1.5: Квадратика

Квадратики - це перетворення функції$f(x)=x^2$. Квадратика зазвичай виникає через проблеми, пов'язані з рухом площі та снаряда, забезпечуючи деякі цікаві програми.

Приклад$\PageIndex{1}$

Фермер на задньому дворі хоче обкласти прямокутний простір для нового саду. Вона придбала 80 футів дротяної огорожі, щоб обкласти три сторони, і поставить четверту сторону проти паркану заднього двору. Знайдіть формулу для площі, огородженої парканом, якщо сторони огорожі перпендикулярні існуючому паркану мають довжину$L$.

Рішення

У такому сценарії, що включає геометрію, часто корисно намалювати малюнок. Також може бути корисно ввести тимчасову змінну$W$, щоб представляти сторону огорожі паралельно четвертій стороні або задньому дворі паркан.

Оскільки ми знаємо, що у нас є лише 80 футів паркану, ми знаємо$L+W+L=80$, що, або простіше кажучи,$2L+W=80$. Це дозволяє нам представляти ширину$W$, з точки зору$L$:$W=80-2L$

Тепер ми готові написати рівняння для площі, яку огороджує паркан. Ми знаємо, що площа прямокутника - це довжина, помножена на ширину$A=LW=L(80-2l)$, отже, $$A(L)=80L-2L^2. \nonumber$$ ця формула представляє площу огорожі в перерахунку на змінну довжину$L$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Місцева газета в даний час має 84 000 передплатників, щоквартально стягуючи $30. Дослідження ринку припускають, що якби вони підняли ціну до 32 доларів, вони втратять 5000 передплатників. Припускаючи, що підписки лінійно пов'язані з ціною, створіть рівняння для моделювання їх доходу як функції квартального збору.

Рішення

Дохід - це сума грошей, яку компанія приносить. В цьому випадку дохід можна дізнатися, помноживши плату за підписку на кількість передплатників на кількість передплатників. Ми можемо ввести змінні,$C$ за плату за підписку та$S$ кількість абонентів, даючи нам рівняння:

Дохід =$C S$

Так як кількість передплатників змінюється разом з ціною, нам потрібно знайти зв'язок між змінними.

Ми знаємо, що в даний час$S = 84,000$ і$C = 30$, і що якщо вони підвищать ціну до 32 доларів, вони втратять 5000 підписників, даючи другу пару значень,$S = 79,000$ і$C = 32$. З цього ми можемо знайти лінійне рівняння, що стосується двох величин. Розглядаючи$C$ як вхід і$S$ як вихід, рівняння матиме форму$S = mC + b$. Ухил буде

$$m = \dfrac{79,000 - 84,000}{32-30} = \dfrac{-5,000}{2} = -2,500\nonumber$$

Це говорить нам, що папір втратить 2500 передплатників за кожен долар, який вони підвищують ціну. Потім ми можемо вирішити для вертикального перехоплення.
$$S = -2500C + b\nonumber$$

Підключіть точку$S = 84,000$ і$C = 30$
$$84000 = -2500(30) + b\nonumber$$

Вирішити для$b$
$$b = 159,000\nonumber$$

Це дає нам лінійне рівняння,$S = -2,500C + 159,000$ що стосується вартості та абонентів. Зверніть увагу, що це рівняння попиту, де$C$ ціна та$S$ кількість, яку потрібно. Тепер ми повернемося до нашого рівняння доходів.

Дохід =$C S$

Підставляємо рівняння для$S$ зверху:
Виручка =$C \left(-2,500C + 159,000\right)$

Розширення
доходу =$-2,500C^2 + 159,000C$

Тепер у нас є квадратне рівняння доходу як функція плати за підписку. Пізніше в курсі ми будемо використовувати такі рівняння, щоб визначити ціну, яку потрібно стягувати, щоб максимізувати дохід.

Форми квадратичних функцій

Стандартною формою квадратичної функції є$f(x)=ax^2+bx+c$.

Форма перетворення квадратичної функції є$f(x)=a(x-h)^2+k$.

Вершина квадратичної функції розташована за адресою$(h, k)$, де$h$ і$k$ знаходяться числа у формі перетворення функції. Оскільки вершина з'являється у формі перетворення, її часто називають формою вершини.

Приклад$\PageIndex{3}$

Напишіть рівняння для квадратичного графіка нижче як перетворення$f(x)=x^2$.

Рішення

Ми бачимо, що графік є основним квадратичним зміщенням вліво 2 і вниз 3, ставлячи вершину на$(-2, -3)$, даючи формулу у вигляді$g(x)=a(x+2)^2-3$. Підключивши точку, яка падає на сітку, наприклад$(0,-1)$, ми можемо вирішити для коефіцієнта розтягування: $$\begin{align*} -1 & = a(0+2)^2-3 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{1}{2} \end{align*}\nonumber$$

Рівняння для цієї формули є $$g(x)=\frac{1}{2}(x+2)^2-3 \nonumber$$

Короткострокова поведінка: Перехоплення

Як і будь-яка функція, ми можемо знайти вертикальні перехоплення квадратичного, оцінюючи функцію на вході нуля, і ми можемо знайти горизонтальні перехоплення, вирішуючи, коли вихід буде нульовим. Зверніть увагу, що залежно від розташування графіка, ми могли б мати нуль, один або два горизонтальних перехоплення.

Нульові горизонтальні перехоплення

Один горизонтальний перехоплення

Два горизонтальних перехоплення

Зверніть увагу, що в стандартній формі квадратики постійний член$c$ виявляє вертикальний перехоплення графа, так як$f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть вертикальні і горизонтальні перехоплення квадратики$f(x)=3x^2+5x-2$.

Рішення

Ми можемо знайти вертикальний перехоплення, оцінюючи функцію на вході нуля: $$f(0)=3(0)^2+5(0)-2=-2\nonumber$$ Таким чином, вертикальний перехоплення знаходиться в (0, -2)

Для горизонтальних перехоплень ми вирішуємо, коли вихід буде нульовим: $$0=3x^2+5x-2.\nonumber$$ У цьому випадку квадратик може бути легко врахований, забезпечуючи найпростіший метод для вирішення.: $$0=(3x-1)(x+2),\nonumber$$ так $$\begin{align*} 0 & = 3x-1\\ x & = \frac{1}{3} \end{align*} \nonumber$$ або $$\begin{align*} 0 & = x+2\\ x & = -2 \end{align*} \nonumber$$ так горизонтальні перехоплення знаходяться в$\left(\frac{1}{3},0\right)$ і$(-2,0)$.

Коли квадратик не є факторним або його важко фактор, ми можемо звернутися до квадратичної формули.

Квадратична формула

Для квадратичної функції, заданої в стандартному вигляді$f(x)=ax^2+bx+c$, квадратична формула дає горизонтальні перехоплення графіка цієї функції: $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{5}$

М'яч кидається вгору з вершини 40 футів висотою будівлі зі швидкістю 80 футів в секунду. Висота кулі над землею може бути змодельована рівнянням $$H(t)=-16t^2+80t+40 .\nonumber$$ Коли м'яч потрапляє в землю?

Рішення

Щоб знайти, коли м'яч вдариться об землю, нам потрібно визначити, коли висота дорівнює нулю, т. Е$H(t) = 0$. Хоча ми могли б зробити це за допомогою форми перетворення квадратичного, ми також можемо використовувати квадратичну формулу: $$t=\frac{-80\pm \sqrt{80^2-4(-16)(40)}}{2(-16)}=\frac{-80\pm\sqrt{8960}}{-32} \nonumber$$

Оскільки квадратний корінь не спрощує красиво, ми можемо скористатися калькулятором для наближення значень рішень: $$t=\frac{-80-\sqrt{8960}}{-32}\approx 5.458 \quad\text{or}\quad t=\frac{-80+\sqrt{8960}}{-32}\approx -0.458 \nonumber$$

Друга відповідь знаходиться поза розумною сферою нашої моделі, тому ми робимо висновок, що м'яч вдарить об землю приблизно через 5.458 секунд.

Приклад$\PageIndex{6}$

Пропозиція для певного товару може бути змодельована,$p = 3q^2$ а попит може бути змодельований$p = 1620 - 2q^2$, де$p$ ціна в доларах, а$q$ кількість в тисячах найменувань. Знайдіть рівноважну ціну та кількість.

Рішення

Нагадаємо, що рівноважна ціна і кількість знаходять, знаходячи, де перетинаються криві попиту і пропозиції. Ми можемо знайти це, встановивши рівняння рівні: $$3q^2 = 1620 - 2q^2\nonumber$$

Додайте$2q^2$ в обидві сторони:$5q^2 = 1620$

Розділіть на 5 з обох сторін:$q^2 = 324$

Візьміть квадратний корінь з обох сторін: $$q = \pm \sqrt{324} = \pm 18 \nonumber$$

Оскільки говорити про негативні величини немає сенсу, рівноважна кількість є$q = 18$. Щоб знайти рівноважну ціну, оцінюємо будь-яку функцію за рівноважною величиною. $$p = 3(18)^2 = 972\nonumber$$

Рівновага становить 18 тисяч предметів, за ціною $972.