1: Чисельні методи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78049

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ця глава не призначена як всебічний курс з числових методів. Швидше вона займається, і лише досить базовим способом, з дуже поширеними проблемами числового інтегрування та вирішення простих (і не так вже й простих!) Рівняння. Астрономи-спеціалісти сьогодні можуть генерувати більшість планетарних таблиць для себе; але тим, хто не настільки спеціалізований, все ще потрібно шукати дані в таких таблицях, як Астрономічний альманах, і тому я додав короткий розділ про інтерполяцію, який, сподіваюся, може бути корисним. Хоча будь-яка з цих тем може бути значно розширена, цей розділ повинен бути корисним для багатьох повсякденних обчислювальних цілей.

1.1: Вступ до числових методів
1.2: Чисельна інтеграція
Є багато випадків, коли можна побажати інтегрувати вираз чисельно, а не аналітично. Іноді не вдається знайти аналітичний вираз для інтеграла, або, якщо можна, він настільки складний, що так само швидко інтегрується чисельно, як і таблиця аналітичного виразу. Або один може мати таблицю чисел для інтеграції, а не аналітичне рівняння.
1.3: Квадратні рівняння
1.4: Розв'язок f (х) = 0
1.5: Розв'язок поліноміальних рівнянь
Метод Ньютона-Рафсона дуже підходить для розв'язання поліноміальних рівнянь.
1.6: Невдача методу Ньютона-Рафсона
Майже у всіх випадках зустрічається на практиці метод Ньютона-Рафсона дуже швидкий і не вимагає особливо гарного першого припущення. Проте для повноти слід зазначити, що рідкісні випадки, коли метод або виходить з ладу, або сходиться досить повільно.
1.7: Одночасні лінійні рівняння, N = n
1.8: Одночасні лінійні рівняння, N > n
1.9: Нелінійні синхронні рівняння
1.10:1.10-Бесселівська інтерполяція
1.11: Підгонка полінома до множини точок - поліноми Лагранжа та інтерполяція Лагранжа
1.12: Встановлення прямої лінії найменших квадратів до набору точок спостереження
1.13: Встановлення полінома найменших квадратів до множини спостережних точок
1.14: Многочлени Лежандра
1.15: Квадратура Гаусса - Алгоритм
1.16: Квадратура Гаусса - похідний
1.17: Часто необхідні числові процедури

Мініатюра: Порівняння між 2-точковою гаусовою та трапецієподібною квадратурою. Синій лінією є многочлен, інтеграл якого в [−1, 1] дорівнює 2/3. Трапецієподібне правило повертає інтеграл помаранчевої пунктирної лінії. Двоточкове правило Гауссової квадратури повертає інтеграл чорної пунктирної кривої. Такий результат точний, так як зелена область має таку ж площу, як і червоні області. (CC BY-SA 4.0; Паолостар).