9.4: Порівняльні тести

Цілі навчання

• Використовуйте тест порівняння, щоб перевірити ряд на збіжність.
• Використовуйте тест порівняння лімітів для визначення збіжності ряду.

Ми бачили, що інтегральний тест дозволяє визначити збіжність або розбіжність ряду, порівнюючи його з пов'язаним неправильним інтегралом. У цьому розділі ми показуємо, як використовувати тести порівняння для визначення збіжності або розбіжності ряду, порівнюючи його з серією, збіжність чи розбіжність якого відомі. Зазвичай ці тести використовуються для визначення збіжності рядів, схожих на геометричні ряди або$p$ -серії.

Порівняльний тест

У попередніх двох розділах ми розглянули два великих класи серій: геометричні ряди та$p$ -серії. Ми точно знаємо, коли ці ряди сходяться і коли розходяться. Тут ми показуємо, як використовувати збіжність або розбіжність цих рядів для доказу збіжності або розбіжності для інших серій, використовуючи метод, який називається тестом порівняння.

Для прикладу розглянемо серію

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1}. \nonumber$$

Виглядає ця серія схожа на збіжну серію

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

Оскільки члени в кожному з рядів позитивні, послідовність часткових сум для кожного ряду монотонно збільшується. Крім того, оскільки

$$0<\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

для всіх натуральних чисел$n$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2+1}$ задовольняє$k^{\text{th}}$ часткова сума$S_k$

$$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}<\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}<\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$$

(Див. Малюнок$\PageIndex{1a}$ і табл$\PageIndex{1}$.) Так як ряд справа сходиться, послідовність${S_k}$ обмежена вище. Зроблено висновок, що${S_k}$ це монотонна зростаюча послідовність, яка обмежена вище. Тому за теоремою монотонної збіжності${S_k}$ сходиться, і, таким чином

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1} \nonumber$$

сходиться.

Аналогічно розглянемо серію

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2}. \nonumber$$

Цей серіал схожий на розбіжну серію

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n}. \nonumber$$

Послідовність часткових сум для кожного ряду монотонно збільшується і

$$\dfrac{1}{n−1/2}>\dfrac{1}{n}>0 \nonumber$$

за кожне натуральне число$n$. Тому$k^{\text{th}}$ часткова$S_k$ сума

$$\sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$$

задовольняє

$$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}>\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}. \nonumber$$

(Див. Рисунок$\PageIndex{1n}$ і таблицю$\PageIndex{1}$). Оскільки ряд$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}$ розходиться до нескінченності, послідовність часткових сум$\displaystyle \sum^k_{n=1}\frac{1}{n}$ необмежена. Отже,${S_k}$ є необмеженою послідовністю, а значить і розходиться. Ми робимо висновок, що

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$$

розходиться.

Малюнок$\PageIndex{1}$: (а) Кожна з часткових сум для даного ряду менша за відповідну часткову суму для збіжності$p−series$. (b) Кожна з часткових сум для даного ряду більша за відповідну часткову суму для розбіжних гармонічних рядів.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Порівняння ряду з$p$ -series ($p = 2$)

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}$	0.5	0.7	0.8	0.8588	0.8973	0,9243	0,9443	0,9597
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}$	1	1,25	1,3611	1.4236	1,4636	1.4914	1.5118	1.5274

Таблиця$\PageIndex{2}$: Порівняння ряду з гармонійними рядами

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}$	2	2.667	3.0667	3.3524	3.5746	3.7564	3.9103	4.0436
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}$	1	1.5	1,8333	2.0933	2.2833	2.45	2.5929	2.7179

Порівняльний тест

1. Припустимо, існує ціле число$N$ such that $0≤a_n≤b_n$ for all $n≥N$. If $\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converges, then $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converges.
2. Припустимо, існує ціле число$N$ such that $a_n≥b_n≥0$ for all $n≥N.$ If $\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverges, then $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverges.

Доказ

Доведено, частина i. доказ частини II. є контрапозитивним частини i. нехай${S_k}$ be the sequence of partial sums associated with $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$, and let $\displaystyle L=\sum^∞_{n=1}b_n$. Since the terms $a_n≥0,$

$$S_k=a_1+a_2+⋯+a_k≤a_1+a_2+⋯+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}. \nonumber$$

Тому послідовність часткових сум збільшується. Далі, так як$a_n≤b_n$ for all $n≥N$, then

$$\sum_{n=N}^ka_n≤\sum_{n=N}^kb_n≤\sum_{n=1}^∞b_n=L. \nonumber$$

Тому для всіх$k≥1$,

$$S_k=(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+\sum_{n=N}^ka_n≤(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+L. \nonumber$$

Так як$a_1+a_2+⋯+a_{N−1}$ is a finite number, we conclude that the sequence ${S_k}$ is bounded above. Therefore, ${S_k}$ is an increasing sequence that is bounded above. By the Monotone Convergence Theorem, we conclude that ${S_k}$ converges, and therefore the series $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ converges.

□

Використовувати тест порівняння для визначення збіжності або розбіжності ряду$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$, it is necessary to find a suitable series with which to compare it. Since we know the convergence properties of geometric series and $p$-series, these series are often used. If there exists an integer $N$ such that for all $n≥N$, each term an is less than each corresponding term of a known convergent series, then $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ converges. Similarly, if there exists an integer $N$ such that for all $n≥N$, each term an is greater than each corresponding term of a known divergent series, then $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ diverges.

Приклад$\PageIndex{1}$: Using the Comparison Test

Для кожної з наступних серій використовуйте тест порівняння, щоб визначити, чи збігається чи розходиться серія.

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{n^3+3n+1}$
2. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{2^n+1}$
3. $\displaystyle \sum_{n=2}^∞=\dfrac{1}{\ln \,n }$

Рішення

а. порівняти з$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$. Оскільки$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$ це$p$ -серія с$p=3$, вона сходиться. Далі,

$$\dfrac{1}{n^3+3n+1}<\dfrac{1}{n^3} \nonumber$$

за кожне натуральне число$n$. Тому можна зробити висновок, що$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^3+3n+1}$ сходиться.

б Порівняти з$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Так як$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ це геометричний ряд з$r=\dfrac{1}{2}$ і$\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$, він сходиться. Крім того,

$$\dfrac{1}{2^n+1}<\dfrac{1}{2^n} \nonumber$$

за кожне натуральне число$n$. Тому ми бачимо, що$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{2^n+1}$ сходиться.

c Порівняти з$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$. Так як

$$\dfrac{1}{\ln n }>\dfrac{1}{n} \nonumber$$

для кожного цілого числа$n≥2$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$ розходиться, у нас є, що$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{\ln n}$ розходиться.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте тест порівняння, щоб визначити, чи$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{n}{n^3+n+1}$ збігається чи розходиться ряд.

Підказка

Знайти значення$p$ таке, що$\dfrac{n}{n^3+n+1}≤\dfrac{1}{n^p}$.

Відповідь

Серія сходиться.

Тест порівняння лімітів

Тест порівняння працює добре, якщо ми можемо знайти порівнянну серію, що задовольняє гіпотезу тесту. Однак іноді знайти відповідну серію може бути важко. Розглянемо серію

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1}. \nonumber$$

Цілком природно порівнювати цю серію з збіжною серією.

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$$

Однак ця серія не задовольняє гіпотезу, необхідну для використання тесту порівняння, оскільки

$$\dfrac{1}{n^2−1}>\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

для всіх цілих чисел$n≥2$. Хоча ми могли б шукати іншу серію, з якою можна порівняти,$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1},$ замість цього ми показуємо, як ми можемо використовувати тест порівняння лімітів для порівняння.

$$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2−1} \nonumber$$

і

$$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2}. \nonumber$$

Давайте розберемо ідею, що стоїть за тестом порівняння лімітів. Розглянемо два ряди$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ і. з позитивними термінами$a_n$ і$b_n$ і оцінюємо

$$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}. \nonumber$$

Якщо

$$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0, \nonumber$$

то, для$n$ досить великих,$a_n≈Lb_n$. Тому або обидва ряди сходяться, або обидва ряди розходяться. Для серіалу$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1}$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n^2}$, ми бачимо, що

$$\lim_{n→∞}\dfrac{1/(n^2−1)}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{n^2}{n^2−1}=1. \nonumber$$

Оскільки$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2}$ сходиться, робимо висновок, що

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1} \nonumber$$

сходиться.

Тест порівняння лімітів може бути використаний і в двох інших випадках. Припустимо

$$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=0. \nonumber$$

В даному випадку${a_n/b_n}$ є обмеженою послідовністю. В результаті існує константа$M$ така, що$a_n≤Mb_n$. Тому якщо$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ сходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться. З іншого боку, припустимо

$$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=∞. \nonumber$$

В даному випадку${a_n/b_n}$ є необмеженою послідовністю. Тому для кожної$M$ константи існує ціле число$N$ таке, що$a_n≥Mb_n$ для всіх$n≥N.$ Тому якщо$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ розходиться, то і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.

Тест порівняння лімітів

Нехай$a_n,b_n≥0$ для всіх$n≥1.$

1. Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0,$ потім$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ обидва сходяться або обидва розходяться.
2. Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=0$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ сходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться.
3. Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=∞$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ розходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.

Зверніть увагу, що якщо$\dfrac{a_n}{b_n}→0$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ розходиться, тест порівняння лімітів не дає ніякої інформації. Аналогічно, якщо$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ сходиться, тест також не дає ніякої інформації. Для прикладу розглянемо дві серії$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$ і$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$. Ці серії обидва$p$ -серії з$p=\frac{1}{2}$ і$p=2$, відповідно. Так як$p=\frac{1}{2}<1,$ ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$ розходиться. З іншого боку, з тих пір$p=2>1$, ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$ сходиться. Однак, припустимо, ми спробували застосувати тест порівняння обмежень, використовуючи $p$збіжний −ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^3}$ як наш ряд порівняння. По-перше, ми бачимо, що

$$\dfrac{1/\sqrt{n}}{1/n^3}=\dfrac{n^3}{\sqrt{n}}=n^{5/2}→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$$

Точно так само ми бачимо, що

$$\dfrac{1/n^2}{1/n^3}=n→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$$

Тому, якщо$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$ при$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n$ сходженні, ми не отримуємо ніякої інформації про зближення або розбіжність$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Using the Limit Comparison Test

Для кожної з наступних серій використовуйте тест порівняння лімітів, щоб визначити, чи збігається чи розходиться серія. Якщо тест не застосовується, скажіть так.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$
3. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln(n)}{n^2}$

Рішення

а. Порівняйте цю серію з$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Розрахувати

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1/(\sqrt{n}+1)}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}=\lim_{n→∞}\dfrac{1/\sqrt{n}}{1+1/\sqrt{n}}=1.$

За граничним порівнянням тест, оскільки$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ розходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$ розходиться.

б) Порівняйте цю серію з$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. Ми бачимо, що

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{3^n}⋅\dfrac{3^n}{2^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{2^n}=\lim_{n→∞}\left[1+\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right]=1.$

Тому,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=1.$

Оскільки$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ сходиться, робимо висновок, що$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$ сходиться.

c Оскільки$\ln n<n,$ порівняйте с$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$. Ми бачимо, що

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{\ln n/n^2}{1/n}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n}.$

Для того, щоб оцінити$\displaystyle \lim_{n→∞}\ln n/n$, оцініть$x→∞$ межу як дійсну функцію$\ln(x)/x$. Ці два обмеження рівні, і внесення цієї зміни дозволяє нам використовувати правило L'Hôpital. Отримуємо

$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{lnx}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{1}{x}=0.$

Тому$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{n}=0$, і, отже,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n}=0.$

Оскільки$0$ межа є, але$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$ розходиться, тест порівняння лімітів не дає жодної інформації.

Порівняйте з$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$ замість цього. У цьому випадку

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^2}{1}=\lim_{n→∞}\ln n=∞.$

Оскільки$∞$ межа є, але$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$ сходиться, тест все одно не дає ніякої інформації.

Отже, тепер ми спробуємо ряд між двома, які ми вже пробували. Вибираючи серію$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$, ми бачимо, що

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^{3/2}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^{3/2}}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$.

Як і вище, для того$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$, щоб оцінити, оцініть межу як$x→∞$ дійсної функції$\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$. Використовуючи правило L'Hôpital,

$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim_{x→∞}\dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$.

Так як$0$ межа є і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$ сходиться, можна зробити висновок, що$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln n}{n^2}$ сходиться.

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте тест порівняння лімітів, щоб визначити, чи$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{5^n}{3^n+2}$ збігається чи розходиться ряд.

Підказка

Порівняйте з геометричним рядом.

Відповідь

Серія розходиться.

Ключові концепції

• Тести порівняння використовуються для визначення збіжності або розбіжності рядів з позитивними показниками.
• При використанні порівняльних тестів ряд часто$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ порівнюють з геометричним або$p$ -серією.

Глосарій

порівняльний тест

Якщо$0≤a_n≤b_n$ для всіх$n≥N$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ сходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться; якщо$a_n≥b_n≥0$ для всіх$n≥N$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ розходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.

граничний тест порівняння

Припустимо$a_n,b_n≥0$, для всіх$n≥1$. Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→L≠0$, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ і те й$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ інше сходяться або обидва розходяться; якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→0$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ сходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться. Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→∞$, і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ розходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.