13.5: Глава 13 Огляд вправи
- Page ID
- 61669
Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або зустрічнимприкладом.
1. Параметричне рівняння, яке проходить через точки\(P\) і\(Q\) може бути задано\(\vecs r(t)=⟨t^2,\, 3t+1,\, t−2⟩,\) де\(P(1,4,−1)\) і\(Q(16,11,2).\)
2. \(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=2\vecs u′(t)×\vecs u(t)\)
- Відповідь
- помилковий,\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u(t)\Big]=\vecs 0.\)
3. Кривизна окружності радіуса\(r\) повсюдно постійна. Крім того, кривизна дорівнює\(1/r.\)
4. Швидкість частинки з функцією положення\(\vecs r(t)\) дорівнює\(\dfrac{\vecs r′(t)}{\|\vecs r′(t)\|}.\)
- Відповідь
- Помилково, це\(\|\vecs r′(t)\|\)
Знайдіть області векторно-значних функцій.
5. \(\vecs r(t)=⟨\sin(t),\, \ln(t),\, \sqrt{t}⟩\)
6. \(\vecs r(t)=\left\langle e^t,\,\dfrac{1}{\sqrt{4−t}},\,\sec t\right\rangle\)
- Відповідь
- \(t<4, \; t≠\dfrac{nπ}{2}\)
Намалюйте криві для наступних векторних рівнянь. За потреби скористайтеся калькулятором.
7. [Т]\(\vecs r(t)=⟨t^2,\, t^3⟩\)
8. [Т]\(\vecs r(t)=⟨\sin(20t)e^{−t}, \, \cos(20t)e^{−t}, \, e^{−t}⟩\)
- Відповідь
Знайдіть векторну функцію, яка описує наступні криві.
9. Перетин циліндра\(x^2+y^2=4\) з площиною\(x+z=6\)
10. Перетин конуса\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) і площини\(z=y−4\)
- Відповідь
- \(\vecs r(t)=\left\langle t, \, 2-\frac{t^2}{8},\, -2 - \frac{t^2}{8}\right\rangle\)
Знайти похідні\(\vecs u(t), \, \vecs u′(t), \, \vecs u′(t)×\vecs u(t), \, \vecs u(t)×\vecs u′(t),\) і\(\vecs u(t)·\vecs u′(t).\) знайти одиничний тангенс вектора.
11. \(\vecs u(t)=⟨e^t, \, e^{−t}⟩\)
12. \(\vecs u(t)=⟨t^2,\, 2t+6, \, 4t^5−12⟩\)
- Відповідь
- \(\vecs u′(t)=⟨2t, \, 2, \, 20t^4⟩,\)
\(\vecs u″(t)=⟨2, \, 0, \, 80t^3⟩,\)
\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u′(t)×\vecs u(t)\Big]=⟨−480t^3−160t^4, \, 24+75t^2, \, 12+4t⟩,\)
\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)×\vecs u′(t)\Big]=⟨480t^3+160t^4, \, -24-75t^2, \, -12-4t⟩,\)
\(\dfrac{d}{dt}\Big[\vecs u(t)⋅\vecs u′(t)\Big]=720t^8−9600t^3+6t^2+4,\)
вектор дотичної одиниці:\(\vecs T(t)=\dfrac{2t}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat i}+\dfrac{2}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{20t^4}{\sqrt{400t^8+4t^2+4}}\,\mathbf{\hat k}\)
Оцініть наступні інтеграли.
13. \(\displaystyle ∫\left(\tan(t)\sec(t)\,\mathbf{\hat i}−te^{3t}\,\mathbf{\hat j}\right)\, dt\)
14. \(\displaystyle ∫_1^4 \vecs u(t) \, dt,\)з\(\vecs u(t)=\left\langle\dfrac{\ln t}{t}, \, \dfrac{1}{\sqrt{t}}, \, \sin\left(\frac{tπ}{4}\right)\right\rangle\)
- Відповідь
- \(\dfrac{\ln(4^2)}{2}\,\mathbf{\hat i}+2\,\mathbf{\hat j}+\dfrac{2(2+\sqrt{2})}{\pi}\,\mathbf{\hat k}\)
Знайдіть довжину для наступних кривих.
15. \(\vecs r(t)=⟨3t,\, 4\cos t, \, 4\sin t ⟩\)для\(1≤t≤4\)
16. \(\vecs r(t)=2\,\mathbf{\hat i}+t\,\mathbf{\hat j}+3t^2\,\mathbf{\hat k}\)для\(0≤t≤1\)
- Відповідь
- \(\dfrac{\sqrt{37}}{2}+\frac{1}{12}\sinh^{−1} 6\)
Перепараметризувати наступні функції щодо їх довжини дуги, виміряної від\(t=0\) напрямку збільшення\(t.\)
17. \(\vecs r(t)=2t\,\mathbf{\hat i}+(4t−5)\,\mathbf{\hat j}+(1−3t)\,\mathbf{\hat k}\)
18. \(\vecs r(t)=\cos(2t)\,\mathbf{\hat i}+8t\,\mathbf{\hat j}−\sin(2t)\,\mathbf{\hat k}\)
- Відповідь
- \(\vecs r(t(s))=\cos\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat i}+\frac{8s}{\sqrt{65}}\,\mathbf{\hat j}−\sin\left(\frac{2s}{\sqrt{65}}\right)\,\mathbf{\hat k}\)
Знайдіть кривизну для наступних векторних функцій.
19. \(\vecs r(t)=(2\sin t)\,\mathbf{\hat i}−4t\,\mathbf{\hat j}+(2\cos t)\,\mathbf{\hat k}\)
20. \(\vecs r(t)=\sqrt{2}e^t\,\mathbf{\hat i}+\sqrt{2}e^{−t}\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k}\)
- Відповідь
- \(\dfrac{e^{2t}}{\left(e^{2t}+1\right)^2}\)
21. Знайти одиничний тангенсний вектор, одиничний вектор нормалі та бінормальний вектор для\(\vecs r(t)=2\cos t\,\mathbf{\hat i} +3t\,\mathbf{\hat j}+2sint\,\mathbf{\hat k}.\)
22. Знайти тангенціальну і нормальну складові прискорення з вектором положення\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\, \sin t, \, e^t⟩.\)
- Відповідь
- \(a_T=\dfrac{e^{2t}}{1+e^{2t}},\)
\(a_N=\dfrac{\sqrt{2e^{2t}+4e^{2t}\sin t\cos t+1}}{1+e^{2t}}\)
23. Автомобіль колеса огляду рухається з постійною швидкістю\(v\) і має постійний радіус\(r.\) Знайти тангенціальне і нормальне прискорення автомобіля колеса огляду.
24. Положення частинки задається тим,\(\vecs r(t)=⟨t^2, \, \ln t, \, \sin(πt)⟩,\) де\(t\) вимірюється в секундах і\(r\) вимірюється в метрах. Знайдіть функції швидкості, прискорення та швидкості. Яке положення, швидкість, швидкість і прискорення частинки за 1 сек?
- Відповідь
- \(\vecs v(t)=\left\langle 2t,\, \frac{1}{t}, \, \pi\cos(πt)\right\rangle\text{ m/sec},\)
\(\vecs a(t)=\left\langle 2, \, −\frac{1}{t^2}, \, −\pi^2\sin(πt) \right\rangle\text{ m/sec}^2,\)
\(\text{speed}(t)=\sqrt{4t^2+\frac{1}{t^2}+\pi^2\cos^2(πt)}\text{ m/sec}\);
При\(t=1,\; \vecs r(1)=⟨1,0,0⟩\) м,\(\vecs v(1)=⟨2,−1,\pi⟩\)\(\vecs a(1)=⟨2,−1,0⟩\) м/сек, м/сек 2,\(\text{speed}(1) =\sqrt{5+\pi^2}\) м/с
Наступні проблеми розглядають запуск гарматного ядра з гармати. Гарматне ядро вистрілюється з гармати з кутом\(θ\) і початковою швидкістю. Єдина сила,\(\vecs v_0.\) що діє на гарматне ядро, - це гравітація, тому починаємо з постійного прискорення.\(\vecs a(t)=−g\,\mathbf{\hat j}.\)
25. Знайти функцію вектора швидкості\(\vecs v(t).\)
26. Знайти вектор положення\(\vecs r(t)\) і параметричне уявлення для позиції.
- Відповідь
- \(\vecs r(t)=\vecs v_0t−\dfrac{gt^2}{2}\,\mathbf{\hat j},\)
\(\vecs r(t)=⟨v_0(\cos θ)t,\,v_0(\sin θ)t,−\dfrac{gt^2}{2}⟩\)де\(v_0 = \|\vecs v_0\|.\)
27. Під яким кутом потрібно стріляти гарматним ядром, щоб відстань по горизонталі була найбільшою? Яку загальну відстань він би проїхав?