3.5: Заміна

У нас не так багато правил інтеграції. Для багатьох проблем, які ми бачимо, правила безпосередньо не застосовуватимуться; спочатку нам доведеться зробити деякі алгебраїчні маніпуляції. На практиці записати антипохідну функції набагато складніше, ніж знайти похідну. (Насправді дуже легко написати функцію, яка не має жодної антидеривативної, яку ви можете знайти за допомогою алгебри, хоча довести, що вона не має антидериватива, набагато складніше.)

Метод підстановки (також званий$u$ -заміщення) є одним із способів алгебраїчного маніпулювання цілим числом, щоб правила застосовувалися. Це спосіб розкрутити або скасувати правило ланцюга для похідних. Коли ви знаходите похідну функції за допомогою правила ланцюга, ви отримуєте добуток чогось подібного до вихідної функції на похідну. Ми можемо змінити це, щоб написати інтеграл:

$$\frac{d}{dx} f\left( g(x) \right) = f'\left( g(x) \right)g'(x) \nonumber$$ так $$f\left( g(x) \right) =\int f'\left( g(x) \right)g'(x)\, dx\nonumber$$

З підстановкою будемо підставляти$u=g(x)$ (звідси і назва $u$-підстановка). Це означає$\frac{du}{dx}=g'(x)$, що так$du=g'(x)dx$. Роблячи ці заміни,$\int f'\left( g(x) \right)g'(x)\, dx$ стає$\int f'(u)\, du$, які, ймовірно, буде простіше інтегрувати.

Спробуйте$u$ -Заміна, коли ви бачите продукт у вашому інтегралі, особливо якщо ви визнаєте один фактор як похідну деякої частини іншого фактора.

The$u$-Substitution Method for Antiderivatives

Мета полягає в тому, щоб$\int f\left( g(x) \right)\, dx$ перетворитися в$\int f(u)\, du$, де$f(u)$ набагато менш безладно, ніж$f\left(g(x)\right)$.

1. $u$Дозволяти бути деякою частиною цілісного. Хороший перший вибір - це один крок всередині найсміливішого біта.
2. Обчислити$du=\frac{du}{dx}\,dx$.
3. Перекласти всі ваші$x$ '$u$s в скрізь в інтеграл, в тому числі$dx$. Коли ви закінчите, ви повинні мати новий інтеграл, який повністю знаходиться в$u$. Якщо у вас$x$ залишилося щось, то це свідчить про те, що заміна не спрацювала або не завершена; можливо, вам доведеться повернутися до кроку 1 і спробувати інший вибір для$u$.
4. Інтегруйте новий$u$ -інтеграл, якщо це можливо. Якщо ви все ще не можете інтегрувати його, поверніться до кроку 1 і спробуйте інший вибір$u$.
5. Нарешті, замінити назад$x$ '$u$s для скрізь у вашій відповіді.

Приклад$\PageIndex{1}$

Оцінити$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx$.

Рішення

Цей integrand є більш складним, ніж будь-що в нашому списку основних інтегральних формул, тому нам доведеться спробувати щось інше. Єдиний інструмент, який ми маємо, - це заміна, тому давайте спробуємо це!

1. $u$Дозволяти бути деякою частиною цілісного. Хороший перший вибір - один крок всередині найсміливішого біта:

   Нехай$u=4-x^2$.

2. Обчислити$du=\frac{du}{dx}\,dx$:

   $du=-2x\, dx$. Є$x\, dx$ в integrand, так що це хороший знак; це буде$-\frac{1}{2}\,du$.

3. Перекладіть всі ваші$x$$u$ в скрізь в інтегралі, включаючи$dx$:
   $$\begin{align*} \int\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx & = \int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}(x\, dx) \\ & = \int\frac{1}{\sqrt{u}}\left(-\frac{1}{2}du\right) \\ & = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}\, du \\ & = -\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\, du \end{align*} \nonumber$$

   Крім того, ми могли б вирішити для dx і підставити це і спрощено:$dx=\frac{du}{-2x}$, так

   $$\begin{align*} \int\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx & = \int\frac{x}{\sqrt{u}}\left(\frac{du}{-2x}\right) \\ & = \int\frac{1}{\sqrt{u}}\left(-\frac{1}{2}du\right) \\ & = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}\, du \\ & = -\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\, du \end{align*} \nonumber$$

4. Інтегруйте новий$u$ -інтеграл, якщо це можливо:
   $$-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\, du = -\frac{1}{2}\frac{u^{1/2}}{1/2}+C=-u^{1/2}+C \nonumber$$

5. Нарешті, замінити назад$x$ для$u$ всюди у відповідь:

   Скасування нашої прибутковості$u=4-x^2$ заміщення

   $$-u^{1/2}+C = -\sqrt{4-x^2}+C. \nonumber$$

Таким чином, ми знайшли

$$\int\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx= -\sqrt{4-x^2}+C \nonumber$$

Як би ми це перевірили? Шляхом диференціації:

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(-\sqrt{4-x^2}+C\right) & = \frac{d}{dx}\left(-\left(4-x^2\right)^{1/2}+C\right) \\ & = -\frac{1}{2}\left(4-x^2\right)^{-1/2}(-2x) \\ & = x\left(4-x^2\right)^{-1/2} \\ & = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \end{align*} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$

Оцінити$\displaystyle \int\frac{e^x\, dx}{\left(e^x+15\right)^3}$.

Рішення

Цього інтеграла немає в нашому списку будівельних блоків. Але зверніть увагу, що похідна від$e^x+15$ (яку ми бачимо в знаменнику) просто$e^x$ (що ми бачимо в чисельнику), тому підміна буде хорошим вибором для цього.

Нехай$u=e^x+15$. Потім$du=e^x\, dx$, і цей невід'ємний стає$\int\frac{du}{u^3} = \int u^{-3}\, du$.

На щастя, це в нашому списку формул будівельного блоку:$\int\frac{du}{u^3} = \frac{u^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{2u^2}+C$.

Нарешті, переклавши назад:

$$\int\frac{e^x\, dx}{\left(e^x+15\right)^3} = -\frac{1}{2\left(e^x+15\right)^2} +C. \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{3}$

Оцінити

1. $\displaystyle \int\frac{x^2}{x^3+5}\, dx$
2. $\displaystyle \int\frac{x^3+5}{x^2}\, dx$

Рішення

1. Це не основний інтеграл, але склад менш очевидний. Тут ми можемо розглядати знаменник як внутрішню частину$\frac{1}{x}$ функції.

   Нехай$u=x^3+5$. Потім$du=3x^2\, dx$. Рішення для$dx$,$dx=\frac{du}{3x^2}$. Підставляючи,

   $$\int\frac{x^2}{x^3+5}\, dx = \int\frac{x^2}{u}\frac{du}{3x^2} = \int \frac{1}{u}\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\, du \nonumber$$

   Використовуючи наші основні формули,

   $$\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3}\ln|u| +C. \nonumber$$

   Скасування підміни,

   $$\int\frac{x^2}{x^3+5}\, dx = \frac{1}{3}\ln\left|x^3+5\right| +C. \nonumber$$

2. Заманливо починати цю задачу так само, як ми робили останню, але якщо ми спробуємо не вийде, так як чисельник цього дробу не є похідною від знаменника. Натомість нам потрібно спробувати інший підхід. Для цієї задачі ми можемо використовувати деякі основні алгебри: $$\begin{align*} \int\frac{x^3+5}{x^2}\, dx & = \int\left(\frac{x^3}{x^2}+\frac{5}{x^2}\right)\, dx \\ & = \int\left(x+5x^{-2}\right)\, dx. \end{align*} \nonumber$$

   Ми можемо інтегрувати це за допомогою наших основних правил, не потребуючи підміни:

   $$\begin{align*} \int\left(x+5x^{-2}\right)\, dx & = \frac{x^2}{2}+5\frac{x^{-1}}{-1}+C \\ & = \frac{1}{2}x^2-\frac{5}{x}+C. \end{align*} \nonumber$$

Заміна та визначені інтеграли

Коли ви використовуєте заміщення, щоб допомогти оцінити певний інтеграл, у вас є вибір, як обробляти межі інтеграції. Ви можете зробити будь-який з них, залежно від того, що здається вам краще. Важливо пам'ятати, що початковими межами інтеграції були значення вихідної змінної (скажімо,$x$), а не значення нової змінної (скажімо,$u$).

1. Ви можете вирішити антидериватив як побічну задачу, переводячи назад до$x$ 's, а потім використовувати антидериватив з початковими межами інтеграції.

   Або...

2. Ви можете замінити межі інтеграції в той же час, коли ви замінюєте все всередині інтеграла, а потім пропустити переклад назад на$x$ крок.

   Якщо оригінальний інтеграл мав кінцеві точки$x =a$ і$x =b$, і ми робимо підстановку$u = g(x )$ і$du = g'(x )\, dx$, то новий інтеграл буде мати кінцеві точки$u= g(a)$ і$u=g(b)$ і

   $$\int_{x=a}^{x=b}\text{(original integrand)}\, dx\nonumber$$ стає $$\int_{u=g(a)}^{u=g(b)} \text{(new integrand)}\, du.\nonumber$$

Спосіб 1 здається більш простим для більшості студентів, але він може включати деяку брудну алгебру. Спосіб 2 часто акуратніше і зазвичай передбачає меншу кількість кроків.

Приклад$\PageIndex{4}$

Оцінити$\int\limits_0^1 (3x-1)^4\, dx$.

Рішення

Нам знадобиться заміна, щоб знайти антидериватив, тому нам потрібно буде ретельно обробляти межі інтеграції. Давайте вирішимо цей приклад обома способами.

1. Крок перший — знайдіть антидериватив, використовуючи підстановку:

   Нехай$u=3x-1$. Потім$du=3\, dx$ і

   $$\int(3x-1)^4\, dx = \int u^4\left(\frac{1}{3}\, du\right) = \frac{1}{3}\frac{u^5}{5}+C. \nonumber$$

   Переклад назад на$x$:

   $$\frac{1}{3}\frac{u^5}{5}+C = \frac{(3x-1)^5}{15}+C. \nonumber$$

   Крок другий — оцініть певний інтеграл:

   $$\int\limits_0^1 (3x-1)^4\, dx = \left. \frac{(3x-1)^5}{15}\right]_0^1 = \frac{\left(3(1)-1\right)^5}{15} - \frac{\left(3(0)-1\right)^5}{15} = \frac{32}{15}-\frac{-1}{15}=\frac{33}{15}. \nonumber$$

2. Нехай$u=3x-1$. Потім$du=3\, dx$ і, підставляючи межі інтеграції, коли$x = 0$$u = -1$, і коли$x = 1$,$u = 2$.

   Отже,

   $$\begin{align*} \int_{x=0}^{x=1} (3x-1)^4\, dx & = \int_{u=-1}^{u=2} u^4\left(\frac{1}{3}\, du\right) \\ & = \left.\frac{u^5}{15}\right]_{u=-1}^{u=2} \\ & = \frac{(2)^5}{15}-\frac{(-1)^5}{15} \\ & = \frac{32}{15}-\frac{-1}{15} \\ & = \frac{33}{15} \end{align*} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{5}$

Оцінити$\int\limits_2^{10} \frac{\left(\ln(x)\right)^6}{x}\, dx$.

Рішення

Я$\ln(x)$ бачу похідну від integrand, тому я можу сказати, що заміна є хорошим вибором.

Нехай$u=\ln(x)$. Потім$du=\frac{1}{x}\, dx$. Коли$x=2$,$u=\ln(2)$. Коли$x=10$,$u=\ln(10)$. Таким чином, новий певний інтеграл

$$\begin{align*} \int\limits_{x=2}^{x=10}\frac{\left(\ln(x)\right)^6}{x}\, dx & = \int\limits_{u=\ln(2)}^{u=\ln(10)} u^6\, du \\ & = \left.\frac{u^7}{7}\right]_{u=\ln(2)}^{u=\ln(10)} \\ & = \frac{1}{7}\left(\left(\ln(10)\right)^7-\left(\ln(2)\right)^7\right) \\ \approx & 49.01. \end{align*} \nonumber$$