1.4: Показники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60315

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Закони експонентів дозволяють переписати алгебраїчні вирази, які включають експоненти. Останні три перераховані тут дійсно визначення, а не правила.

Закони експонентів

Всі змінні тут представляють дійсні числа, а всі змінні в знаменнику ненульові.

\(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\)
\(\dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\)
\(\left(x^a\right)^b=x^{ab}\)
\((xy)^a=x^a y^a\)
\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^b=\dfrac{x^b}{y^b}\)
\(x^0=1\), За умови\(x\neq 0\). [Хоча в деяких контекстах все ще\(0^0\) визначається як 1.]
\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\), За умови\(x\neq 0\).
\(x^{1/n}=\sqrt[n]{x}\), За умови\(x\neq 0\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Спростити\(\left(2x^2\right)^3(4x)\).

Рішення

Почнемо зі спрощення\(\left(2x^2\right)^3\) порції. Використовуючи Property 4, ми можемо написати

\(2^3\left(x^2\right)^3(4x)\)
\(8x^6(4x)\)	\(2^3\)Оцініть та використовуйте властивість 3.
\(32x^7\)	Помножте константи і використовуйте Property 1, згадуючи\(x = x^1\).

Можливість працювати з негативними та дробовими показниками буде дуже важливим пізніше в цьому курсі.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Перепишіть,\(\dfrac{5}{x^3}\) використовуючи негативні показники.

Рішення

З тих пір\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\)\(x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\) і таким чином\[\dfrac{5}{x^3}=5x^{-3}.\nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Спростіть\(\left(\dfrac{x^{-2}}{y^{-3}}\right)^2\) якомога більше і напишіть свою відповідь, використовуючи тільки позитивні показники.

Рішення

\ begin {вирівнювати*}\ ліворуч (\ dfrac {x^ {-2}}} {y^ {-3}}\ праворуч) ^2 & =\ dfrac {\ ліворуч (x^ {-2}\ праворуч) ^2}\\ & =\ dfrac {x^ {-4}} {y^ {-6}}\\ & =\ dfrac {y^6} {x^4}\ end {вирівнювати*}

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Перепишіть\(4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}\) за допомогою експонентів.

Рішення

Квадратний корінь - це радикал з індексом два. Іншими словами,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}\). Використовуючи наведене вище правило експоненти,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}=x^{1/2}\). Переписування квадратних коренів за допомогою дробової експоненти,\[4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}=4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}.\nonumber \]

Тепер ми можемо використовувати правило негативного показника, щоб переписати другий термін у виразі:\[4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}=4x^{1/2}-3x^{-1/2}.\nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Перепишіть,\( \left(\sqrt{p^5}\right)^{-1/3} \) використовуючи тільки позитивні показники.

Рішення

\ почати {вирівнювати*}\ ліворуч (\ sqrt {p^5}\ праворуч) ^ {-1/3} & =\ ліворуч (\ ліворуч (p^5\ праворуч) ^ {1/2}\\ праворуч) ^ {-1/3}\ & = p^ {-5/6}\\ & =\ frac {1} {p^ {5/6}}\ end {align*}

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Перепишіть\( x^{-4/3} \) як радикал.

Рішення

\ begin {align*} x^ {-4/3} & =\ розрив {1} {x^ {4/3}}\\ & =\ гідророзриву {1} {\ лівий (x^ {1/3}\ праворуч) ^4}\ quad\ текст {(оскільки)}\\ & =\ frac {1} {\ лівий (\ sqrt [3] {x}\ праворуч\(\frac{4}{3}=4\cdot\frac{1}{3}\)) ^4}\ & =\ frac {1} {\ sqrt [3] {x}\ праворуч) ^4}\\ text {(з використанням радикальної еквівалентності)}\ end {align*}