2.2: Межі та безперервність

Обмеження

В останньому розділі ми побачили, що в міру того, як інтервал, за який ми розрахували, став менше, січні укоси наближалися до дотичному схилу. Межа дає нам кращу мову, з якою можна обговорювати ідею «підходів».

Межа функції описує поведінку функції, коли змінна знаходиться поруч, але не дорівнює вказаному числу (див. Малюнок нижче).

Обмеження

Якщо значення наближаються і$f(x)$ ближче, як ми хочемо, до одного числа,$L$ як ми приймаємо значення$x$ дуже близьких до (але не рівних) числа$c$, то ми говоримо "межа$f(x)$ як$x$ підходів$c$ є$L$" і пишемо $$\lim\limits_{x\to c} f(x)=\mathbf{L}.\nonumber$$ Символ "$\to$" означає «наближається» або, менш формально, «наближається до».

(Це визначення межі не викладено так формально, як могло б бути, але цього достатньо для наших цілей у цьому курсі.)

Примітка:

• $\bf f(c)$є єдиним числом, яке описує поведінку (значення)$f(x)$ AT точки$x = c$.
• $\lim\limits_{x\to c} f(x)$це єдине число, яке описує поведінку$f(x)$ NEAR, АЛЕ НЕ AT, точка$x = c$.

Якщо у нас є графік функції поруч$x = c$, то його зазвичай легко визначити$\lim\limits_{x\to c} f(x)$.

(Ось посилання на зображення, використані в наступному відео, а також в інших місцях цього розділу: Графіки для обмежень і Приклади безперервності.)

Приклад$\PageIndex{1}$

Використовуйте графік на$y = f(x)$ малюнку нижче, щоб визначити наступні межі:

1. $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$
3. $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$
4. $\lim\limits_{x\to 4} f(x)$

Рішення

1. $$\lim_{x \to 1} f(x) = 2\nonumber$$ Коли$x$ дуже близький до 1, значення$f(x)$ дуже близькі до$y = 2$. У цьому прикладі трапляється так$f(1) = 2$, але це не має значення для ліміту. Єдине, що важливо, це те, що відбувається для$x$ близьких до 1 але$x \neq 1$.
2. $f(2)$не визначено, але ми дбаємо лише про поведінку$f(x)$ для$x$ близьких до 2, але не дорівнює 2. Коли$x$ близький до 2, значення$f(x)$ близькі до 3. Якщо ми$x$ обмежимося досить близько до 2, значення$y$ буде так близько до 3, як ми хочемо, так$\lim\limits_{x\to 2} f(x) = 3$.
3. Коли$x$ наближається до 3 (або «як$x$ наближається до значення 3"), значення$f(x)$ близькі до 1 (або «наближаються до значення 1»), так$\lim\limits_{x\to 3} f(x) = 1$. Для цієї межі абсолютно не має значення$f(3) = 2$, що, Ми дбаємо лише про те, що відбувається$f(x)$ для$x$ близьких і не дорівнює 3.
4. Це важче, і ми повинні бути обережними. Коли$x$ близький до 4 і трохи менше 4 ($x$знаходиться зліва від 4 на$x$ -осі), то значення$f(x)$ близькі до 2. Але якщо$x$ близький до 4 і трохи більше 4, то значення$f(x)$ близькі до 3. Якщо ми знаємо лише, що$x$ дуже близько до 4, то ми не можемо сказати, чи$y = f(x)$ буде близько 2 або близько до 3 - це залежить від того, чи$x$ знаходиться справа чи ліва сторона 4. У цій ситуації$f(x)$ значення не близькі до одного числа, тому ми говоримо, що$\lim\limits_{x\to 4} f(x)$ не існує. Це не має значення$f(4) = 1$. Межа, як$x$ наближається до 4, все одно буде невизначеною, якщо б$f(4)$ було 3 або 2 або що-небудь ще.

Ми також можемо досліджувати обмеження за допомогою таблиць та алгебри.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{2x^2-x-1}{x-1}$.

Рішення

Ви можете спробувати оцінити$f(x) = \frac{2x^2-x-1}{x-1}$ на$x = 1$, але$f(x)$ не визначено в$x = 1$. Спокусливо, але неправильно зробити висновок, що ця функція не має межі, як$x$ наближається 1.

Використання таблиць: Спробувавши деякі «тестові» значення, для$x$ яких наближаємося до 1 як зліва, так і справа, отримуємо

$x$	$f(x)$
\ (x\) ">0.9	\ (f (x)\) ">2.82
\ (x\) ">0,9998	\ (f (x)\) ">2,9996
\ (х\) ">0,999994	\ (ф (х)\) ">2,999988
\ (х\) ">0,9999999	\ (ф (х)\) ">2,9999998
\ (x\) ">$\to 1$	\ (f (x)\) ">$\to 3$

$x$	$f(x)$
\ (x\) ">1.1	\ (f (x)\) ">3.2
\ (х\) ">1,003	\ (ф (х)\) ">3,006
\ (х\) ">1.0001	\ (f (x)\) ">3.0002
\ (х\) ">1.000007	\ (ф (х)\) ">3.000014
\ (x\) ">$\to 1$	\ (f (x)\) ">$\to 3$

$f$Функція не визначена в$x = 1$, але коли$x$ близька до 1, значення$f(x)$ наближаються до 3. Ми можемо$f(x)$ наблизитися до 3, як ми хочемо, взявши$x$ дуже близько до 1 так $$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{2x^2-x-1}{x-1}=3.\nonumber$$

Використання алгебри: Ми могли б знайти той самий результат, зазначивши, що до тих $$f(x)= \dfrac{2x^2-x-1}{x-1} = \dfrac{(2x+1)(x-1)}{(x-1)} = 2x+1\nonumber$$ пір, поки$x \neq 1$. (Якщо$x\neq 1$, то$x–1 \neq 0$ так справедливо розділити чисельник і знаменник на множник$x–1$.) "$x\to 1$" частина межі означає, що$x$ близька до 1, але не дорівнює 1, тому наш крок поділу є дійсним $$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x^2-x-1}{x-1} = \lim\limits_{x\to 1} 2x+1 = 3,\nonumber$$ , і це наша відповідь.

Використання графіка: Ми можемо графік$y=f(x)= \dfrac{2x^2-x-1}{x-1}$ для$x$ близьких до 1:

Зверніть увагу,$x$ що кожного разу, коли близький до 1, значення$y = f(x)$ близькі до 3. Оскільки$f$ не визначено в$x = 1$, графік має отвір вище$x = 1$, але ми дбаємо лише про те, що$f(x)$ робиться для$x$ близького, але не дорівнює 1.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти$\lim \limits_{x\to 3} \dfrac{\frac{1}{x} -\frac{1}{3} }{x-3}$.

Рішення

Зверніть увагу, що ця функція не визначена на$x = 3$. Ми можемо знайти межу за допомогою алгебри. Надавши два члени в чисельнику спільний знаменник, можна спростити:

$$\frac{\frac{1}{x} -\frac{1}{3} }{x-3} = \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} -\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x} }{x-3} = \frac{\frac{3}{3x} -\frac{x}{3x} }{x-3} =\frac{\frac{3-x}{3x} }{x-3} \nonumber$$

Пам'ятайте, що ділення дробу - це те саме, що множення на зворотну,
$$\frac{\frac{3-x}{3x} }{x-3} =\frac{\frac{3-x}{3x} }{\frac{x-3}{1} }\nonumber$$ тому еквівалентно $$\frac{3-x}{3x} \cdot \frac{1}{x-3}\nonumber$$

Щоб спростити далі, нам потрібно перерахувати негативний 1 з чисельника. Тоді ми можемо скасувати термін до тих$\left(x-3\right)$
$\dfrac{-1(x-3)}{3x} \cdot \dfrac{1}{x-3} =\dfrac{-1}{3x}$ пір, поки$x \neq 3$

Тепер ми можемо оцінити ліміт, використовуючи цю спрощену форму.
$$\lim\limits_{x\to 3} \frac{\frac{1}{x} -\frac{1}{3} }{x-3} = \lim\limits_{x\to 3} \frac{-1}{3x} = -\frac{1}{9} \nonumber$$

Односторонні межі

Іноді те, що відбувається з нами на місці, залежить від напрямку, який ми використовуємо для наближення до цього місця. Якщо ми наблизимось до Ніагарського водоспаду з боку вище за течією, то ми будемо на 182 фути вище і матимемо різні турботи, ніж якщо ми підходимо з нижньої сторони. Аналогічно, значення функції поблизу точки можуть залежати від напрямку, який ми використовуємо для наближення до цієї точки.

Лівий і правий межі

Ліва$f(x)$ межа як$x$$c$ підходи,$L$ якщо значення$f(x)$ отримати якомога ближче до того,$L$ як ми хочемо, коли$x$ дуже близько і зліва від$c$ (тобто,$x \lt \mathbf{c}$). пишемо $$\lim\limits_{x\to c^-} f(x)=L.\nonumber$$

Права$f(x)$ межа як$x$ підходи$c$, написані з$\bf x \to c^+$, є$L$ якщо значення$f(x)$ отримати так близько до,$L$ як ми хочемо, коли$x$ дуже близько і праворуч від$c$ (тобто,$x \gt \mathbf{c}$). пишемо $$\lim\limits_{x\to c^+} f(x)=L.\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{4}$

Оцініть односторонні межі функції,$f(x)$ наведеної нижче в$x = 0$ і$x = 1$.

Рішення

У міру$x$ наближення 0 зліва значення функції наближається до 1, тому$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) = 1.$

Коли справа$x$ наближається до 0, значення функції наближається до 2, тому$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x) = 2.$

Зверніть увагу, що так як ліміт зліва і ліміт справа різні, то загальний ліміт$\lim\limits_{x\to 0} f(x)$, не виходить.

При$x$ підходах 1 з будь-якого напрямку значення функції наближається до 1, тому $$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1} f(x) = 1. \nonumber$$

Безперервність

Функція, яка є «дружньою» і не має ніяких перерв або стрибків, називається безперервною. Більш формально,

Безперервність у точці

Функція$\bf f$ є безперервною,$\bf x = a$ якщо і тільки якщо$\lim\limits_{x\to a} \mathbf{f(x)} = \mathbf{f(a)}$.

Графік нижче ілюструє деякі різні способи, якими функція може вести себе в точці та поблизу неї, а таблиця містить деяку числову інформацію про функцію та її поведінку.

$a$	$f(a)$	$\lim\limits_{x\to a} f(x)$
1	2	2
2	1	2
3	2	Не існує (DNE)
4	Невизначений	2

Виходячи з інформації в таблиці, можна зробити висновок, що$f$ є безперервним при 1 з$\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 2 = f(1)$.

Ми також можемо зробити висновок з інформації в таблиці, яка не$f$ є безперервною на 2 або 3 або 4, тому що$\lim\limits_{x\to 2} f(x) \neq f(2)$,$\lim\limits_{x\to 3} f(x) \neq f(3)$, і$\lim\limits_{x\to 4} f(x) \neq f(4)$.

Поведінка на$x = 2$ і$x = 4$ демонструє дірку в графіку, іноді її називають знімним розривом, оскільки графік можна зробити безперервним, змінюючи значення однієї точки. Поведінка при$x = 3$ називається розривом стрибка, так як графік перескакує між двома значеннями.

Отже, які функції є безперервними? Виявляється, майже кожна функція, яку ви вивчали, є безперервною, де вона визначена: поліноміальні, радикальні, раціональні, експоненціальні та логарифмічні функції є безперервними, де вони визначені. Більш того, будь-яка комбінація безперервних функцій також є безперервною.

Це корисно, тому що визначення безперервності говорить про те, що для безперервної функції,$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Це означає, що для безперервної функції ми можемо знайти межу шляхом прямої підстановки (оцінки функції), якщо функція є безперервною в$a$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Оцініть, використовуючи безперервність, якщо це можливо:

1. $\lim\limits_{x\to 2} x^3-4x$
2. $\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x-4}{x+3}$
3. $\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x-4}{x-2}$

Рішення

1. Дана функція є поліноміальною і визначається для всіх значень$x$, тому ми можемо знайти межу шляхом прямої підстановки: $$\lim\limits_{x\to 2} x^3-4x = 2^3-4(2) = 0. \nonumber$$
2. Дана функція є раціональною. Вона не визначена в$x = -3$, але ми приймаємо межу як$x$ наближається 2, і функція визначається в цьому місці, тому ми можемо використовувати пряму підстановку: $$\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x-4}{x+3} = \dfrac{2-4}{2+3}= -\dfrac{2}{5}. \nonumber$$
3. Ця функція не визначена в$x = 2$, і тому не є безперервною при$x = 2$. Ми не можемо використовувати пряму заміну.