Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.6: Невдача методу Ньютона-Рафсона

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78084

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цей розділ написаний неохоче, побоюючись, що це може створити враження, що метод Ньютона-Рафсона часто виходить з ладу і має обмежену корисність. Це не так; майже у всіх випадках, що зустрічаються на практиці, це дуже швидко і не вимагає особливо гарного першого припущення. Проте для повноти слід зазначити, що рідкісні випадки, коли метод або виходить з ладу, або сходиться досить повільно.

    Одним із прикладів є квінтичне рівняння, з яким ми щойно зіткнулися:

    \[205 + 111x + 4x^2 - 31x^3 -10x^4 + 5x^5 = 0 \label{1.6.1}\]

    Коли ми вибрали в\(x = 0\) якості нашого першого припущення, ми досягли рішення досить швидко. Якби ми вибрали\(x = 1\), нам би не пощастило, бо перша ітерація привела б нас до -\(281\), дуже довгий шлях від будь-якого з реальних рішень. Повторна ітерація в кінцевому підсумку приведе нас до правильного рішення, але тільки після багатьох ітерацій. Це не типова ситуація, і зазвичай підійде практично будь-яка здогадка.

    Іншим прикладом рівняння, яке дає певні труднощі, є

    \[x = \tan x , \label{1.6.2}\]

    Рівняння, яке зустрічається в теорії однощілинної дифракції.

    У нас є\[f(x) = x - \tan x = 0 \label{1.6.3}\]

    і\[f^\prime (x) = 1 - \sec^2 x = - \tan^2 x . \label{1.6.4}\]

    Процес Ньютона-Рафсона набуває форми

    \[x = x + \frac{x-\tan x}{\tan^2 x}. \label{1.6.5}\]

    Рішення є\(x = 4.493 \ 409\), але для досягнення цього перше припущення повинно бути між\(4.3\) і\(4.7\). Це знову незвично, і в більшості випадків майже будь-яке розумне перше припущення призводить до швидкої конвергенції.

    Рівняння

    \[1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 = 0 \label{1.6.6}\]

    є очевидним кандидатом на труднощі. Чотири однакові рішення є\(x = 1\), але\(x = 1\) не тільки\(f(x)\) нуль, але так є\(f^\prime (x)\). Коли рішення\(x = 1\) наближається, конвергенція стає дуже повільною, але в кінцевому підсумку комп'ютер або калькулятор запише повідомлення про помилку, коли він намагається розділити на майже нуль\(f^\prime (x)\).

    Я згадую лише один останній приклад дуже коротко. Обговорюючи орбіти, ми зіткнемося з рівнянням, відомим як рівняння Кеплера. Процес Ньютона-Рафсона майже завжди вирішує рівняння Кеплера з вражаючою швидкістю, навіть при дуже поганій першій здогадці. Однак є кілька дуже рідкісних випадків. практично ніколи не зустрічаються на практиці, де метод дає збій. Ми обговоримо це рівняння в главі 9.