1: Інтеграція
- Page ID
- 60905
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Обчислення будується на двох операціях — диференціації та інтеграції.
- Диференціація — як ми бачили в минулому семестрі, диференціація дозволяє обчислити і вивчати миттєву швидкість зміни величин. Найголовніше це дозволяє обчислювати дотичні лінії та швидкості, але це також призвело нас до досить складних додатків, включаючи наближення функцій через поліноми Тейлора та оптимізацію величин шляхом вивчення критичних та сингулярних точок.
- Інтеграція — найголовніша, дозволяє аналізувати площу під кривою. Звичайно, його застосування та значення виходять далеко за межі областей, і він відіграє центральну роль у вирішенні диференціальних рівнянь.
Не відразу очевидно, що ці дві теми пов'язані один з одним. Однак, як ми побачимо, вони дійсно тісно пов'язані.
- 1.1: Визначення інтеграла
- Можливо, найпростіший спосіб запровадити інтеграцію - це розглянути область між графіком даної функції та\(x\) віссю -між двома конкретними вертикальними лініями - наприклад, як показано на малюнку вище. Ми будемо слідувати цьому маршруту, починаючи з мотивуючого прикладу.
- 1.2: Основні властивості певного інтеграла
- Коли ми вивчали межі та похідні, ми розробили методи прийому обмежень або похідних від «складних функцій», наприклад,\(f(x)=x^2 + \sin(x)\) розуміючи, як межі та похідні взаємодіють з основними арифметичними операціями, такими як додавання та віднімання.
- 1.3: Фундаментальна теорема числення
- Ми провели досить багато сторінок (і лекцій), говорячи про певні інтеграли, що вони є (Визначення 1.1.9), коли вони існують (Теорема 1.1.10), як обчислити деякі особливі випадки (розділ 1.1.5), деякі способи маніпулювання ними (Теорема 1.2.1 та 1.2.3) та як їх зв'язати (Теорема 1.2.13).
- 1.4: Заміна
- У попередньому розділі ми досліджували фундаментальну теорему числення та зв'язок, який вона забезпечує між певними інтегралами та антипохідними. Дійсно, інтеграли з простими інтегралами зазвичай оцінюються за цим посиланням.
- 1.5: Площа між кривими
- Перш ніж продовжити дослідження різних методів інтеграції функцій, ми маємо достатньо інструментів для вивчення деяких простих застосувань певних інтегралів.
- 1.6: Обсяги
- Ще одне просте застосування інтеграції - обчислення обсягів. Ми використовуємо ту саму стратегію, яку ми використовували для вираження областей областей у двох вимірах як інтеграли - наближаємо область об'єднанням малих простих частин, обсяг яких ми можемо обчислити, а потім прийняти межу, оскільки «розмір шматка» прагне до нуля.
- 1.7: Інтеграція частинами
- Фундаментальна теорема числення говорить нам, що інтегрувати похідну дуже легко. Зокрема, ми знаємо, що
- 1.8: Тригонометричні інтеграли
- Інтеграли поліномів тригонометричних функцій\(\sin x\text{,}\)\(\cos x\text{,}\)\(\tan x\) тощо, як правило, оцінюються за допомогою комбінації простих замін та тригонометричних тотожностей.
- 1.9: Тригонометрична заміна
- У цьому розділі ми обговоримо підстановки, які спрощують інтеграли, що містять квадратні корені виду
- 1.10: Часткові дроби
- Часткові дроби - це назва, яка надається техніці інтеграції, яка може бути використана для інтеграції будь-якої раціональної функції. Ми вже знаємо, як інтегрувати деякі прості раціональні функції
- 1.11: Чисельне інтегрування
- У цьому розділі ми переходимо до задачі про те, як знайти (наближені) числові значення для інтегралів, без необхідності їх оцінювати алгебраїчно. Для розвитку цих методів ми повернемося до сум Рімана і нашої геометричної інтерпретації певного інтеграла як знакової площі.
- 1.12: Неправильні інтеграли
- До цього моменту ми розглядали лише добре поводяться інтеграли\(\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\) Хоча алгебра, яка бере участь у деяких наших прикладах, була досить складною, всі інтеграли мали
- 1.13: Додаткові приклади інтеграції
- Нагадаємо, що ми використовуємо\(\log x\) для позначення логарифма\(x\) з основою.\(e\text{.}\) В інших курсах його часто позначають.\(\ln x\text{.}\)