10.3: Ентропія і гравітація

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75754

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Існує щось глибоке в концепції ентропії, яка пов'язана з гравітацією. Це далеко не добре зрозуміло, і є темою поточних досліджень, але є вагомі підстави думати, що рівняння поля Ейнштейна для гравітації можуть фактично виникати як якийсь стан максимізації ентропії. Точка контакту між гравітацією та ентропією призначена для просторучасу з горизонтом, прикладом якої є чорна діра. У кінцевій теорії квантової гравітації просторичасу з горизонтом може виявитися нічим особливим, але на даний момент вони можуть бути єдиним вікном зв'язку між ентропією та гравітацією. Щоб побачити щось із зв'язку, ми розглянемо сферичне рішення рівнянь Ейнштейна, відповідне метриці навколо точки (або сферичного розподілу) маси. Це показник Шварцшильда, заданий як

\[ds^2 = c^2 dt^2 \left( 1 − \frac{2GM}{c^2r} \right) − \frac{dr^2}{ \left(1 − \frac{2GM}{c^2r} \right)} − r^2 dθ^2 − r^2 \sin^2 θ d \varphi^2 \label{10.3.1}\]

Ми записуємо це в звичайних сферичних координатах\((r, θ, \varphi)\) для просторових розмірів. \(G\)є гравітаційною постійною Ньютона і\(c\) є швидкістю світла у вакуумі. Ми відразу бачимо, що в цьому виразі є дві особливості. Перший, очевидно\(r = 0\), на, подібний до того, що відбувається в теорії Ньютона для гравітаційного потенціалу, а другий - на\(r = \frac{2GM}{c^2}\). Ця друга сингулярність є двошаровою, оскільки вона виникає на скінченному радіусі. Тепер можна показати, що\(r = 0\) це справжня особливість теорії, в тому сенсі, що її неможливо видалити координатним перетворенням. Сингулярність at\(r = \frac{2GM}{c^2}\) - це координатна сингулярність. Це схоже на сингулярність при\(θ = 0\),\(π\) коли ми використовуємо сферичні координати і може бути усунена, вибравши інший набір координат. Тим не менш, радіус\( \frac{2GM}{c^2}\) дійсно відіграє важливу роль. Поширення світла, в наближенні променевої оптики, описується\(ds = 0\). В результаті видно, що ніщо не може\(r < \frac{2GM}{c^2}\) втекти від більших значень радіуса, які будуть виявлені спостерігачами далеко. Спостерігач далеко, який спостерігає за тим, як об'єкт падає до центру, побачить світло, що надходить від нього червоним зміщенням через\((1 − \frac{2GM}{c^2r})\) фактор, зрештою, пересувається до нульової частоти, коли він перетинається\(r = \frac{2GM}{c^2}\); об'єкт згасає. З цієї причини і тому, що це не справжня сингулярність, ми говоримо, що сфера на\(r = \frac{2GM}{c^2}\) - це горизонт. Оскільки ніщо не може втекти зсередини горизонту, область всередині - чорна діра. Значення\( \frac{2GM}{c^2}\) називається радіусом Шварцшильда.

Чи є приклади чорних дір в природі? Метрика (\ ref {10.3.1}) може бути використана для опису просторового часу поза майже сферичним розподілом речовини, такого як зірка або Сонце. Для Сонця, з масою близько\(2 × 10^{30} kg\), радіус Шварцшильда становить близько\(1.4 km\). Форма метрики в (\ ref {10.3.1}) перестає бути дійсною, як тільки ми проходимо всередину поверхні Сонця, і тому немає фізично реалізованого горизонту для Сонця (і для більшості зірок). (Поза гравітаційною масою можна використовувати (\ ref {10.3.1}), як отримують спостережувані прогнози теорії Ейнштейна, такі як прецесія перигелія Меркурія.) Але розглянемо зірку, яка є більш масивною, ніж межі Чандрасекхара і Толмана-Оппенгеймер-Волкова. Якщо він досить масивний, щоб скоротитися гравітаційно, долаючи навіть тиск виродження кварка, його радіус може зменшитися нижче радіуса Шварцшильда, і ми можемо отримати чорну діру. Віра полягає в тому, що в центрі нашої галактики є така чорна діра, а також більшість інших галактик.

Повертаючись до фізичних властивостей чорних дір, хоча класична теорія говорить нам, що ніщо не може уникнути чорної діри, найцікавішим ефектом є те, що чорні діри випромінюють. Це квантовий процес. Повний розрахунок цього процесу не може бути здійснений без квантової теорії гравітації (якої у нас поки немає). Отже, хоча той факт, що чорні діри повинні випромінювати, можна стверджувати в загальному, характер випромінювання можна обчислити тільки напівкласичним способом. Результатом такого напівкласичного розрахунку є те, що незалежно від природи речовини, яка пішла в утворення чорної діри, випромінювання, яке виходить, є тепловим, слідуючи за спектром Планка, що відповідає певній температурі.

\[ T_H = \frac{ħ c^3}{8 \pi k GM} \label{10.3.2} \]

Хоча пов'язані з цим процеси були зрозумілі багатьма вченими, загальний аргумент випромінювання чорних дір був обумовлений Хокінгом і, отже, випромінювання з будь-якого простору-часового горизонту і відповідної температури називаються випромінюванням Хокінга і температурою Хокінга, відповідно.

Оскільки існує температура, пов'язана з чорною дірою, ми можемо думати про неї як про термодинамічну систему, яка підпорядковується

\[ dU =T\;dS \label{10.3.3} \]

Внутрішня енергія може бути прийнята як\(M c^2\) наступна Ейнштейна масово-енергетична еквівалентність. Потім ми можемо використовувати Equation\ ref {10.3.3} для обчислення ентропії чорної діри як

\[S_{B-H} = \frac{c^3}{ħ} \frac{A}{4\;G} \label{10.3.4} \]

(Ця формула для ентропії відома як формула Бекенштейна-Хокінга.) \(A\)Ось площа горизонту,\ (A = 4πr_S^2, R_S =\ frac {2GM} {c^2} є радіусом Шварцшильда.

Ці результати відразу ж викликають ряд головоломок.

Апріорі немає нічого термодинамічного в метриці Шварцшильда або радіаційному процесі. Випромінювання можна отримати з квантованої версії рівнянь Максвелла у фоновому просторовічасі (\ ref {10.3.1}). Так як виникають термодинамічні поняття в цьому випадку?
Можна було б передбачити формування чорної діри з дуже впорядкованого стану дуже низької ентропії. Проте, як тільки чорна діра утворюється, ентропія задається (\ ref {10.3.4}). Немає нічого поганого в тому, щоб генерувати більше ентропії, але як ми втратили інформацію, закодовану в стані низької ентропії? Крім того, випромінювання, що виходить, є тепловим і, отже, не несе ніякої інформації. Так чи є спосіб зрозуміти, що з ним сталося? Ці питання можна загострити далі. Перш за все, ми бачимо, що чорна діра Шварцшильда може випаруватися випромінюванням Хокінга за кінцевий час. Це пов'язано з тим, що випромінювання слідує за спектром Планка, і тому ми можемо використовувати закон Стефана-Больцмана (8.3.14) для обчислення швидкості втрат енергії. Тоді з\[ \frac{d(M\;c^2)}{dt} = −σT_H^4A \label{10.3.5}\] нас можна отримати час випаровування. Зараз існує проблема з тепловим випромінюванням. Еволюція часу в квантовій теорії відбувається шляхом унітарних перетворень, і вони не генерують жодної ентропії. Отже, якщо ми зробимо чорну діру з дуже низького стану ентропії, а потім вона випарується в теплове випромінювання, яке є високим ентропійним станом, наскільки це сумісно з унітарною еволюцією часу? Чи потрібно нам модифікувати квантову теорію, чи потрібно модифікувати теорію гравітації?
Зазвичай, коли у нас ненульова ентропія, ми можемо зрозуміти, що з точки зору мікроскопічного підрахунку станів. Чи пропорційна кількість станів чорної діри\(S_{B−H}\)? Чи є кількісний спосіб показати це?
Ентропія пропорційна площі горизонту. Зазвичай ентропія велика, а кількість станів пропорційна об'єму (через подібні речі\( \frac {d^3xd^3p}{(2πħ)^3}\)). Як усі стани, необхідні для системи, можуть бути реалізовані з точки зору нижчої розмірної поверхні?

Є кілька попередніх відповідей на деякі з цих питань. Хоча, здавалося б, існує проблема з унітарною еволюцією часу, це може бути тому, що ми не можемо зробити повний розрахунок. Напівкласичне наближення руйнується для дуже маленьких чорних дір. Тому ми не можемо достовірно обчислити пізні стадії випаровування чорної діри. Приклади розрахунків з чорними дірами в нижчих розмірах можна зробити за допомогою теорії струн, і це говорить про те, що еволюція часу дійсно унітарна і що інформація відновлюється в кореляціях випромінювання, які розвиваються на пізніх стадіях.

Для більшості розчинів чорних дір немає достовірного підрахунку мікростанів, які призводять до формули (\ ref {10.3.4}). Але є деякі суперсиметричні чорні діри в теорії струн, для яких такий підрахунок можна зробити за допомогою методів, спеціальних для теорії струн. Для цих випадків дійсно можна отримати формулу (\ ref {10.3.4}). Це говорить про те, що теорія струн може забезпечити послідовну квантову теорію чорних дір і, загалом, просторів з горизонтами. Також може бути, що формула (\ ref {10.3.4}) має таку універсальність (як це роблять багато речей у термодинаміці), що мікроскопічна теорія може не мати значення і що якщо ми навчимося правильно робити підрахунок станів, будь-яка теорія, яка має квантову гравітацію, призведе до (\ ref {10.3.4}), з можливо, обчислюваними додатковими виправлення (які є підпровідними, тобто менш великими, ніж площа).

Ідея про те, що нижча розмірна поверхня може кодувати достатню кількість інформації для реконструкції динаміки у більш високому вимірному просторі, схожа на те, що відбувається в голограмі. Тож, можливо, щоб зрозуміти формулу ентропії (\ ref {10.3.4}), потрібна голографічна формулювання фізичних законів. Таке формулювання реалізується, принаймні для обмеженого класу теорій, в так званій відповідності ADS/CFT (або голографічної відповідності) і її більш пізніх розробках. Оригінальна гіпотеза для цього пов'язана з J. Maldacena і стверджує, що теорія струн на просторово-часовому тлі анти-де Ситтера (ADS) в п'яти вимірах (з додатковою 5-сферою) є подвійною до максимально суперсиметричної теорії калібру Янга Міллса (яка є конформною теорією поля (CFT)) на межі ADs простір. Можна, в принципі, йти туди-сюди, розраховуючи величини в одному з використанням іншого. Хоча все ще є здогадкою, це, здається, тримається для всіх випадків, коли розрахунки були можливі.

Зрозуміло, що це далеко не закінчена історія. Але з того, що було сказано до цих пір, є вагомі підстави вважати, що дослідження протягом наступних кількох років виявлять певний глибокий зв'язок між гравітацією та ентропією.