13: Векторно-значні функції
- Page ID
- 61615
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Векторно-значна функція, яку також називають векторною функцією, являє собою математичну функцію однієї або декількох змінних, діапазон яких являє собою набір багатовимірних векторів або нескінченновимірних векторів. Вхідні дані векторної функції може бути скаляром або вектором. Векторно-значні функції забезпечують корисний метод дослідження різних кривих як у площині, так і в тривимірному просторі. Ми можемо застосувати цю концепцію для обчислення швидкості, прискорення, довжини дуги та кривизни траєкторії об'єкта. У цьому розділі ми розглянемо ці методи і покажемо, як вони використовуються.
- 13.0: Прелюдія до векторних функцій
- Комета Галлея йде еліптичним шляхом через Сонячну систему, при цьому Сонце з'являється в одному фокусі еліпса. Цей рух передбачається першим законом Йоганнеса Кеплера про рух планет, про який ми коротко згадували раніше. Третій закон Кеплера планетарного руху може бути використаний з численням векторно-значних функцій для знаходження середньої відстані комети Галлея від Сонця.
- 13.1: Векторно-значні функції та просторові криві
- Наше дослідження векторно-значних функцій поєднує ідеї з нашого попереднього вивчення однозмінного числення з нашим описом векторів у трьох вимірах з попередньої глави. У цьому розділі ми розширюємо поняття з попередніх глав, а також розглядаємо нові ідеї щодо кривих у тривимірному просторі. Ці визначення та теореми підтримують виклад матеріалу в іншій частині цієї глави, а також в інших розділах тексту.
- 13.2: Обчислення векторно-значних функцій
- Для вивчення числення векторно-значних функцій ми слідуємо аналогічним шляхом до того, який ми взяли при вивченні дійсних функцій. Спочатку визначаємо похідну, потім вивчаємо додатки похідної, потім переходимо до визначення інтегралів. Однак ми знайдемо кілька цікавих нових ідей на цьому шляху в результаті векторної природи цих функцій та властивостей космічних кривих.
- 13.3: Довжина дуги та кривизна
- У цьому розділі ми вивчаємо формули, пов'язані з кривими як у двох, так і в трьох вимірах, і подивимося, як вони пов'язані з різними властивостями однієї і тієї ж кривої. Наприклад, припустимо, векторно-значна функція описує рух частинки в просторі. Ми хотіли б визначити, наскільки далеко пройшла частка за заданий проміжок часу, який можна описати довжиною дуги шляху, який вона слідує.
- 13.4: Рух у космосі
- Зараз ми бачили, як описувати криві в площині і в просторі, і як визначити їх властивості, такі як довжина дуги і кривизна. Все це призводить до головної мети цієї глави, яка полягає в описі руху по плоских кривих і просторових кривих. Тепер у нас є всі необхідні інструменти; в цьому розділі ми складаємо ці ідеї разом і розглянемо, як їх використовувати.