9.7: Глава 9 Огляд вправ

Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.

1) Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0,$ потім$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ сходиться.

Відповідь

помилкові

2) Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,$ потім$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ розходиться.

3) Якщо$\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|$ сходиться, то$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ сходиться.

Відповідь

істинний

4) Якщо$\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n$ сходиться, то$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−2)^na_n$ сходиться.

Послідовність обмежена, монотонна та конвергентна чи дивергентна? Якщо вона сходиться, знайдіть межу.

5)$a_n=\dfrac{3+n^2}{1−n}$

Відповідь

необмежений, не монотонний, розходиться

6)$a_n=\ln\left(\frac{1}{n}\right)$

7)$a_n=\dfrac{\ln(n+1)}{\sqrt{n+1}}$

Відповідь

обмежений, монотонний, конвергентний,$0$

8)$a_n=\dfrac{2^{n+1}}{5^n}$

9)$a_n=\dfrac{\ln(\cos n)}{n}$

Відповідь

необмежений, не монотонний, розходиться

Серія збігається або розходиться?

10)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2+5n+4}$

11)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$

Відповідь

розходиться

12)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^4}$

13)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{n!}$

Відповідь

сходиться

14)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^{−(n+1/n)}$

Серія збігається або розходиться? Якщо сходиться, це абсолютно конвергентно?

15)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{\sqrt{n}}$

Відповідь

сходиться, але не зовсім

16)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{3^n}$

17)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{n^n}$

Відповідь

сходиться абсолютно

18)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin\left(\frac{nπ}{2}\right)$

19)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos(πn)e^{−n}$

Відповідь

сходиться абсолютно

Оцінити.

20)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n+4}}{7^n}$

21)$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

Відповідь

$\frac{1}{2}$

22) Легенда з Індії розповідає, що математик винайшов шахи для короля. Цар так насолоджувався грою, що дозволив математику вимагати будь-якої оплати. Математик попросив одне зерно рису для першого квадрата на шаховій дошці, два зерна рису для другого квадрата на шаховій дошці і так далі. Знайдіть точний вираз для загальної оплати (в зернятках рису), запитуваний математиком. Якщо припустити, що є$30,000$ зерна рису в$1$$2000$ фунтах, а фунти в$1$ тонні, скільки тонн рису спробував отримати математик?

Наступні проблеми розглядають просту модель популяції кімнатної мухи, яка може бути виставлена за рекурсивною формулою$x_{n+1}=bx_n$, де$x_n$ знаходиться популяція кімнатних мух в поколінні$n$, і$b$ це середня кількість потомства на кімнатну муху, які виживають до наступного покоління. Припустимо, що стартове населення$x_0$.

23) Знайти$\displaystyle \lim_{n→∞}x_n$ якщо$b>1, \;b<1$, і$b=1.$

Відповідь

$∞, \; 0, \; x_0$

24) Знайти вираз для з$\displaystyle S_n=\sum_{i=0}^nx_i$ точки зору$b$ і$x_0$. Що це фізично являє?

25) Якщо$b=\frac{3}{4}$ і$x_0=100$, знайдіть$S_{10}$ і$\displaystyle \lim_{n→∞}S_n$

Відповідь

$\displaystyle S_{10}≈383, \quad \lim_{n→∞}S_n=400$

26) Для яких значень ряду$b$ будуть сходитися і розходитися? До чого сходиться серіал?