Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3: Квадратні рівняння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78074

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Будь-який читач цієї книги буде знати, що рішення квадратного рівняння

    \[ax^2 + bx + c = 0 \label{1.3.1}\]

    є

    \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \label{1.3.2}\]

    і не матиме труднощів знайти, що рішення

    \[2.9x^2 - 4.7x + 1.7 = 0 \nonumber\]

    є

    \[x = 1.0758 \text{ or } 0.5449. \nonumber\]

    Зараз ми розглянемо, значною мірою для задоволення, два альтернативних ітераційних числових методів розв'язання квадратного рівняння. Один з них вийде не дуже хорошим, а ось другий вийде досить хорошим, щоб заслужити нашого серйозного уваги.

    У першому способі перепишемо квадратне рівняння у вигляді

    \[x = \frac{-\left(ax^2 + c \right)}{b} \nonumber\]

    Ми вгадуємо значення для одного з рішень, ставимо припущення в правій частині і, отже, обчислюємо нове значення для\(x\). Продовжуємо ітерацію так, поки рішення не зійдеться.

    Наприклад, давайте припустимо, що рішення рівняння\(2.9x^2 − 4.7x + 1.7 = 0\) є\(x = 0.55\). Послідовні ітерації дають значення

    \ почати {масив} {c}
    0.54835 & 0.54501\
    0.54723 & 0.54498\
    0.54648 & 0.54648\ 0.5496\
    0.54597 & 0.54495\
    0.54562 & 0.54494\\
    0.54539 & 0.54493\\
    0.54524 & 0.54493\
    0.54513 & 0.54494\\
    0.54506 & 0.54492\
    \ nonumber
    \ кінець {масив}

    Ми врешті-решт прийшли до правильної відповіді, але це було дуже повільно, навіть якщо наше перше припущення було настільки близьким до правильної відповіді, що ми не могли б зробити таку гарну першу здогадку випадково.

    Спробуємо отримати друге рішення, і ми спробуємо перше припущення 1.10, що знову ж таки є такою гарною першою здогадкою, що ми навряд чи прийдемо до нього випадково. Послідовні ітерації призводять до

    \ begin {масив} {c}
    1.10830\\
    1.11960\\
    1.13515\
    \ nonumber
    \ кінець {масив}

    і ми отримуємо все далі і далі від правильної відповіді!

    Спробуємо краще перше припущення 1.05. Цього разу послідовні ітерації призводять до

    \ begin {масив} {c}
    1.04197\\
    1.03160\\
    1.01834\
    \ nonumber
    \ кінець {масив}

    Знову дістаємося все далі і далі від розчину.

    Більше не потрібно говорити, щоб переконати читача, що це не хороший метод, тому давайте спробуємо щось трохи інше.

    Починаємо з

    \[ax^2 + bx = -c \label{1.3.3}\]

    Додаємо\(ax^2\) в кожну сторону:

    \[2ax^2 + bx = ax^2 - c \label{1.3.4}\]

    або\[(2ax + b)x = ax^2 - c \label{1.3.5}\]

    Вирішити для\(x\):\[x = \frac{ax^2-c}{2ax+b} \label{1.3.6}\]

    Це лише оригінальне рівняння, написане в трохи переставленому вигляді. Тепер давайте зробимо припущення для\(x\), і ітерація, як і раніше. Цього разу, однак, замість того, щоб робити здогадки настільки добре, що ми навряд чи натрапили на неї, давайте зробимо, наприклад, дуже дурне перше припущення\(x = 0\). Послідовні ітерації потім дійте наступним чином.

    \ begin {масив} {c}
    0,00000\\
    0.36170\\
    0.51751\\
    0.54261\\
    0.54491\\
    0.54492\\
    \ nonumber
    \ end {масив}

    і рішення швидко зійшлося, незважаючи на виняткову дурість нашого першого припущення. Тепер читач повинен спробувати ще одне дуже дурне перше припущення, щоб спробувати прийти до другого рішення. Я спробував\(x = 100\), що дійсно дуже дурно, але я знайшов збіжність до рішення\(1.0758\) після декількох ітерацій.

    Незважаючи на те, що ми вже знаємо, як вирішити квадратне рівняння, в цьому є щось інтригуюче. Якою була мотивація для додавання\(ax^2\) до кожної сторони Рівняння, і чому отримана незначна перестановка призвела до швидкого зближення з дурного першого припущення, тоді як проста пряма ітерація або сходилася надзвичайно повільно з неможливого хорошого першого припущення, або взагалі не сходилася?