13.5: Глава 13 Огляд вправи

Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або зустрічнимприкладом.

1. Параметричне рівняння, яке проходить через точки$P$ і$Q$ може бути задано$\vecs r(t)=⟨t^2,\, 3t+1,\, t−2⟩,$ де$P(1,4,−1)$ і$Q(16,11,2).$

2. $\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=2\vecs u′(t)×\vecs u(t)$

Відповідь

помилковий,$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=\vecs 0.$

3. Кривизна окружності радіуса$r$ повсюдно постійна. Крім того, кривизна дорівнює$1/r.$

4. Швидкість частинки з функцією положення$\vecs r(t)$ дорівнює$\dfrac{\vecs r′(t)}{\|\vecs r′(t)\|}.$

Відповідь

Помилково, це$\|\vecs r′(t)\|$

Знайдіть області векторно-значних функцій.

5. $\vecs r(t)=⟨\sin(t),\, \ln(t),\, \sqrt{t}⟩$

6. $\vecs r(t)=\left\langle e^t,\,\dfrac{1}{\sqrt{4−t}},\,\sec t\right\rangle$

Відповідь

$t<4, \; t≠\dfrac{nπ}{2}$

Намалюйте криві для наступних векторних рівнянь. За потреби скористайтеся калькулятором.

7. [Т]$\vecs r(t)=⟨t^2,\, t^3⟩$

8. [Т]$\vecs r(t)=⟨\sin(20t)e^{−t}, \, \cos(20t)e^{−t}, \, e^{−t}⟩$

Відповідь

Знайдіть векторну функцію, яка описує наступні криві.

9. Перетин циліндра$x^2+y^2=4$ з площиною$x+z=6$

10. Перетин конуса$z=\sqrt{x^2+y^2}$ і площини$z=y−4$

Відповідь

$\vecs r(t)=\left\langle t, \, 2-\frac{t^2}{8},\, -2 - \frac{t^2}{8}\right\rangle$

Знайти похідні$\vecs u(t), \, \vecs u′(t), \, \vecs u′(t)×\vecs u(t), \, \vecs u(t)×\vecs u′(t),$ і$\vecs u(t)·\vecs u′(t).$ знайти одиничний тангенс вектора.

11. $\vecs u(t)=⟨e^t, \, e^{−t}⟩$

12. $\vecs u(t)=⟨t^2,\, 2t+6, \, 4t^5−12⟩$

Відповідь

$\vecs u′(t)=⟨2t, \, 2, \, 20t^4⟩,$
$\vecs u″(t)=⟨2, \, 0, \, 80t^3⟩,$
$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u′(t)×\vecs u(t)\Big]=⟨−480t^3−160t^4, \, 24+75t^2, \, 12+4t⟩,$
$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u′(t)\Big]=⟨480t^3+160t^4, \, -24-75t^2, \, -12-4t⟩,$
$\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)⋅\vecs u′(t)\Big]=720t^8−9600t^3+6t^2+4,$
вектор дотичної одиниці:$\vecs T(t)=\dfrac{2t}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat i}+\dfrac{2}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{20t^4}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat k}$

Оцініть наступні інтеграли.

13. $\displaystyle ∫\left(\tan(t)\sec(t)\,\mathbf{\hat i}−te^{3t}\,\mathbf{\hat j}\right)\, dt$

14. $\displaystyle ∫_1^4 \vecs u(t) \, dt,$з$\vecs u(t)=\left\langle\dfrac{\ln t}{t}, \, \dfrac{1}{\sqrt{t}}, \, \sin\left(\frac{tπ}{4}\right)\right\rangle$

Відповідь

$\dfrac{\ln(4^2)}{2}\,\mathbf{\hat i}+2\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{2(2+\sqrt{2})}{\pi}\,\mathbf{\hat k}$

Знайдіть довжину для наступних кривих.

15. $\vecs r(t)=⟨3t,\, 4\cos t, \, 4\sin t ⟩$для$1≤t≤4$

16. $\vecs r(t)=2\,\mathbf{\hat i}+t\,\mathbf{\hat j}+3t^2\,\mathbf{\hat k}$для$0≤t≤1$

Відповідь

$\dfrac{\sqrt{37}}{2}+\frac{1}{12}\sinh^{−1} 6$

Перепараметризувати наступні функції щодо їх довжини дуги, виміряної від$t=0$ напрямку збільшення$t.$

17. $\vecs r(t)=2t\,\mathbf{\hat i}+(4t−5)\,\mathbf{\hat j}+(1−3t)\,\mathbf{\hat k}$

18. $\vecs r(t)=\cos(2t)\,\mathbf{\hat i}+8t\,\mathbf{\hat j}−\sin(2t)\,\mathbf{\hat k}$

Відповідь

$\vecs r(t(s))=\cos\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat i}+\frac{8s}{\sqrt{65}}\,\mathbf{\hat j}−\sin\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat k}$

Знайдіть кривизну для наступних векторних функцій.

19. $\vecs r(t)=(2\sin t)\,\mathbf{\hat i}−4t\,\mathbf{\hat j}+(2\cos t)\,\mathbf{\hat k}$

20. $\vecs r(t)=\sqrt{2}e^t\,\mathbf{\hat i}+\sqrt{2}e^{−t}\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k}$

Відповідь

$\dfrac{e^{2t}}{\left(e^{2t}+1\right)^2}$

21. Знайти одиничний тангенсний вектор, одиничний вектор нормалі та бінормальний вектор для$\vecs r(t)=2\cos t\,\mathbf{\hat i} +3t\,\mathbf{\hat j}+2sint\,\mathbf{\hat k}.$

22. Знайти тангенціальну і нормальну складові прискорення з вектором положення$\vecs r(t)=⟨\cos t,\, \sin t, \, e^t⟩.$

Відповідь

$a_T=\dfrac{e^{2t}}{1+e^{2t}},$

$a_N=\dfrac{\sqrt{2e^{2t}+4e^{2t}\sin t\cos t+1}}{1+e^{2t}}$

23. Автомобіль колеса огляду рухається з постійною швидкістю$v$ і має постійний радіус$r.$ Знайти тангенціальне і нормальне прискорення автомобіля колеса огляду.

24. Положення частинки задається тим,$\vecs r(t)=⟨t^2, \, \ln t, \, \sin(πt)⟩,$ де$t$ вимірюється в секундах і$r$ вимірюється в метрах. Знайдіть функції швидкості, прискорення та швидкості. Яке положення, швидкість, швидкість і прискорення частинки за 1 сек?

Відповідь

$\vecs v(t)=\left\langle 2t,\, \frac{1}{t}, \, \pi\cos(πt)\right\rangle\text{ m/sec},$
$\vecs a(t)=\left\langle 2, \, −\frac{1}{t^2}, \, −\pi^2\sin(πt) \right\rangle\text{ m/sec}^2,$
$\text{speed}(t)=\sqrt{4t^2+\frac{1}{t^2}+\pi^2\cos^2(πt)}\text{ m/sec}$;
При$t=1,\; \vecs r(1)=⟨1,0,0⟩$ м,$\vecs v(1)=⟨2,−1,\pi⟩$$\vecs a(1)=⟨2,−1,0⟩$ м/сек, м/сек ²,$\text{speed}(1) =\sqrt{5+\pi^2}$ м/с

Наступні проблеми розглядають запуск гарматного ядра з гармати. Гарматне ядро вистрілюється з гармати з кутом$θ$ і початковою швидкістю. Єдина сила,$\vecs v_0.$ що діє на гарматне ядро, - це гравітація, тому починаємо з постійного прискорення.$\vecs a(t)=−g\,\mathbf{\hat j}.$

25. Знайти функцію вектора швидкості$\vecs v(t).$

26. Знайти вектор положення$\vecs r(t)$ і параметричне уявлення для позиції.

Відповідь

$\vecs r(t)=\vecs v_0t−\dfrac{gt^2}{2}\,\mathbf{\hat j},$
$\vecs r(t)=⟨v_0(\cos θ)t,\,v_0(\sin θ)t,−\dfrac{gt^2}{2}⟩$де$v_0 = \|\vecs v_0\|.$

27. Під яким кутом потрібно стріляти гарматним ядром, щоб відстань по горизонталі була найбільшою? Яку загальну відстань він би проїхав?

Дописувачі

Template:ContribOpenStaxCalc