9.6: Співвідношення та кореневі тести

Цілі навчання

• Використовуйте тест коефіцієнта для визначення абсолютної збіжності ряду.
• Використовуйте кореневий тест для визначення абсолютної збіжності ряду.
• Опишіть стратегію тестування збіжності заданого ряду.

У цьому розділі ми доводимо останні два ряди тестів збіжності: тест співвідношення та кореневий тест. Ці тести особливо приємні, оскільки вони не вимагають від нас пошуку порівнянної серії. Тест співвідношення буде особливо корисним при обговоренні силових рядів у наступному розділі. Протягом цієї глави ми бачили, що жоден єдиний тест на конвергенцію не працює для всіх серій. Тому в кінці цього розділу ми обговорюємо стратегію вибору того, який тест конвергенції використовувати для заданого ряду.

Тест коефіцієнта

Розглянемо серію$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$. З нашого попереднього обговорення та прикладів ми знаємо, що не$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0$ є достатньою умовою для зближення ряду. Мало того, що нам потрібно$a_n→0$, але й потрібно досить$a_n→0$ швидко. Для прикладу розглянемо серію$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}$ і серію$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$. Ми знаємо, що$\frac{1}{n}→0$ і$\frac{1}{n^2}→0$. Однак$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2}$ сходиться тільки ряд. Ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}$ розходиться тому, що терміни в послідовності$\left\{\frac{1}{n}\right\}$ не наближаються до нуля досить швидко, як$n→∞$. Тут ми вводимо тест коефіцієнта, який забезпечує спосіб вимірювання того, наскільки швидко терміни ряду наближаються до нуля.

Тест коефіцієнта

$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$Дозволяти бути ряд з ненульовими термінами. Нехай

$$ρ=\lim_{n→∞} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \nonumber$$

1. Якщо$0≤ρ<1,$ потім$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться абсолютно.
2. Якщо$ρ>1$ або$ρ=∞$, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.
3. Якщо$ρ=1,$ тест не дає ніякої інформації.

Доказ

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$Дозволяти бути ряд з ненульовими термінами.

Почнемо з доказу частини i. в цьому випадку,$ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣<1.$ так як$0≤ρ<1$, існує$R$ таке, що$0≤ρ<R<1$. Нехай$ε=R−ρ>0$. За визначенням межі послідовності існує деяке ціле число$N$ таке, що

$$\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε,\;\text{for all}\; n≥N. \nonumber$$

Тому,

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<ρ+ε=R, \;\text{for all}\; n≥N \nonumber$$

і, таким чином,

$|a_{N+1}|<R|a_N|$

$∣a_{N+2}∣<R∣a_{N+1}∣<R^2∣a_N∣$

$∣a_{N+3}∣<R∣a_{N+2}∣<R^2∣a_{N+1}∣<R^3∣a_N∣$

$∣a_{N+4}∣<R∣a_{N+3}∣<R^2∣a_{N+2}∣<R^3∣a_{N+1}∣<R^4∣a_N∣$

$⋮.$

Так як$R<1,$ геометричний ряд

$$R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber$$

сходиться. З огляду на нерівності вище, ми можемо застосувати тест порівняння і зробити висновок, що ряд

$$|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+|a_{N+4}|+⋯ \nonumber$$

сходиться. Тому, так як

$$\sum_{n=1}^∞|a_n|=\sum_{n=1}^N|a_n|+\sum_{n=N+1}^∞|a_n| \nonumber$$

де$\displaystyle \sum_{n=1}^N|a_n|$ кінцева сума і$\displaystyle \sum_{n=N+1}^∞|a_n|$ сходиться, робимо висновок, що$\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|$ сходиться.

Для частини II.

$$ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1. \nonumber$$

Так як$ρ>1,$ існує$R$ таке, що$ρ>R>1$. Нехай$ε=ρ−R>0$. За визначенням межі послідовності існує ціле число$N$ таке, що

$$\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε, \;\text{for all}\; n≥N. \nonumber$$

Тому,

$$R=ρ−ε<\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \;\text{for all}\; n≥N, \nonumber$$

і, таким чином,

$|a_{N+1}|>R|a_N|$

$∣a_{N+2}∣>R∣a_{N+1}∣>R^2∣a_N∣$

$∣a_{N+3}∣>R∣a_{N+2}∣>R^2∣a_{N+1}∣>R^3∣a_N∣$

$∣a_{N+4}∣>R∣a_{N+3}∣>R^2∣a_{N+2}∣>R^3∣a_{N+1}∣>R^4∣a_N∣.$

Так як$R>1,$ геометричний ряд

$$R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber$$

розходиться. Застосовуючи тест порівняння, робимо висновок, що ряд

$$|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+⋯ \nonumber$$

розходиться, і тому ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|$ розходиться.

Для частини III. ми показуємо, що тест не надає жодної інформації, якщо$ρ=1$ розглядати$p−series$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}$. Для будь-якого дійсного числа$p$

$$ρ=\lim_{n→∞}\frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}=\lim_{n→∞}\frac{n^p}{(n+1)^p}=1. \nonumber$$

Однак ми знаємо, що якщо$p≤1,$ p−ряд$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}$ розходиться, тоді як$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}$ збігається if$p>1$.

□

Тест співвідношення особливо корисний для серій, терміни яких містять факторіали або експоненціальні, де співвідношення термінів спрощує вираз. Тест співвідношення зручний тим, що не вимагає від нас пошуку порівняльного ряду. Недоліком є те, що тест іноді не дає ніякої інформації щодо конвергенції.

Приклад$\PageIndex{1}$: Using the Ratio Test

Для кожної з наступних серій використовуйте тест на співвідношення, щоб визначити, сходиться чи розходиться серія.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{n!}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{n!}$
3. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n(n!)^2}{(2n)!}$

Рішення

а. з тесту співвідношення ми бачимо, що

$$ρ=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{2^n}. \nonumber$$

Так як$(n+1)!=(n+1)⋅n!,$

$$ρ=\lim_{n→∞}\frac{2}{n+1}=0. \nonumber$$

Так як$ρ<1,$ ряд сходиться.

б. ми бачимо, що

$$ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{n^n}=\lim_{n→∞}(\frac{n+1}{n})^n=\lim_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^n=e. \nonumber$$

Так як$ρ>1,$ ряд розходиться.

c. з тих пір

$$∣\frac{(−1)^{n+1}((n+1)!)^2/(2(n+1))!}{(−1)^n(n!)^2/(2n)!}∣=\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}⋅\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \nonumber$$

ми бачимо, що

$$ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}. \nonumber$$

Так як$ρ<1$, ряд сходиться.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте тест на співвідношення, щоб визначити, чи$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^3}{3^n}$ збігається чи розходиться ряд.

Підказка

Оцінити$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}⋅\frac{3^n}{n^3}.$

Відповідь

Серія сходиться.

Кореневий тест

Підхід кореневого тесту схожий на підхід тесту співвідношення. Розглянемо ряд$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ такий, що$\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ$ для деякого дійсного числа$ρ$. Тоді для$N$ досить великих,$∣a_N∣≈ρN.$ Тому ми можемо наблизити,$\displaystyle \sum_{n=N}^∞|a_n|$ написавши

$$∣a_N∣+∣a_{N+1}∣+∣a_{N+2}∣+⋯≈ρ^N+ρ^{N+1}+ρ^{N+2}+⋯. \nonumber$$

Вираз з правого боку являє собою геометричний ряд. Як і в тесті співвідношення, ряд$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться абсолютно якщо$0≤ρ<1$ і ряд розходиться якщо$ρ≥1$. Якщо$ρ=1$, тест не дає ніякої інформації. Наприклад, для будь-якої p-серії ми бачимо$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}$, що

$$ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{∣\frac{1}{n^p}∣}=\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}} \nonumber$$ .

Щоб оцінити цю межу, ми використовуємо функцію натурального логарифма. Роблячи так, ми бачимо, що

$\ln ρ=\ln(\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}})=\lim_{n→∞}\ln(\frac{1}{n})^{p/n}=\lim_{n→∞}\frac{p}{n}⋅\ln(\frac{1}{n})=\lim_{n→∞}\frac{p\ln(1/n)}{n}.$

Використовуючи правило L'Hôpital, випливає$\ln ρ=0$, що, і тому$ρ=1$ для всіх$p$. Однак ми знаємо, що p-серія сходиться лише тоді, коли$p>1$ і розходиться, якщо$p<1$.

Кореневий тест

Розглянемо серію$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$. Нехай

$$ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|} \nonumber$$ .

1. Якщо$0≤ρ<1,$ потім$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться абсолютно.
2. Якщо$ρ>1$ або$ρ=∞$, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.
3. Якщо$ρ=1$, тест не дає ніякої інформації.

Кореневий тест корисний для серій, терміни яких включають експоненціальні числа. Зокрема, для ряду, терміни якого$a_n$ задовольняють$|a_n|=(b_n)^n$, то$\sqrt[n]{|a_n|}=b_n$ і потрібно тільки оцінювати$\displaystyle \lim_{n→∞}b_n$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Using the Root Test

Для кожного з наступних рядів використовуйте кореневий тест, щоб визначити, сходиться чи розходиться ряд.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(n^2+3n)^n}{(4n^2+5)^n}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{(\ln(n))^n}$

Рішення

а. щоб застосувати кореневий тест, обчислюємо

$$ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{(n^2+3n)^n/(4n^2+5)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n^2+3n}{4n^2+5}=\frac{1}{4}. \nonumber$$

Так як$ρ<1,$ ряд сходиться абсолютно.

б. у нас є

$$ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{n^n/(\ln n)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n}{\ln n}=∞\quad \text{by L’Hôpital’s rule.} \nonumber$$

Так як$ρ=∞$, ряд розходиться.

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте кореневий тест, щоб визначити,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^n$ сходиться чи розходиться ряд.

Підказка

Оцінити$\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}}$.

Відповідь

Серія сходиться.

Вибір тесту на конвергенцію

На даний момент у нас є довгий список тестів конвергенції. Однак не всі тести можна використовувати для всіх серій. Коли дається серія, ми повинні визначити, який тест найкраще використовувати. Ось стратегія пошуку найкращого тесту для застосування.

Стратегія вирішення проблем: вибір тесту конвергенції для ряду

Розглянемо ряд.$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n.$ У кроках нижче ми окреслимо стратегію визначення того, чи сходиться ряд.

1. Чи$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ знайомий серіал? Наприклад, це гармонійний ряд (який розходиться) або змінний гармонійний ряд (який сходиться)? Це p−серія або геометричний ряд? Якщо так, перевірте потужність$p$ або співвідношення,$r$ щоб визначити, чи сходиться серія.
2. Це чергуваний ряд? Ми зацікавлені в абсолютній конвергенції або просто конвергенції? Якщо нас просто цікавить, чи сходиться серія, застосуйте тест чергування рядів. Якщо нас цікавить абсолютна збіжність, приступаємо до кроку$3$, розглядаючи ряд абсолютних значень$\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|.$
3. Чи є ряд схожим на p−series або геометричний ряд? Якщо так, спробуйте тест порівняння або тест порівняння лімітів.
4. Чи містять терміни в серії факторіал або владу? Якщо терміни є такими повноваженнями,$a_n=(b_n)^n,$ спробуйте спочатку кореневий тест. В іншому випадку спочатку спробуйте тест співвідношення.
5. Скористайтеся тестом на розбіжність. Якщо цей тест не дає ніякої інформації, спробуйте інтегральний тест.

Відвідайте цей веб-сайт для отримання додаткової інформації про тестування серій на збіжність, а також загальну інформацію про послідовності та ряди.

Приклад$\PageIndex{3}$: Using Convergence Tests

Для кожної з наступних серій визначте, який тест на конвергенцію найкраще використовувати, і поясніть, чому. Потім визначте, сходиться чи розходиться ряд. Якщо ряд являє собою змінний ряд, визначте, сходиться він абсолютно, сходиться умовно або розходиться.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}(3n+1)}{n!}$
3. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{e^n}{n^3}$
4. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{3^n}{(n+1)^n}$

Рішення

а. крок 1. Серія не є p—серією або геометричною серією.

Крок 2. Серія не чергується.

Крок 3. Для великих значень$n$, ми наближаємо ряд за виразом

$\frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}≈\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}.$

Тому здається розумним застосувати тест порівняння або граничний тест порівняння, використовуючи серію$\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n$. Використовуючи тест порівняння лімітів, ми бачимо, що

$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n^2+2n)/(n^3+3n^2+1)}{1/n}=\lim_{n→∞}\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+1}=1.$

Починаючи з серії$\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n$

розходиться, цей ряд також розходиться.

б. крок 1. Серія не є звичною серією.

Крок 2. Ряд чергується. Так як нас цікавить абсолютна конвергенція, розглянемо ряд

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3n}{(n+1)!}.$

Крок 3. Серія не схожа на p-ряд або геометричний ряд.

Крок 4. Оскільки кожен термін містить факторіал, застосуйте тест співвідношення. Ми бачимо, що

$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(3(n+1))/(n+1)!}{(3n+1)/n!}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{3n+1}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)(3n+1)}=0.$

Тому цей ряд сходиться, і ми робимо висновок, що початковий ряд сходиться абсолютно, і тим самим сходиться.

c. крок 1. Серіал не є звичним серіалом.

Крок 2. Це не чергується ряд.

Крок 3. Немає очевидних серій, з якими можна порівняти цю серію.

Крок 4. Факторіала немає. Є сила, але це не ідеальна ситуація для кореневого тесту.

Крок 5. Щоб застосувати тест на розбіжність, ми обчислюємо, що

$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{e^n}{n^3}=∞.$

Тому за тестом на дивергенцію ряд розходиться.

d Крок 1. Цей серіал не є звичним серіалом.

Крок 2. Це не чергується ряд.

Крок 3. Немає очевидних серій, з якими можна порівняти цю серію.

Крок 4. Оскільки кожен член є степеню n, ми можемо застосувати кореневий тест. Так як

$\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{(\frac{3}{n+1})^n}=\lim_{n→∞}\frac{3}{n+1}=0,$

по кореневому тесту робимо висновок, що ряд сходиться.

Вправа$\PageIndex{3}$

Для серії визначте$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{3^n+n}$, який тест на конвергенцію найкраще використовувати, і поясніть, чому.

Підказка

Серія схожа на геометричний ряд$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{2}{3}\right)^n$.

Відповідь

Тест порівняння тому, що$\dfrac{2^n}{3^n+n}<\dfrac{2^n}{3^n}$ для всіх натуральних чисел$n$. Також може бути використаний тест порівняння лімітів.

У таблиці ми підсумовуємо тести конвергенції і коли кожен може бути застосований. Зверніть увагу, що хоча тест порівняння, тест граничного порівняння та інтегральний тест вимагають,$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ щоб ряд мав невід'ємні члени, якщо$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ має негативні терміни, ці тести можуть бути застосовані$\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|$ для перевірки абсолютної збіжності.

Резюме тестів на конвергенцію

Серія або тест	Висновки	Коментарі
Тест на розбіжність Для будь-якої серії$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ оцінюйте$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n$.	Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0$, тест непереконливий.	Цей тест не може довести збіжність ряду.
	Якщо$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0$, ряд розходиться.
Геометрична серія $\displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1}$	Якщо$|r|<1$, то ряд сходиться до$a/(1−r)$.	Будь-який геометричний ряд можна переіндексувати, щоб записати у вигляді$a+ar+ar^2+⋯$, де$a$ початковий член, а r - співвідношення.
	Якщо$|r|≥1,$ ряд розходиться.
P-серія $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}$	Якщо$p>1$, то ряд сходиться.	Бо$p=1$, у нас є гармонійний ряд$\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n$.
	Якщо$p≤1$, ряд розходиться.
Порівняльний тест Для$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ з невід'ємними термінами порівняйте з відомим рядом$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$.	Якщо$a_n≤b_n$ для всіх$n≥N$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ сходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться.	Зазвичай використовується для ряду, схожого на геометричну або$p$ -серію. Іноді буває важко знайти відповідну серію.
	Якщо$a_n≥b_n$ для всіх$n≥N$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ розходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.
Тест порівняння лімітів Для$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ з позитивними термінами порівняйте з серією,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ оцінюючи $L=\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}.$	Якщо$L$ дійсне число і$L≠0$, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ обидва сходяться або обидва розходяться.	Зазвичай використовується для ряду, схожого на геометричну або$p$ -серію. Часто легше застосовувати, ніж тест порівняння.
	Якщо$L=0$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ сходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ сходиться.
	Якщо$L=∞$ і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ розходиться, то$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ розходиться.
Інтегральний тест Якщо існує позитивна, безперервна, спадна функція$f$ така, що$a_n=f(n)$ для всіх$n≥N$, оцінювати$\displaystyle ∫^∞_Nf(x)dx.$	$∫^∞_Nf(x)dx$і$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ обидва сходяться або обидва розходяться.	Обмежений тими серіями, для яких відповідна функція f може бути легко інтегрована.
Чергування серії $\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n$або$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n$	Якщо$b_{n+1}≤b_n$ для всіх$n≥1$ і$b_n→0$, то ряд сходиться.	Застосовується тільки для чергуються рядів.
Тест коефіцієнта Для будь-яких серій$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ з ненульовими термінами, нехай$\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$	Якщо$0≤ρ<1$, ряд сходиться абсолютно.	Часто використовується для серій за участю факторіалів або експоненціальних знаків.
	Якщо$ρ>1$ або$ρ=∞$, то ряд розходиться.
	Якщо$ρ=1$, тест непереконливий.
Кореневий тест Для будь-яких$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ серій нехай$\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}$.	Якщо$0≤ρ<1$, ряд сходиться абсолютно.	Часто використовується для серій де$|a_n|=(b_n)^n$.
	Якщо$ρ>1$ або$ρ=∞$, то ряд розходиться.
	Якщо$ρ=1$, тест непереконливий.

Серія, що сходиться до$π$ and $1/π$

Існують десятки серій, які сходяться до$π$ or an algebraic expression containing $π$. Here we look at several examples and compare their rates of convergence. By rate of convergence, we mean the number of terms necessary for a partial sum to be within a certain amount of the actual value. The series representations of $π$ in the first two examples can be explained using Maclaurin series, which are discussed in the next chapter. The third example relies on material beyond the scope of this text.

1. Серіал

$$π=4\sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{2n−1}=4−\frac{4}{3}+\frac{4}{5}−\frac{4}{7}+\frac{4}{9}−⋯ \nonumber$$

був виявлений Григорієм і Лейбніцем в кінці$1600s$. This result follows from the Maclaurin series for $f(x)=\tan^{−1}x$. We will discuss this series in the next chapter.

а. довести, що цей ряд сходиться.

б Оцінити часткові суми$S_n$ for $n=10,20,50,100.$

c Використовуйте оцінку залишку для чергування рядів, щоб отримати прив'язку до помилки$R_n$.

d Яке найменше значення$N$ that guarantees $|R_N|<0.01$? Evaluate $S_N$.

2. Серіал

$$π=6\sum^∞_{n=0}\frac{(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^2(2n+1)}=6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2⋅3}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1⋅3}{2⋅4⋅5}⋅\left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{1⋅3⋅5}{2⋅4⋅6⋅7}\left(\frac{1}{2}\right)^7+⋯\right) \nonumber$$

був приписаний Ньютону в кінці$1600s$. The proof of this result uses the Maclaurin series for $f(x)=\sin^{−1}x$.

а. довести, що ряд сходиться.

б Оцінити часткові суми$S_n$ for $n=5,10,20.$

c$S_n$ Порівняти з$π$ for $n=5,10,20$ and discuss the number of correct decimal places.

3. Серіал

$$\frac{1}{π}=\frac{\sqrt{8}}{9801}\sum_{n=0}^∞\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4396^{4n}} \nonumber$$

був виявлений Рамануджаном на початку$1900s$. William Gosper, Jr., used this series to calculate $π$ to an accuracy of more than $17$ million digits in the $mid-1980s$. At the time, that was a world record. Since that time, this series and others by Ramanujan have led mathematicians to find many other series representations for $π$ and $1/π$.

а. довести, що цей ряд сходиться.

б Оцініть перший термін в цій серії. Порівняйте це число зі значенням$π$ from a calculating utility. To how many decimal places do these two numbers agree? What if we add the first two terms in the series?

c Дослідити життя Шрініваса Рамануджана$(1887–1920)$ and write a brief summary. Ramanujan is one of the most fascinating stories in the history of mathematics. He was basically self-taught, with no formal training in mathematics, yet he contributed in highly original ways to many advanced areas of mathematics.

Ключові концепції

• Для тесту співвідношення ми вважаємо $$ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣. \nonumber$$ If$ρ<1$, ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ сходиться абсолютно. Якщо$ρ>1$, ряд розходиться. Якщо$ρ=1$, тест не дає ніякої інформації. Цей тест корисний для серій, терміни яких включають факторіали.
• Для кореневого тесту ми розглянемо $$ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}. \nonumber$$ If$ρ<1$, ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ сходиться абсолютно. Якщо$ρ>1$, ряд розходиться. Якщо$ρ=1$, тест не дає ніякої інформації. Кореневий тест корисний для серій, терміни яких включають повноваження.
• Для ряду, схожого на геометричний ряд або p−ряд, розглянемо один із тестів порівняння.

Глосарій

коефіцієнт тест

для ряду$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ з ненульовими термінами, нехай$\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|$; якщо$0≤ρ<1$, ряд сходиться абсолютно; якщо$ρ>1$, ряд розходиться; якщо$ρ=1$, тест непереконливий

кореневий тест

для серії$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n,$ нехай$\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}$; якщо$0≤ρ<1$, серія сходиться абсолютно; якщо$ρ>1$, серія розходиться; якщо$ρ=1$, тест непереконливий