Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Ескіз кривої

Ми дізналися, як ми можемо зрозуміти поведінку функції на основі її першої та другої похідних. Поки ми розглядали властивості функції окремо (збільшення і зменшення, увігнуті вгору і увігнуті вниз і т.д.), ми об'єднуємо їх тут, щоб отримати точний графік функції без побудови безлічі сторонніх точок.

Навіщо морочитися? Графічні утиліти дуже доступні, будь то на комп'ютері, ручному калькуляторі або смартфоні. Ці ресурси, як правило, дуже швидкі і точні. Ми побачимо, що наш метод не особливо швидкий — він зажадає часу (але це не складно). Отже, ще раз: навіщо турбувати?

Ми намагаємося зрозуміти поведінку функції наf основі інформації, наданої її похідними. Хоча всі похідні функції передають інформацію про неї, виявляється, що «більшість» поведінки, про яку ми дбаємо, пояснюєтьсяf іf. Розуміння взаємодій між графікомff і іf важливо. Щоб отримати це розуміння, можна стверджувати, що все, що потрібно, - це подивитися на безліч графіків. Це вірно до певної точки, але дещо схоже на те, що людина розуміє, як працює двигун, подивившись лише на фотографії. Це правда, що основні ідеї будуть передані, але «практичний» доступ підвищує розуміння.

Наступна ключова ідея узагальнює те, що ми дізналися до цього часу, що застосовується до ескізів графіків функцій і дає основу для об'єднання цієї інформації. Далі йде кілька прикладів.

Ключова ідея 4: Ескіз кривої

Щоб зробити точний ескіз заданої функціїf, розглянемо наступні кроки.

  1. Знайдіть домен доменуf. Як правило, ми припускаємо, що домен - це весь реальний рядок, а потім знайти обмеження, наприклад, де знаменник дорівнює 0 або де негативи з'являються під радикалом.
  2. Знайдіть критичні значенняf.
  3. Знайдіть можливі точки перегинуf.
  4. Знайдіть розташування будь-яких вертикальних асимптотівf (зазвичай це робиться у поєднанні з пунктом 1 вище).
  5. Розглянемо межіlim і\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x) визначте кінцеву поведінку функції.
  6. Створіть числову лінію, яка включає всі критичні точки, можливі точки перегину та місця вертикальних асимптотів. Для кожного створеного інтервалу визначте, збільшується чиf зменшується, увігнута вгору або вниз.
  7. Оцінітьf в кожній критичній точці і можливій точці перегину. Розкладіть ці точки на набір осей. З'єднайте ці точки кривими, що проявляють належну увігнутість. Ескіз асимптотів іx іy перехоплює там, де це можливо.

Приклад\PageIndex{1}: curve sketching

Використовуйте Key Idea 4 для ескізуf(x) = 3x^3-10x^2+7x+5.

Рішення

  1. Доменf - це вся реальна лінія; немає значень,x для якихf(x) не визначено.
  2. Знайдіть критичні значенняf. Обчислюємоf'(x) = 9x^2-20x+7. Використовуйте квадратичну формулу, щоб знайти корінняf':
    $x =\ frac {20\ pm\ sqrt {(-20) ^2-4 (9)}} {2 (9)}} =\ frac19\ left (10\ pm\ sqrt {37}\ праворуч)\ Rightarrow x\ приблизно 0.435, 1.787. $$
  3. Знайдіть можливі точки перегинуf. Обчислитиf''(x) = 18x-20. У нас є
    $ f'p (x) = 0\ Стрілка вправо х = 10/9\ приблизно 1.111. $$
  4. Вертикальних асимптотів немає.
  5. Визначено кінцеву поведінку, використовуючи межіx наближення до\pm нескінченності. $\ lim_ {x\ to -\ infty} f (x) = -\ infty\ qquad\ lim_ {x\ to\ infty} f (x) =\ intty. $$У нас немає горизонтальних асимптотів.
  6. Розміщуємо значенняx=(10\pm\sqrt{37})/9 іx=10/9 на числовому рядку, як показано на малюнку\PageIndex{1}. Ми відзначаємо кожен підінтервал як зростаючий або зменшується, увігнутий вгору або вниз, використовуючи методи, використовувані в розділах 3.3 і 3.4.

imageedit_1_8640707384.png

Малюнок\PageIndex{1}: Числовий рядок дляf у прикладі\PageIndex{1}.

  1. Відкладаємо відповідні точки на осях, як показано на малюнку,\PageIndex{2a} і з'єднуємо точки прямими лініями. На малюнку\PageIndex{2b} ми коригуємо ці лінії, щоб продемонструвати належну увігнутість. Наша крива перетинаєy вісь наy=5 і перетинаєx вісь поблизуx=-0.424. На малюнку\PageIndex{2c} ми показуємо графікf намальованого за допомогою комп'ютерної програми, перевіряючи точність нашого ескізу.

imageedit_4_5597745392.pngimageedit_7_4757736358.pngimageedit_10_8560889020.png

Малюнок\PageIndex{2}: Начеркиf на прикладі\PageIndex{1}.

Приклад\PageIndex{2}: Curve sketching

Ескізf(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x^2-x-6}.

Рішення

Ми знову слідуємо крокам, описаним у Key Idea 4.

  1. При визначенні домену ми припускаємо, що це все дійсні цифри і шукаємо обмеження. Знаходимо, що приx=-2 іx=3,f(x) не визначено. Таким чином, доменf єD = \{\text{real numbers } x\ | \ x\neq -2,3\}.
  2. Щоб знайти критичні значенняf, спочатку знаходимоf'(x). Використовуючи часткове правило, ми знаходимо $f' (x) =\ frac {-8x+4} {(x^2+x-6) ^2} =\ frac {-8x+4} {(x-3) ^2 (x+2) ^2}. $f'(x) = 0 колиx = 1/2, іf' не визначено, колиx=-2,3. Оскількиf' не визначено лише тоді, колиf є, це не критичні значення. Єдине критичне значення - цеx=1/2.
  3. Щоб знайти можливі точки перегину, знайдемоf''(x), знову застосовуючи правило частки: f "(x) =\ frac {24x^2-24x+56} {(x-3) ^3 (x+2) ^3}. Ми знаходимо, що ніколи неf''(x) дорівнює 0 (встановлюючи чисельник рівний 0 і вирішуючи дляx, ми знаходимо єдине коріння цієї квадратики уявні) іf' не визначено колиx=-2,3. Таким чином, увігнутість, можливо, зміниться лише приx=-2 іx=3.
  4. Вертикальні асимптотиf знаходяться вx=-2 іx=3, місця, деf не визначено.
  5. Виникає горизонтальна асимптотаy=1, як\lim_{x\to -\infty}f(x) = 1 і\lim_{x\to\infty}f(x) =1.
  6. Розміщуємо значенняx=1/2,x=-2 іx=3 на числовому рядку, як показано на малюнку\PageIndex{3}. Ми відзначаємо в кожному інтервалі, збільшується чиf зменшується, увігнута вгору або вниз. Ми бачимо, щоf має відносний максимум приx=1/2; увігнутість змінюється лише на вертикальних асимптотах.

imageedit_19_9171189926.png

Рисунок\PageIndex{3}: Числовий рядок дляf у прикладі\PageIndex{2}

  1. На малюнку\PageIndex{4a} ми відкладаємо точки від числової лінії на набір осей і з'єднуємо точки прямими лініями, щоб отримати загальне уявлення про те, як виглядає функція (ці лінії ефективно лише передають інформацію про збільшення/зменшення). На\PageIndex{4b} малюнку коригуємо графік з відповідною увігнутістю. Ми також показуємоf перетинxx=-1 осі в іx=2.

imageedit_19_5351375926.pngimageedit_19_3017526857.pngimageedit_40_5672980539.png

Малюнок\PageIndex{4}: Начеркиf на прикладі\PageIndex{2}.

\PageIndex{4c}На малюнку зображений згенерований комп'ютером графікf, який перевіряє точність нашого ескізу.

Приклад\PageIndex{3}: Curve sketching

ескізf(x) = \frac{5(x-2)(x+1)}{x^2+2x+4}.

Рішення

Ми знову слідуємо за Ключовою Ідеєю 4

  1. Припускаємо, що домен всіхf дійсних чисел і розглянемо обмеження. Єдині обмеження настають, коли знаменник дорівнює 0, але цього ніколи не відбувається. Тому домен всіхf дійсних чисел,\mathbb{R}.
  2. Знаходимо критичні значення,f встановившиf'(x)=0 і вирішивши дляx. Знаходимо
    $f' (x) =\ frac {15x (x+4)} {(x^2+2x+4) ^2}\ quad\ Стрілка вправо\ quad f' (x) = 0\ текст {коли}\ x = -4,0. $$
  3. Знаходимо можливі точки перегину, вирішившиf''(x) = 0 дляx. Ми знаходимо
    $f'p (x) = -\ frac {30x^3+180x^2-240} {(x^2+2x+4) ^3} .$$ Кубічна в чисельнику не дуже «красиво». Натомість ми наближаємо коріння вx= -5.759,x=-1.305 іx=1.064.
  4. Вертикальних асимптотів немає.
  5. У нас є горизонтальна асимптотаy=5, як\lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}f(x) = 5.
  6. Ми розміщуємо критичні точки та можливі точки на числовій лінії, як показано на малюнку,\PageIndex{5} і відзначаємо кожен інтервал як зростаючий/зменшений, увігнутий вгору/вниз відповідним чином.

imageedit_28_4539688605.png

Малюнок\PageIndex{5}: Числовий рядок дляf у прикладі\PageIndex{3}.

  1. На малюнку\PageIndex{6a} ми будуємо значні точки від числової лінії, а також дваx=-1 корені іfx=2, і з'єднуємо точки прямими лініями, щоб отримати загальне враження про графік. На\PageIndex{6b} малюнку додаємо увігнутість. \PageIndex{6c}На малюнку зображений згенерований комп'ютером графікf, що підтверджує наші результати.

imageedit_31_2310568347.pngimageedit_34_3394066978.pngimageedit_37_6901347726.png

Малюнок\PageIndex{6}: Начеркиf на прикладі\PageIndex{3}.

У кожному з наших прикладів ми знайшли кілька значущих моментів на графіку,f які відповідали змінам збільшення/зменшення або увігнутості. Ми з'єднали ці точки прямими лініями, потім скориговані на увігнутість, і закінчили показуючи дуже точний, генерується комп'ютером графік.

Чому комп'ютерна графіка така хороша? Це не тому, що комп'ютери «розумніші», ніж ми. Швидше, це багато в чому тому, що комп'ютери набагато швидше обчислюються, ніж ми. Загалом, графіки комп'ютерів функціонують так само, як і більшість учнів, коли спочатку навчаються малювати графіки: вони будують однаково розташовані точки, потім з'єднують точки за допомогою ліній. Використовуючи багато точок, сполучні лінії короткі, а графік виглядає гладким.

Це робить прекрасну роботу з графіків у більшості випадків (насправді, це метод, який використовується для багатьох графіків у цьому тексті). Однак у регіонах, де графік дуже «кривий», це може генерувати помітні гострі краї на графіку, якщо не використовується велика кількість точок. Високоякісні системи комп'ютерної алгебри, такі як Mathematica, використовують спеціальні алгоритми для побудови безлічі точок лише там, де графік є «кривим».

На малюнку наведеноy=\sin x графік\PageIndex{7}, згенерований Mathematica. Маленькі точки представляють кожне з місць, де Mathematica вибірки функції. Зверніть увагу\sin x, як на «поворотах» використовується багато точок; де\sin x відносно прямий, використовується менше точок. (Багато точок також використовуються в кінцевих точках, щоб забезпечити точність «кінцевої поведінки».)

альт

Малюнок\PageIndex{7}: Графікy=\sin x згенерованого компанією Mathematica.

Звідки Mathematica знає, де граф «пишний»? Обчислення. Коли ми вивчаємо кривизну в наступному розділі, ми побачимо, як перша та друга похідні функції працюють разом, щоб забезпечити вимірювання «кривизни». Mathematica використовує алгоритми для визначення областей «високої кривизни"' і відображає там додаткові точки.

Знову ж таки, метою цього розділу є не «Як графік функції, коли немає комп'ютера, який би допоміг». Швидше за все, мета полягає в тому, що «Зрозумійте, що форма графіка функції багато в чому визначається розумінням поведінки функції в декількох ключових місцях». У прикладі\PageIndex{3} ми змогли точно намалювати складний графік, використовуючи лише 5 балів і знання асимптотів!

Є багато застосувань нашого розуміння похідних за межами кривих ескізів. Наступний розділ досліджує деякі з цих додатків, демонструючи лише кілька видів проблем, які можна вирішити за допомогою базових знань про диференціацію.

Автори та атрибуція