2.5: Правила продукту та коефіцієнта
- Page ID
- 60336
Основні правила дозволять зайнятися простими функціями. Але що станеться, якщо нам потрібна похідна від комбінації цих функцій?
Знайдіть похідну від\( h(x)=\left(4x^3-11\right)(x+3) \)
Ця функція не є простою сумою або різницею многочленів. Це добуток многочленів. Ми можемо просто помножити його, щоб знайти його похідну:\[ \begin{align*} h(x) & = \left(4x^3-11\right)(x+3)\\ & = 4x^4-11x+12x^3-33\\ h'(x) & = 16x^3-11+36x^2 \end{align*} \nonumber \]
Тепер припустимо, ми хотіли знайти похідну від\[f(x)=\left(4x^5+x^3-1.5x^2-11\right)\left(x^7-7.25x^5+120x+3\right)\nonumber \]
Ця функція не є простою сумою або різницею многочленів. Це добуток многочленів. Ми могли б «просто» помножити його, щоб знайти його похідну, як і раніше - хто хоче добровільно? Ніхто?
Нам знадобиться правило для пошуку похідної від продукту, щоб нам не довелося все множити.
Було б чудово, якби ми могли просто взяти похідні від факторів і помножити їх, але, на жаль, це не дасть правильної відповіді. Щоб побачити це, розглянемо пошук похідної від\( h(x)=\left(4x^3-11\right)(x+3) \). Ми вже опрацювали похідну, вона є\( h'(x)=16x^3-11+36x^2 \). Що робити, якщо ми спробуємо диференціювати фактори та примножити їх? Ми отримаємо\( h'(x)=\left(12x^2\right)(1)=12x^2 \), що кардинально відрізняється від правильної відповіді.
Правила пошуку похідних від продуктів і коефіцієнтів трохи складні, але вони рятують нас набагато складнішою алгеброю, з якою ми могли б зіткнутися, якщо ми спробуємо примножити речі. Вони також дозволяють нам мати справу з продуктами, де фактори не є поліномами. Ми можемо використовувати ці правила разом з основними правилами, щоб знайти похідні багатьох складних функцій.
У чому випливає,\(f\) and \(g\) are differentiable functions of \(x\).
Правило продукту
\(\frac{d}{dx}\left( f\cdot g \right)=f'\cdot g+f\cdot g'\)
Похідна від першого множника разів другого залишилася одна, плюс перший залишився один раз похідна другого.
Правило продукту може поширюватися на добуток декількох функцій; візерунок продовжується — візьміть похідну від кожного фактора по черзі, помножену на всі інші фактори, що залишилися в спокої, і складіть їх:\[\frac{d}{dx}\left( f\cdot g\cdot h \right)=f'\cdot g\cdot h+f\cdot g'\cdot h+f\cdot g\cdot h'\nonumber \]
Частота Правило
\[\frac{d}{dx}\left( \frac{f}{g} \right)=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\nonumber \]
Чисельник результату нагадує правило добутку, але замість плюса є мінус; знак мінус йде разом з\(g’\). Знаменник - це просто квадрат початкового знаменника — там немає похідних.
Знайдіть похідну від\( h(x)=\left(4x^3-11\right)(x+3) \)
Це та сама функція, яку ми знайшли похідну у прикладі 1, але давайте скористаємося правилом продукту і перевіримо, чи отримаємо ми таку ж відповідь. Для цього першого прикладу ми надамо набагато більше деталей та кроків, ніж зазвичай показує при роботі з такою проблемою.
Зверніть увагу, що ми можемо думати про\(h(x)\) як добуток двох функцій\( f(x)=4x^3-11 \) і\( g(x)=x+3 \). Знайшовши похідну кожного з них,\[ f'(x)=12x^2 \ \text{and}\ g'(x)=1. \nonumber \]
Використовуючи правило продукту,\[ \begin{align*} h'(x) & = (f')(g)+(f)(g') \\ & = \left(12x^2\right)(x+3)+\left(4x^3-11\right)(1) \end{align*} \nonumber \]
Щоб перевірити, чи це еквівалентно відповіді, яку ми знайшли у прикладі 1, ми могли б спростити:\[ \begin{align*} h'(x) & = \left(12x^2\right)(x+3)+\left(4x^3-11\right)(1) \\ & = 12x^3+36x^2+4x^3-11 \\ & = 16x^3+36x^2-11 \end{align*} \nonumber \]
З цього ми бачимо, що відповіді рівнозначні.
Знайдіть похідну від\( F(t)=e^t\ln(t) \)
Це продукт, тому нам потрібно використовувати правило продукту. Мені подобається ставити порожні дужки, щоб нагадати собі візерунок; таким чином я нічого не забуваю:\[F'(t)=(\ )(\ )+(\ )(\ )\nonumber \]
Потім я заповнюю дужки — перший набір отримує похідну\(e^t\), другий\(\ln t\) залишається один, третій\(e^t\) залишається один, а четвертий отримує похідну\(\ln t\). \[F'(t)=\left(e^t\right)\left(\ln(t)\right)+\left(e^t\right)\left(\frac{1}{t}\right)=e^t\ln(t)+\frac{e^t}{t}.\nonumber \]
Зверніть увагу, що це було те, що ми не могли б зробити, «примножуючи».
Знайдіть похідну від\( y=\frac{x^4+4^x}{3+16x^3} \).
Це частка, тому нам потрібно використовувати часткове правило. Знову ж таки, вам корисно поставити порожні дужки як шаблон:\[y'=\frac{(\ )(\ )-(\ )(\ )}{(\ )^2}\nonumber \]
Ми можемо знайти похідну чисельника і знаменника окремо:
Для чисельника:\(f(x) = x^4 + 4^x\) так\(f'(x) = 4x^3 + \ln(4)\cdot 4^x\)
Для знаменника:\(g(x) = 3+16x^3\) так\(g'(x) = 48x^2\)
Потім засипте всі шматочки:\[y'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\nonumber \]
\[y'=\frac{\left(4x^3+\ln(4)\cdot 4^x \right)\left(3+16x^3 \right)-\left(x^4+4^x \right)\left(48x^2 \right)}{\left(3+16x^3 \right)^2}\nonumber \]
Тепер заради бога не намагайтеся спростити це! Пам'ятайте, що простий
залежить від того, що ви будете робити далі; в цьому випадку нас попросили знайти похідну, і ми зробили це. Я очікую, що ви зробите будь-які основні
спрощення, такі як множення констант разом або робити очевидні скасування або комбінування термінів, але в іншому випадку, будь ласка, STOP, якщо немає причин для подальшого спрощення.
Припустимо, великий бак містить 8 кг хімічної речовини, розчиненої в 50 літрах води. Якщо відкривається кран і в бак додається вода зі швидкістю 5 літрів в хвилину, з якою швидкістю змінюється концентрація хімікату в баку через 4 хвилини?
Для початку нам потрібно налаштувати модель для концентрації хімічної речовини. Концентрація буде вимірюватися як кг хімічної речовини на літр води, кг/л Кількість кг хімічної речовини залишається постійною на рівні 8 кг, але кількість води в резервуарі збільшується на 5 л/хв. Загальний обсяг води в резервуарі через\(t\) хвилини становить\(50 + 5t\), тому концентрація через\(t\) хвилини становить\[c(t)=\frac{8}{50+5t}.\nonumber \]
Щоб знайти швидкість, з якою змінюється концентрація, нам знадобиться похідна:\[ \begin{align*} c'(t) & = \frac{\frac{d}{dt}(8)\cdot(50+5t)-(8)\cdot\frac{d}{dt}(50+5t)}{(50+5t)^2} \\ & = \frac{(0)\cdot(50+5t)-(8)(5)}{(50+5t)^2} \\ & = -\frac{40}{(50+5t)^2} \end{align*} \nonumber \]
В\(t = 4\),\[ c'(4)=-\frac{40}{(50+5(4))^2}\approx -0.00816.\nonumber \]
Зверніть увагу, що одиницями тут є кг на літр, в хвилину, або\( \frac{\text{kg/L}}{\text{min}} \). Іншими словами, це говорить нам про те, що через 4 хвилини концентрація хімічної речовини зменшується на 0,00816 кг/л кожну хвилину.
Більше графічних інтерпретацій основних термінів бізнес-математики
Повертаючись до обговорення питань бізнесу та економіки, окрім загальних витрат та граничних витрат, ми часто хочемо також говорити про середню вартість або середній дохід.
Нагадаємо з попереднього розділу, що середня вартість (AC) для\(q\) позицій - це загальна вартість, поділена на\(q\), або\(AC(q)=\frac{TC}{q}\). Також можна говорити про середню фіксовану вартість\(\frac{FC}{q}\), або середню змінну вартість,\(\frac{TVC}{q}\).
Також нагадаємо, що середній дохід (AR) для\(q\) статей - це загальний дохід, поділений на\(q\), або\(AR(q)=\frac{TR}{q}\).
Ми вже знаємо, що можемо знайти середні темпи змін, знаходячи нахили січних ліній. AC, AR, MC та MR - це всі темпи змін, і ми також можемо знайти їх із нахилами.
\(AC(q)\)нахил діагональної лінії, від (0, 0) до\((q, TC(q))\).
\(AR(q)\)- нахил лінії від (0, 0) до\((q, TR(q))\).
І так само, як ми знайшли граничну загальну вартість, ми також можемо знайти граничну середню вартість.
Вартість, в тисячах доларів, для виробництва\(x\) тисяч чохлів для мобільних телефонів дається\( C(x)=22+x-0.004x^2 \). Знайти
- Фіксовані витрати,
- Середня вартість при виготовленні 5 тис., 10 тис., або 20 тисяч корпусів,
- Гранична середня вартість при виготовленні 5 тис. справ.
- Фіксовані витрати - це витрати, коли не виробляються предмети:\( C(0)=22 \) тисячі доларів.
- Функція середньої вартості - це загальна вартість, поділена на кількість позицій, тому\[AC(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{22+x-0.004x^2}{x}. \nonumber \]
Зверніть увагу, що одиниці складають тисячі доларів за тисячі предметів, що спрощує лише долари за одиницю.
При виробництві 5 тисяч найменувань:\( AC(5)=\frac{22+5-0.004(5)^2}{5}=5.38 \) доларів за штуку.
При виробництві 10 тисяч найменувань:\( AC(10)=\frac{22+5-0.004(10)^2}{10}=3.16 \) доларів за штуку.
При виробництві 20 тисяч найменувань:\( AC(20)=\frac{22+5-0.004(20)^2}{20}=2.02 \) доларів за штуку.
Зверніть увагу, що в той час як загальна вартість збільшується з виробництвом, середня вартість на одиницю зменшується, оскільки початкові постійні витрати розподіляються по більшій кількості предметів.
- Для граничної середньої вартості нам потрібно знайти похідну від функції середньої вартості. Ми можемо або обчислити це за допомогою часткового правила, або ми могли б використати алгебру, щоб спочатку спростити рівняння (це простіший варіант - пам'ятайте, спрощення перед диференціюванням майже завжди простіше):\[ \begin{align*} AC(x) & = \frac{22+x-0.004x^2}{x} \\ & = \frac{22}{x}+\frac{x}{x}-\frac{0.004x^2}{x} \\ & = \frac{22}{x}+1-0.004x \\ & = 22x^{-1}+1-0.004x \end{align*} \nonumber \] (Примітка: ми ще не диференціювали, лише спрощено.)
Беручи похідну,\[ AC'(x)=-22x^{-2}-0.004=-\frac{22}{x^2}-0.004.\nonumber \]
Коли вироблено 5 тисяч найменувань,\[ AC'(5)=-\frac{22}{5^2}-0.004=-0.884.\nonumber \]
Оскільки одиниці на\(AC\) є доларами за одиницю, а одиниці\(x\) - тисячі предметів, одиниці\(AC'\) - долари за одиницю за тисячу предметів. Це говорить нам про те, що коли виробляється 5 тисяч найменувань, середня вартість одиниці товару зменшується на 0,884 долара за кожну додаткову тисячу вироблених позицій.