2.6: Правило ланцюга

Є ще один тип складної функції, яку ми хочемо знати, як диференціювати: склад. Правило ланцюга дозволить нам знайти похідну від композиції. (Це останнє похідне правило, яке ми дізнаємося!)

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть похідну від$y=\left(4x^3+15x\right)^2$.

Рішення

Це не простий многочлен, тому ми поки не можемо використовувати основні правила будівельного блоку. Це продукт, тому ми могли б написати його як$y=\left(4x^3+15x\right)^2=\left(4x^3+15x\right)\left(4x^3+15x\right)$ і використовувати правило продукту. Або ми могли б помножити його і просто диференціювати отриманий многочлен. Я зроблю це другим способом: $$\begin{align*} y & = \left(4x^3+15x\right)^2\\ & = 16x^6+120x^4+225x^2\\ y' & = 96x^5+480x^3+450x \end{align*} \nonumber$$

Тепер припустимо, що ми хочемо знайти похідну від$y=\left(4x^3+15x\right)^{20}$. Ми могли б написати його як продукт з 20 факторами і використовувати правило продукту, або ми могли б помножити його. Але я не хочу цього робити, чи не так?

Потрібен більш простий спосіб, правило, яке впорається з такою композицією. Правило ланцюга трохи складне, але воно рятує нас набагато складнішою алгеброю множення чогось подібного. Він також буде обробляти композиції там, де його неможливо було б помножити.

Правило ланцюга є загальним місцем для студентів, щоб зробити помилки. Частково причина полягає в тому, що до позначення потрібно трохи звикнути. І частина причини полягає в тому, що студенти часто забувають використовувати його, коли повинні. Коли слід використовувати правило ланцюга? Майже кожен раз, коли ви берете похідну.

Похідні правила: Правило ланцюга

У чому випливає,$f$ and $g$ are differentiable functions where $y = f(g(x))$. We could alternatively write $y=f(u)$ and $u=g(x)$.

Правило ланцюга (позначення Лейбніца)

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\nonumber$$

Зверніть увагу,$du$ що здається скасувати. Це одна з переваг позначення Лейбніца - вона може нагадати вам про те, як правило ланцюга змикається між собою.

Правило ланцюга (з використанням простих позначень)

$$\frac{d}{dx} f\left(g(x)\right) =f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\nonumber$$

Правило ланцюга (прописом)

Похідна композиції - це похідна від зовнішнього (з внутрішньою частиною залишається незмінною) TIMES похідне від внутрішньої частини.

Я декламую версію словами кожен раз, коли беру похідну, особливо якщо функція складна.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть похідну від$y=\left(4x^3+15x\right)^2$.

Рішення

Це те саме, що ми робили раніше, множивши. Цього разу скористаємося Правилом ланцюга: Внутрішня функція - це те, що з'являється всередині дужок:$4x^3+15x$. Зовнішня функція - це перше, що ми знаходимо, коли ми входимо ззовні - це квадратна функція,$(\text{inside})^2$.

Похідна цієї зовнішньої функції є$(2\cdot\text{inside})$. Тепер, використовуючи правило ланцюга, похідна нашої початкової функції$(2\cdot\text{inside})$ TIMES - похідна внутрішньої (яка є$12x^2+15$): $$y'=2\left(4x^3+15x\right)\left(12x^2+15 \right)\nonumber$$

Якщо помножити це, ви отримаєте ту ж відповідь, яку ми отримали раніше. Ура! Алгебра працює!

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть похідну від$y=\left(4x^3+15x\right)^{20}$.

Рішення

Тепер у нас є спосіб впоратися з цим. Це похідне від зовнішнього TIMES похідне від внутрішньої.

Зовнішня функція є$\left(\text{inside}\right)^{20}$, яка має похідну$20\left(\text{inside}\right)^{19}$, так $$y'=20\left(4x^3+15x\right)^{19}\left(12x^2+15\right).\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{4}$

Диференціювати$y=e^{x^2+5}$.

Рішення

Це не проста експоненціальна функція; це композиція. Типовий калькулятор або комп'ютерний синтаксис може допомогти вам побачити, що таке функція «всередині» тут. Наприклад, на калькуляторі TI, коли ви натискаєте$e^x$ клавішу, він відкриває дужки:$\boxed{e^{\wedge}(}$. Це говорить вам про те, що «всередині» експоненціальної функції є показником. Тут внутрішня частина - експонента$x^2+5$. Тепер ми можемо використовувати Правило ланцюга: Ми хочемо, щоб похідна зовнішнього TIMES була похідною від внутрішньої частини. Зовні - це щось функція, тому її похідна - це те ж саме.$e$ Похідне від того, що знаходиться всередині$2x$. Так $$\frac{d}{dx}\left( e^{x^2+5} \right)= \left( e^{x^2+5} \right)\cdot (2x).\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{5}$

Таблиця дає значення для$f$,$f'$$g$,, і$g'$ в ряді точок. Використовуйте ці значення для визначення$( f \circ g )(x)$ і$( f \circ g ) '(x)$ at$x = -1$ і 0.

$x$	$f(x)$	$g(x)$	$f'(x)$	$g'(x)$	$(f\circ g)(x)$	$(g\circ f)(x)$
-1	2	3	1	0
0	-1	1	3	2
1	1	0	-1	3
2	3	-1	0	1
3	0	2	2	-1

Рішення

$$\begin{align*} (f\circ g)(-1) & = f\left(g(-1)\right)=f(3)=0\\ (f\circ g)(0) & = f\left(g(0)\right)=f(1)=1\\ (f\circ g)'(-1) & = f'\left(g(-1)\right)\cdot g'(-1)=f'(3)\cdot (0)=(2)(0)=0 \text{ and}\\ (f\circ g)'(0) & = f'\left(g(0)\right)\cdot g'(0)=f'(1)\cdot (2)=(-1)(2)=-2 \end{align*} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{6}$

Якщо зараз у 2400 людей є захворювання, і кількість людей з хворобою, здається, подвоюється кожні 3 роки, то кількість людей, які очікують мати хворобу в$t$ роки, становить$y=2400\cdot 2^{t/3}$.

1. У скількох людей очікується захворювання через 2 роки?
2. Коли очікується, що хвороба хворіє на 50 000 людей?
3. Наскільки швидко кількість людей із захворюванням, як очікується, зросте зараз і через 2 роки?

1. У 2 роки$y = 2400\cdot 2^{2/3} \approx 3,810$ людина.
2. Ми знаємо$y = 50,000$, і нам потрібно вирішити$50,000 = 2400\cdot 2^{t/3}$ для$t$. Ми могли б почати з виділення експоненціальної, розділивши обидві сторони на 2400.\[ \begin{align*} \frac{50000}{2400} & = 2^{t/3} \\ \ln\left(\frac{50000}{2400}\right) & = \ln\left(2^{t/3}\right) \qquad \text{(Taking the natural log of both sides.)}\\ \ln\left(\frac{50000}{2400}\right) & = \frac{t}{3}\ln(2) \qquad \text{(Using the exponent property for logs.)}\\ t & = \frac{3\ln\left(\frac{50000}{2400}\right)}{\ln(2)}\approx 13.14\text{ years}\qquad \text{(Solving for $t$.)} \end{align*} \nonumber \] Ми очікуємо, що 50,000 людей матимуть хворобу приблизно через 13.14 років.
3. Це просять,$\frac{dy}{dt}$ коли$t =$ 0 і 2 роки. Використовуючи правило ланцюга, $$\begin{align*} \frac{dy}{dt} & = \frac{d}{dt}\left(2400\cdot 2^{t/3}\right) \\ & = 2400\cdot 2^{t/3}\cdot \ln(2)\cdot\frac{1}{3} \\ & \approx 554.5\cdot 2^{t/3} \end{align*} \nonumber$$ Отже,$t=0$ за темпами зростання захворювання становить приблизно$554.5\cdot 2^0 \approx 554.5$ людей/рік. Через 2 роки темпи зростання становитимуть приблизно$554.5\cdot 2^{2/3} \approx 880$ людини/рік.

Похідні складних функцій

Тепер ви готові взяти похідну від деяких могутніх складних функцій. Але як сказати, яке правило застосовується в першу чергу? Пропрацюйте свій шлях ззовні - з чим ви стикаєтеся в першу чергу? Це перше правило, яке вам потрібно. Використовуйте правила продукту, частки та ланцюга, щоб знімати шари по одному, поки ви не опинитеся всередині.

Приклад$\PageIndex{7}$

Знайти$\frac{d}{dx}\left( e^{3x}\cdot\ln(5x+7) \right)$.

Рішення

Зайшовши ззовні, ми бачимо, що це добуток двох (складних) функцій. Отже, спочатку нам знадобиться Правило продукту. Ми заповнимо відомі нам шматки, а потім зможемо визначити решту як окремі кроки і замінити в кінці: $$\frac{d}{dx}\left( e^{3x}\cdot\ln(5x+7) \right)=\left( \frac{d}{dx}\left( e^{3x}\right)\right)\cdot\ln(5x+7)+ e^{3x}\cdot \left(\frac{d}{dx}\left(\ln(5x+7) \right)\right)\nonumber$$

Тепер в якості окремих кроків знайдемо $$\frac{d}{dx}\left( e^{3x}\right)=3e^{3x} \quad \text{ (using the Chain Rule)}\nonumber$$ і $$\frac{d}{dx}\left(\ln(5x+7) \right)=\frac{1}{5x+7}\cdot 5 \quad \text{ (also using the Chain Rule)}.\nonumber$$

Нарешті, щоб замінити їх на свої місця: $$\frac{d}{dx}\left( e^{3x}\cdot\ln(5x+7) \right)=\left( 3e^{3x}\right)\cdot\ln(5x+7)+ e^{3x}\cdot \left(\frac{1}{5x+7}\cdot 5\right)\nonumber$$

(Ми можемо зупинитися на цьому — нам не потрібно намагатися спростити далі.)

Приклад$\PageIndex{8}$

Диференціювати$z=\left(\dfrac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^4$.

Рішення

Не панікуйте! Коли ми входимо ззовні, що перше, з чим ми стикаємося? Це та четверта влада. Це говорить нам про те, що це композиція, (складна) функція, піднята до четвертої влади.

Крок перший: Використовуйте правило ланцюга. Похідна від зовнішнього TIMES похідна від внутрішньої: $$\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^4=4\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^3\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)\nonumber$$

Тепер ми один крок всередині, і ми можемо зосередитися тільки на$\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)$ частині. Тепер, коли ви входите ззовні, перше, що ви стикаєтеся, це частка - це частка двох (складних) функцій.

Крок другий: Використовуйте правило частки. Похідна чисельника проста, тому ми можемо просто обчислити її. Похідна від знаменника трохи складніше, тому залишимо її поки що: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)=\frac{\left( 9t^2 \right)\left( e^t(t-1) \right)-\left( 3t^3 \right)\left( \frac{d}{dt}\left( e^t(t-1) \right) \right)}{\left(e^t(t-1)\right)^2} \nonumber$$

Тепер ми пройшли ще один крок всередині, і ми можемо сконцентруватися тільки на$\frac{d}{dt}\left( e^t(t-1) \right)$ частині, яка включає в себе продукт.

Крок третій: Використовуйте правило продукту: $$\frac{d}{dt}\left( e^t(t-1)\right) = \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1)\nonumber$$

І тепер ми весь шлях в - більше ніяких похідних, щоб взяти!

Крок четвертий: Тепер це лише питання заміни назад — будьте обережні зараз!

$$\frac{d}{dt}\left( e^t(t-1)\right) = \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1) \nonumber$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)=\frac{\left( 9t^2 \right)\left( e^t(t-1) \right)-\left( 3t^3 \right)\left( \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1) \right)}{\left(e^t(t-1)\right)^2} \nonumber$$ так $$\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^4=4\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^3\cdot \left( \frac{\left( 9t^2 \right)\left( e^t(t-1) \right)-\left( 3t^3 \right)\left( \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1) \right)}{\left(e^t(t-1)\right)^2} \right)\nonumber$$

Фу!

Що робити, якщо похідної не існує?

диференційований

Функція називається диференційованою в точці, якщо її похідна існує в цій точці.

Ми діяли так, ніби похідні існують скрізь для кожної функції. Це вірно для більшості функцій, з якими ви зіткнетеся в цьому класі. Але є деякі загальні місця, де похідної не існує.

Пам'ятайте, що похідна - це нахил дотичної лінії до кривої. Ось про що потрібно подумати.

Де може не існувати схилу? Якщо дотична лінія вертикальна, похідної не існуватиме.

Приклад$\PageIndex{9}$

Показати,$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ що не диференціюється в$x = 0$.

Рішення

Знаходження похідної,$f(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3x^{2/3}}$. В$x = 0$, ця функція не визначена. З графіка ми бачимо, що дотична лінія до цієї кривої на$x = 0$ вертикальній з невизначеною нахилом, тому похідна не існує при$x = 0$.

Де може не існувати дотичної лінії?

Якщо на графіку є гострий кут (cusp), похідна не буде існувати в цій точці, оскільки немає чітко визначеної дотичної лінії (дотичної, якщо хочете).

Якщо на графіку є розрив (стрибок, перерва, дірка на графіку або вертикальна асимптота), дотична лінія буде різною з обох боків, і похідна не буде існувати в цій точці.

Приклад$\PageIndex{10}$

Показати,$f(x)=|x|$ що не диференціюється в$x = 0$.

Рішення

У лівій частині графіка нахил прямої дорівнює -1. У правій частині графіка нахил дорівнює +1. У гострому куті немає чітко визначеної дотичної лінії$x = 0$, тому функція не диференційована в цій точці.