9: Послідовності та серії
- Page ID
- 62196
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Тема нескінченних рядів може здатися не пов'язаною з диференціальним та інтегральним численням. Насправді нескінченний ряд, терміни якого включають повноваження змінної, є потужним інструментом, який ми можемо використовувати для вираження функцій як «нескінченних многочленів». Ми можемо використовувати нескінченні ряди для оцінки складних функцій, наближення певних інтегралів та створення нових функцій. Крім того, нескінченні ряди використовуються для вирішення диференціальних рівнянь, які моделюють фізичну поведінку, від крихітних електронних схем до супутників, що обертаються на Землі.
- 9.0: Прелюдія до послідовності та серії
- Сніжинка Коха побудована з нескінченного числа неперетинаються рівносторонніх трикутників. Отже, ми можемо висловити його площу як суму нескінченно багатьох термінів. Як додати нескінченну кількість термінів? Чи може сума нескінченного числа членів бути кінцевою? Щоб відповісти на ці питання, потрібно ввести поняття нескінченного ряду, суми з нескінченно великою кількістю термінів. Визначившись з необхідними інструментами, ми зможемо обчислити площу сніжинки Коха.
- 9.1: Послідовності
- У цьому розділі ми вводимо послідовності та визначаємо, що означає, що послідовність сходиться або розходиться. Ми показуємо, як знайти межі послідовностей, які сходяться, часто за допомогою властивостей меж для функцій, розглянутих раніше. Ми закриваємо цей розділ теоремою монотонної збіжності, інструментом, який ми можемо використовувати, щоб довести, що певні типи послідовностей сходяться.
- 9.2: Нескінченна серія
- У цьому розділі ми визначаємо нескінченний ряд і показуємо, як серії пов'язані з послідовностями. Ми також визначаємо, що означає, що серія сходиться або розходиться. Ми представляємо один з найважливіших типів серій: геометричний ряд. Ми будемо використовувати геометричні ряди в наступному розділі, щоб записати певні функції як поліноми з нескінченною кількістю членів. Цей процес важливий, оскільки дозволяє оцінювати, диференціювати та інтегрувати складні функції за допомогою поліномів.
- 9.3: Дивергенція та інтегральні тести
- Збіжність або розбіжність декількох рядів визначається шляхом явного обчислення межі послідовності часткових сум. На практиці явно розрахувати цей ліміт може бути важко або неможливо. Існує кілька тестів, які дозволяють нам визначити збіжність або розбіжність для багатьох типів серій.Тут ми обговорюємо два з цих тестів: тест на дивергенцію та інтегральний тест. Ми розглянемо кілька інших тестів в решті цієї глави, а потім підсумуємо, як і коли їх використовувати.
- 9.4: Порівняльні тести
- Ми бачили, що інтегральний тест дозволяє визначити збіжність або розбіжність ряду, порівнюючи його з пов'язаним неправильним інтегралом. У цьому розділі ми показуємо, як використовувати тести порівняння для визначення збіжності або розбіжності ряду, порівнюючи його з серією, збіжність чи розбіжність якого відомі. Зазвичай ці тести використовуються для визначення збіжності рядів, схожих на геометричні ряди або p-серії.
- 9.5: Чергування серії
- У цьому розділі ми вводимо чергуються ряди - ті ряди, чиї терміни чергуються за знаком. Ми покажемо в наступному розділі, що ці серії часто виникають при вивченні силових рядів. Визначивши чергуються ряди, ми вводимо тест чергуються рядів, щоб визначити, чи сходиться такий ряд.
- 9.6: Співвідношення та кореневі тести
- У цьому розділі ми доводимо останні два ряди тестів збіжності: тест співвідношення та кореневий тест. Ці тести приємні тим, що вони не вимагають від нас пошуку порівнянної серії. Тест співвідношення буде особливо корисним при обговоренні силових рядів у наступному розділі. Протягом цієї глави ми бачили, що жоден єдиний тест на конвергенцію не працює для всіх серій. Тому в кінці цього розділу ми обговорюємо стратегію вибору того, який тест конвергенції використовувати для заданого ряду.
Мініатюра: Для змінних гармонічних рядів непарні члени\(S_{2k+1}\) в послідовності часткових сум зменшуються і обмежені нижче. \(S_{2k}\)Парні терміни збільшуються і обмежуються вище.