3.4: Увігнутість і друга похідна
Продовжується наше вивчення «приємних» функцій. Попередній розділ показав, як перша похідна функціїf′, може передавати важливу інформацію проf. Ми тепер застосуємо цю ж техніку доf′ себе, і дізнаємося, про що це говорить намf. Ключ до вивченняf′ полягає в розгляді його похідної, а самеf″, яка є другою похідною відf. Колиf″>0,f′ збільшується. Колиf″<0,f′ зменшується. f′має відносні максимуми та мінімуми, деf″=0 або не визначено. Цей розділ досліджує, як знання інформації проf″ дає інформацію проf.
Увігнутість
Починаємо з визначення, потім досліджуємо його значення.
Визначення увігнуті вгору і увігнуті вниз
fДозволяти диференціюватися на проміжкуI. Графікf увігнутий вгору,I якщоf′ збільшується. Графікf увігнутий вниз,I якщоf′ зменшується. Якщоf′ постійний, то граф,f як кажуть, не має увігнутості.
Примітка: Ми часто заявляємо,f що "увігнутий вгору» замість «графf увігнутий вгору» для простоти.
Графік функціїf увігнутий вгору приf′ збільшенні. Це означає, що коли хтось дивиться на увігнутий вгору графік зліва направо, нахили дотичних ліній будуть збільшуватися. Розглянемо малюнок3.4.1, де увігнутий вгору графік показаний разом з деякими дотичними лініями. Зверніть увагу, як дотична лінія зліва крута, вниз, що відповідає невеликому значеннюf′. Праворуч дотична лінія крута, вгору, що відповідає великому значеннюf′.
Малюнок3.4.1: Функціяf з увігнутим вгору графіком. Зверніть увагу, як нахили дотичних ліній, дивлячись зліва направо, збільшуються.
Якщо функція зменшується і увігнута вгору, то її швидкість зниження сповільнюється; це «вирівнювання». Якщо функція збільшується і увігнута вгору, то швидкість збільшення збільшується. Функція збільшується з більш швидкою і швидкою швидкістю.
Тепер розглянемо функцію, яка увігнута вниз. Ми по суті повторюємо наведені вище пункти з невеликою варіацією.
Графік функціїf увігнутий вниз, колиf′ зменшується. Це означає, що коли хтось дивиться на увігнутий вниз графік зліва направо, нахили дотичних ліній будуть зменшуватися. Розглянемо малюнок3.4.2, де увігнутий вниз графік показаний разом з деякими дотичними лініями. Зверніть увагу, як дотична лінія зліва крута, вгору, що відповідає великому значеннюf′. Праворуч дотична лінія крута, вниз, що відповідає невеликому значеннюf′.
Малюнок3.4.2: Функціяf з увігнутим вниз графіком. Зверніть увагу, як нахили дотичних ліній, дивлячись зліва направо, зменшуються.
Якщо функція збільшується і увігнута вниз, то її швидкість збільшення сповільнюється; це «вирівнювання». Якщо функція зменшується і увігнута вниз, то швидкість зменшення зменшується. Функція зменшується з більш швидкою і швидкою швидкістю.
Примітка: Мнемоніка для запам'ятовування того, що означає увігнута вгору/вниз: «Увігнута вгору - це як чашка; увігнутий вниз - як хмурий». Це, правда, жахливо, але працює.
Наше визначення увігнутого вгору і увігнутого вниз дається в терміні, коли перша похідна збільшується або зменшується. Ми можемо застосувати результати попереднього розділу та знайти інтервали, на яких графік увігнутий вгору або вниз. Тобто ми визнаємо, щоf′ збільшуєтьсяf″>0, коли і т.д.
Теорема3.4.1: Test for Concavity
fДозволяти бути двічі диференційовані на проміжкуI. Графікf увігнутий вгору, якщоf″>0 увімкненоI, і увігнутий вниз, якщоf″<0 увімкненоI.
Малюнок3.4.3: Демонстрація 4 способів взаємодії увігнутості зі збільшенням/зменшенням разом із взаємозв'язками з першою та другою похідними.
Примітка: Геометрично кажучи, функція увігнута вгору, якщо її графік лежить над дотичними лініями. Функція увігнута вниз, якщо її графік лежить нижче дотичних ліній.
Якщо важливо знати, де граф увігнутий вгору/вниз, має сенс, що місця, де графік змінюється від одного до іншого, також важливі. Це призводить нас до визначення.
Визначення: Точка перегину
Точка перегину - це точка на графіку,f в якійf змінюється увігнутість.
На малюнку3.4.4 показаний графік функції з позначеними точками перегину.
Малюнок3.4.4: Графік функції з позначеними точками її перегину. Також вказуються інтервали, де увігнуті вгору/вниз.
Якщо увігнутістьf змінюється в точці(c,f(c)),f′ то змінюється від збільшення до зменшення (або, зменшуючи до збільшення) приx=c. Це означає, що ознакаf″ змінюється від позитивного до негативного (або, негативного на позитивний) приx=c. Це призводить до наступної теореми.
Теорема3.4.2: Points of Inflection
Якщо(c,f(c)) є точкою перегину на графікуf, то абоf″=0 або неf″ визначається вc.
Ми виділили поняття увігнутості і точок перегину. Зараз настав час практикувати використання цих понять; враховуючи функцію, ми повинні мати можливість знайти її точки перегину та визначити інтервали, на яких вона увігнута вгору або вниз. Ми робимо це в наступних прикладах.
Приклад3.4.1: Finding intervals of concave up/down, inflection points
Нехайf(x)=x3−3x+1. Знайдіть точки перегинуf і проміжки, на яких вона увігнута вгору/вниз.
Рішення
Починаємо з пошукуf′(x)=3x2−3 іf″(x)=6x. Щоб знайти точки перегину, скористаємося теоремою3.4.2 і знаходимо деf″(x)=0 або деf″ невизначено. Ми знаходимоf″ завжди визначено, і дорівнює 0 тільки тоді, колиx=0. Так що точка(0,1) є єдино можливою точкою перегину.
Ця можлива точка перегину ділить дійсну пряму на два інтервали,(−∞,0) і(0,∞). Ми використовуємо процес, подібний до того, який використовувався в попередньому розділі, щоб визначити збільшення/зменшення. Виберіть будь-якийc<0;f″(c)<0f так увігнутий вниз на(−∞,0). Виберіть будь-якийc>0;f″(c)>0f так увігнуті вгору на(0,∞). Оскільки увігнутість змінюється наx=0, точка(0,1) є точкою перегину.
Малюнок3.4.5: Числовий рядок, що визначає увігнутістьf у прикладі3.4.1.
Числовий рядок на малюнку3.4.5 ілюструє процес визначення увігнутості; на малюнку3.4.6 показаний графікf іf″, підтверджуючи наші результати. Зверніть увагуf, як увігнутий вниз точно, колиf″(x)<0 і увігнуті вгору, колиf″(x)>0.
Малюнок3.4.6: Графікf(x) використаного в прикладі3.4.1
Приклад3.4.2: Finding intervals of concave up/down, inflection points
Нехайf(x)=x/(x2−1). Знайдіть точки перегинуf і проміжки, на яких вона увігнута вгору/вниз.
Рішення
Нам потрібно знайтиf′ іf″. Використовуючи правило частки і спрощуючи, знаходимо
f′(x)=−(1+x2)(x2−1)2andf″(x)=2x(x2+3)(x2−1)3.
Щоб знайти можливі точки перегину, ми прагнемо знайти, деf″(x)=0 і деf″ не визначено. Рішенняf″x)=0 зводиться до розв'язання2x(x2+3)=0; знаходимоx=0. Ми знаходимо,f″ що не визначеноx=±1, коли, бо тоді знаменникf″ дорівнює 0. Відзначимо також, щоf сам по собі не визначається приx=±1, маючи домен(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,∞). Оскільки область об'єднання трьох інтервалів, має сенс, що увігнутістьf може перемикатися через інтервали.f Технічно ми не можемо сказати, щоf має точку перегину,x=±1 оскільки вони не є частиною домену, але ми все одно повинні вважати ціx -значення важливими і буде включати їх у наш номер рядка.
Важливимиx -значеннями, при яких увігнутість може перемикатисяx=−1, єx=0 іx=1, які розділяють числовий рядок на чотири інтервали, як показано на малюнку3.4.7. Визначаємо увігнутість на кожній. Майте на увазі, що все, що нас турбує, - це знакf″ на інтервалі.
Інтервал 1,(−∞,−1): Виберіть числоc в цьому інтервалі з великою величиною (наприклад,c=−100). Знаменникf″(x) буде позитивним. У чисельнику(c2+3) буде позитивним, а2c термін - негативним. При цьому чисельник негативний іf″(c) негативний. fРобимо висновок увігнутим вниз(−∞,−1).
Інтервал 2,(−1,0): Для будь-якого числаc в цьому інтервалі термін2c в чисельнику буде від'ємним, термін(c2+3) в чисельнику - додатним, а термін(c2−1)3 в знаменнику - від'ємним. Таким чиномf″(c)>0 іf увігнутий вгору на цьому проміжку.
Інтервал 3,(0,1): Будь-яке числоc в цьому інтервалі буде позитивним і «малим». Таким чином, чисельник є додатним, а знаменник негативний. Таким чиномf″(c)<0 іf увігнутий вниз на цьому проміжку.
Інтервал 4(1,∞): Виберіть велике значення дляc. Очевидноf″(c)>0, що, тому ми робимо висновок,f що увігнутий вгору(1,∞).
Малюнок3.4.7: Номер рядка дляf у прикладі3.4.2
Ми робимо висновок,f що увігнута вгору(−1,0)∪(1,∞) і увігнута вниз(−∞,−1)∪(0,1). Існує тільки одна точка перегину(0,0), якf не визначено вx=±1. Наша робота підтверджена графікомf на рис3.4.8. Зверніть увагуf, як увігнутий вгору,f″ коли позитивний, і увігнутий вниз, колиf″ негативний.
Малюнок3.4.8: Графікf(x) іf″(x) в прикладі3.4.2
Нагадаємо, щоf відносні максимуми і мінімуми знаходять в критичних точкахf; тобто вони знаходять, колиf′(x)=0 або колиf′ не визначено. Так само відносні максимуми та мінімумиf′ знаходять, колиf″(x)=0 абоf″ коли не визначено; зверніть увагу, що це точки перегинуf.
Що означає «відносний максимумf′»? Похідна вимірює швидкість зміниf; максимізаціяf′ означає знаходження місця, деf збільшується найбільше - деf має найкрутішу дотичну лінію. Аналогічний оператор може бути зроблений для мінімізаціїf′; він відповідає деf має найкрутішу негативно-похилу дотичну лінію.
Ми використовуємо цю концепцію в наступному прикладі.
Приклад3.4.3: Understanding inflection points
Продажі певного товару протягом трирічного проміжку моделюютьсяS(t)=t4−8t2+20, деt знаходиться час в роках, показаний на малюнку3.4.9. Протягом перших двох років продажі знижуються. Знайдіть точку, в якій продажі знижуються найбільшими темпами.
Малюнок3.4.9: ГрафікS(t) в прикладі3.4.3, моделювання продажу товару з плином часу.
Ми хочемо максимізувати темп зниження, тобто ми хочемо знайти там, деS′ є мінімум. Для цього знаходимоS″ де 0. ЗнаходимоS′(t)=4t3−16t іS″(t)=12t2−16. ВстановлюючиS″(t)=0 і вирішуючи, отримуємоt=√4/3≈1.16 (ми ігноруємо негативне значення,t так як воно не лежить в області нашої функціїS).
Це і точка перегину, і точка максимального зменшення. Це момент, коли речі спочатку починають шукати компанію. Після точки перегину все ще знадобиться деякий час, перш ніж продажі почнуть збільшуватися, але принаймні продажі не зменшуються так швидко, як це було.
ГрафікS(t) іS′(t) наведено на рис3.4.10. КолиS′(t)<0, продажі знижуються; зверніть увагу, як приt≈1.16,S′(t) зводиться до мінімуму. Тобто продажі знижуються найшвидшими темпами наt≈1.16. На проміжку(1.16,2),S зменшується, але увігнута вгору, тому зниження продажів «нівелюється».
Малюнок3.4.10: ГрафікS(t) у прикладі3.4.3 разом зS′(t).
Не кожна критична точка відповідає відносній крайності;f(x)=x3 має критичну точку,(0,0) але не має відносного максимуму або мінімуму. Так само, тільки тому, щоf″(x)=0 ми не можемо зробити висновок про зміни увігнутості в цей момент. Ми були обережні, перш ніж використовувати термінологію "можлива точка перегину», оскільки нам потрібно було перевірити, чи змінилася увігнутість. Канонічним прикладом зміниf″(x)=0 без увігнутості єf(x)=x4. Приx=0,f″(x)=0 алеf завжди увігнута вгору, як показано на малюнку3.4.11.
Малюнок3.4.11: Графікf(x)=x4. fЯсно завжди увігнуті вгору, незважаючи на те, щоf″(x)=0 колиx=0. Саме в даному прикладі можлива точка перегину не(0,0) є точкою перегину.
Примітка: Примітка про увігнутість:
Взагалі увігнутість може змінюватися тільки там, де або друга похідна дорівнює 0, де є вертикальна асимптота, або (рідко на практиці), де друга похідна невизначена. Але увігнутість не\ emph {have} для зміни в цих місцях. Наприклад, якщоf(x)=x4, тоf″(0)=0, але немає зміни увігнутості при 0, а також немає точки перегину там. Причому якщоf(x)=1/x2, тоf має вертикальну асимптоту на 0, але зміни увігнутості при 0 немає.
Другий похідний тест
Перша похідна функції дала нам тест, щоб знайти, чи відповідає критичне значення відносному максимуму, мінімуму чи ні. Друга похідна дає нам ще один спосіб перевірити, чи є критична точка локальним максимумом або мінімумом. Наступна теорема офіційно стверджує щось інтуїтивне: якщо критичне значення виникає в області, де функція увігнута вгору, тоf це критичне значення повинно відповідати відносному мінімумуf тощо Див. Рисунок3.4.12 для візуалізації цього.
Малюнок3.4.12: Демонстрація того факту, що відносні максимуми виникають, коли граф увігнутий вниз і відносні мінімуми виникають, коли граф увігнутий вгору.
Теорема3.4.3: The Second Derivative Test
cДозволяти критичне значенняf деf″(c) визначено.
- Якщоf″(c)>0, тоf має локальний мінімум при(c,f(c)).
- Якщоf″(c)<0, тоf має локальний максимум при(c,f(c)).
Другий тест похідних відноситься до першого тесту похідних наступним чином. Якщоf″(c)>0, то граф увігнутий вгору в критичній точціc іf′ сам зростає. Так якf′(c)=0 іf′ зростає наc, то він повинен перейти від негативного до позитивного приc. Це означає, що функція переходить від зменшення до збільшення, вказуючи локальний мінімум приc.
Приклад3.4.4: Using the Second Derivative Test
Нехайf(x)=100/x+x. Знайдіть критичні точкиf і використовуйте Другий тест похідних, щоб позначити їх як відносні максимуми або мінімуми.
Рішення
Ми знаходимоf′(x)=−100/x2+1 іf″(x)=200/x3. встановлюємоf′(x)=0 і вирішуємоx для пошуку критичних значень (зверніть увагу, що f'\ не визначено вx=0, але ніf так це не є критичним значенням.) Знаходимо критичні значення єx=±10. Оцінюючиf″ приx=10 дає0.1>0, тому є локальний мінімум приx=10. Оцінюючиf″(−10)=−0.1<0, визначаючи відносний максимум приx=−10. Ці результати підтверджені на рис3.4.13.
Малюнок3.4.13: Графікf(x) у прикладі3.4.4. Друга похідна оцінюється в кожній критичній точці. Коли графік увігнутий вгору, критична точка являє собою локальний мінімум; коли графік увігнутий вниз, критична точка являє собою локальний максимум.
Ми вивчали, як перша та друга похідні функції пов'язують інформацію про графік цієї функції. Ми знайшли інтервали збільшення і зменшення, інтервали, де граф увігнутий вгору і вниз, а також місця відносних екстрем і точок перегину. У главі 1 ми побачили, як межі пояснювали асимптотичну поведінку. У наступному розділі ми об'єднаємо всю цю інформацію для отримання точних ескізів функцій.