Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15: Багаторазова інтеграція

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61943

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У цьому розділі ми розширюємо поняття певного інтеграла однієї змінної на подвійні та потрійні інтеграли функцій двох та трьох змінних відповідно. Ми вивчаємо програми, що включають інтеграцію для обчислення обсягів, мас і центроїдів більш загальних регіонів. Ми також побачимо, як використання інших систем координат (таких як полярні, циліндричні та сферичні координати) спрощує обчислення декількох інтегралів над деякими типами областей та функцій. У попередньому розділі ми розглянули диференціальне числення з декількома незалежними змінними. Тепер ми розглянемо інтегральне числення в декількох вимірах. Подібно до того, як часткова похідна дозволяє нам диференціювати функцію щодо однієї змінної, утримуючи інші змінні постійними, ми побачимо, що ітераційний інтеграл дозволяє нам інтегрувати функцію щодо однієї змінної, утримуючи інші змінні постійними.

    • 15.0: Прелюдія до багаторазової інтеграції
      У попередньому розділі ми розглянули диференціальне числення з декількома незалежними змінними. Тепер ми розглянемо інтегральне числення в кратних вимірах. Подібно до того, як часткова похідна дозволяє нам диференціювати функцію щодо однієї змінної, утримуючи інші змінні постійними, ми побачимо, що ітераційний інтеграл дозволяє нам інтегрувати функцію щодо однієї змінної, утримуючи інші змінні постійними.
    • 15.1: Подвійні інтеграли над прямокутними областями
      У цьому розділі ми досліджуємо подвійні інтеграли і покажемо, як ми можемо використовувати їх для знаходження об'єму твердого тіла над прямокутною областю в ксикси-площині. Багато властивостей подвійних інтегралів подібні до тих, які ми вже обговорювали для одиночних інтегралів.
    • 15.2: Подвійні інтеграли над загальними регіонами
      У цьому розділі розглядаються подвійні інтеграли функцій, визначених над загальною обмеженою областю D на площині. Більшість попередніх результатів тримаються і в цій ситуації, але деякі методи потрібно розширити, щоб охопити цей більш загальний випадок.
    • 15.3: Подвійні інтеграли в полярних координатах
      Подвійні інтеграли іноді набагато простіше оцінити, якщо ми змінимо прямокутні координати на полярні координати. Однак перш ніж описувати, як здійснити цю зміну, нам потрібно встановити поняття подвійного інтеграла в полярній прямокутній області.
    • 15.4: Потрійні інтеграли
      У подвійних інтегралах над прямокутними областями ми обговорювали подвійний інтеграл функції f (x, y) двох змінних над прямокутною областю в площині. У цьому розділі ми визначаємо потрійний інтеграл функції f (x, y, z) трьох змінних над прямокутною суцільною коробкою у просторі, R³. Пізніше в цьому розділі ми поширюємо визначення на більш загальні регіони в R³.
    • 15.5: Потрійні інтеграли в циліндричних та сферичних координатах
      У цьому розділі ми перетворюємо потрійні інтеграли в прямокутних координатах в потрійний інтеграл у циліндричних або сферичних координатах.
    • 15.6: Обчислення центрів мас і моментів інерції
      У цьому розділі розроблені обчислювальні методики знаходження центру мас і моментів інерції декількох типів фізичних об'єктів з використанням подвійних інтегралів для ламіни (плоскої пластини) та потрійних інтегралів для тривимірного об'єкта зі змінною щільністю. Щільність зазвичай вважається постійним числом, коли пластинка або предмет однорідні; тобто об'єкт має рівномірну щільність.
    • 15.7: Зміна змінних в декількох інтегралах
      При вирішенні інтеграційних задач ми робимо відповідні заміни, щоб отримати інтеграл, який стає набагато простішим, ніж початковий інтеграл. Ми також використовували цю ідею, коли ми перетворювали подвійні інтеграли в прямокутні координати в полярні координати і перетворювали потрійні інтеграли в прямокутні координати в циліндричні або сферичні координати, щоб спростити обчислення.
    • 15.8: Глава 15 Огляд вправ

    Мініатюра: Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею\(z = 10 − x^2 − y^2/8\). Прямокутна область внизу тіла є областю інтеграції, тоді як поверхня - це графік двозмінної функції, яку потрібно інтегрувати. (Громадське надбання; Олег Александров).