1.4: Показники

Закони експонентів дозволяють переписати алгебраїчні вирази, які включають експоненти. Останні три перераховані тут дійсно визначення, а не правила.

Закони експонентів

Всі змінні тут представляють дійсні числа, а всі змінні в знаменнику ненульові.

1. $x^a\cdot x^b=x^{a+b}$
2. $\dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$
3. $\left(x^a\right)^b=x^{ab}$
4. $(xy)^a=x^a y^a$
5. $\left(\dfrac{x}{y}\right)^b=\dfrac{x^b}{y^b}$
6. $x^0=1$, За умови$x\neq 0$. [Хоча в деяких контекстах все ще$0^0$ визначається як 1.]
7. $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, За умови$x\neq 0$.
8. $x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$, За умови$x\neq 0$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити$\left(2x^2\right)^3(4x)$.

Рішення

Почнемо зі спрощення$\left(2x^2\right)^3$ порції. Використовуючи Property 4, ми можемо написати

$2^3\left(x^2\right)^3(4x)$
$8x^6(4x)$	$2^3$Оцініть та використовуйте властивість 3.
$32x^7$	Помножте константи і використовуйте Property 1, згадуючи$x = x^1$.

Можливість працювати з негативними та дробовими показниками буде дуже важливим пізніше в цьому курсі.

Приклад$\PageIndex{2}$

Перепишіть,$\dfrac{5}{x^3}$ використовуючи негативні показники.

Рішення

З тих пір$x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$$x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}$ і таким чином

$$\dfrac{5}{x^3}=5x^{-3}.\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростіть$\left(\dfrac{x^{-2}}{y^{-3}}\right)^2$ якомога більше і напишіть свою відповідь, використовуючи тільки позитивні показники.

Рішення

\ begin {вирівнювати*}\ ліворуч (\ dfrac {x^ {-2}}} {y^ {-3}}\ праворуч) ^2 & =\ dfrac {\ ліворуч (x^ {-2}\ праворуч) ^2}\\ & =\ dfrac {x^ {-4}} {y^ {-6}}\\ & =\ dfrac {y^6} {x^4}\ end {вирівнювати*}

Приклад$\PageIndex{4}$

Перепишіть$4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ за допомогою експонентів.

Рішення

Квадратний корінь - це радикал з індексом два. Іншими словами,$\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}$. Використовуючи наведене вище правило експоненти,$\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}=x^{1/2}$. Переписування квадратних коренів за допомогою дробової експоненти,

$$4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}=4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}.\nonumber$$

Тепер ми можемо використовувати правило негативного показника, щоб переписати другий термін у виразі:

$$4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}=4x^{1/2}-3x^{-1/2}.\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{5}$

Перепишіть,$\left(\sqrt{p^5}\right)^{-1/3}$ використовуючи тільки позитивні показники.

Рішення

\ почати {вирівнювати*}\ ліворуч (\ sqrt {p^5}\ праворуч) ^ {-1/3} & =\ ліворуч (\ ліворуч (p^5\ праворуч) ^ {1/2}\\ праворуч) ^ {-1/3}\ & = p^ {-5/6}\\ & =\ frac {1} {p^ {5/6}}\ end {align*}

Приклад$\PageIndex{6}$

Перепишіть$x^{-4/3}$ як радикал.

Рішення

\ begin {align*} x^ {-4/3} & =\ розрив {1} {x^ {4/3}}\\ & =\ гідророзриву {1} {\ лівий (x^ {1/3}\ праворуч) ^4}\ quad\ текст {(оскільки)}\\ & =\ frac {1} {\ лівий (\ sqrt [3] {x}\ праворуч$\frac{4}{3}=4\cdot\frac{1}{3}$) ^4}\ & =\ frac {1} {\ sqrt [3] {x}\ праворуч) ^4}\\ text {(з використанням радикальної еквівалентності)}\ end {align*}