1.8: Логарифмічні функції
- Page ID
- 60333
Логарифми є оберненими експоненціальними функціями — вони дозволяють скасувати експоненціальні функції та розв'язувати для експоненти. Вони також зазвичай використовуються для вираження величин, які сильно різняться за розміром.
Функція логарифма (base\(b\)), записана\( \log_b (x) \), є оберненою експоненціальної функції (base\(b\)),\( b^x \).
Це означає, що твердження\( b^a=c \) еквівалентно твердженню\( \log_b (c)=a \).
- \( \log_b(b^x)=x \)
- \( b^{\log_b(x)}=x \)
Запишіть ці експоненціальні рівняння як логарифмічні рівняння:
- \( 2^3=8 \)
- \( 5^2=25 \)
- \(10^{-4}=\frac{1}{10000}\)
Рішення
- \( 2^3=8 \)еквівалентний\( \log_2(8)=3 \).
- \( 5^2=25 \)еквівалентний\( \log_5(25)=2 \).
- \(10^{-4}=\frac{1}{10000}\)еквівалентний\( \log_{10}\left(\frac{1}{10000}\right)=-4 \).
Вирішити\( 2^x=10 \) для\(x\).
Рішення
Переписуючи цей вираз як логарифм, отримаємо\( x=\log_2(10) \).
Хоча це визначає рішення та точне рішення при цьому, ви можете знайти його дещо незадовільним, оскільки важко порівняти цей вираз з десятковою оцінкою, яку ми зробили раніше. Крім того, давати точний вираз для розв'язку не завжди корисно - часто нам дійсно потрібно десяткове наближення до розв'язку. На щастя, це завдання калькулятори і комп'ютери досить вмілі. На жаль для нас, більшість калькуляторів та комп'ютерів оцінюватимуть лише логарифми двох основ. На щастя, це закінчується не проблемою, як ми побачимо коротко.
Загальним журналом є логарифм з основою 10, і зазвичай пишеться\( \log(x) \).
Натуральний журнал - це логарифм з основою\(e\), і, як правило, пишеться\( \ln(x) \).
Оцініть\( \log(1000) \) за допомогою визначення загального журналу.
Рішення
Щоб оцінити\( \log(1000) \), можна сказати\( x=\log(1000) \), потім перепишіть в експоненціальну форму, використовуючи загальну базу журналу 10:\[ 10^x=1000. \nonumber \]
З цього, ми могли б визнати, що 1000 це куб 10, так що\(x = 3\).
Ми також можемо використовувати зворотну властивість журналів для запису\( log_{10}\left(10^3\right) =3 \).
| Число | Число як експоненціальне | журнал (номер) |
| 1000 | \( 10^3 \) | 3 |
| 100 | \( 10^2 \) | 2 |
| 10 | \( 10^1 \) | 1 |
| 1 | \( 10^0 \) | 0 |
| 0.1 | \( 10^{-1} \) | -1 |
| 0,01 | \( 10^{-2} \) | -2 |
| 0,001 | \( 10^{-3} \) | -3 |
Оцініть\( \log(500) \) за допомогою калькулятора або комп'ютера.
Рішення
Використовуючи комп'ютер або калькулятор, ми можемо оцінити і знайти це\( \log(500)\approx 2.69897 \).
Ще одна властивість дає основу для розв'язання експоненціальних рівнянь.
\( \log_b\left(A^r\right)=r\,\log_b(A) \)
- Виділіть експоненціальні вирази, коли це можливо.
- Візьміть логарифм обох сторін.
- Використовуйте властивість exponent для логарифмів, щоб витягнути змінну з показника.
- Використовуйте алгебру для розв'язання змінної.
В останньому розділі ми передбачили чисельність населення (у мільярдах) Індії через\(t\) роки після 2008 року за допомогою цієї функції\( f(t)=1.14(1+0.0134)^t \). Якщо населення продовжить слідувати цій тенденції, коли населення досягне 2 мільярдів?
Рішення
Потрібно вирішувати для того,\(t\) щоб\(f(t) = 2\)
| \(2=1.14(1.0134)^t\) | Початкове рівняння. |
| \(\dfrac{2}{1.14}=1.0134^t\) | Розділіть на 1,14, щоб виділити експоненціальний вираз. |
| \(\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=\ln\left(1.0134^t\right)\) | Візьміть логарифм обох сторін рівняння. |
| \(\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=t\,\ln(1.0134)\) | Застосуйте властивість експоненти з правого боку. |
| \( t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)}{\ln(1.0134)}\) | Розділіть обидві сторони на\(\ln(1.0134)\) |
| \( t\approx 42.23 \text{ years} \) |
Якщо цей темп зростання збережеться, модель прогнозує, що населення Індії досягне 2 мільярдів приблизно через 42 роки після 2008 року, або приблизно в 2050 році.
Вирішити\( 5e^{-0.3t}=2 \) для\( t \).
Рішення
Спочатку ділимо на 5, щоб виділити експоненціальну:\[ e^{-0.3t}=\frac{2}{5}. \nonumber \]
Оскільки це рівняння передбачає\(e\), має сенс використовувати натуральне колоду:
| \(\ln\left(e^{-0.3t}\right)=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\) | Візьміть натуральне колоду з обох сторін. |
| \(-0.3t=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\) | Використання зворотного властивості для колод. |
| \( t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)}{-0.3}\) | Тепер ділимо на -0,3. |
| \( t\approx 3.054 \) |
Крім вирішення експоненціальних рівнянь, логарифмічні вирази поширені в багатьох фізичних ситуаціях.
У хімії рН - це міра кислотності або основності рідини. РН пов'язаний з концентрацією іонів водню\(\left[H^+\right]\), вимірюваної в молі на літр, рівнянням\[\text{pH}=-\log\left(\left[H^+\right]\right)\nonumber \]
Якщо рідина має концентрацію 0,0001 моль на літр, визначте рН. Визначте концентрацію водневих іонів рідини з рН 7.
Рішення
Щоб відповісти на перше питання, оцінюємо вираз\( -\log(0.0001) \). Хоча ми могли б використовувати наші калькулятори для цього, ми не дуже потребуємо їх тут, оскільки ми можемо використовувати зворотну властивість журналів:\[ -\log(0.0001)=-\log\left(10^{-4}\right)=-(-4)=4.\nonumber \]
Щоб відповісти на друге питання, нам потрібно вирішити рівняння\( 7=-\log\left(\left[H^+\right]\right) \). Почніть з виділення логарифма з одного боку рівняння, множивши обидві сторони на -1:\(-7=\log\left(\left[H^+\right]\right)\). Переписування в експоненціальну форму дає відповідь:\[\left[H^+\right]=10^{-7}=0.0000001\text{ moles per liter}.\nonumber \]
Хоча нам не часто потрібно накидати графік логарифма, корисно зрозуміти основну форму.
Графічно, задана функція\( g(x)=\log_b(x) \).
- Графік має горизонтальний перехоплення в (1, 0).
- Графік має вертикальну асимптоту в\( x = 0\).
- Графік збільшується і увігнутий вниз.
- Домен функції є\( x \gt 0\), або\( (0, \infty) \) в інтервальному позначенні.
- Діапазон функції - це всі дійсні числа, або\( (-\infty, \infty) \) в інтервальних позначеннях.
При замальовуванні загального логарифма з основою\(b\) може бути корисно пам'ятати, що графік буде проходити через точки\((1, 0)\) і\((b, 1)\).
Щоб отримати уявлення про те, як база впливає на форму графіка, вивчіть наведені нижче графіки:
Ще одним важливим спостереженням, зробленим, була область логарифма:\(x \gt 0\). Як і зворотні та квадратні функції кореня, логарифм має обмежений домен, який необхідно враховувати при знаходженні області композиції, що включає журнал.
Знайдіть домен функції\( f(x)=\log(5-2x) \).
Рішення
Логарифм визначається лише тоді, коли вхідні дані є додатними, тому ця функція буде визначена лише тоді, коли\( 5-2x \gt 0 \). Рішення цієї нерівності\( -2x \gt -5 \), так\( x\lt \frac{5}{2} \).
Доменом цієї функції є\( x\lt \frac{5}{2} \), або, в інтервальному позначенні,\( \left(-\infty, \frac{5}{2} \right) \).