1.6: Невдача методу Ньютона-Рафсона
Цей розділ написаний неохоче, побоюючись, що це може створити враження, що метод Ньютона-Рафсона часто виходить з ладу і має обмежену корисність. Це не так; майже у всіх випадках, що зустрічаються на практиці, це дуже швидко і не вимагає особливо гарного першого припущення. Проте для повноти слід зазначити, що рідкісні випадки, коли метод або виходить з ладу, або сходиться досить повільно.
Одним із прикладів є квінтичне рівняння, з яким ми щойно зіткнулися:
205+111x+4x2−31x3−10x4+5x5=0
Коли ми вибрали вx=0 якості нашого першого припущення, ми досягли рішення досить швидко. Якби ми вибралиx=1, нам би не пощастило, бо перша ітерація привела б нас до -281, дуже довгий шлях від будь-якого з реальних рішень. Повторна ітерація в кінцевому підсумку приведе нас до правильного рішення, але тільки після багатьох ітерацій. Це не типова ситуація, і зазвичай підійде практично будь-яка здогадка.
Іншим прикладом рівняння, яке дає певні труднощі, є
x=tanx,
Рівняння, яке зустрічається в теорії однощілинної дифракції.
У нас єf(x)=x−tanx=0
іf′(x)=1−sec2x=−tan2x.
Процес Ньютона-Рафсона набуває форми
x=x+x−tanxtan2x.
Рішення єx=4.493 409, але для досягнення цього перше припущення повинно бути між4.3 і4.7. Це знову незвично, і в більшості випадків майже будь-яке розумне перше припущення призводить до швидкої конвергенції.
Рівняння
1−4x+6x2−4x3+x4=0
є очевидним кандидатом на труднощі. Чотири однакові рішення єx=1, алеx=1 не тількиf(x) нуль, але так єf′(x). Коли рішенняx=1 наближається, конвергенція стає дуже повільною, але в кінцевому підсумку комп'ютер або калькулятор запише повідомлення про помилку, коли він намагається розділити на майже нульf′(x).
Я згадую лише один останній приклад дуже коротко. Обговорюючи орбіти, ми зіткнемося з рівнянням, відомим як рівняння Кеплера. Процес Ньютона-Рафсона майже завжди вирішує рівняння Кеплера з вражаючою швидкістю, навіть при дуже поганій першій здогадці. Однак є кілька дуже рідкісних випадків. практично ніколи не зустрічаються на практиці, де метод дає збій. Ми обговоримо це рівняння в главі 9.