2.5: Правило ланцюга

Мотивуючі питання

• Що таке композитна функція і як ми розпізнаємо її структуру алгебраїчно?
• З огляду на складову функцію\(C(x) = f(g(x))\), яка побудована з диференційовних функцій,\(f\) і\(g\text{,}\) як ми\(C'(x)\) обчислюємо з точки зору\(f\text{,}\)\(g\text{,}\)\(f'\text{,}\) і\(g'\text{?}\) Що таке твердження правила ланцюга?

Окрім того, що ми навчилися диференціювати різноманітні основні функції, ми також розвиваємо нашу здатність використовувати правила для диференціації певних алгебраїчних комбінацій з них.

Приклад 2.5.1

Створіть правило (и), щоб знайти похідну кожної з наступних комбінацій\(f(x) = \sin(x)\) і\(g(x) = x^2\text{:}\)

\[ s(x) = 3x^2 - 5\sin(x)\text{,} \nonumber \]

\[ p(x) = x^2 \sin(x), \text{and} \nonumber \]

\[ q(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2}\text{.} \nonumber \]

Відповідь

Пошук\(s'\) використовує суму та постійну множинну правила, тому що для\(s(x) = 3g(x) - 5f(x)\text{.}\) визначення\(p'\) потрібно правило добутку, тому що\(p(x) = g(x) \cdot f(x)\text{.}\) для обчислення\(q'\) ми використовуємо правило частки, тому що\(q(x) =\frac{f(x)}{g(x)}\text{.}\)

Існує ще один природний спосіб алгебраїчно поєднувати основні функції, і це шляхом їх складання. Наприклад, давайте розглянемо функцію

\[ C(x) = \sin(x^2)\text{,} \nonumber \]

і зауважте, що будь-який вхід\(x\) проходить через ланцюжок функцій. У процесі, який визначає функцію, спочатку\(C(x)\text{,}\)\(x\) зводиться в квадрат, а потім береться синус результату. Використовуючи діаграму зі стрілками,

\[ x \longrightarrow x^2 \longrightarrow \sin(x^2)\text{.} \nonumber \]

З точки зору елементарних функцій\(f\) і\(g\text{,}\) ми спостерігаємо, що\(x\) це вхід для функції,\(g\text{,}\) а результат використовується як вхід для\(f\text{.}\) We write

\[ C(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \nonumber \]

і сказати, що\(C\) це склад\(f\) і\(g\text{.}\) Ми будемо посилатися\(g\text{,}\) на функцію, яка спочатку застосовується до\(x\text{,}\) як внутрішня функція, тоді\(f\text{,}\) як функція, яка застосовується до результату, є зовнішньою функцією.

Задано складену функцію\(C(x) = f(g(x))\), яка побудована з диференційовних функцій\(f\)\(f\text{,}\)\(g\text{,}\)\(f'\text{,}\) і\(g\text{,}\)\(g'\text{?}\) як ми\(C'(x)\) обчислюємо термінами і Таким же чином, що швидкість зміни добутку двох функцій,\(p(x) = f(x) \cdot g(x)\text{,}\) залежить від поведінки \(f\)і\(g\text{,}\) те й інше, інтуїтивно має сенс, що швидкість зміни складової функції також\(C(x) = f(g(x))\) буде залежати від деякої комбінації\(f\)\(g\) та їх похідних. Правило, яке описує, як обчислювати з\(C'\) точки зору\(f\) та\(g\) та їх похідних, називається правилом ланцюга.

Але перш ніж ми зможемо дізнатися, що говорить правило ланцюга і чому воно працює, нам спочатку потрібно бути зручним, розкладаючи складові функції, щоб ми могли правильно ідентифікувати внутрішні та зовнішні функції, як ми це робили в прикладі вище з\(C(x) = \sin(x^2)\text{.}\)

Попередній перегляд активності 2.5.1

Для кожної функції, наведеної нижче, визначте її фундаментальну алгебраїчну структуру. Зокрема, дана функція є сумою, добутком, часткою або складом основних функцій? Якщо функція є складом основних функцій, вкажіть формулу для внутрішньої функції\(g\) та зовнішньої функції,\(f\) щоб загальна складена функція могла бути записана у вигляді\(f(g(x))\text{.}\) Якщо функція є сумою, добутком або часткою базових функцій, використовуйте відповідне правило для визначити її похідну.

1. \(\displaystyle h(x) = \tan(2^x)\)
2. \(\displaystyle p(x) = 2^x \tan(x)\)
3. \(\displaystyle r(x) = (\tan(x))^2\)
4. \(\displaystyle m(x) = e^{\tan(x)}\)
5. \(\displaystyle w(x) = \sqrt{x} + \tan(x)\)
6. \(\displaystyle z(x) = \sqrt{\tan(x)}\)

2.5.1 Правило ланцюга

Часто складену функцію неможливо записати в альтернативній алгебраїчній формі. Наприклад, функція\(C(x) = \sin(x^2)\) не може бути розширена або іншим чином переписана, тому вона не представляє альтернативних підходів до взяття похідної. Але деякі складові функції можуть бути розширені або спрощені, і вони дають спосіб вивчити, як працює правило ланцюга.

Приклад 2.5.2

Дозвольте\(f(x) = -4x + 7\)\(g(x) = 3x - 5\text{.}\) визначити формулу для\(C(x) = f(g(x))\) і обчислити\(C'(x)\text{.}\) Як\(C'\) пов'язано\(f\)\(g\) і їх похідні?

Відповідь

За правилами, наведеними для\(f\) і\(g\text{,}\)

\ почати {вирівнювати*} C (x) =\ математична стійка & f (г (x))\\ [4pt] =\ математична стійка & f (3x-5)\\ [4pt] =\ математична структура & -4 (3x-5) + 7\\ [4pt] =\ математична структура & -12x + 20 + 7\\ [4pt] =\ mathstrut & -12x + 20 + 7\\ [4pt] =\ mathstrut стійка & -12x + 27\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Таким чином,\(C'(x) = -12\text{.}\) Зазначаючи, що\(f'(x) = -4\) і\(g'(x) = 3\text{,}\) ми спостерігаємо, що,\(C'\) здається, є продуктом\(f'\) і\(g'\text{.}\)

Може здатися, що приклад 2.5.2 занадто елементарний, щоб проілюструвати, як диференціювати складену функцію. Лінійні функції є найпростішими з усіх функцій, а складання лінійних функцій дає іншу лінійну функцію. Хоча цей приклад не ілюструє повну складність композиції нелінійних функцій, в той же час ми пам'ятаємо, що будь-яка диференційовна функція є локально лінійною, і, таким чином, будь-яка функція з похідною поводиться як лінія при розгляді впритул. Те, що похідні лінійних функцій\(f\) і\(g\) множаться, щоб знайти похідну від їх складу, виявляється ключовим інсайтом.

Розглянемо тепер композицію, що включає нелінійну функцію.

Приклад 2.5.3

Дозвольте\(C(x) = \sin(2x)\text{.}\) Використовувати ідентифікатор подвійного кута для перезапису\(C\) як добуток основних функцій, і скористайтеся правилом продукту, щоб знайти\(C'\text{.}\) Rewrite\(C'\) у найпростішій формі з можливих.

Відповідь

Використовуючи ідентичність подвійного кута для синусоїдальної функції, запишемо

\[ C(x) = \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\text{.} \nonumber \]

Застосовуючи правило продукту і спрощуючи, знаходимо

\[ C'(x) = 2\sin(x)(-\sin(x)) + \cos(x)(2\cos(x)) = 2(\cos^2(x) - \sin^2(x))\text{.} \nonumber \]

Далі нагадаємо, що подвійний кут ідентичності для косинуса,

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\text{.} \nonumber \]

Підставляючи цей результат у наш вираз,\(C'(x)\text{,}\) оскільки ми тепер маємо це

\[ C'(x) = 2 \cos(2x)\text{.} \nonumber \]

У прикладі 2.5.3, якщо ми дозволимо\(g(x) = 2x\) і\(f(x) = \sin(x)\text{,}\) ми спостерігаємо, що\(C(x) = f(g(x))\text{.}\) зараз,\(g'(x) = 2\) і\(f'(x) = \cos(x)\text{,}\) тому ми можемо переглянути структуру\(C'(x)\) як

\[ C'(x) = 2\cos(2x) = g'(x) f'(g(x))\text{.} \nonumber \]

У цьому прикладі, як і в прикладі за участю лінійних функцій, ми бачимо, що похідна\(C(x) = f(g(x))\) складеної функції знаходить множенням похідних\(f\) і,\(g\text{,}\) але з\(f'\) оціненими на\(g(x)\text{.}\)

Інтуїтивно має сенс, що ці дві величини беруть участь у швидкості зміни складеної функції: якщо ми запитуємо, наскільки швидко\(C\) змінюється при заданому\(x\) значенні, явно має значення, наскільки швидко\(g\) змінюється, а також наскільки швидко\(f\) змінюється при значенні\(x\text{,}\) \(g(x)\text{.}\)Виявляється, ця структура тримає для всіх диференційовних функцій ¹, як зазначено в Правилі ланцюга.

Як і інші правила диференціації, правило ланцюга може бути доведено формально, використовуючи граничне визначення похідної.

Правило ланцюга

Якщо\(g\) диференційовна при\(x\) і\(f\) диференційовна,\(g(x)\text{,}\) то складова функція,\(C\)\(C(x) = f(g(x))\) визначена диференційована при\(x\) і

\[ C'(x) = f'(g(x)) g'(x)\text{.} \nonumber \]

Як і у випадку з правилами добутку та частки, часто корисно думати усно про те, що говорить правило ланцюга: «Якщо\(C\) це складова функція, визначена зовнішньою функцією,\(f\) а внутрішньою функцією,\(g\text{,}\) то\(C'\) задається похідною зовнішньої функції, оціненої на внутрішній функція, раз похідна від внутрішньої функції».

Корисно чітко визначити внутрішню функцію\(g\) та зовнішню функцію,\(f\text{,}\) обчислити їх похідні окремо, а потім скласти всі частини разом за правилом ланцюга.

Приклад 2.5.4

Визначаємо похідну функції

\[ r(x) = (\tan(x))^2\text{.} \nonumber \]

Відповідь

Функція\(r\) є складовою, з внутрішньою функцією\(g(x) = \tan(x)\) та зовнішньою функцією\(f(x) = x^2\text{.}\) Організуючи ключову інформацію за участю\(f\text{,}\)\(g\text{,}\) та їх похідні, ми маємо

\(f(x) = x^2\)		\(g(x) = \tan(x)\)
\(f'(x) = 2x\)		\(g'(x) = \sec^2(x)\)
\(f'(g(x)) = 2\tan(x)\)

Застосовуючи правило ланцюга, ми виявляємо, що

\[ r'(x) = f'(g(x))g'(x) = 2\tan(x) \sec^2(x)\text{.} \nonumber \]

В якості бічної примітки ми зауважимо, що\(r(x)\) зазвичай пишеться як\(\tan^2(x)\text{.}\) Це загальне позначення для ступенів тригонометричних функцій:\(\cos^4(x)\text{,}\)\(\sin^5(x)\text{,}\) і\(\sec^2(x)\) всі складові функції, при цьому зовнішня функція - силова функція, а внутрішня функція тригонометрична.

Активність 2.5.2

Для кожної функції, наведеної нижче, визначте внутрішню функцію\(g\) та зовнішню функцію,\(f\) щоб записати функцію у формі\(f(g(x))\text{.}\) Визначити,\(f'(x)\text{,}\)\(g'(x)\text{,}\)\(f'(g(x))\text{,}\) а потім застосувати правило ланцюга для визначення похідної даної функції.

1. \(\displaystyle h(x) = \cos(x^4)\)
2. \(\displaystyle p(x) = \sqrt{ \tan(x) }\)
3. \(\displaystyle s(x) = 2^{\sin(x)}\)
4. \(\displaystyle z(x) = \cot^5(x)\)
5. \(\displaystyle m(x) = (\sec(x) + e^x)^9\)

2.5.2 Використання декількох правил одночасно

Правило ланцюга тепер об'єднує суму, постійну кратну, добуток та частку правил у нашій колекції методів пошуку похідної функції через розуміння її алгебраїчної структури та основних функцій, що її складають. Потрібна практика, щоб отримати зручне застосування декількох правил для диференціації однієї функції, але використання належних позначень і прийняття декількох додаткових кроків допоможе.

Приклад 2.5.5

Знайти формулу для похідної\(h(t) = 3^{t^2 + 2t}\sec^4(t)\text{.}\)

Відповідь

Спочатку ми спостерігаємо, що\(h\) це добуток двох функцій:\(h(t) = a(t) \cdot b(t)\text{,}\) де\(a(t) = 3^{t^2 + 2t}\) і\(b(t) = \sec^4(t)\text{.}\) Нам потрібно буде використовувати правило продукту для диференціації\(h\text{.}\) І оскільки\(a\) і\(b\) є складовими функціями, нам знадобиться правило ланцюга. Тому ми починаємо з обчислень\(a'(t)\) і\(b'(t)\text{.}\)

Написання\(a(t) = f(g(t)) = 3^{t^2 + 2t}\text{,}\) та пошук похідних\(f\) і у\(g\text{,}\) нас є

\(f(t) = 3^t\)		\(g(t) = t^2 + 2t\)
\(f'(t) = 3^t \ln(3)\)		\(g'(t) = 2t+2\)
\(f'(g(t)) = 3^{t^2 + 2t}\ln(3)\)

Таким чином, за правилом ланцюга випливає, що\(a'(t) = f'(g(t))g'(t) = 3^{t^2 + 2t}\ln(3) (2t+2)\text{.}\)

Звертаючись поруч,\(b\text{,}\) пишемо\(b(t) = r(s(t)) = \sec^4(t)\) і знаходимо похідні\(r\) і\(s\text{.}\)

\(r(t) = t^4\)		\(s(t) = \sec(t)\)
\(r'(t) = 4t^3\)		\(s'(t) = \sec(t)\tan(t)\)
\(r'(s(t)) = 4\sec^3(t)\)

За правилом ланцюга,

\[ b'(t) = r'(s(t))s'(t) = 4\sec^3(t)\sec(t)\tan(t) = 4 \sec^4(t) \tan(t)\text{.} \nonumber \]

Тепер ми нарешті готові обчислити похідну функції\(h\text{.}\) Нагадуючи, що\(h(t) = 3^{t^2 + 2t}\sec^4(t)\text{,}\) за правилом продукту у нас є

\[ h'(t) = 3^{t^2 + 2t} \frac{d}{dt}[\sec^4(t)] + \sec^4(t) \frac{d}{dt}[3^{t^2 + 2t}]\text{.} \nonumber \]

З нашої роботи вище з\(a\) і\(b\text{,}\) ми знаємо похідні\(3^{t^2 + 2t}\)\(\sec^4(t)\text{,}\) і тому

\[ h'(t) = 3^{t^2 + 2t} 4\sec^4(t) \tan(t) + \sec^4(t) 3^{t^2 + 2t}\ln(3) (2t+2)\text{.} \nonumber \]

Активність 2.5.3

Для кожної з наступних функцій знайдіть похідну функції. Вкажіть правила, які ви використовуєте, належним чином позначте відповідні похідні та обов'язково чітко визначте вашу загальну відповідь.

1. \(\displaystyle p(r) = 4\sqrt{r^6 + 2e^r}\)
2. \(\displaystyle m(v) = \sin(v^2) \cos(v^3)\)
3. \(\displaystyle h(y) = \frac{\cos(10y)}{e^{4y}+1}\)
4. \(\displaystyle s(z) = 2^{z^2 \sec (z)}\)
5. \(\displaystyle c(x) = \sin(e^{x^2})\)

Правило ланцюга тепер суттєво додає нашої здатності обчислювати похідні. Чи знаходимо ми рівняння дотичної лінії до кривої, миттєву швидкість рухомої частинки або миттєву швидкість зміни певної величини, якщо розглянута функція є складом, правило ланцюга незамінне.

Активність 2.5.4

Використовуйте відомі похідні правила, включаючи правило ланцюга, у міру необхідності, щоб відповісти на кожне з наступних питань.

1. Знайти рівняння для дотичної лінії до кривої\(y= \sqrt{e^x + 3}\) в точці, де\(x=0\text{.}\)
2. Якщо\(\displaystyle s(t) = \frac{1}{(t^2+1)^3}\) являє собою функцію положення частинки, що рухається горизонтально вздовж осі в той час\(t\) (де\(s\) вимірюється в дюймах і\(t\) в секундах), знайдіть миттєву швидкість частинки в Чи\(t=1\text{.}\) рухається частинка вліво чи вправо в цей момент?
3. На рівні моря тиск повітря становить 30 дюймів ртутного стовпа. На висоті\(h\) футів над рівнем моря тиск повітря,\(P\text{,}\) в дюймах ртутного стовпа, задається функцією\(P = 30 e^{-0.0000323 h}\text{.}\) Обчислити\(dP/dh\) і пояснити, що ця похідна функція говорить вам про тиск повітря, включаючи обговорення одиниць на\(dP/dh\text{.}\) Крім того, визначити, як швидко змінюється тиск повітря для пілота невеликого літака, що проходить через висоту\(1000\) футів.
4. Припустимо, що\(f(x)\) і\(g(x)\) є диференційованими функціями і що відома наступна інформація про них:

   Таблиця 2.5.6. Дані для функцій\(f\) і\(g\text{.}\)

   \(x\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(g(x)\)	\(g'(x)\)
   \(-1\)	\(2\)	\(-5\)	\(-3\)	\(4\)
   \(2\)	\(-3\)	\(4\)	\(-1\)	\(2\)

   Якщо\(C(x)\) є функцією, заданою формулою\(f(g(x))\text{,}\) визначити\(C'(2)\text{.}\) Крім того,\(D(x)\) якщо функція\(f(f(x))\text{,}\) find\(D'(-1)\text{.}\)

2.5.3 Складена версія правил основних функцій

Оскільки ми отримуємо більше досвіду з differention, нам стане зручніше просто записувати похідну, не роблячи кількох кроків. Це особливо просто, коли внутрішня функція лінійна, оскільки похідна лінійної функції є постійною.

Приклад 2.5.7

Використовуйте правило ланцюга, щоб диференціювати кожну з наступних складових функцій, внутрішня функція яких є лінійною:

\[ \frac{d}{dx} \left[ (5x+7)^{10} \right] = 10(5x+7)^9 \cdot 5\text{,} \nonumber \]

\[ \frac{d}{dx} \left[ \tan(17x) \right] = 17\sec^2(17x), \ \text{and} \nonumber \]

\[ \frac{d}{dx} \left[ e^{-3x} \right] = -3e^{-3x}\text{.} \nonumber \]

Більш загально, наступне - це відмінна вправа для освоєння похідних правил. Запишіть список всіх основних функцій, похідні яких нам відомі, і перерахуйте похідні. Потім напишіть складену функцію з внутрішньою функцією, яка є невідомою функцією,\(u(x)\) а зовнішня функція є базовою функцією. Нарешті, запишіть правило ланцюга для складеної функції. Наступний приклад ілюструє це для двох різних функцій.

Приклад 2.5.8

Визначити

\[ \frac{d}{dx}[\sin(u(x))]\text{,} \nonumber \]

де\(u\) диференційовна функція\(x\text{,}\) ми використовуємо правило ланцюга з функцією синуса як зовнішньої функції. Застосовуючи правило ланцюга, ми виявляємо, що

\[ \frac{d}{dx}[\sin(u(x))] = \cos(u(x)) \cdot u'(x)\text{.} \nonumber \]

Це правило аналогічно основному похідному правилу, яке\(\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)\text{.}\)

Аналогічно,\(\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)\text{,}\) оскільки за правилом ланцюга випливає, що

\[ \frac{d}{dx}[a^{u(x)}] = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)\text{.} \nonumber \]

Це правило аналогічно основному похідному правилу, яке\(\frac{d}{dx}[a^{x}] = a^{x} \ln(a)\text{.}\)

2.5.4 Резюме

• Складена функція - це та, де вхідна змінна\(x\) спочатку проходить через одну функцію, а потім отриманий вихід проходить через іншу. Наприклад, функція є\(h(x) = 2^{\sin(x)}\) складовою, оскільки\(x \longrightarrow \sin(x) \longrightarrow 2^{\sin(x)}\text{.}\)
• Враховуючи складену функцію,\(C(x) = f(g(x))\) де\(f\) і\(g\) є диференційованими функціями, правило ланцюга говорить нам, що
  \[ C'(x) = f'(g(x)) g'(x)\text{.} \nonumber \]