1.6: Невдача методу Ньютона-Рафсона

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.5: Розв'язок поліноміальних рівнянь
- 1.7: Одночасні лінійні рівняння, N = n

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цей розділ написаний неохоче, побоюючись, що це може створити враження, що метод Ньютона-Рафсона часто виходить з ладу і має обмежену корисність. Це не так; майже у всіх випадках, що зустрічаються на практиці, це дуже швидко і не вимагає особливо гарного першого припущення. Проте для повноти слід зазначити, що рідкісні випадки, коли метод або виходить з ладу, або сходиться досить повільно.

Одним із прикладів є квінтичне рівняння, з яким ми щойно зіткнулися:

$205 + 111x + 4x^2 - 31x^3 -10x^4 + 5x^5 = 0 \label{1.6.1}$

Коли ми вибрали в $x = 0$ якості нашого першого припущення, ми досягли рішення досить швидко. Якби ми вибрали $x = 1$ , нам би не пощастило, бо перша ітерація привела б нас до - $281$ , дуже довгий шлях від будь-якого з реальних рішень. Повторна ітерація в кінцевому підсумку приведе нас до правильного рішення, але тільки після багатьох ітерацій. Це не типова ситуація, і зазвичай підійде практично будь-яка здогадка.

Іншим прикладом рівняння, яке дає певні труднощі, є

$x = \tan x , \label{1.6.2}$

Рівняння, яке зустрічається в теорії однощілинної дифракції.

У нас є

$f(x) = x - \tan x = 0 \label{1.6.3}$

$f^\prime (x) = 1 - \sec^2 x = - \tan^2 x . \label{1.6.4}$

Процес Ньютона-Рафсона набуває форми

$x = x + \frac{x-\tan x}{\tan^2 x}. \label{1.6.5}$

Рішення є $x = 4.493 \ 409$ , але для досягнення цього перше припущення повинно бути між $4.3$ і $4.7$ . Це знову незвично, і в більшості випадків майже будь-яке розумне перше припущення призводить до швидкої конвергенції.

Рівняння

$1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 = 0 \label{1.6.6}$

є очевидним кандидатом на труднощі. Чотири однакові рішення є $x = 1$ , але $x = 1$ не тільки $f(x)$ нуль, але так є $f^\prime (x)$ . Коли рішення $x = 1$ наближається, конвергенція стає дуже повільною, але в кінцевому підсумку комп'ютер або калькулятор запише повідомлення про помилку, коли він намагається розділити на майже нуль $f^\prime (x)$ .

Я згадую лише один останній приклад дуже коротко. Обговорюючи орбіти, ми зіткнемося з рівнянням, відомим як рівняння Кеплера. Процес Ньютона-Рафсона майже завжди вирішує рівняння Кеплера з вражаючою швидкістю, навіть при дуже поганій першій здогадці. Однак є кілька дуже рідкісних випадків. практично ніколи не зустрічаються на практиці, де метод дає збій. Ми обговоримо це рівняння в главі 9.