1.9: Нелінійні синхронні рівняння

Розглянуто два одночасних рівняння виду

\[f(x, \ y) = 0, \label{1.9.1}\]

\[g(x, \ y) = 0 \label{1.9.2}\]

в яких Рівняння не є лінійними.

Як приклад розв'яжемо Рівняння

\[x^2 = \frac{a}{b-\cos y} \label{1.9.3}\]

\[x^3 - x^2 = \frac{a(y-\sin y \cos y)}{\sin^3 y} , \label{1.9.4}\]

в яких\(a\) і\(b\) є константами, значення яких приймаються заданими в якомусь конкретному випадку.

Це може здатися штучно надуманою парою рівнянь, але насправді пара рівнянь, як це, з'являється в орбітальної теорії.

Ми пропонуємо тут два методи розв'язання рівнянь.

У першому ми зауважимо, що насправді\(x\) можна виключити з двох рівнянь, щоб отримати одне рівняння в\(y\):

\[F(y) = aR^3 - R^2 - 2SR - S^2 = 0, \label{1.9.5}\]

де\[R = 1/(b-\cos y) \label{1.9.5a} \tag{1.9.5a}\]

і\[S = (y - \sin y \cos y ) / \sin^3 y . \label{1.9.5b} \tag{1.9.5b}\]

Вирішити це можна звичайним методом Ньютона-Рафсона, який є багаторазовим застосуванням\(y = y − F / F^\prime\). Похідне по відношенню\(y\) до\(F\)

\[F^\prime = 3aR^2 R^\prime - 2RR^\prime - 2(S^\prime R + SR^\prime) - 2SS^\prime \label{1.9.6}\]

де\[R^\prime = -\frac{\sin y}{(b-\cos y)^2} \label{1.9.6a} \tag{1.9.6a}\]

і\[S^\prime = \frac{\sin y (1 - \cos 2y ) - 3\cos y (y- \frac{1}{2} \sin 2y)}{\sin^4 y} \label{1.9.6b} \tag{1.9.6b}\]

Незважаючи на те, що може здатися на перший погляд деякими досить складними рівняннями, буде встановлено, що процес Ньютона-Рафсона\(y = y − F / F^\prime\), досить простий в програмуванні, хоча, для обчислювальних цілей,\(F\) і\(F^\prime\) краще написані як

\[F = -S^2 + R(-2S + R (-1 + aR)) , \label{1.9.7a} \tag{1.9.7a}\]

і

\[F^\prime = 3aR^2 R^\prime - 2(R+S)(R^\prime + S^\prime ) \label{1.9.7b} \tag{1.9.7b}\]

Давайте розглянемо конкретний приклад, скажімо з\(a = 36\) і\(b = 4\). Треба, звичайно, зробити перше припущення. У орбітальному додатку, описаному в главі 13, пропонуємо перше припущення. У даному випадку, з\(a = 36\) і\(b = 4\), одним із способів було б побудувати графіки рівнянь\(\ref{1.9.3}\)\(\ref{1.9.4}\) і подивитися, де вони перетинаються. Ми зробили це на малюнку 1.4, з якого ми бачимо, що y повинен бути близьким до\(0.6\).

\(\text{FIGURE 1.4}\)
Рівняння\(\ref{1.9.3}\) і\(\ref{1.9.4}\) з\(a=36\) і\(b=4\).

З першим припущенням\(y = 0.6\), збіжність до\(y = 0.60292\) досягається в двох ітераціях, і будь-який з двох оригінальних рівнянь потім дає\(x = 3.3666\).

Нам пощастило в цьому випадку в тому, що ми виявили, що ми змогли усунути одну зі змінних і так звести задачу до єдиного рівняння на одному невідомому. Однак будуть випадки, коли усунення одного з невідомих може бути значно складнішим або, у випадку двох одночасних трансцендентних рівнянь, неможливим алгебраїчними засобами. Наступний ітераційний метод, розширення техніки Ньютона-Рафсона, майже завжди може бути використаний. Ми описуємо його для двох рівнянь у двох невідомих, але його можна легко розширити до\(n\) рівнянь у\(n\) невідомих.

Рівняння, що підлягають розв'язанню

\[f(x, \ y) = 0 \label{1.9.8} \tag{1.9.8}\]

\[g(x, \ y) = 0 . \label{1.9.9} \tag{1.9.9}\]

Як і при розв'язанні одного рівняння, спочатку необхідно здогадатися про розв'язки. У деяких випадках це може бути зроблено графічними методами. Однак дуже часто, як це часто зустрічається з методом Ньютона-Рафсона, конвергенція відбувається стрімко навіть тоді, коли перше припущення дуже неправильне.

Припустимо, початкові здогадки є\(x + h\)\(y + k\), де\(x\),\(y\) є правильними рішеннями,\(h\) і\(k\) є помилками нашого припущення. З розширення Тейлора першого порядку (або зі здорового глузду, якщо розширення Тейлора забуте),

\[f(x+h, y+k) \approx f(x,y) + hf_x + kf_y . \label{1.9.10} \tag{1.9.10}\]

Ось\(f_x\) і\(f_y\) часткові похідні і звичайно\(f(x, \ y) = 0\). Ті самі міркування стосуються другого рівняння, тому ми приходимо до двох лінійних рівнянь у\(h\) помилках\(k\):

\[f_x h + f_y k = f , \label{1.9.11} \tag{1.9.11}\]

\[g_x h + g_y k = g. \label{1.9.12} \tag{1.9.12}\]

Вони можуть бути вирішені для\(h\) і\(k\):

\[h = \frac{g_y f - f_y g}{f_x g_y = f_y g_x}, \label{1.9.13} \tag{1.9.13}\]

\[k = \frac{f_x g - g_x f}{f_x g_y - f_y g_x}. \label{1.9.14} \tag{1.9.14}\]

Ці значення\(h\) і потім\(k\) віднімаються з першого припущення, щоб отримати кращу здогадку. Процес повторюється до тих пір, поки зміни\(x\) не\(y\) будуть настільки малі, як потрібно для конкретного додатка. Легко налаштувати комп'ютерну програму для вирішення будь-яких двох рівнянь; все, що зміниться від однієї пари рівнянь до іншої, - це визначення функцій\(f\)\(g\) та їх часткових похідних.

У випадку з нашим прикладом ми маємо

\[f = x^2 - \frac{a}{b-\cos y} \label{1.9.15} \tag{1.9.15}\]

\[g = x^3 - x^2 - \frac{a(y-\sin y \cos y)}{\sin^3 y} \label{1.9.16} \tag{1.9.16}\]

\[f_x = 2x \tag{1.9.17} \label{1.9.17}\]

\[f_y = \frac{a\sin y}{(b- \cos y)^2} \label{1.9.18} \tag{1.9.18}\]

\[g_x = x(3x-2) \label{1.9.19} \tag{1.9.19}\]

\[g_y = \frac{a[3(y-\sin y \cos y) \cos y - 2\sin^3 y]}{\sin^4 y} \label{1.9.20} \tag{1.9.20}\]

У конкретному випадку де\(a = 36\) і\(b = 4\), ми можемо почати з першого припущення (з графіка - рис. I.4)\(y = 0.6\) і звідси\(x = 3.3\). Конвергенція до однієї частини в мільйон досягається за три ітерації, рішення є\(x = 3.3666\),\(y = 0.60292\).

Просте застосування цих міркувань виникає, якщо вам доведеться вирішити поліноміальне рівняння\(f(z) = 0\), де немає реальних коренів, і всі рішення для\(z\) є складними. Потім ви просто записуєте\(z = x + iy\) і підставляєте це в поліноміальне рівняння. Потім зрівняйте дійсну і уявну частини окремо, щоб отримати два Рівняння виду

\[R(x, \ y ) = 0 \label{1.9.21} \tag{1.9.21}\]

\[I(x, \ y ) = 0 \label{1.9.22} \tag{1.9.22}\]

і розв'яжіть їх для x і y. наприклад, знайдіть коріння Рівняння

\[z^4 - 5z + 6 = 0 . \label{1.9.23} \tag{1.9.23}\]

Незабаром буде виявлено, що нам доведеться вирішити

\[R(x, \ y) = x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 - 5x + 6 = 0 \label{1.9.24} \tag{1.9.24}\]

\[I(x, \ y) = 4x^3 - 4xy^2 - 5 = 0 \label{1.9.25} \tag{1.9.25}\]

Було помічено, що для отримання останнього рівняння ми розділили через\(y\), що допустимо, оскільки ми знаємо\(z\), що є складними. Ми також зауважимо, що\(y\) тепер відбувається тільки як\(y^2\), так це спростить речі, якщо ми дозволимо\(y^2 = Y\), а потім вирішити Рівняння

\[f(x, Y) = x^4 - 6x^2 Y + Y^2 - 5x + 6 = 0 \label{1.9.26} \tag{1.9.26}\]

\[g(x,Y) = 4x^3 - 4xY - 5 = 0 \label{1.9.27} \tag{1.9.27}\]

Потім легко вирішити будь-яку з них\(Y\) як функцію\(x\) і, отже, графік двох функцій (рисунок\(\text{I.5}\)):

\(\text{FIGURE I.5}\)

Це дозволяє нам зробити перше припущення щодо рішень, а саме

\[x = -1.2, \quad Y = 2.4 \nonumber\]

і\[x= +1.2, \quad Y = 0.25818 \nonumber\]

Потім ми можемо вдосконалити рішення за допомогою розширеної техніки Ньютона-Рафсона для отримання

\[x = -1.15697, \quad Y = 2.41899 \nonumber\]

\[x = +1.15697, \quad Y = 0.25818 \nonumber\]

тому чотири рішення оригінального рівняння

\[z = -1.15697 \pm 1.55531i \nonumber\]

\[z = 1.15697 \pm 0.50812i \nonumber\]