13.1: Векторно-значні функції та просторові криві

Цілі навчання

• Запишіть загальне рівняння векторно-значної функції в компонентній формі та одинично-векторній формі.
• Розпізнати параметричні рівняння для просторової кривої.
• Опишіть форму спіралі і запишіть її рівняння.
• Визначте межу векторної функції.

Наше дослідження векторно-значних функцій поєднує ідеї з нашого попереднього вивчення однозмінного числення з нашим описом векторів у трьох вимірах з попередньої глави. У цьому розділі ми розширюємо поняття з попередніх глав, а також розглядаємо нові ідеї щодо кривих у тривимірному просторі. Ці визначення та теореми підтримують виклад матеріалу в іншій частині цієї глави, а також в інших розділах тексту.

Визначення векторно-значної функції

Нашим першим кроком у вивченні числення векторно-значних функцій є визначення того, що саме є векторно-значною функцією. Потім ми можемо подивитися на графіки векторних функцій і побачити, як вони визначають криві як у двох, так і в трьох вимірах.

Визначення: Векторно-значні функції

Векторно-значна функція - це функція виду

$$\vecs r(t)=f(t)\,\hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}} \; \; \text{or} \; \;\vecs r(t)=f(t)\,\hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}}+h(t)\,\hat{\mathbf{k}}, \nonumber$$

де компонентні функції$f$$g$, і$h$, є дійсними функціями параметру$t$. Векторно-значні функції також записуються у вигляді

$$\vecs r(t)=⟨f(t),\,g(t)⟩ \; \; \text{or} \; \; \vecs r(t)=⟨f(t),\,g(t),\,h(t)⟩. \nonumber$$

В обох випадках перша форма функції визначає двовимірну векторно-значну функцію; друга форма описує тривимірну векторно-значну функцію.

Параметр$t$ може лежати між двома дійсними числами:$a≤t≤b$. Інша можливість полягає в тому, що значення$t$ може взяти на себе всі дійсні числа. Нарешті, самі функції компонента можуть мати обмеження домену, які примушують обмеження на значення$t$. Ми часто використовуємо$t$ як параметр, тому що$t$ може представляти час.

Приклад$\PageIndex{1}$: Evaluating Vector-Valued Functions and Determining Domains

Для кожної з наступних векторно-значних функцій оцінюйте$\vecs r(0)$$\vecs r(\frac{\pi}{2})$, і$\vecs r(\frac{2\pi}{3})$. Чи є у будь-якої з цих функцій обмеження домену?

1. $\vecs r(t)=4\cos t\,\hat{\mathbf{i}}+3\sin t\,\hat{\mathbf{j}}$
2. $\vecs r(t)=3\tan t\,\hat{\mathbf{i}}+4 \sec t\,\hat{\mathbf{j}}+5t\,\hat{\mathbf{k}}$

Рішення

1. Щоб обчислити кожне з значень функції, підставляємо відповідне значення$t$ у функцію:

   \ почати {вирівнювати*}\ векс r (0)\; = 4\ cos (0)\ капелюх {\ mathbf {i}} +3\ sin (0)\ капелюх {\ mathbf {j}}\\ [4pt] =4\ капелюх {\ mathbf {я}} +0\ шапка {\ mathbf {j}} =4\ капелюх {\ mathbf {j}} bf {i}}\\ [4pt]\ vecs r\ ліворуч (\ frac {\ pi} {2}\ праворуч)\; = 4\ cos\ ліворуч (\ frac {π} {2}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +3\ sin\ ліворуч (\ frac {π} {2}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}}\\ [4pt] = 0\ капелюх {\ mathbf {i}} + 3\ капелюх {\ mathbf {j}} =3\ капелюх {\ mathbf {j}}\\ [4pt]\ vecs r\ ліворуч (\ frac {2\ pi} {3}\ pi} {3}\ pi} {3\ pi} {3\ pi} {\ mathbf {i}}} +3\ sin\ ліворуч (\ frac {2π} {3}\ право)\ капелюх {\ mathbf {j}}\\ [4pt] =4\ ліворуч (−\ tfrac {1} {2}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +3\ ліворуч (\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} =−2\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ tfrac {3\ sqrt {3}} {2}\ hat {\ mathbf {j}}\ end {вирівнювати*}

   Щоб визначити, чи має ця функція якісь обмеження домену, розглянемо функції компонента окремо. Перша функція компонента є,$f(t)=4 \cos t$ а друга функція компонента є$g(t)=3\sin t$. Жодна з цих функцій не має обмеження домену, тому домен$\vecs r(t)=4\cos t\,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$ - це всі дійсні числа.
2. Щоб обчислити кожне зі значень функції, підставити відповідне значення t у функцію: $$\begin{align*}\vecs r(0) \; = 3\tan(0)\hat{\mathbf{i}}+4\sec(0) \hat{\mathbf{j}}+5(0) \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] = 0\hat{\mathbf{i}}+4j+0 \hat{\mathbf{k}}=4 \hat{\mathbf{j}} \\[4pt] \vecs r\left(\frac{\pi}{2}\right) \; = 3\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\hat{\mathbf{i}}+4\sec\left(\frac{\pi}{2}\right) \hat{\mathbf{j}}+5\left(\frac{\pi}{2}\right) \hat{\mathbf{k}},\,\text{which does not exist} \\[4pt] \vecs r\left(\frac{2\pi}{3}\right) \; =3\tan\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\hat{\mathbf{i}}+4\sec\left(\frac{2\pi}{3}\right) \hat{\mathbf{j}}+5\left(\frac{2\pi}{ 3}\right) \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] =3(−\sqrt{3})\hat{\mathbf{i}}+4(−2)\hat{\mathbf{j}}+\frac{10π}{3} \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] =(-3\sqrt{3})\hat{\mathbf{i}}−8\hat{\mathbf{j}}+\frac{10π}{3} \hat{\mathbf{k}}\end{align*}$$ Щоб визначити, чи має ця функція якісь обмеження області, розглянемо функції компонента окремо. Перша функція компонента - це$f(t)=3\tan t$ функція другого компонента$g(t)=4\sec t$, а функція третього компонента -$h(t)=5t$. Перші дві функції не визначені для непарних кратних$\frac{\pi}{2}$, тому функція не визначена для непарних кратних$\frac{\pi}{2}$. Тому $$\text{D}_{\vecs r}=\Big\{t\,|\,t≠ \frac{(2n+1)\pi}{2}\Big\},\nonumber$$ де$n$ - будь-яке ціле число.

Вправа$\PageIndex{1}$

Для векторно-значної функції оцінюють$\vecs r(t)=(t^2−3t) \,\hat{\mathbf{i}}+(4t+1) \,\hat{\mathbf{j}}$$\vecs r(0),\, \vecs r(1)$, і$\vecs r(−4)$. Чи має ця функція обмеження по домену?

Підказка

Підставляємо відповідні значення$t$ у функцію.

Відповідь

$\vecs r(0) = \hat{\mathbf{j}},\, \vecs r(1)=−2 \hat{\mathbf{i}}+5 \hat{\mathbf{j}},\, \vecs r(−4)=28 \hat{\mathbf{i}}−15 \hat{\mathbf{j}}$

Домен всіх$\vecs r(t)=(t^2−3t)\hat{\mathbf{i}}+(4t+1)\hat{\mathbf{j}}$ дійсних чисел.

Приклад$\PageIndex{1}$ ілюструє важливе поняття. Домен векторно-значної функції складається з дійсних чисел. Доменом можуть бути всі дійсні числа або підмножина дійсних чисел. Діапазон векторно-значної функції складається з векторів. Кожне дійсне число в області векторно-значної функції зіставляється або з дво- або тривимірним вектором.

Графічні векторні функції

Нагадаємо, що плоский вектор складається з двох величин: напрямку і величини. З огляду на будь-яку точку на площині (початкова точка), якщо ми рухаємося в певному напрямку на певну відстань, ми приходимо до другої точки. Це являє собою кінцеву точку вектора. Обчислюємо складові вектора, віднімаючи координати початкової точки з координат кінцевої точки.

Вектор вважається в стандартному положенні, якщо початкова точка розташована біля початку. При графіку векторної функції ми зазвичай графуємо вектори в області функції в стандартній позиції, тому що це гарантує унікальність графа. Ця угода застосовується і до графіків тривимірних векторно-значних функцій. Графік векторно-значної функції форми

$$\vecs r(t)=f(t)\, \hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}} \nonumber$$

складається з безлічі всіх точок$(f(t),\,g(t))$, а шлях, який він простежує, називається плоскою кривою. Графік векторно-значної функції форми

$$\vecs r(t)=f(t) \,\hat{\mathbf{i}}+g(t) \,\hat{\mathbf{j}}+h(t) \,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

складається з безлічі всіх точок$(f(t),\,g(t),\,h(t))$, а шлях, який він простежує, називається просторовою кривою. Будь-яке зображення плоської кривої або просторової кривої з використанням векторно-значної функції називається векторною параметризацією кривої.

Кожна плоска крива і крива простору має орієнтацію, позначену стрілками, намальованими на кривій, яка показує напрямок руху вздовж кривої при$t$ збільшенні значення параметра.

Приклад$\PageIndex{2}$ : Graphing a Vector-Valued Function

Створіть графік кожної з наступних векторно-значних функцій:

1. Плоска крива представлена$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$,$0≤t≤2\pi$
2. Плоска крива представлена$\vecs r(t)=4 \cos(t^3) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(t^3) \,\hat{\mathbf{j}}$,$0≤t≤\sqrt[3]{2\pi}$
3. Космічна крива представлена$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+4 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$,$0≤t≤4\pi$

Рішення

1. Як і на будь-якому графіку, починаємо з таблиці значень. Потім ми графуємо кожен з векторів у другому стовпці таблиці в стандартному положенні і з'єднуємо кінцеві точки кожного вектора, щоб сформувати криву (рис.$\PageIndex{1}$). Ця крива виявляється еліпсом з центром у початковій точці.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Таблиця значень для$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}$,$0≤t≤2\pi$

$t$	$\vecs r(t)$	$t$	$\vecs r(t)$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$0$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$4\hat{\mathbf{i}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\pi$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$-4\hat{\mathbf{i}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{5\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$-2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{\pi}{2}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{3\hat{\mathbf{j}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3\pi}{2}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{-3\hat{\mathbf{j}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$-2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{7\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2\pi$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$4\hat{\mathbf{i}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">

Малюнок$\PageIndex{1}$: Графік першої векторної функції є еліпсом.

2. Таблиця значень для$\vecs r(t)=4 \cos(t^3) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(t^3) \,\hat{\mathbf{j}}$, виглядає$0≤t≤\sqrt[3]{2\pi}$ наступним чином:

Таблиця значень для$\vecs r(t)=4 \cos(t^3) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(t^3) \,\hat{\mathbf{j}}$,$0≤t≤\sqrt[3]{2\pi}$

$t$	$\vecs r(t)$	$t$	$\vecs r(t)$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$0$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{4\hat{\mathbf{i}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle\sqrt[3]{\pi}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{-4\hat{\mathbf{i}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{\pi}{4}}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{ 2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{5\pi}{4}}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{\pi}{2}}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{3\hat{\mathbf{j}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{3\pi}{2}}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{-3\hat{\mathbf{j}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{3\pi}{4}}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{7\pi}{4}}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{ 2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf{j}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\displaystyle\sqrt[3]{2\pi}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{4\hat{\mathbf{i}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">

Графік цієї кривої також є еліпсом, центрованим у початковій точці.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Графік другої векторної функції також є еліпсом.

3. Проходимо ту ж процедуру для тривимірної векторної функції.

Таблиця значень для$\mathrm{r(t)= 4 \cos t \hat{\mathbf{i}}+4 \sin t \hat{\mathbf{j}}+t \hat{\mathbf{k}}}$,$\mathrm{0≤t≤4\pi}$

$t$	$\vecs r(t)$	$t$	$\vecs r(t)$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{0}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{4\hat{\mathbf{i}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{\pi}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{-4\hat{\mathbf{i}}}+ \pi \hat{\mathbf{k}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{5\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{5\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{\pi}{2}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{4\hat{\mathbf{j}} +\frac{\pi}{2} \hat{\mathbf{k}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3\pi}{2}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{-4\hat{\mathbf{j}} +\frac{3\pi}{2} \hat{\mathbf{k}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{ -2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} + 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{3\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{7\pi}{4}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{ 2 \sqrt{2} \hat{\mathbf{i}} - 2\sqrt{2} \hat{\mathbf{j}} + \frac{7\pi}{4} \hat{\mathbf{k}}}$
\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{2\pi}$	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\mathrm{4\hat{\mathbf{j}} + 2\pi \hat{\mathbf{k}}}$	\ (t\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">	\ (\ vecs r (t)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">

Значення потім повторюються самі, за винятком того, що$\hat{\mathbf{k}}$ коефіцієнт завжди збільшується ($\PageIndex{3}$). Ця крива називається спіраллю. Зверніть увагу, що якщо$\hat{\mathbf{k}}$ компонент усувається, то функція стає$\vecs r(t)=4\cos t \hat{\mathbf{i}}+ 4\sin t \hat{\mathbf{j}}$, яка є окружністю радіуса 4 з центром у початку.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік третьої векторної функції є спіраллю.

Ви можете помітити, що графіки в частинах. і б. ідентичні. Це відбувається тому, що функція, що описує криву b, є так званою репараметризацією функції, що описує криву a. Фактично, будь-яка крива має нескінченну кількість перепараметризацій; наприклад, ми можемо замінити на будь-яку$t$ з$2t$ трьох попередніх кривих без зміни форми крива. Інтервал, протягом$t$ якого визначено, може змінитися, але це все. Ми повернемося до цієї ідеї пізніше в цьому розділі, коли ми вивчаємо параметризацію довжини дуги. Як уже згадувалося, назва форми кривої графіка в$\PageIndex{3}$ - спіраль. Крива нагадує пружину, з круглим перетином дивиться вниз уздовж$z$ -осі. Можна, щоб спіраль була еліптичною в поперечному перерізі, а також. Наприклад, векторно-значна функція$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$ описує еліптичну спіраль. Проекція цієї спіралі в$xy$ -площину є еліпсом. Нарешті, стрілки на графіку цієї спіралі вказують орієнтацію кривої по$t$ ходу руху від$0$ до$4π$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Створіть графік векторно-значної функції$\vecs r(t)=(t^2−1)\hat{\mathbf{i}}+(2t−3) \hat{\mathbf{j}}$,$0≤t≤3$.

Підказка

Почніть зі створення таблиці значень, а потім графуйте вектори для кожного значення$t$.

Відповідь

На цьому етапі ви можете помітити подібність між векторно-значними функціями та параметризованими кривими. Дійсно, з урахуванням векторно-значної функції$\vecs r(t)=f(t)\,\hat{\mathbf{i}}+g(t)\,\hat{\mathbf{j}}$ ми можемо визначити$x=f(t)$ і$y=g(t)$. Якщо існує обмеження на значення$t$ (наприклад,$t$ обмежується інтервалом$[a,b]$ для деяких констант)$a<b$, то це обмеження накладається на параметр. Потім графік параметризованої функції буде узгоджуватися з графіком векторно-значної функції, за винятком того, що векторно-значний граф буде представляти вектори, а не точки. Оскільки ми можемо параметризувати криву, визначену функцією$y=f(x)$, можна також представляти довільну плоску криву векторною функцією.

Межі та неперервність векторно-значної функції

Тепер ми розглянемо межу векторної функції. Це важливо розуміти для вивчення числення векторно-значних функцій.

Означення: межа векторної функції

Векторно-значна функція$\vecs r$ наближається до межі$\vecs L$ як$t$ підходи$a$, написані

$$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = \vecs L, \nonumber$$

за умови

$$\lim \limits_{t \to a} \big\| \vecs r(t) - \vecs L \big\| = 0. \nonumber$$

Це суворе визначення межі векторно-значної функції. На практиці ми використовуємо наступну теорему:

Теорема: Межа векторно-значної функції

Дозволяти$f$$g$, і$h$ бути функції$t$. Тоді межа векторно-значної функції$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}$ при наближенні t до a задається

$$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}} , \label{Th1}$$

передбачені ліміти$\lim \limits_{t \to a} f(t)$ і$\lim \limits_{t \to a} g(t)$ існують.

Аналогічно межа векторно-значної функції$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$ як$t$ підходів$a$ задається

$$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}} +[\lim \limits_{t \to a} h(t)] \hat{\mathbf{k}} , \label{Th2}$$

передбачені ліміти$\lim \limits_{t \to a} f(t)$,$\lim \limits_{t \to a} g(t)$ і$\lim \limits_{t \to a} h(t)$ існують.

У наступному прикладі ми покажемо, як обчислити межу векторної функції.

Приклад$\PageIndex{3}$: Evaluating the Limit of a Vector-Valued Function

Для кожної з наступних векторних функцій обчислити$\lim \limits_{t \to 3}\vecs r(t)$ для

1. $\vecs r(t)=(t^2−3t+4) \hat{\mathbf{i}}+(4t+3)\hat{\mathbf{j}}$
2. $\vecs r(t)=\frac{2t−4}{t+1}\hat{\mathbf{i}}+\frac{t}{t^2+1} \hat{\mathbf{j}}+(4t−3) \hat{\mathbf{k}}$

Рішення

1. Використовуйте Equation\ ref {Th1} і підставляйте значення$t=3$ у два складові вирази:

$$\begin{align*} \lim \limits_{t \to 3} \vecs r(t) \; = \lim \limits_{t \to 3} \left[(t^2−3t+4) \hat{\mathbf{i}} + (4t+3) \hat{\mathbf{j}}\right] \\[4pt] = \left[\lim \limits_{t \to 3} (t^2−3t+4)\right]\hat{\mathbf{i}}+\left[\lim \limits_{t \to 3} (4t+3)\right] \hat{\mathbf{j}} \\[4pt] = 4 \hat{\mathbf{i}}+15 \hat{\mathbf{j}} \end{align*}$$

2. Використовуйте Equation\ ref {Th2} і підставляйте значення$t=3$ у три складові вирази:

$$\begin{align*} \lim \limits_{t \to 3} \vecs r(t) \; = \lim \limits_{t \to 3}\left(\dfrac{2t−4}{t+1}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{t}{t^2+1}\hat{\mathbf{j}}+(4t−3) \hat{\mathbf{k}}\right) \\[4pt] = \left[\lim \limits_{t \to 3} \left(\dfrac{2t−4}{t+1}\right)\right]\hat{\mathbf{i}}+\left[\lim \limits_{t \to 3} \left(\dfrac{t}{t^2+1}\right)\right] \hat{\mathbf{j}} +\left[\lim \limits_{t \to 3} (4t−3)\right] \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] = \tfrac{1}{2} \hat{\mathbf{i}}+\tfrac{3}{10}\hat{\mathbf{j}}+9 \hat{\mathbf{k}} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Розрахувати$\lim \limits_{t \to 2} \vecs r(t)$ для функції$\vecs r(t) = \sqrt{t^2 + 3t - 1}\,\hat{\mathbf{i}}−(4t-3)\hat{\mathbf{j}}− \sin \frac{(t+1)\pi}{2}\hat{\mathbf{k}}$

Підказка

Використовуйте рівняння\ ref {Th2} з попередньої теореми.

Відповідь

$$\lim \limits_{t \to 2} \vecs r(t) = 3\hat{\mathbf{i}}−5\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

Тепер, коли ми знаємо, як обчислити межу векторної функції, ми можемо визначити неперервність у точці для такої функції.

Визначення

Дозволяти$f$$g$, і$h$ бути функції$t$. Потім векторно-значна функція$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}$ є безперервною в точці,$t=a$ якщо дотримуються наступних трьох умов:

1. $\vecs r(a)$існує
2. $\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t)$існує
3. $\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = \vecs r(a)$

Аналогічно, векторно-значна функція$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}$ є неперервною в точці,$t=a$ якщо дотримуються наступних трьох умов:

1. $\vecs r(a)$існує
2. $\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t)$існує
3. $\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = \vecs r(a)$

Резюме

• Векторно-значна функція - це функція виду$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+ g(t) \hat{\mathbf{j}}$ або$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$, де функції компонента$f$$g$, і$h$ є дійсними функціями параметру$t$.
• Графік векторнозначної функції виду$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}$ називається плоскою кривою. Графік векторнозначної функції виду$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$ називається просторовою кривою.
• Довільну плоску криву можна зобразити векторно-значною функцією.
• Для обчислення межі векторно-значної функції обчислити межі компонентних функцій окремо.

Ключові рівняння

• Векторно-значна функція
  $\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}$ or$\vecs r(t)=f(t) \hat{\mathbf{i}}+g(t) \hat{\mathbf{j}}+h(t) \hat{\mathbf{k}}$, або$\vecs r(t)=⟨f(t),g(t)⟩$ або$\vecs r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$
• Межа векторної функції
  $\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}}$ або$\lim \limits_{t \to a} \vecs r(t) = [\lim \limits_{t \to a} f(t)] \hat{\mathbf{i}} + [\lim \limits_{t \to a} g(t)] \hat{\mathbf{j}} + [\lim \limits_{t \to a} h(t)] \hat{\mathbf{k}}$

Глосарій

компонентні функції

компонентними функціями векторно-значної функції$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}$ є$f(t)$ і$g(t)$, а компонентними функціями векторно-значної функції$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}$ є$f(t)$,$g(t)$ і$h(t)$

спіраль

тривимірна крива у формі спіралі

межа векторно-значної функції

векторно-значна функція$\vecs r(t)$ має межу,$\vecs L$ як$t$ наближається,$a$ якщо$\lim \limits{t \to a} \left| \vecs r(t) - \vecs L \right| = 0$

плоска крива

множина впорядкованих пар$(f(t),g(t))$ разом з їх визначальними параметричними рівняннями$x=f(t)$ та$y=g(t)$

репараметризація

альтернативна параметризація заданої векторно-значної функції

космічна крива

множина впорядкованих трійок$(f(t),g(t),h(t))$ разом з їх визначальними параметричними рівняннями$x=f(t)$,$y=g(t)$ і$z=h(t)$

векторна параметризація

будь-яке представлення площини або просторової кривої з використанням векторної функції

векторно-значна функція

функція виду$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}$ або$\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}$, де функціонує компонент$f$$g$, і$h$ є дійсними функціями параметру$t$.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribOpenStaxCalc
• Edited by Paul Seeburger (Monroe Community College)