1.6: Друга похідна

Мотивуючі питання

• Як похідна функції говорить нам про те, збільшується чи зменшується функція на проміжку?
• Що ми можемо дізнатися, взявши похідну від похідної (другої похідної) функції$f\text{?}$
• Що означає сказати, що функція увігнута вгору або увігнута вниз? Як ці характеристики пов'язані з певними властивостями похідної функції?
• Які одиниці другої похідної? Як вони допомагають нам зрозуміти швидкість зміни темпів змін?

З огляду на диференційовну функцію,$y= f(x)\text{,}$ ми знаємо, що її похідна,$y = f'(x)\text{,}$ є спорідненою функцією, вихід якої$y = f(x)$ в$x=a$ повідомляє нам нахил дотичної лінії до точки,$(a,f(a))\text{.}$ тобто висоти на похідному графіку говорять нам про значення нахилів вихідної функції граф.

У точці,$f'(x)$ де позитивний, нахил дотичної лінії до$f$ позитивний. Тому на проміжку,$f'(x)$ де позитивно, функція$f$ збільшується (або піднімається). Аналогічно, якщо$f'(x)$ негативний на проміжку, графік$f$ зменшується (або падає).

Похідна від$f$ говорить нам не тільки про те, збільшується чи$f$ зменшується функція на проміжку, але і про те, як функція$f$ збільшується або зменшується. Подивіться на дві дотичні лінії, показані на малюнку 1.6.1. Ми бачимо, що$A$ біля точки значення$f'(x)$ позитивне і відносно близько до нуля, і поблизу цієї точки графік повільно зростає. На відміну від цього, поблизу точки$B\text{,}$ похідна від'ємна і відносно велика за абсолютною величиною, і швидко$f$ зменшується поблизу$B\text{.}$

Малюнок 1.6.1. Дві дотичні лінії на графіку.

Крім того, запитуючи, чи є значення похідної функції позитивним чи негативним, і чи є воно великим чи малим, ми також можемо запитати «як змінюється похідна?»

Оскільки похідна, сама по собі$y = f'(x)\text{,}$ є функцією, ми можемо розглянути можливість взяти її похідну - похідну від похідної - і запитати «що похідна похідної говорить нам про те, як поводиться вихідна функція?» Починаємо з дослідження рухомого об'єкта.

Попередній перегляд активності

Положення автомобіля, що рухається по прямій дорозі в часі$t$ в хвилинах, задається функцією$y = s(t)$, яка зображена на малюнку 1.6.2. Функція положення автомобіля має одиниці виміру в тисячах футів. Наприклад, точка$(2,4)$ на графіку вказує, що через 2 хвилини автомобіль проїхав 4000 футів.

Малюнок 1.6.2. Графік$y = s(t)\text{,}$ положення автомобіля (вимірюється в тисячах футів від його початкового місця) в часі$t$ в хвилинах.

1. Повсякденною мовою опишіть поведінку автомобіля за наданий часовий проміжок. Зокрема, слід уважно обговорити те, що відбувається на кожному з часових інтервалів$[0,1]\text{,}$$[1,2]\text{,}$$[2,3]\text{,}$$[3,4]\text{,}$ і$[4,5]\text{,}$ плюс надати коментарі в цілому про те, що робить автомобіль на проміжку.$[0,12]\text{.}$
2. На лівих осях, передбачених на малюнку 1.6.3, намалюйте ретельний, точний графік$y = s'(t)\text{.}$
3. Яке значення функції$y = s'(t)$ в контексті даної задачі? Що вже говорити про поведінку автомобіля,$s'(t)$ коли позитивне? коли$s'(t)$ нуль? коли$s'(t)$ негативний?
4. Перейменуйте функцію, яку ви графували в (b), щоб називатися$y = v(t)\text{.}$ Опишіть поведінку словами, використовуючи фрази типу «$v$збільшується на інтервалі$\ldots$» та «$v$постійна на інтервалі$\ldots\text{.}$»$v$
5. Ескіз графіка функції$y = v'(t)$ на правій осях наведено на малюнку 1.6.3. Напишіть хоча б одне речення, щоб пояснити, як$v'(t)$ поведінка пов'язане з графом$y=v(t)\text{.}$

Малюнок 1.6.3. Сокири для побудови креслень$y = v(t) = s'(t)$ і$y = v'(t)\text{.}$

1.6.1 Збільшення або зменшення

Поки що ми використовували слова збільшення та зменшення інтуїтивно для опису графіка функції. Тут ми визначимо ці терміни більш формально.

Визначення 1.6.4

З огляду на функцію,$f(x)$ визначену на інтервалі,$(a,b)\text{,}$ ми говоримо, $f$що збільшується на$(a,b)$ умови, що для всіх$x\text{,}$$y$ в інтервалі,$(a,b)\text{,}$ якщо$x \lt y\text{,}$ тоді$f(x) \lt f(y)\text{.}$ Аналогічно, ми говоримо, що $f$зменшується на $(a,b)$за умови, що для всіх$x\text{,}$$y$ в інтервалі,$(a,b)\text{,}$ якщо$x \lt y\text{,}$ тоді$f(x) \gt f(y)\text{.}$

Простіше кажучи, зростаюча функція - це та, яка піднімається, коли ми рухаємося зліва направо вздовж графіка, а функція зменшення - це та, яка падає у міру збільшення значення вхідних даних. Якщо функція має похідну, знак похідної говорить нам, збільшується чи зменшується функція.

$f$Дозволяти функція, яка диференціюється на інтервалі$(a,b)\text{.}$ Можна показати, що якщо$f'(x) > 0$ для кожного$x$ такого, що$a \lt x \lt b\text{,}$ потім$f$ збільшується на$(a,b)\text{;}$ аналогічно, якщо$f'(x) \lt 0$ на$(a,b)\text{,}$ потім$f$ зменшується на$(a,b)\text{.}$

Наприклад, функція, зображена на малюнку 1.6.5, збільшується на всьому інтервалі$-2 \lt x \lt 0\text{,}$ і зменшується на інтервалі$0 \lt x \lt 2\text{.}$ Зверніть увагу, що значення не$x = 0$ включається ні в один інтервал, оскільки в цьому місці функція змінюється від збільшення до зменшення.

Малюнок 1.6.5. Функція, яка зменшується на інтервалах$-3 \lt x \lt -2$ і$0 \lt x \lt 2$ і збільшується на$-2 \lt x \lt 0$ і$2 \lt x \lt 3\text{.}$

1.6.2 Друга похідна

Зараз ми звикли досліджувати поведінку функції, вивчаючи її похідну. Похідна функції$f$ є новою функцією, заданою правилом

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} \nonumber$$

Оскільки$f'$ це сама по собі функція, нам цілком реально розглянути похідну похідної, яка є новою функцією$y = [f'(x)]'\text{.}$ Ми називаємо цю результуючу функцію другою похідною$y = f(x)\text{,}$ і позначимо другу похідну$y = f''(x)\text{.}$ Отже, ми будемо іноді називають$f'$ «першою похідною»,$f\text{,}$ а не просто «похідною»$f\text{.}$

Визначення 1.6.6

Друга похідна визначається граничним визначенням похідної першої похідної. Тобто,

$$f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\text{.} \nonumber$$

Значення похідної функції все ще зберігається, тому, коли ми обчислюємо$y = f''(x)\text{,}$ цю нову функцію, вимірює нахили дотичних ліній до кривої, а$y = f'(x)\text{,}$ також миттєву швидкість зміни.$y = f'(x)\text{.}$ Іншими словами, так само, як перша похідна вимірює швидкість, з якою вихідна функція зміни, друга похідна вимірює швидкість, з якою змінюється перша похідна. Друга похідна допоможе нам зрозуміти, як змінюється сама швидкість зміни вихідної функції.

1.6.3 Увігнутість

Окрім того, щоб запитати, чи збільшується чи зменшується функція, природно також запитати, як функція збільшується або зменшується. Існує три основні способи поведінки, які зростаюча функція може продемонструвати на інтервалі, як показано на малюнку 1.6.7: функція може збільшуватися все швидше, вона може збільшуватися з тією ж швидкістю, або вона може збільшуватися таким чином, що сповільнюється. По суті, ми починаємо думати про те, як згинається певна крива, при цьому природне порівняння проводиться з лініями, які зовсім не згинаються. Більше того, ми хочемо зрозуміти, як вигин у графіку функції прив'язаний до поведінки, що характеризується першою похідною функції.

Малюнок 1.6.7. Три функції, які все збільшуються, але роблять це зі зростаючою швидкістю, з постійною швидкістю, і зі зменшенням, відповідно.

На крайній лівій кривій на малюнку 1.6.7 намалюйте послідовність дотичних ліній до кривої. Коли ми рухаємося зліва направо, нахили цих дотичних ліній збільшуватимуться. Тому швидкість зміни зображеної функції збільшується, і це пояснює, чому ми говоримо, що ця функція збільшується зі зростаючою швидкістю. Для крайнього правого графіка на малюнку 1.6.7$x$ зауважте, що зі збільшенням функція збільшується, але нахили дотичних ліній зменшуються. Ця функція збільшується з убуваючою швидкістю.

Подібні параметри передбачають, як функція може зменшуватися. Тут ми повинні бути особливо обережними з нашою мовою, оскільки функції зменшення передбачають негативні нахили. Негативні числа представляють цікаве напруження між спільною мовою та математичною мовою. Наприклад, може бути спокусливо сказати,$-100$ що «більше, ніж$-2\text{.}$» Але ми повинні пам'ятати, що «більше, ніж» описує, як числа лежать на числовому рядку: за$x \gt y$ умови, що$x$ лежить праворуч від$y\text{.}$ Отже, звичайно,$-100$ менше, ніж$-2\text{.}$ Неофіційно, це може Бути корисним сказати, що «$-100$є більш негативним, ніж$-2\text{.}$» Коли значення функції від'ємні, і ці значення стають більш негативними, оскільки вхідні дані збільшуються, функція повинна зменшуватися.

Малюнок 1.6.8. Зліва направо три функції, які все зменшуються, але роблять це по-різному.

Тепер розглянемо три графіки, показані на малюнку 1.6.8. Зрозуміло, що середній графік зображує функцію, що зменшується з постійною швидкістю. Тепер на першій кривій намалюйте послідовність дотичних ліній. Ми бачимо, що нахили цих ліній стають все менш негативними, коли ми рухаємося зліва направо. Це означає, що значення першої похідної, поки всі негативні, збільшуються, і, таким чином, ми говоримо, що крайня ліва крива зменшується зі зростаючою швидкістю.

Це залишає лише крайню праву криву на малюнку 1.6.8 для розгляду. Для цієї функції нахили дотичних ліній є негативними протягом усього зображеного інтервалу, але, рухаючись зліва направо, нахили стають все більш негативними. Звідси нахил кривої зменшується, і ми говоримо, що функція зменшується зі зменшенням швидкості.

Зараз ми введемо поняття увігнутості, яке надає простішу мову для опису цієї поведінки. Коли крива відкривається вгору на заданому інтервалі, як парабола$y = x^2$ або експоненціальна функція зростання,$y = e^x\text{,}$ ми говоримо, що крива увігнута вгору на цьому інтервалі. Так само, коли крива відкривається вниз, як парабола$y = -x^2$ або протилежність експоненціальної функції,$y = -e^{x}\text{,}$ ми говоримо, що функція увігнута вниз. Увігнутість пов'язана як з першою, так і з другою похідними функції.

На малюнку 1.6.9 ми бачимо дві функції і послідовність дотичних ліній до кожної. На графіку зліва, де функція увігнута вгору, зауважте, що дотичні лінії завжди лежать нижче самої кривої, а нахили дотичних ліній збільшуються, коли ми рухаємося зліва направо. Іншими словами, функція$f$ увігнута вгору на показаному інтервалі, оскільки її похідна,$f'\text{,}$ збільшується на цьому інтервалі. Аналогічно, на правій ділянці на малюнку 1.6.9, де показана функція увігнута вниз, ми бачимо, що дотичні лінії завжди лежать над кривою, а нахили дотичних ліній зменшуються при русі зліва направо. Той факт, що його похідна,$f'\text{,}$ зменшується, робить$f$ увігнутими вниз на проміжку.

Малюнок 1.6.9. Ліворуч, функція, яка увігнута вгору; праворуч, та, яка увігнута вниз.

Ці останні спостереження формально ми заявляємо як визначення термінів увігнуті вгору і увігнуті вниз.

Визначення 1.6.10

$f$Дозволяти диференційована функція на інтервалі$(a,b)\text{.}$ Потім$f$ увігнута вгору,$(a,b)$ якщо і тільки якщо$f'$$(a,b)\text{;}$$f$ збільшується на увігнуті вниз,$(a,b)$ якщо і тільки якщо$f'$ є знижуючись на$(a,b)\text{.}$

Активність 1.6.2

Положення автомобіля, що рухається по прямій дорозі в часі$t$ в хвилинах, задається функцією$y = s(t)$, яка зображена на малюнку 1.6.11. Функція положення автомобіля має одиниці виміру в тисячах футів. Пам'ятайте, що ви працювали з цією функцією і накидали графіки$y = v(t) = s'(t)$ і$y = v'(t)$ в Preview Activity 1.6.1.

Малюнок 1.6.11. Графік$y = s(t)\text{,}$ положення автомобіля (вимірюється в тисячах футів від його початкового місця) в часі$t$ в хвилинах.

1. На яких інтервалах$y = s(t)$ збільшується функція положення? зменшується? Чому?
2. На яких інтервалах$y = v(t) = s'(t)$ збільшується швидкісна функція? зменшується? ні? Чому?
3. Прискорення визначається як миттєва швидкість зміни швидкості, оскільки прискорення об'єкта вимірює швидкість, з якою змінюється швидкість об'єкта. Скажіть, що функція прискорення автомобіля називається$a(t)\text{.}$ Як$a(t)$ обчислюється з$v(t)\text{?}$ Як$a(t)$ обчислюється з$s(t)\text{?}$ Пояснити.
4. Що ви можете сказати про$s''$ кожного разу$s'$, коли збільшується? Чому?
5. Використовуючи лише слова, що збільшуються, зменшуються, постійні, увігнуті вгору, увігнуті вниз та лінійні, виконайте наступні речення. Для функції положення$s$ зі швидкістю$v$ та прискоренням$a\text{,}$
   • на проміжку,$v$ де позитивний,$s$ є.
   • на проміжку, де$v$ негативний,$s$ є.
   • на інтервалі,$v$ де нуль,$s$ є.
   • на проміжку,$a$ де позитивний,$v$ є.
   • на проміжку, де$a$ негативний,$v$ є.
   • на інтервалі,$a$ де нуль,$v$ є.
   • на проміжку,$a$ де позитивний,$s$ є.
   • на проміжку, де$a$ негативний,$s$ є.
   • на інтервалі,$a$ де нуль,$s$ є.

Вивчення контексту положення, швидкості та прискорення є відмінним способом зрозуміти, як функція, її перша похідна та її друга похідна пов'язані один з одним. У Діяльності 1.6.2 ми можемо замінити$s\text{,}$$v\text{,}$ і$a$ з довільною функцією$f$ та її похідними$f'$$f''\text{,}$ і по суті все ті ж спостереження проводити. Зокрема, зауважимо, що такі еквівалентні: на проміжку, де граф увігнутий вгору,$f'$ збільшується і$f''$ є позитивним.$f$ Так само на проміжку, де графік$f$ увігнутий вниз,$f'$ зменшується і$f''$ є негативним.

Активність 1.6.3

Картопля поміщається в духовку, а температура картоплі$F$ (в градусах за Фаренгейтом) в різні моменти часу береться і записується в наступну таблицю. Час$t$ вимірюється в хвилинах. У Діяльності 1.5.2 ми обчислили наближення до центральних відмінностей$F'(30)$ та їх$F'(60)$ використання. Ці значення і більше наведені в другій таблиці нижче, разом з декількома іншими обчислюються таким же чином.

Таблиця 1.6.12. Виберіть значення$F(t)\text{.}$

$t$	$F(t)$
$0$	$70$
$15$	$180.5$
$30$	$251$
$45$	$296$
$60$	$324.5$
$75$	$342.8$
$90$	$354.5$

Таблиця 1.6.13. Виберіть значення$F'(t)\text{.}$

$t$	$F'(t)$
$0$	НА
$15$	$6.03$
$30$	$3.85$
$45$	$2.45$
$60$	$1.56$
$75$	$1.00$
$90$	НА

1. Які бувають одиниці на значеннях$F'(t)\text{?}$
2. Використовуйте центральну різницю для оцінки вартості$F''(30)\text{.}$
3. Який сенс значення$F''(30)$, яке ви обчислили в (b) з точки зору температури картоплі? Напишіть кілька ретельних речень, які обговорюють з відповідними одиницями значення$F(30)\text{,}$$F'(30)\text{,}$$F''(30)\text{,}$ та пояснюють загальну поведінку температури картоплі в цей момент часу.
4. Загалом, температура картоплі зростає зі зростаючою швидкістю, збільшуючись з постійною швидкістю, або зростає зі зменшенням? Чому?

Активність 1.6.4

Ця діяльність ґрунтується на нашому досвіді і розумінні того, як намалювати графік$f'$ заданого графіка$f\text{.}$

На малюнку 1.6.14 наведені відповідні графіки двох різних функцій$f\text{,}$ намалюйте відповідний графік$f'$ на перших осях нижче, а потім$f''$ накидайте на другий набір осей. Крім того, для кожного напишіть кілька ретельних речень у дусі тих, хто знаходиться в Діяльності 1.6.2, які пов'язують поведінку$f\text{,}$$f'\text{,}$ і$f''\text{.}$ Наприклад, напишіть щось таке, як

$f'$знаходиться на проміжку, який пов'язаний з тим, що$f$ знаходиться на одному проміжку, і$f''$ знаходиться на проміжку.

але звичайно з заповненими заготовками. Протягом усього, перегляньте масштаб сітки для графіка$f$ як буття$1 \times 1\text{,}$ і припустимо, що горизонтальний масштаб сітки для графіка ідентичний$f'$ тому, що для$f\text{.}$ Якщо вам потрібно налаштувати вертикальну шкалу на осях для графіка$f'$ або$f''\text{,}$ ви повинні позначити що відповідно.

Малюнок 1.6.14. Дві задані функції$f\text{,}$ з осями, передбаченими для побудови графіка$f'$ і$f''$ нижче.

1.6.4 Резюме

• $f$Диференційована функція збільшується на інтервалі кожного разу, коли її перша похідна є позитивною, і зменшується, коли її перша похідна є негативною.
• Беручи похідну від похідної функції,$f\text{,}$ ми приходимо до другої$f''\text{.}$ похідної, друга похідна вимірює миттєву швидкість зміни першої похідної. Знак другої похідної говорить нам про те, чи збільшується або зменшується нахил дотичної лінії до$f$.
• Диференційована функція увігнута вгору, коли її перша похідна збільшується (або еквівалентно, коли її друга похідна є позитивною), і увігнута вниз, коли її перша похідна зменшується (або еквівалентно всякий раз, коли її друга похідна є негативною). Прикладами функцій, які всюди увігнуті вгору є$y = x^2$ і$y = e^x\text{;}$ приклади функцій, які всюди увігнуті вниз є$y = -x^2$ і$y = -e^x\text{.}$
• Одиниці на другій похідній - це «одиниці виходу на одиницю входу на одиницю входу». Вони розповідають, як змінюється значення похідної функції у відповідь на зміни вхідних даних. Іншими словами, друга похідна говорить нам про швидкість зміни швидкості зміни вихідної функції.