3.6: Додаткові методи інтеграції

Інтеграція по частинам

Інтеграція частинами - це метод інтеграції, який дозволяє нам знаходити антипохідні деяких нових функцій, таких$\ln(x)$ як, а також антипохідні продуктів функцій, таких як$x^2\ln(x)$ і$xe^x$.

Якщо функція, яку ми намагаємося інтегрувати, може бути написана як добуток двох функцій$u$$dv$, а потім інтеграція частинами дозволяє нам торгувати складний інтеграл для, сподіваюся, простішого.

Інтеграція за формулою частин

$$\int u\, dv = uv-\int v\, du \nonumber$$

Для певних інтегралів:

$$\int_a^b u\, dv = \left.uv\right]_a^b-\int_a^b v\, du \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Інтегрувати$\int xe^x\, dx$.

Рішення

Щоб використовувати метод Інтеграція частинами, ми розбиваємо виріб на дві частини:

$$u=x \qquad\text{and}\qquad dv=e^x\, dx.\nonumber$$

Тепер ми обчислимо$du$, похідну від$u$$v$, і, інтеграл$dv$:

$$du=\left(\frac{d}{dx} x\right)\, dx \qquad\text{and}\qquad v= \int e^x\, dx = e^x.\nonumber$$

Використовуючи формулу Інтеграція частинами,

$$\int xe^x\, dx=uv-\int v\, du = xe^x - \int e^x\, dx.\nonumber$$

Зверніть увагу, що залишився інтеграл простіше, ніж оригінал, і той, який ми можемо легко оцінити:

$$xe^x - \int e^x\, dx = xe^x-e^x+C. \nonumber$$

В останньому прикладі ми могли б вибрати$x$ або$e^x$ як наш$u$, але якби ми вибрали$u=e^x$, другий інтеграл став би більш смішним, а не простішим.

Емпіричне правило

При виборі параметра «Інтеграція$u$ по частинам» виберіть логарифмічний вираз, якщо він присутній. Якщо ні, виберіть алгебраїчний вираз (наприклад,$x$ або$dx$).

(Існує більше дерево рішень, які можуть бути записані для вибору$u$ і$dv$, але оскільки ми не дивимося на будь-які тригонометричні функції в цьому курсі, правило вище є достатнім для функцій, які ми інтегруємо.)

Приклад$\PageIndex{2}$

Інтегрувати$\int\limits_1^4\, 6x^2\ln(x)\, dx$.

Рішення

Оскільки це містить логарифмічний вираз, ми будемо використовувати його для нашого u:

$$u=\ln(x) \qquad \text{and} \qquad dv= 6x^2\, dx\nonumber$$

Тепер розрахуємо$du$ і$v$:

$$du=\frac{1}{x}dx \qquad \text{and} \qquad v= \int 6x^2\, dx = 6\frac{x^3}{3}=2x^3 \nonumber$$

Використовуючи формулу За частинами:

$$\int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \int_1^4 6x^2\frac{1}{x}\, dx \nonumber$$

Ми можемо спростити вираз в інтегралі справа:

$$\int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \int_1^4 6x\, dx \nonumber$$

Що залишився інтеграл є базовим, який ми тепер можемо оцінити:

$$\int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \left.3x^2\right]_1^4 \nonumber$$

Нарешті, ми можемо оцінити вирази:

$$\begin{align*} \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx & = \left(\left(2\cdot 4^3\ln(4)\right)-\left(2\cdot 1^3\ln(1)\right)\right)-\left(\left(3\cdot 4^2\right)-\left(3\cdot 1^2\right)\right)\\ & = 128\ln(4)-45\\ \approx & 132.446 \end{align*} \nonumber$$

Інтеграція з використанням таблиць інтегралів

Є багато методів інтеграції, які ми не будемо вивчати. Багато з них призводять до загальних формул, які можуть бути складені в Таблицю інтегралів - тип чіт-аркуша для інтеграції.

Наприклад, ось два записи, які ви можете знайти в таблиці інтегралів:

Таблиця інтегральних прикладів

$$\begin{align*} \int \frac{1}{x^2-a^2}\, dx & = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\, dx & = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C \end{align*} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{3}$

Інтегрувати$\displaystyle \int\frac{5}{x^2-9}\, dx$.

Рішення

Цей інтеграл дуже схожий на вигляд першого інтеграла в таблиці прикладів. Використовуючи правило, яке дозволяє нам витягувати константи, і переписуючи 9 як$3^2$, ми можемо краще бачити збіг.

$$\int\frac{5}{x^2-9}\, dx = 5\int\frac{1}{x^2-3^2}\, dx \nonumber$$

Тепер просто використовуємо формулу з таблиці, з$a = 3$.

$$\begin{align*} \int\frac{5}{x^2-9}\, dx = & 5\int\frac{1}{x^2-3^2}\, dx \\ & = 5\left(\frac{1}{2\cdot 3}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|\right)+C \\ & = \frac{5}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C \end{align*} \nonumber$$

Іноді нам доводиться поєднувати таблицю з іншими методами, які ми вивчили, наприклад, заміною.

Приклад$\PageIndex{4}$

Інтегрувати$\displaystyle \int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx$.

Рішення

Цей інтеграл виглядає чимось як другий інтеграл в таблиці прикладів$x$, але сила неправильна, і є$x^2$ в чисельнику, який не збігається. Намагаючись використовувати це правило, ми можемо спробувати переписати$x^6$ в знаменник, щоб виглядати як (щось)$^2$. На щастя,$x^6 = \left(x^3\right)^2$.

$$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx = \int\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+16}}\, dx \nonumber$$

Тепер ми можемо використовувати підміну, дозволяючи$u=x^3$, так$du=3x^2\, dx$.

Внесення заміни:

$$\int\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+16}}\, dx = \int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, du \nonumber$$

Тепер ми можемо використовувати запис таблиці:

$$\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, du = \frac{1}{3}\ln\left|u+\sqrt{u^2+16}\right|+C \nonumber$$

Скасування заміни дає остаточну відповідь:

$$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx = \frac{1}{3}\ln\left|x^3+\sqrt{x^6+16}\right|+C \nonumber$$