1.1: Поняття ліміту

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54361

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Дізнавшись про кінцеву поведінку раціональної функції, ви описали функцію як горизонтальну асимптоту на нулі або інше число, або переходячи до нескінченності. Обмеження позначення є способом опису цієї кінцевої поведінки математично.

Ви вже знаєте, що коли х стає надзвичайно великим, то функція Знімок екрана 2020-08-17 о 11.00.02 PM.png йде ⁸/₃, тому що найбільша потужність дорівнює і ⁸ _/3 - це співвідношення провідних коефіцієнтів. Як це твердження представлено за допомогою позначення limit?

Вступ до лімітів

Обмеження позначення - це спосіб заявити ідею, яка є трохи більш тонкою, ніж просто сказати x = 5 або y = 3.

Знімок екрана 2020-08-17 о 11.01.01 PM.png

Буква а може бути будь-яким числом або нескінченністю. Функція f (x) є будь-якою функцією x. Буква b може бути будь-яким числом. Якщо функція переходить в нескінченність, то замість написання «=∞» слід написати, що межі не існує або «DNE». Це тому, що нескінченність - це не число. Якщо функція переходить до нескінченності, то вона не має меж.

Візьміть наступний ліміт:

Межа y=4x ² як х наближається до 2 дорівнює 16

У обмеженому позначенні це було б:

Хоча функція може ніколи не досягати висоти b, вона буде довільно близька до b. Один із способів подумати про концепцію обмеження - використовувати фізичний приклад. Встаньте на деяку відстань від стіни, а потім зробіть великий крок, щоб дістатися на півдорозі до стіни. Зробіть ще один крок, щоб знову піти на півдорозі до стіни. Якщо ви продовжуєте робити кроки, які ведуть вас на півдорозі до стіни, то дві речі відбудуться. По-перше, ви отримаєте надзвичайно близько до стіни, але ніколи насправді не досягнете стіни незалежно від того, скільки кроків ви робите. По-друге, спостерігач, який бажає описати вашу ситуацію, помітить, що стіна діє як межа того, як далеко ви можете зайти.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як написати заяву «Межа Знімок екрана 2020-08-17 о 11.00.02 PM.png

як х наближається до нескінченності дорівнює ⁸/₃ "в позначенні межі.

Це можна записати за допомогою позначення limit як:

Знімок екрана 2020-08-19 в 4.44.43 PM.png

Приклад 2

Переведіть наступне математичне твердження словами.

Знімок екрана 2020-08-19 на 4.46.06 PM.png

Межа суми ^{1/₂ + 1}/₄ + ^¹/₈ +при наближенні кількості членів до нескінченності дорівнює 1.

Приклад 3

Використовуйте позначення limit, щоб представити наступний математичний оператор.

¹ ^{^{/₃ + _1/9 + _1/27 += ¹/₂}}

Знімок екрана 2020-08-19 о 4.47,14 PM.png

Приклад 4

Опишіть кінцеву поведінку наступної раціональної функції на нескінченності та негативній нескінченності за допомогою меж.

Знімок екрана 2020-08-19 у 4.48.10 PM.png

Оскільки функція має рівні степені x у чисельнику та в знаменнику, поведінка кінця становить − ^_1/2, оскільки x переходить як до позитивної, так і до негативної нескінченності.

Знімок екрана 2020-08-19 на 4.48.38 PM.png

Приклад 5

Переведіть наступне граничне вираз на слова. Що ви помічаєте щодо граничного виразу?

Знімок екрана 2020-08-19 на 4.49.05 PM.png

Межа співвідношення різниці між f величини x плюс h і f x і h при наближенні h 0 дорівнює x.

Ви повинні помітити, що h→0 не означає h=0, тому що якщо це так, то ви не могли б мати 0 в знаменнику. Слід також зазначити, що в чисельнику f (x+h) і f (x) будуть дуже близько один до одного, коли h наближається до нуля. Обчислення дозволить вам впоратися з проблемами, які, здається, виглядають як ⁰/₀ і ^∞/_∞.

Рецензія

Охарактеризуйте кінцеву поведінку наступних раціональних функцій на нескінченності та негативній нескінченності за допомогою меж.

Знімок екрана 2020-08-19 на 4.49.56 PM.png

Переведіть наведені нижче твердження в позначення limit.

6. Межа y=2x ² +1 як х наближається до 3 дорівнює 19.

7. Межа y=e ^{x, коли x} наближається до негативної нескінченності, дорівнює 0.

8. Межа y= ¹/_x, коли х наближається до нескінченності, дорівнює 0.

Використовуйте позначення limit для представлення наступних математичних тверджень.

9. ¹^{/₄ + ¹/₁₆ + _1/64 += ¹/₃}

10. ^{^{Серія 1+ ¹/₂ + _1/3 + _1/4 +розходиться.}}

^{^{11. 1+ ¹/₂ + _1/4 + _1/8 += 2}}

12. ⁹/₁₀ + ⁹/₁₀₀ + ⁹/₁₀₀₀ += 1

Переведіть в слова наступні математичні твердження.

Знімок екрана 2020-08-19 о 4.50.43 PM.png

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.1.

Лексика

Термін	Визначення
Поведінка кінця	Поведінка кінця - це опис тенденції функції, оскільки вхідні значення стають дуже великими або дуже малими, представленими як «кінці» графічної функції.
Горизонтальна асимптота	Горизонтальна асимптота - це горизонтальна лінія, яка вказує, де функція згладжується, оскільки незалежна змінна стає дуже великою або дуже маленькою. Функція може торкатися або проходити через горизонтальну асимптоту.
граничне позначення	Обмеження позначення - це спосіб вираження того факту, що функція довільно наближається до значення.

Додатковий ресурс

PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - поняття ліміту

Відео: Введення в ліміти

Практика: Поняття ліміту

Реальний світ: Костюм