3.6: Додаткові методи інтеграції

Інтеграція по частинам

Інтеграція частинами - це метод інтеграції, який дозволяє нам знаходити антипохідні деяких нових функцій, таких\( \ln(x) \) як, а також антипохідні продуктів функцій, таких як\( x^2\ln(x) \) і\( xe^x \).

Якщо функція, яку ми намагаємося інтегрувати, може бути написана як добуток двох функцій\(u\)\(dv\), а потім інтеграція частинами дозволяє нам торгувати складний інтеграл для, сподіваюся, простішого.

Інтеграція за формулою частин

\[ \int u\, dv = uv-\int v\, du \nonumber \]

Для певних інтегралів:\[ \int_a^b u\, dv = \left.uv\right]_a^b-\int_a^b v\, du \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Інтегрувати\( \int xe^x\, dx \).

Рішення

Щоб використовувати метод Інтеграція частинами, ми розбиваємо виріб на дві частини:\[ u=x \qquad\text{and}\qquad dv=e^x\, dx.\nonumber \]

Тепер ми обчислимо\(du\), похідну від\(u\)\(v\), і, інтеграл\(dv\):\[ du=\left(\frac{d}{dx} x\right)\, dx \qquad\text{and}\qquad v= \int e^x\, dx = e^x.\nonumber \]

Використовуючи формулу Інтеграція частинами,\[ \int xe^x\, dx=uv-\int v\, du = xe^x - \int e^x\, dx.\nonumber \]

Зверніть увагу, що залишився інтеграл простіше, ніж оригінал, і той, який ми можемо легко оцінити:\[ xe^x - \int e^x\, dx = xe^x-e^x+C. \nonumber \]

В останньому прикладі ми могли б вибрати\(x\) або\( e^x \) як наш\(u\), але якби ми вибрали\( u=e^x \), другий інтеграл став би більш смішним, а не простішим.

Емпіричне правило

При виборі параметра «Інтеграція\(u\) по частинам» виберіть логарифмічний вираз, якщо він присутній. Якщо ні, виберіть алгебраїчний вираз (наприклад,\(x\) або\(dx\)).

(Існує більше дерево рішень, які можуть бути записані для вибору\( u \) і\( dv \), але оскільки ми не дивимося на будь-які тригонометричні функції в цьому курсі, правило вище є достатнім для функцій, які ми інтегруємо.)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Інтегрувати\( \int\limits_1^4\, 6x^2\ln(x)\, dx \).

Рішення

Оскільки це містить логарифмічний вираз, ми будемо використовувати його для нашого u:\[ u=\ln(x) \qquad \text{and} \qquad dv= 6x^2\, dx\nonumber \]

Тепер розрахуємо\(du\) і\(v\):\[ du=\frac{1}{x}dx \qquad \text{and} \qquad v= \int 6x^2\, dx = 6\frac{x^3}{3}=2x^3 \nonumber \]

Використовуючи формулу За частинами:\[ \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \int_1^4 6x^2\frac{1}{x}\, dx \nonumber \]

Ми можемо спростити вираз в інтегралі справа:\[ \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \int_1^4 6x\, dx \nonumber \]

Що залишився інтеграл є базовим, який ми тепер можемо оцінити:\[ \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \left.3x^2\right]_1^4 \nonumber \]

Нарешті, ми можемо оцінити вирази:\[ \begin{align*} \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx & = \left(\left(2\cdot 4^3\ln(4)\right)-\left(2\cdot 1^3\ln(1)\right)\right)-\left(\left(3\cdot 4^2\right)-\left(3\cdot 1^2\right)\right)\\ & = 128\ln(4)-45\\ \approx & 132.446 \end{align*} \nonumber \]

Інтеграція з використанням таблиць інтегралів

Є багато методів інтеграції, які ми не будемо вивчати. Багато з них призводять до загальних формул, які можуть бути складені в Таблицю інтегралів - тип чіт-аркуша для інтеграції.

Наприклад, ось два записи, які ви можете знайти в таблиці інтегралів:

Таблиця інтегральних прикладів

\[ \begin{align*} \int \frac{1}{x^2-a^2}\, dx & = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\, dx & = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C \end{align*} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Інтегрувати\( \displaystyle \int\frac{5}{x^2-9}\, dx \).

Рішення

Цей інтеграл дуже схожий на вигляд першого інтеграла в таблиці прикладів. Використовуючи правило, яке дозволяє нам витягувати константи, і переписуючи 9 як\(3^2\), ми можемо краще бачити збіг. \[ \int\frac{5}{x^2-9}\, dx = 5\int\frac{1}{x^2-3^2}\, dx \nonumber \]

Тепер просто використовуємо формулу з таблиці, з\(a = 3\). \[ \begin{align*} \int\frac{5}{x^2-9}\, dx = & 5\int\frac{1}{x^2-3^2}\, dx \\ & = 5\left(\frac{1}{2\cdot 3}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|\right)+C \\ & = \frac{5}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C \end{align*} \nonumber \]

Іноді нам доводиться поєднувати таблицю з іншими методами, які ми вивчили, наприклад, заміною.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Інтегрувати\( \displaystyle \int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx \).

Рішення

Цей інтеграл виглядає чимось як другий інтеграл в таблиці прикладів\(x\), але сила неправильна, і є\(x^2\) в чисельнику, який не збігається. Намагаючись використовувати це правило, ми можемо спробувати переписати\(x^6\) в знаменник, щоб виглядати як (щось)\(^2\). На щастя,\( x^6 = \left(x^3\right)^2 \). \[ \int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx = \int\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+16}}\, dx \nonumber \]

Тепер ми можемо використовувати підміну, дозволяючи\( u=x^3 \), так\( du=3x^2\, dx \).

Внесення заміни:\[ \int\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+16}}\, dx = \int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, du \nonumber \]

Тепер ми можемо використовувати запис таблиці:\[ \frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, du = \frac{1}{3}\ln\left|u+\sqrt{u^2+16}\right|+C \nonumber \]

Скасування заміни дає остаточну відповідь:\[ \int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx = \frac{1}{3}\ln\left|x^3+\sqrt{x^6+16}\right|+C \nonumber \]