1.8: Логарифмічні функції

Логарифми є оберненими експоненціальними функціями — вони дозволяють скасувати експоненціальні функції та розв'язувати для експоненти. Вони також зазвичай використовуються для вираження величин, які сильно різняться за розміром.

Логарифм, еквівалентний експоненціальній

Функція логарифма (base$b$), записана$\log_b (x)$, є оберненою експоненціальної функції (base$b$),$b^x$.

Це означає, що твердження$b^a=c$ еквівалентно твердженню$\log_b (c)=a$.

Властивості журналів: зворотні властивості

• $\log_b(b^x)=x$
• $b^{\log_b(x)}=x$

Приклад$\PageIndex{1}$

Запишіть ці експоненціальні рівняння як логарифмічні рівняння:

1. $2^3=8$
2. $5^2=25$
3. $10^{-4}=\frac{1}{10000}$

Рішення

1. $2^3=8$еквівалентний$\log_2(8)=3$.
2. $5^2=25$еквівалентний$\log_5(25)=2$.
3. $10^{-4}=\frac{1}{10000}$еквівалентний$\log_{10}\left(\frac{1}{10000}\right)=-4$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити$2^x=10$ для$x$.

Рішення

Переписуючи цей вираз як логарифм, отримаємо$x=\log_2(10)$.

Хоча це визначає рішення та точне рішення при цьому, ви можете знайти його дещо незадовільним, оскільки важко порівняти цей вираз з десятковою оцінкою, яку ми зробили раніше. Крім того, давати точний вираз для розв'язку не завжди корисно - часто нам дійсно потрібно десяткове наближення до розв'язку. На щастя, це завдання калькулятори і комп'ютери досить вмілі. На жаль для нас, більшість калькуляторів та комп'ютерів оцінюватимуть лише логарифми двох основ. На щастя, це закінчується не проблемою, як ми побачимо коротко.

Загальні та природні логарифми

Загальним журналом є логарифм з основою 10, і зазвичай пишеться$\log(x)$.

Натуральний журнал - це логарифм з основою$e$, і, як правило, пишеться$\ln(x)$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Оцініть$\log(1000)$ за допомогою визначення загального журналу.

Рішення

Щоб оцінити$\log(1000)$, можна сказати$x=\log(1000)$, потім перепишіть в експоненціальну форму, використовуючи загальну базу журналу 10: $$10^x=1000. \nonumber$$

З цього, ми могли б визнати, що 1000 це куб 10, так що$x = 3$.

Ми також можемо використовувати зворотну властивість журналів для запису$log_{10}\left(10^3\right) =3$.

Значення загального журналу

Число	Число як експоненціальне	журнал (номер)
1000	$10^3$	3
100	$10^2$	2
10	$10^1$	1
1	$10^0$	0
0.1	$10^{-1}$	-1
0,01	$10^{-2}$	-2
0,001	$10^{-3}$	-3

Приклад$\PageIndex{4}$

Оцініть$\log(500)$ за допомогою калькулятора або комп'ютера.

Рішення

Використовуючи комп'ютер або калькулятор, ми можемо оцінити і знайти це$\log(500)\approx 2.69897$.

Ще одна властивість дає основу для розв'язання експоненціальних рівнянь.

Властивості журналів: Властивість експоненти

$\log_b\left(A^r\right)=r\,\log_b(A)$

Розв'язування експоненціальних рівнянь:

1. Виділіть експоненціальні вирази, коли це можливо.
2. Візьміть логарифм обох сторін.
3. Використовуйте властивість exponent для логарифмів, щоб витягнути змінну з показника.
4. Використовуйте алгебру для розв'язання змінної.

Приклад$\PageIndex{5}$

В останньому розділі ми передбачили чисельність населення (у мільярдах) Індії через$t$ роки після 2008 року за допомогою цієї функції$f(t)=1.14(1+0.0134)^t$. Якщо населення продовжить слідувати цій тенденції, коли населення досягне 2 мільярдів?

Рішення

Потрібно вирішувати для того,$t$ щоб$f(t) = 2$

$2=1.14(1.0134)^t$	Початкове рівняння.
$\dfrac{2}{1.14}=1.0134^t$	Розділіть на 1,14, щоб виділити експоненціальний вираз.
$\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=\ln\left(1.0134^t\right)$	Візьміть логарифм обох сторін рівняння.
$\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=t\,\ln(1.0134)$	Застосуйте властивість експоненти з правого боку.
$t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)}{\ln(1.0134)}$	Розділіть обидві сторони на$\ln(1.0134)$
$t\approx 42.23 \text{ years}$

Якщо цей темп зростання збережеться, модель прогнозує, що населення Індії досягне 2 мільярдів приблизно через 42 роки після 2008 року, або приблизно в 2050 році.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішити$5e^{-0.3t}=2$ для$t$.

Рішення

Спочатку ділимо на 5, щоб виділити експоненціальну: $$e^{-0.3t}=\frac{2}{5}. \nonumber$$

Оскільки це рівняння передбачає$e$, має сенс використовувати натуральне колоду:

$\ln\left(e^{-0.3t}\right)=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)$	Візьміть натуральне колоду з обох сторін.
$-0.3t=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)$	Використання зворотного властивості для колод.
$t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)}{-0.3}$	Тепер ділимо на -0,3.
$t\approx 3.054$

Крім вирішення експоненціальних рівнянь, логарифмічні вирази поширені в багатьох фізичних ситуаціях.

Приклад$\PageIndex{7}$

У хімії рН - це міра кислотності або основності рідини. РН пов'язаний з концентрацією іонів водню$\left[H^+\right]$, вимірюваної в молі на літр, рівнянням $$\text{pH}=-\log\left(\left[H^+\right]\right)\nonumber$$

Якщо рідина має концентрацію 0,0001 моль на літр, визначте рН. Визначте концентрацію водневих іонів рідини з рН 7.

Рішення

Щоб відповісти на перше питання, оцінюємо вираз$-\log(0.0001)$. Хоча ми могли б використовувати наші калькулятори для цього, ми не дуже потребуємо їх тут, оскільки ми можемо використовувати зворотну властивість журналів: $$-\log(0.0001)=-\log\left(10^{-4}\right)=-(-4)=4.\nonumber$$

Щоб відповісти на друге питання, нам потрібно вирішити рівняння$7=-\log\left(\left[H^+\right]\right)$. Почніть з виділення логарифма з одного боку рівняння, множивши обидві сторони на -1:$-7=\log\left(\left[H^+\right]\right)$. Переписування в експоненціальну форму дає відповідь: $$\left[H^+\right]=10^{-7}=0.0000001\text{ moles per liter}.\nonumber$$

Хоча нам не часто потрібно накидати графік логарифма, корисно зрозуміти основну форму.

Графічні особливості логарифма

Графічно, задана функція$g(x)=\log_b(x)$.

• Графік має горизонтальний перехоплення в (1, 0).
• Графік має вертикальну асимптоту в$x = 0$.
• Графік збільшується і увігнутий вниз.
• Домен функції є$x \gt 0$, або$(0, \infty)$ в інтервальному позначенні.
• Діапазон функції - це всі дійсні числа, або$(-\infty, \infty)$ в інтервальних позначеннях.

При замальовуванні загального логарифма з основою$b$ може бути корисно пам'ятати, що графік буде проходити через точки$(1, 0)$ і$(b, 1)$.

Щоб отримати уявлення про те, як база впливає на форму графіка, вивчіть наведені нижче графіки:

Ще одним важливим спостереженням, зробленим, була область логарифма:$x \gt 0$. Як і зворотні та квадратні функції кореня, логарифм має обмежений домен, який необхідно враховувати при знаходженні області композиції, що включає журнал.

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть домен функції$f(x)=\log(5-2x)$.

Рішення

Логарифм визначається лише тоді, коли вхідні дані є додатними, тому ця функція буде визначена лише тоді, коли$5-2x \gt 0$. Рішення цієї нерівності$-2x \gt -5$, так$x\lt \frac{5}{2}$.

Доменом цієї функції є$x\lt \frac{5}{2}$, або, в інтервальному позначенні,$\left(-\infty, \frac{5}{2} \right)$.