3: Графічна поведінка функцій
- Page ID
- 60696
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Наше дослідження обмежень призвело до неперервних функцій, які є певним класом функцій, які поводяться особливо приємно. Обмеження тоді дали нам ще приємніший клас функцій, функцій, які диференційовані. У цьому розділі досліджуються багато способів, якими ми можемо скористатися інформацією, яку надають безперервні та диференційовані функції.
- 3.1: Екстремальні значення
- Враховуючи будь-яку величину, описану функцією, нас часто цікавлять найбільші та/або найменші значення, які досягає кількість. Наприклад, якщо функція описує швидкість об'єкта, здається розумним захотіти знати найшвидший/найповільніший об'єкт, який пройшов. Якщо функція описує вартість акцій, ми можемо знати, як найвищий/найнижчий показник запасу, досягнутий за минулий рік. Ми називаємо такі значення екстремальними значеннями.
- 3.2: Теорема про середнє значення
- Теорема про середнє значення стверджує, що для даної плоской дуги між двома кінцевими точками існує принаймні одна точка, в якій дотична до дуги паралельна січній через її кінцеві точки. Ця теорема використовується для доведення тверджень про функцію на інтервалі, починаючи з локальних гіпотез про похідні в точках інтервалу.
- 3.3: Збільшення та зменшення функцій
- У цьому розділі ми починаємо вивчати, як поводяться функції між спеціальними точками; починаємо більш детально вивчати форму їх графіків. Перша похідна функції допомагає визначити, коли функція йде «вгору» або «вниз».
- 3.4: Увігнутість і друга похідна
- Ми вивчали, як перша та друга похідні функції пов'язують інформацію про графік цієї функції. Ми знайшли інтервали збільшення і зменшення, інтервали, де граф увігнутий вгору і вниз, а також місця відносних екстрем і точок перегину.
- 3.5: Ескіз кривої
- Ми дізналися, як ми можемо зрозуміти поведінку функції на основі її першої та другої похідних. Поки ми розглядали властивості функції окремо (збільшення і зменшення, увігнуті вгору і увігнуті вниз і т.д.), ми об'єднуємо їх тут, щоб отримати точний графік функції без побудови безлічі сторонніх точок.