0,3% світності аккреційного диска. Але це фізично неможливо, оскільки існують принципові обмеження ефективності, з якою газ може випромінювати свою енергію перед ударом об поверхню. Тому ми можемо зробити висновок, що Стрілець A* повинен мати горизонт подій. Його горизонт подій може бути зображений безпосередньо найближчим часом. ¹⁴

Другий підхід - через спостереження гравітаційних хвиль. Як більш детально розглянуто в гл. 9, 2016 побачили перше безпосереднє спостереження гравітаційних хвиль. Виявлена форма хвилі (рис. 9.2.2) дуже добре вписується в прогнози загальної відносності для злиття двох чорних дір. Здається дуже малоймовірним, що форма хвилі з такою шкалою часу та характерною формою могла бути створена, якщо загальний опис відносності чорних дір не буде правильним у деталі.

Сингулярності та космічна цензура

Неформальні ідеї

Оскільки ми спостерігаємо, що чорні діри дійсно існують, можливо, нам слід серйозно сприймати сингулярність при r = 0. Фізично це говорить про те, що щільність маси і приливні сили вибухають туди до нескінченності.

Як правило, коли фізична теорія говорить, що спостережувані величини вибухають до нескінченності в певній точці, це означає, що теорія досягла точки, в якій вона більше не може робити фізичні прогнози. Наприклад, теорія електромагнетизму Максвелла передбачає, що електричне поле вибухає як r ⁻² поблизу точкового заряду, і це означає, що нескінченна енергія зберігається в полі в кінцевому радіусі навколо заряду. Фізично це не може бути правильним, тому що ми знаємо, що потрібно лише 511 кеВ енергії, щоб створити електрон з нічого, наприклад, при ядерному бета-розпаді. Парадокс вирішується квантовою електродинамікою, яка модифікує опис вакууму навколо електрона, включивши море віртуальних частинок, що з'являються і виходять з існування.

У разі сингулярності чорної діри не виключено, що квантові механічні ефекти в масштабі Планка перешкоджають утворенню сингулярності. На жаль, ми навряд чи знайдемо якісь емпіричні докази про це, оскільки чорні діри завжди здаються одягненими в горизонти подій, тому ми, сторонні спостерігачі, не можемо витягти жодних даних про сингулярність всередині. Навіть якщо ми здійснимо суїцидальну подорож у чорну діру, ми не отримаємо даних про особливість, тому що сингулярність у метриці Шварцшильда схожа на космос, а не схожа на час, і тому вона завжди лежить у нашому майбутньому світловому конусі, ніколи в нашому минулому.

Певним чином, неприступність сингулярностей - це добре. Якщо існує особливість, це точка, в якій руйнуються всі відомі закони фізики, отже, не мають можливості передбачити що-небудь про її поведінку. Також не існує великої кризи для фізики через особливість Великого вибуху або особливість Великого кризу, яка виникає в деяких космологіях, в яких Всесвіт перевалюється; ми не маємо розумних очікувань на те, щоб мати можливість робити та перевіряти прогнози чи ретродикції, які виходять за межі початку чи кінця Всесвіту.

Що б було нищівним ударом по підприємству фізики, було б сингулярністю, яка могла б сидіти на чиємусь столі. Як каже Джон Ерман з Піттсбурзького університету, все, що завгодно може вискочити з такої «оголеної» сингулярності (визначеної формально пізніше), включаючи зелений слиз або втрачені шкарпетки.

Космічна цензура Пенроуза стверджує, що закони фізики перешкоджають утворенню оголених сингулярностей з несингулярних і родових початкових умов. «Generic» є необхідним доповненням до оригінальної формулювання Пенроуза 1969 року, оскільки Choptuik показав у 1993 році, що певні ідеально налаштовані початкові умови дозволили згорнути до оголеної сингулярності. ¹⁵ Станом на 2017 рік накопичуються докази того, що космічна цензура є помилковою. Про це докладніше йдеться пізніше.

Формальні визначення

Решта цього підрозділу дає більш формальне виклад визначень, що стосуються особливостей. Його можна пропустити без втрати безперервності.

Причина, по якій ми дбаємо про особливості, полягає в тому, що вони вказують на незавершеність теорії та нездатність теорії робити прогнози. Однією з найпростіших речей, яку ми могли б попросити будь-яку теорію, було б передбачити траєкторії тестових частинок. Наприклад, рівняння Максвелла правильно прогнозують рух електрона в однорідному магнітному полі, але їм не вдається передбачити рух електрона, який стикається лоб з позитроном. Можливо, було б природним для когось в епоху Максвелла (припускаючи, що вони були поінформовані про існування позитронів і сказали припустити, що обидві частинки були точковими) здогадатися, що дві частинки будуть розсіюватися одна через одну при\(\theta\) = 0, їх швидкості на мить стають нескінченними. Але для цієї людини було б однаково природно відмовитися від прогнозування.

Аналогічно, якщо частка потрапляє в сингулярність чорної діри, ми не повинні очікувати, що загальна відносність зробить певний прогноз. Це не так, тому що геодезичне рівняння руйнується.

Тому ми хотіли б визначити сингулярність як ситуацію, в якій геодезичні дії тестових частинок не можуть бути продовжені на невизначений час. Але що означає «нескінченно»? Якщо тестова частинка - фотон, то метрична довжина її світової лінії дорівнює нулю. Ми обійдемо це, визначаючи довжину в терміні афінного параметра.

Визначення

Просторовий час, як кажуть, є геодезично неповним, якщо існують часові або світлоподібні геодезики, які не можуть бути розширені за межі якогось кінцевого афінного параметра в минуле чи майбутнє.

Це також досить гарне робоче визначення того, що ми маємо на увазі, коли говоримо, що просторовий час містить сингулярність, хоча це може бути не оптимальним для всіх цілей. ¹⁶ Просторовий час Шварцшильда має сингулярність при r = 0, але не на горизонті подій, оскільки геодезичні роботи тривають плавно повз горизонту подій. Космологічні простори містять особливість Великого вибуху, яка перешкоджає поширенню геодезики за межі певної точки в минулому.

Фактичні особливості, пов'язані з геодезичною незавершеністю, слід відрізняти від координатних особливостей, які насправді не є особливостями взагалі. У просторі Шварцшильда, як описано в початкових координатах Шварцшильда, деякі компоненти метрики вибухають на горизонті подій, але це не є фактичною сингулярністю. Цю систему координат можна замінити іншою, в якій метрика добре себе веде.

Приклад 1: Нешкідливий вибух

Давайте визначимо координати (t, y) в області простору-часу, де ви сидите і читаєте цю книгу. Нехай (0, 0) буде вашим поточним часом і положенням, а для зручності нехай це буде інерційний кадр (щоб ваш рух не було геодезичним). Тензор Рімана, виражений в цих координатах, має складову R _tyyt =\(\frac{2Gm}{r^{3}}\), де m і r - маса і радіус землі. Це має кінцеве значення 1,5 × 10 ⁻⁶ с ⁻², що виражає силу припливного ефекту поблизу земної поверхні.

Тепер визначте нову координату u = y ³. Застосовуючи закон тензорного перетворення, ми маємо

\[R_{tuut} = R_{tyyt} \left(\dfrac{\partial y}{\partial u}\right)^{2},\]

який нескінченний при y = 0. Цей приклад демонструє, що ми не можемо перевірити на сингулярність, шукаючи вибух компонентів тензора кривизни за певними координатами або коли координати наближаються до певної межі.

Існує два типи сингулярностей: особливості кривизни та сингулярності без кривизни.

Особливість великого вибуху та чорної діри є прикладами сингулярностей кривизни, які часто можна розпізнати, оскільки існують скалярні заходи кривизни, такі як R ^abcd _{R abcd}, відомий як інваріант Кречмана, які вибухають. Вони свідчать про те, що приливні сили вибухають до нескінченності, і знищать будь-якого спостерігача.

Причина, чому скаляри кривизни корисні як тести на сингулярність кривизни, полягає в тому, що оскільки вони є скалярами, вони не можуть розходитися в одній системі координат, але залишаються кінцевими в іншій (див. Приклад 1). Достатньою умовою сингулярності є сингулярність кривизни, якщо часові або світлоподібні геодезики можуть бути розширені лише на якийсь скінченний афінний параметр, а деяка скалярна кривизна (не обов'язково кожен такий скаляр) наближається до нескінченності, коли ми наближаємося до цього значення афінного параметра.

Але не слід очікувати, що це буде необхідною умовою сингулярності кривизни. Приклад 2 нижче показує, що найбільш часто зустрічаються викривлення скалярів може бути недостатньо, щоб вловити наявність сингулярності. Це не надто дивно, оскільки скалярів кривизни недостатньо, щоб розповісти нам все, що потрібно знати про кривизну просторучасу (приклад 3).

Приклад 2: Неповнота зі скалярами скінченної кривизни

Розглянемо 1+1-мірне простору/час, описаний метрикою

\[\begin{split} ds^{2} &= A(dt^{2} - dx^{2}) \\ A &= \frac{1}{1 + e^{t}}, \end{split}\]

з\(− \infty < x < \infty\) і\(− \infty < t < \infty\). За великим негативом t він не відрізняється від Мінковського простору. Наступний код Максима обчислює його тензор Рімана та скалярну кривизну R та інваріант Кретчмана К.

Малюнок 6.3.a.png

Результати для двох скалярів викривлення

\[R = (1 + e^{-t})^{-1}\]

\[K = (1 + e^{-t})^{-2},\]

обидва з яких скрізь кінцеві; вони переходять від 0 у великі негативні часи до 1 у великих позитивних моментах.

З цих результатів ми б не уявляли, що присутня якась особливість, але вибухи скалярів кривизни є лише достатньою умовою геодезичної незавершеності, а не необхідною. Розглянемо часоподібну криву x = 0, яка по симетрії є геодезичною. Якщо інтегрувати належний час уздовж цієї геодезичної, то отримаємо кінцеву межу як t →\(\infty\). Оскільки належний час кваліфікується як афінний параметр, цей геодезичний є неповним.

Але не так очевидно, що цей простор. часу є «по-справжньому» одниною. Цілком можливо, що ми могли б плавно продовжити його за межі t =\(+ \infty\). Якщо так, то сингулярність при t =\(+ \infty\) буде свого роду підроблена сингулярність, типу, який ми могли б отримати, просто рубаючи частину простору Мінковського з t ≥ 0.

Приклад 3: Скаляри зникнення кривизни

Вище ми зауважили, що скалярів кривизни взагалі недостатньо, щоб розповісти нам все про кривизну просторучасу. Насправді існує цілий клас криволінійних просторівчасів таким чином, що кожен інваріант кривизни зникає скрізь. Шмідт ¹⁷ наводить приклад

\[ds^{2} = du dv - a^{2} (u) dw^{2},\]

де a - довільна нелінійна функція. Власними значеннями цієї метрики є 1, −1 та −a ², тому його сигнатурою є + − −, тобто це загальна відносність у вимірах 2 + 1. Обчислення показує, що простір не є плоским, оскільки, наприклад,\(R_{uu} = − \frac{a''}{a}\). Напрямки u та v є світлоподібними, тому ця метрика представляє хвилеподібне порушення, що рухається зі швидкістю світла. (Оскільки тензор Річчі не зникає, це не вакуумне рішення, і у нас немає гравітаційної хвилі у вакуумі. Такі хвилі, як описано в гл. 9, є поперечними і можуть існувати тільки в 3 + 1 і більше розмірах.)

Світлоподібний характер u і v мотивує нас розглядати координатні перетворення форми (u, v) → (uD,\(\frac{v}{D}\)), тому що у випадку a = 0, який є плоским, це був би імпульс Лоренца з коефіцієнтом доплерівського зсуву D. У випадку, коли D наближається до нуля, ми ганяємося за хвилею зі швидкістю наближається c, тому хвиля доплер-зміщується до непомітності. Всі складові тензора Рімана, а також їх похідні наближаються до нуля.

Тепер розглянемо будь-яку кривизну скаляра I, яка виражається як неперервна функція тензора Рімана та його похідних. За безперервністю I наближається до нуля як D → 0. Але скаляри кривизни є скалярами, тому вони інваріантні при координатних перетвореннях. Тому випливає, що I = 0 однаково, незалежно від значення D. Таким чином, ми маємо простір, який, хоча і викривлений, не має ніде скалярів викривлення.

¹⁷ «Чому всі інваріанти кривизни гравітаційної хвилі зникають? ,» arxiv.org/абс/гр-qc/9404037

Посилання

¹⁰ Див. п. 6.3, і, наприклад, Джоші та ін., arxiv.org/abs/1304.7331.

¹¹ Гоу та співавт., «Екстремальний спін чорної діри в Лебідь X-1», http://arxiv.org/abs/1106.3690

¹² Див., наприклад, http://arxiv.org/abs/1402.5675

¹³ arxiv.org/абс/09.03.1105

¹⁴ arxiv.org/абс/09.06.4040

¹⁵ Фіз. Преподобний Летт. 70, стор. 9

¹⁶ Герох,» Що таке сингулярність у загальній теорії відносності? ,» Енн Фіс 48 (1968) 526.