3.5: Заміна
У нас не так багато правил інтеграції. Для багатьох проблем, які ми бачимо, правила безпосередньо не застосовуватимуться; спочатку нам доведеться зробити деякі алгебраїчні маніпуляції. На практиці записати антипохідну функції набагато складніше, ніж знайти похідну. (Насправді дуже легко написати функцію, яка не має жодної антидеривативної, яку ви можете знайти за допомогою алгебри, хоча довести, що вона не має антидериватива, набагато складніше.)
Метод підстановки (також званийu -заміщення) є одним із способів алгебраїчного маніпулювання цілим числом, щоб правила застосовувалися. Це спосіб розкрутити або скасувати правило ланцюга для похідних. Коли ви знаходите похідну функції за допомогою правила ланцюга, ви отримуєте добуток чогось подібного до вихідної функції на похідну. Ми можемо змінити це, щоб написати інтеграл:ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x) такf(g(x))=∫f′(g(x))g′(x)dx
З підстановкою будемо підставлятиu=g(x) (звідси і назва u-підстановка
). Це означаєdudx=g′(x), що такdu=g′(x)dx. Роблячи ці заміни,∫f′(g(x))g′(x)dx стає∫f′(u)du, які, ймовірно, буде простіше інтегрувати.
Спробуйтеu -Заміна, коли ви бачите продукт у вашому інтегралі, особливо якщо ви визнаєте один фактор як похідну деякої частини іншого фактора.
Мета полягає в тому, щоб∫f(g(x))dx перетворитися в∫f(u)du, деf(u) набагато менш безладно, ніжf(g(x)).
- uДозволяти бути деякою частиною цілісного. Хороший перший вибір - це
один крок всередині найсміливішого біта.
- Обчислитиdu=dudxdx.
- Перекласти всі вашіx 'us в скрізь в інтеграл, в тому числіdx. Коли ви закінчите, ви повинні мати новий інтеграл, який повністю знаходиться вu. Якщо у васx залишилося щось, то це свідчить про те, що заміна не спрацювала або не завершена; можливо, вам доведеться повернутися до кроку 1 і спробувати інший вибір дляu.
- Інтегруйте новийu -інтеграл, якщо це можливо. Якщо ви все ще не можете інтегрувати його, поверніться до кроку 1 і спробуйте інший вибірu.
- Нарешті, замінити назадx 'us для скрізь у вашій відповіді.
Оцінити∫x√4−x2dx.
Рішення
Цей integrand є більш складним, ніж будь-що в нашому списку основних інтегральних формул, тому нам доведеться спробувати щось інше. Єдиний інструмент, який ми маємо, - це заміна, тому давайте спробуємо це!
- uДозволяти бути деякою частиною цілісного. Хороший перший вибір -
один крок всередині найсміливішого біта
:Нехайu=4−x2.
- Обчислитиdu=dudxdx:
du=−2xdx. Єxdx в integrand, так що це хороший знак; це буде−12du.
- Перекладіть всі вашіxu в скрізь в інтегралі, включаючиdx:
∫x√4−x2dx=∫1√4−x2(xdx)=∫1√u(−12du)=−12∫1√udu=−12∫u−1/2du
Крім того, ми могли б вирішити для dx і підставити це і спрощено:dx=du−2x, так∫x√4−x2dx=∫x√u(du−2x)=∫1√u(−12du)=−12∫1√udu=−12∫u−1/2du
- Інтегруйте новийu -інтеграл, якщо це можливо:
−12∫u−1/2du=−12u1/21/2+C=−u1/2+C
- Нарешті, замінити назадx дляu всюди у відповідь:
Скасування нашої прибутковостіu=4−x2 заміщення−u1/2+C=−√4−x2+C.
Таким чином, ми знайшли∫x√4−x2dx=−√4−x2+C
Як би ми це перевірили? Шляхом диференціації:ddx(−√4−x2+C)=ddx(−(4−x2)1/2+C)=−12(4−x2)−1/2(−2x)=x(4−x2)−1/2=x√4−x2
Оцінити∫exdx(ex+15)3.
Рішення
Цього інтеграла немає в нашому списку будівельних блоків. Але зверніть увагу, що похідна відex+15 (яку ми бачимо в знаменнику) простоex (що ми бачимо в чисельнику), тому підміна буде хорошим вибором для цього.
Нехайu=ex+15. Потімdu=exdx, і цей невід'ємний стає∫duu3=∫u−3du.
На щастя, це в нашому списку формул будівельного блоку:∫duu3=u−2−2+C=−12u2+C.
Нарешті, переклавши назад:∫exdx(ex+15)3=−12(ex+15)2+C.
Оцінити
- ∫x2x3+5dx
- ∫x3+5x2dx
Рішення
- Це не основний інтеграл, але склад менш очевидний. Тут ми можемо розглядати знаменник як внутрішню частину1x функції.
Нехайu=x3+5. Потімdu=3x2dx. Рішення дляdx,dx=du3x2. Підставляючи,∫x2x3+5dx=∫x2udu3x2=∫1udu3=13∫1udu
Використовуючи наші основні формули,13∫1udu=13ln|u|+C.
Скасування підміни,∫x2x3+5dx=13ln|x3+5|+C.
- Заманливо починати цю задачу так само, як ми робили останню, але якщо ми спробуємо не вийде, так як чисельник цього дробу не є похідною від знаменника. Натомість нам потрібно спробувати інший підхід. Для цієї задачі ми можемо використовувати деякі основні алгебри:∫x3+5x2dx=∫(x3x2+5x2)dx=∫(x+5x−2)dx.
Ми можемо інтегрувати це за допомогою наших основних правил, не потребуючи підміни:∫(x+5x−2)dx=x22+5x−1−1+C=12x2−5x+C.
Заміна та визначені інтеграли
Коли ви використовуєте заміщення, щоб допомогти оцінити певний інтеграл, у вас є вибір, як обробляти межі інтеграції. Ви можете зробити будь-який з них, залежно від того, що здається вам краще. Важливо пам'ятати, що початковими межами інтеграції були значення вихідної змінної (скажімо,x), а не значення нової змінної (скажімо,u).
- Ви можете вирішити антидериватив як побічну задачу, переводячи назад доx 's, а потім використовувати антидериватив з початковими межами інтеграції.
Або...
- Ви можете замінити межі інтеграції в той же час, коли ви замінюєте все всередині інтеграла, а потім пропустити
переклад назад наx
крок.Якщо оригінальний інтеграл мав кінцеві точкиx=a іx=b, і ми робимо підстановкуu=g(x) іdu=g′(x)dx, то новий інтеграл буде мати кінцеві точкиu=g(a) іu=g(b) і∫x=bx=a(original integrand)dx стає∫u=g(b)u=g(a)(new integrand)du.
Спосіб 1 здається більш простим для більшості студентів, але він може включати деяку брудну алгебру. Спосіб 2 часто акуратніше і зазвичай передбачає меншу кількість кроків.
Оцінити1∫0(3x−1)4dx.
Рішення
Нам знадобиться заміна, щоб знайти антидериватив, тому нам потрібно буде ретельно обробляти межі інтеграції. Давайте вирішимо цей приклад обома способами.
- Крок перший — знайдіть антидериватив, використовуючи підстановку:
Нехайu=3x−1. Потімdu=3dx і∫(3x−1)4dx=∫u4(13du)=13u55+C.
Переклад назад наx:13u55+C=(3x−1)515+C.
Крок другий — оцініть певний інтеграл:1∫0(3x−1)4dx=(3x−1)515]10=(3(1)−1)515−(3(0)−1)515=3215−−115=3315.
- Нехайu=3x−1. Потімdu=3dx і, підставляючи межі інтеграції, колиx=0u=−1, і колиx=1,u=2.
Отже,∫x=1x=0(3x−1)4dx=∫u=2u=−1u4(13du)=u515]u=2u=−1=(2)515−(−1)515=3215−−115=3315
Оцінити10∫2(ln(x))6xdx.
Рішення
Яln(x) бачу похідну від integrand, тому я можу сказати, що заміна є хорошим вибором.
Нехайu=ln(x). Потімdu=1xdx. Колиx=2,u=ln(2). Колиx=10,u=ln(10). Таким чином, новий певний інтегралx=10∫x=2(ln(x))6xdx=u=ln(10)∫u=ln(2)u6du=u77]u=ln(10)u=ln(2)=17((ln(10))7−(ln(2))7)≈49.01.