9.7: Глава 9 Огляд вправ
- Page ID
- 62217
Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.
1) Якщо\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0,\) потім\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) сходиться.
- Відповідь
- помилкові
2) Якщо\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,\) потім\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) розходиться.
3) Якщо\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) сходиться, то\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) сходиться.
- Відповідь
- істинний
4) Якщо\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n\) сходиться, то\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−2)^na_n\) сходиться.
Послідовність обмежена, монотонна та конвергентна чи дивергентна? Якщо вона сходиться, знайдіть межу.
5)\(a_n=\dfrac{3+n^2}{1−n}\)
- Відповідь
- необмежений, не монотонний, розходиться
6)\(a_n=\ln\left(\frac{1}{n}\right)\)
7)\(a_n=\dfrac{\ln(n+1)}{\sqrt{n+1}}\)
- Відповідь
- обмежений, монотонний, конвергентний,\(0\)
8)\(a_n=\dfrac{2^{n+1}}{5^n}\)
9)\(a_n=\dfrac{\ln(\cos n)}{n}\)
- Відповідь
- необмежений, не монотонний, розходиться
Серія збігається або розходиться?
10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2+5n+4}\)
11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\)
- Відповідь
- розходиться
12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^4}\)
13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{n!}\)
- Відповідь
- сходиться
14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^{−(n+1/n)}\)
Серія збігається або розходиться? Якщо сходиться, це абсолютно конвергентно?
15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{\sqrt{n}}\)
- Відповідь
- сходиться, але не зовсім
16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{3^n}\)
17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{n^n}\)
- Відповідь
- сходиться абсолютно
18)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin\left(\frac{nπ}{2}\right)\)
19)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos(πn)e^{−n}\)
- Відповідь
- сходиться абсолютно
Оцінити.
20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n+4}}{7^n}\)
21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)
- Відповідь
- \(\frac{1}{2}\)
22) Легенда з Індії розповідає, що математик винайшов шахи для короля. Цар так насолоджувався грою, що дозволив математику вимагати будь-якої оплати. Математик попросив одне зерно рису для першого квадрата на шаховій дошці, два зерна рису для другого квадрата на шаховій дошці і так далі. Знайдіть точний вираз для загальної оплати (в зернятках рису), запитуваний математиком. Якщо припустити, що є\(30,000\) зерна рису в\(1\)\(2000\) фунтах, а фунти в\(1\) тонні, скільки тонн рису спробував отримати математик?
Наступні проблеми розглядають просту модель популяції кімнатної мухи, яка може бути виставлена за рекурсивною формулою\(x_{n+1}=bx_n\), де\(x_n\) знаходиться популяція кімнатних мух в поколінні\(n\), і\(b\) це середня кількість потомства на кімнатну муху, які виживають до наступного покоління. Припустимо, що стартове населення\(x_0\).
23) Знайти\(\displaystyle \lim_{n→∞}x_n\) якщо\(b>1, \;b<1\), і\(b=1.\)
- Відповідь
- \(∞, \; 0, \; x_0\)
24) Знайти вираз для з\(\displaystyle S_n=\sum_{i=0}^nx_i\) точки зору\(b\) і\(x_0\). Що це фізично являє?
25) Якщо\(b=\frac{3}{4}\) і\(x_0=100\), знайдіть\(S_{10}\) і\(\displaystyle \lim_{n→∞}S_n\)
- Відповідь
- \(\displaystyle S_{10}≈383, \quad \lim_{n→∞}S_n=400\)
26) Для яких значень ряду\(b\) будуть сходитися і розходитися? До чого сходиться серіал?