1.11: Чисельне інтегрування

До теперішнього часу читач оцінить, що інтеграція, як правило, досить складна, ніж диференціація. Існує безліч простих на вигляд інтегралів, таких як,$\int e^{-x^2}\, d{x}\text{,}$ які або дуже важко, або навіть неможливо висловити з точки зору стандартних функцій ¹. Такі інтеграли - це не просто математичні цікавості, але виникають дуже природно в багатьох контекстах. Наприклад, функція помилки

\ почати {збирати*}\ mathrm {erf} (x) =\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}\ int_0^x e^ {-t^2}\, d {t}\ end {збирати*}

надзвичайно важливий у багатьох областях математики, а також у багатьох практичних застосуваннях статистики.

У таких додатках нам потрібно вміти оцінювати цей інтеграл (та багато інших) при заданому числовому значенні.$x\text{.}$ У цьому розділі ми звернемося до задачі про те, як знайти (наближені) числові значення для інтегралів, без необхідності оцінювати їх алгебраїчно. Для розвитку цих методів ми повернемося до сум Рімана і нашої геометричної інтерпретації певного інтеграла як знакової площі.

Почнемо з опису (і застосування) трьох простих алгоритмів генерації чисельно наближених значень для певного інтеграла.$\int_a^b f(x)\,\, d{x}\text{.}$ У кожному алгоритмі ми починаємо приблизно так само, як ми наближалися до сум Рімана.

• Спочатку вибираємо ціле число, яке$n \gt 0\text{,}$ називається «кількість кроків».
• Потім ми ділимо інтервал інтеграції,$a\le x\le b\text{,}$ на$n$ рівні підінтервали, кожен з довжини$\Delta x=\frac{b-a}{n}\text{.}$ Перший підінтервал проходить від$x_0=a$ до$x_1=a+\Delta x\text{.}$ Другий проходить від$x_1$ до$x_2=a+2\Delta x\text{,}$ і так далі. Останній біжить від$x_{n-1}=b-\Delta x$ до$x_n=b\text{.}$

Це розбиває оригінальний інтеграл на$n$ частини:

$$\int_a^b f(x)\,\, d{x} =\int_{x_0}^{x_1} f(x)\,\, d{x} +\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,\, d{x} +\cdots +\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x)\,\, d{x} \nonumber$$

Кожен субінтеграл$\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}$ наближається площею простої геометричної фігури. У трьох алгоритмах ми розглядаємо приблизні площі прямокутниками, трапеціями і параболами (відповідно).

Ці правила ми детально пояснимо нижче, але наведемо короткий огляд тут:

1. Правило середньої точки наближає кожен субінтеграл площею прямокутника висотою, заданої значенням функції в середній точці підінтервалу.

   \ begin {align*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j}} f (x)\, d {x} &\ приблизно f\ ліворуч (\ frac {x_ {j-1} +x_ {j}}} {2}\ праворуч)\ Delta x\ end {вирівнювати*}}

   Це проілюстровано на крайньому лівому малюнку вище.
2. Трапецієподібне правило наближає кожен субінтеграл площею трапеції з вершинами на$(x_{j-1},0), (x_{j-1},f(x_{j-1})), (x_{j},f(x_{j})), (x_{j},0)\text{:}$

   \ begin {align*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j}} f (x)\, d {x} &\ приблизно\ frac {1} {2}\ лівий [f (x_ {j-1}) +f (x_j)\ праворуч]\ Дельта х\ кінець {вирівнювати*}

   Трапеція проілюстрована на середньому малюнку вище. Незабаром виведемо формулу для площі.
3. Правило Сімпсона наближає два суміжних субінтеграли площею під параболою, яка проходить через точки$(x_{j-1},f(x_{j-1}))\text{,}$$(x_{j},f(x_{j}))$ і$(x_{j+1},f(x_{j+1}))\text{:}$

   \ begin {align*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j+1}} f (x)\, d {x} &\ приблизно\ розрив {1} {3}\ лівий [f (x_ {j-1}) +4f (x_j) +f (x_ {j+1})\ праворуч]\ Дельта х\ кінець {align*}

   Парабола проілюстрована на малюнку правої руки вище. Незабаром виведемо формулу для площі.

Визначення 1.11.1 Середні точки

У наступному нам потрібно посилатися на середину між$x_{j-1}$ і$x_j$ дуже часто. Для економії на написанні (і наборі тексту) вводимо позначення

$$\begin{align*} \bar x_j &= \frac{1}{2} \left(x_{j-1}+x_j \right). \end{align*}$$

Правило середньої точки

Інтеграл$\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}$ являє собою площу між кривою$y=f(x)$ і$x$ -віссю з$x$ бігом від$x_{j-1}$ до$x_j\text{.}$ Ширина цієї області є$x_j-x_{j-1}=\Delta x\text{.}$ Висота змінюється в різних значеннях, які$f(x)$ приймають як$x$ прогони від$x_{j-1}$ до $x_j\text{.}$

Правило середньої точки наближає цю область площею прямокутника шириною$x_j-x_{j-1}=\Delta x$ та висотою,$f(\bar x_j)$ яка є точною висотою в середній точці діапазону, охопленого$x\text{.}$

Площа апроксимуючого прямокутника дорівнює,$f(\bar x_j)\Delta x\text{,}$ а правило середньої точки наближає кожен субінтеграл

$$\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\approx f(\bar x_j)\Delta x\text{.} \nonumber$$

Застосування цього наближення до кожного підінтервалу і підсумовування дає нам наступне наближення повного інтеграла:

\ begin {align*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_1}\! \! f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2}\! \! f (x)\,\, d {x} +\ cdots +\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ приблизно f (\ бар x_1)\ дельта х + f (\ бар x_2)\ дельта х +\ cdots + f (\ бар x_n)\ дельта х\ кінець *}

Отже, зверніть увагу, що наближення - це сума функції, оціненої в середній точці кожного інтервалу, а потім помножена на$\Delta x\text{.}$ Наші інші наближення матимуть подібні форми.

Підсумовуючи:

Рівняння 1.11.2 Правило середньої точки

Наближення правила середньої точки є

\ begin {збирати*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ приблизно\ Великий [f (\ бар x_1) +f (\ бар x_2) +\ cdots +f (\ бар x_n)\ великий]\ дельта х\ кінець {збирати*}

де$\Delta x = \tfrac{b-a}{n}$ і

\ begin {align*} x_0&=a& x_1&=a+\ Дельта x&x_2&=a+2\ Дельта х &\ cdots& x_ {n-1} &= b-\ Дельта x & x_n&= b\\ & &\ бар x_1&=\ tfrac {x_0+x_1} {2} &\ бар x_1&=\ tfrac {x_0+x_1} {2} &\ бар x_2/ &=\ tfrac {x_1+x_2} {2} &\ cdots&\ бар x_ {n-1} &=\ tfrac {x_ {n-2} +x_ {n-1}} {2} &\ бар x_n&=\ tfrac {x_ {n-1} +x_n} {2}\ end {вирівнювати*}

Приклад 1.11.3$\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,\, d{x}$

Ми наближаємо вищевказаний інтеграл, використовуючи правило середньої точки з$n=8$ кроком.

Рішення

• Спочатку налаштовуємо всі$x$ -значення, які нам знадобляться. Зверніть увагу, що$a=0\text{,}$$b=1\text{,}$$\Delta x=\tfrac{1}{8}$ і

  \ почати {вирівнювати*} x_0&=0 & x_1&=\ tfrac {1} {8} & x_2&=\ tfrac {2} {8} &\ cdots & x_7&=\ tfrac {7} {8} & x_8&=\ tfrac {8} {8} =1\ кінець {align*}

  Отже

  \ почати {вирівнювати*}\ бар x_1&=\ tfrac {1} {16} &\ бар x_2&=\ tfrac {3} {16} &\ бар x_3&=\ tfrac {5} {16} &\ cdots&&\ бар x_8 &=\ tfrac {15} {16}\ кінець {align*}

• Тепер ми застосовуємо рівняння 1.11.2 до цілісного$f(x)=\frac{4}{1+x^2}\text{:}$

  \ begin {align*} &\ int_0^1\ розрив {4} {1+x^2}\,\, d {x}\ приблизно\ bigg [\ frac {4} {1+\ бар x_1^2}} ^ {f (\ бар x_1)} +\ овербрейк {\ frac {4} {1+\ бар x_2) ^ 2}} ^ {f (\ бар x_2)} +\! \ cdots\! +\ накладання {\ frac {4} {1+\ бар x_7^2}} ^ {f (\ бар x_ {n-1})} +\ перекриття {\ розриву {4} {1+\ бар x_8^2}} ^ {f (\ бар x_n)}\ bigg]\ Дельта х\\ &=\ bigg [\ frac {4} {1+\ trac {1} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ trac {3^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {16^2}} +\ frac {1\ trac {7^2} {16^2}} +\ frac c {4} {1+\ trac {9^2} {16^2}}\\ &\ hskip2in +\ frac {4} {1+ \ trac {11^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ trac {13^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ trac {15^2} {16^2}}\ великий]\ frac {1} {8}\ &=\ великий [3.9844 + 3.864} + 3.64413 + 3.35738 + 3.03858 +\\\ &\ hskip2 в 2.71618 + 2.40941 + 2.12890\ великий]\ гідророзриву {1} {8}\\ &= 3.1429\ кінець {вирівнювати*}

  де ми округлили до чотирьох знаків після коми.
• У цьому випадку ми можемо точно обчислити інтеграл (що є однією з причин, чому він був обраний в якості першого прикладу):

  \ begin {збирати*}\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\, d {x} =4\ arctan x\ Big|_0^1 =\ pi\ end {збирати*}

• Таким чином, помилка в наближенні, породженому вісьмома кроками правила середньої точки, є

  \ begin {вирівнювати*} |3.1429-\ pi| &=0.0013\ кінець {вирівнювати*}

• Відносна помилка тоді

  \ begin {align*}\ розрив {|\ текст {приблизний} -\ текст {точний} |} {\ текст {точний}} &=\ розриву {|3.1429-\ pi|} {\ pi} =0.0004\ end {align*}

  Тобто похибка в$0.0004$ рази перевищує фактичне значення інтеграла.
• Ми можемо записати це як процентну помилку, помноживши її на 100

  \ begin {align*}\ текст {процентна помилка} &= 100\ раз\ frac {|\ текст {приблизний} -\ текст {точний} |} {\ текст {точний}} = 0.04\%\ end {align*}

  Тобто похибка йде про$0.04\%$ точну величину.

Правило середньої точки дає нам досить хороші оцінки інтеграла без занадто багато роботи - хоча це, мабуть, трохи нудно зробити вручну ². Звичайно, було б дуже корисно кількісно оцінити, що ми маємо на увазі під «хорошим» у цьому контексті, і це вимагає від нас обговорення помилок.

Визначення 1.11.4

Припустимо, що$\alpha$ це наближення до$A\text{.}$ Це наближення має

• абсолютна похибка$|A-\alpha|$ і
• відносна похибка$\frac{|A-\alpha|}{A}$ і
• відсоток помилки$100\frac{|A-\alpha|}{A}$

Помилки ми розглянемо далі в розділі 1.11.4 нижче.

Приклад 1.11.5:$\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}$

Як другий приклад, ми застосуємо правило середньої точки з$n=8$ кроками до вищенаведеного інтегралу.

• Ми знову починаємо з налаштування всіх$x$ -значень, які нам знадобляться. Так$a=0\text{,}$$b=\pi\text{,}$$\Delta x=\tfrac{\pi}{8}$ і

  \ почати {вирівнювати*} x_0&=0& x_1&=\ tfrac {\ пі} {8} & x_2&=\ tfrac {2\ пі} {8} &\ cdots&x_7&=\ tfrac {7\ пі} {8} & x_8&=\ tfrac {8\ пі} {8} =\ пі\ кінець вирівнювати*}

  Отже,

  \ почати {вирівнювати*}\ бар x_1&=\ tfrac {\ pi} {16} &\ бар x_2&=\ tfrac {3\ пі} {16} &\ cdots&\ бар x_7&=\ tfrac {13\ пі} {16} &\ бар x_8&=\ tfrac {15\ pi} {16}\ кінець {16} &\ бар x_8&=\ tfrac {15\ пі} {16}}

• Тепер застосуйте рівняння 1.11.2 до цілісного$f(x)=\sin x\text{:}$

  \ begin {align*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\ приблизно\ Big [\ sin (\ бар x_1) +\ sin (\ бар x_2) +\ cdots+\ sin (\ бар x_8)\ великий]\ Дельта х\\ &=\ великий [\ sin (\ tfrac {\ pi} {16}) sin (\ tfrac {3\ пі} {16}) +\ sin (\ tfrac {5\ пі} {16}) +\ sin (\ tfrac {7\ пі} {16}) +\ sin (\ tfrac {9\ пі} {16}) +\\ &\ hskip2in\ sin (\ tfrac {11\ пі} {16}) +\ sin (\ tfrac {13\ pi } {16}) +\ sin (\ tfrac {15\ pi} {16})\ Великий]\ tfrac {\ pi} {8}\\ &=\ Великий [0.1951+ 0.5556+ 0.8315+ 0.8315+ 0.8315+ 0.1951\ Великий]\ час 0.9808+ 0.9808+\\ &\ hskip2 в 0.8315+ 0.5556+ 0.1951\ Великий]\ раз 0.3927\ &&= 5.1260\ раз 0.3927 =2.013\ кінець {вирівнювати*}

• Знову ж таки, ми вибрали цей приклад, щоб ми могли порівняти його з точним значенням:

  \ begin {align*}\ int_0^\ пі\ sin x\, d {x} &=\ великий [-\ cos x\ big] _0^\ pi = -\ cos\ pi +\ cos 0 = 2. \ end {вирівнювати*}

• Таким чином, за вісім кроків правила середньої точки ми досягли.

  \ begin {align*}\ текст {абсолютна помилка} &= |2.013-2|=0.013\\ текст {відносна помилка} &=\ гідророзриву {|2.013-2|} {2} = 0,0065\\\ текст {процентна помилка} &= 100\ раз\ розриву {|2.013-2|} {2} = 0.65\%\ кінець {align*}

  З невеликою роботою нам вдалося оцінити інтеграл в межах$1\%$ його справжньої цінності.

трапецієподібне правило

Розглянемо ще раз область, представлену$\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\text{.}$ інтегралом Трапецієподібне правило ³ (не дивно) наближає цю область трапецією ⁴, вершини якої лежать на

\ begin {збирати*} (x_ {j-1} ,0), (x_ {j-1}, f (x_ {j-1})), (x_ {j}, f (x_ {j}))\ текст {і} (x_ {j} ,0). \ end {збирати*}

Трапецієподібне наближення інтеграла$\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}$ - це затінена область на малюнку праворуч вгорі. Він$x_j-x_{j-1}=\Delta x\text{.}$ має ширину. Ліва сторона має висоту,$f(x_{j-1})$ а права сторона має висоту.$f(x_j)\text{.}$

Як показано на малюнку нижче, площа трапеції - це її ширина, що перевищує середню висоту.

Отже, трапецієподібне правило наближає кожен субінтеграл

$$\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\approx \tfrac{f(x_{j-1})+f(x_j)}{2}\Delta x \nonumber$$

Застосування цього наближення до кожного підінтервалу з подальшим підсумовуванням результату дає нам наступне наближення повного інтеграла

\ почати {align*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} +\ cdots+\ int_ {x_ {n-1}}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ приблизно\ tfrac {f (x_0) +f (x_1)} {2}\ дельта х +\ tfrac {f (x_1) +f (x_2)} {2}\ дельта х +\ cdots +\ tfrac {f (x_ {n-1}) +f (x_n)} {2}\ Дельта х\\ &=\ Великий [\ розрив {1} {2} f (x_0 ) +f (x_1) +f (x_2) +\ cdots+ f (x_ {n-1}) +\ розрив {1} {2} f (x_n)\ великий]\ дельта х\ кінець {align*}

Отже, зверніть увагу, що наближення має дуже схожу форму з правилом середньої точки, за винятком того, що

• ми оцінюємо функцію на$x_j$ 's, а не в серединних точках, і
• множимо значення функції в кінцевих точках$x_0,x_n$ на$\frac12\text{.}$

Підсумовуючи:

Рівняння 1.11.6 Трапецієподібне правило

Наближення трапецієподібного правила є

\ begin {align*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &\ приблизно\ Великий [\ розрив {1} {2} f (x_0) +f (x_1) +f (x_2) +\ cdots+ f (x_ {n-1}) +\ frac {1} {2} f (x_n)\ великий]\ Дельта х\ кінець {вирівнювати*}

де

\ begin {збирати*}\ Дельта х =\ tfrac {b-a} {n},\ квад x_0=a,\ quad x_1=a+\ Дельта х,\ квад x_2=a+2\ Дельта х,\ quad\ cdots,\ quad x_ {n-1} =b\ deta x,\ quad x_n=b\ кінець {збирати*}

Для порівняння та контрасту ми застосовуємо трапецієподібне правило до прикладів, які ми зробили вище з правилом середньої точки.

Приклад 1.11.7$\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,\, d{x}$ — using the trapezoidal rule

Рішення

Діємо дуже аналогічно до Прикладу 1.11.3 і знову використовуємо$n=8$ кроки.

• У нас знову є$f(x)=\frac{4}{1+x^2}\text{,}$$a=0\text{,}$$b=1\text{,}$$\Delta x=\tfrac{1}{8}$ і

  \ почати {вирівнювати*} x_0&=0 & x_1&=\ tfrac {1} {8} & x_2&=\ tfrac {2} {8} &\ cdots & x_7&=\ tfrac {7} {8} & x_8&=\ tfrac {8} {8} =1\ кінець {align*}

• Застосування трапецієподібного правила, рівняння 1.11.6, дає

  \ begin {align*} &\ int_0^1\ розриву {4} {1+x^2}\,\, d {x}\ приблизно\ bigg [\ frac {1} {2}\ накладення {\ frac {4} {1\! +\! x_0^2}} ^ {f (x_0)} +\ накладення {\ frac {4} {1\! +\! x_1^2}} ^ {f (x_1)} +\! \ cdots\! +\ накладення {\ гідророзриву {4} {1\! +\! x_7^2}} ^ {f (x_ {n-1})} +\ розрив {1} {2}\ накладення {\ frac {4} {1\! +\! x_8^2}} ^ {f (x_n)}\ великий]\ дельта х\\ &\ hskip0.25in=\ великий [\ frac {1} {2}\ frac {4} {1+0^2} +\ frac {4} {1+\ tfrac {1} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ trac {2 ^ 2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ trac {3^2} {8^2}}\\ &\ hskip0.5in +\ frac {4} {1+\ tfrac {4^2}} +\ frac {4} {1+\ trac {5^2} {8} ^2}} +\ гідророзриву {4} {1+\ tfrac {6^2} {8^2}} +\ гідророзриву {4} {1+\ tfrac {7^2} {8^2}} +\ гідророзриву {1} {2}\ гідророзриву {4} {1+\ trac {8^2} {8^2}}\ великий]\ гідророзриву {1} {8}\\ hskip0.25in=\ великий [\ frac {1} {2}\ раз 4+ 3.939+ 3.765+ 3.507\\ &\ hskip0.5 в +3.939+ 3.765 2+ 2.876+ 2.56+ 2.266+\ гідророзриву {1} {2}\ раз 2\ Великий]\ гідророзриву {1} {8}\\ &\ hskip0.25in = 3.139\ кінець {вирівнювати*}

  до трьох знаків після коми.
• Точне значення інтеграла все ще$\pi\text{.}$ Таким чином, похибка в наближенні, породжена вісьмома кроками$100\tfrac{|3.139-\pi|}{\pi}\% =0.08\%$ трапецієподібного правила$|3.139-\pi|=0.0026\text{,}$, є точною відповіддю. Зверніть увагу, що це приблизно в два рази перевищує помилку, яку ми досягли за допомогою правила середньої точки в прикладі 1.11.3.

Давайте також повторити приклад 1.11.5 за допомогою трапецієподібного правила.

Приклад 1.11.8$\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}$ — using the trapezoidal rule

Рішення

Діємо дуже аналогічно до Прикладу 1.11.5 і знову використовуємо$n=8$ кроки.

• У нас знову є$a=0\text{,}$$b=\pi\text{,}$$\Delta x=\tfrac{\pi}{8}$ і

  \ почати {вирівнювати*} x_0&=0& x_1&=\ tfrac {\ пі} {8} & x_2&=\ tfrac {2\ пі} {8} &\ cdots&x_7&=\ tfrac {7\ пі} {8} & x_8&=\ tfrac {8\ пі} {8} =\ пі\ кінець вирівнювати*}

• Застосування трапецієподібного правила, рівняння 1.11.6, дає

  \ begin {align*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\ приблизно\ Великий [\ frac {1} {2}\ sin (x_0) +\ sin (x_1) +\ cdots+\ sin (x_7) +\ frac {1} {2}\ sin (x_8)\ Великий]\ Дельта х\\ &=\ Великий [\ frac {1} {2}\ sin0 +\ sin\ tfrac {\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {2\ пі} {8} +\ sin\ tfrac {8} +\ tfrac {8} +\ sin\ tfrac {5\ пі} {8}\\\ hc пропустити 0.5в+\ sin\ tfrac {6\ пі} {8} +\ sin\ tfrac {7\ пі} {8} +\ розрив {1} {2}\ sin\ tfrac {8\ pi} {8}\ великий]\ tfrac {\ pi} {8}\ &=\ Великий [\ frac {1} {2}\! \ раз\! 0+ 0,3827+ 0,7071+ 0,9239+ 1.0000+ 0,9239+\\ &\ hskip0.5в 0.7071+ 0,3827+\ frac {1} {2}\! \ раз\! 0\ Великий]\ раз 0,3927\\ &= 5.0274\ раз 0,3927 = 1,974\ кінець {вирівнювати*}

• Точна відповідь -$\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}=-\cos x\Big|_0^\pi=2\text{.}$ Так за допомогою восьми кроків трапецієподібного правила ми досягли$100\tfrac{|1.974-2|}{2}=1.3\%$ точності. Знову ж таки, це приблизно вдвічі більша помилка, яку ми досягли в прикладі 1.11.5 за допомогою правила середньої точки.

Ці два приклади говорять про те, що правило середньої точки є більш точним, ніж трапецієподібне правило. Дійсно, це спостереження народжується ретельним аналізом помилки — див. Розділ 1.11.4.

Правило Сімпсона

Коли ми використовуємо трапецієподібне правило, ми наближаємо площу$\int_{x_{j-1}}^{x_j}f(x)\, d{x}$ за площею між$x$ -віссю і прямою лінією, яка проходить від$(x_{j-1},f(x_{j-1}))$ до$(x_j, f(x_j))$ — тобто ми наближаємо функцію$f(x)$ на цьому інтервалі лінійною функцією, яка узгоджується з функцією в кожній кінцевій точці. Очевидний спосіб розширити це - так само, як ми робили при розширенні лінійних наближень до квадратичних наближень у нашому курсі диференціального числення - це наближення функції квадратичним. Це саме те, що робить ⁵ правило Сімпсона.

Правило Сімпсона наближає інтеграл над двома сусідніми підінтервалами площею між параболою та$x$ віссю -. Для того, щоб описати цю параболу, нам потрібні 3 різні точки (саме тому ми наближаємо два субінтеграли одночасно). Тобто ми приблизні

\ почати {align*}\ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x}\ кінець {align*}

площею, обмеженою параболою, яка проходить через три точки$\big(x_0,f(x_0)\big)\text{,}$$\big(x_1,f(x_1)\big)$ і$\big(x_2,f(x_2)\big)\text{,}$$x$ -вісь і вертикальні лінії$x=x_0$ і$x=x_2\text{.}$

Ми повторюємо це на наступній парі підінтервалів і$\int_{x_2}^{x_4} f(x)\,\, d{x}$ наближені за площею між$x$ -віссю і частиною параболи з$x_2\le x\le x_4\text{.}$ Ця парабола проходить через три точки$\big(x_2,f(x_2)\big)\text{,}$$\big(x_3,f(x_3)\big)$$\big(x_4,f(x_4)\big)\text{.}$ і так далі. Оскільки правило Сімпсона робить наближення двох скибочок одночасно,$n$ повинно бути рівним.

Щоб вивести формулу правила Сімпсона, ми спочатку знаходимо рівняння параболи, яка проходить через три точки,$\big(x_0,f(x_0)\big)\text{,}$$\big(x_1,f(x_1)\big)$ а$\big(x_2,f(x_2)\big)\text{.}$ Потім ми знаходимо площу між$x$ віссю -і частиною цієї параболи з$x_0\le x\le x_2\text{.}$ Для спрощення цього обчислення розглянемо параболу, що проходить через точки$(-h,y_{-1}), (0,y_0)$ і$(h,y_1)\text{.}$

Запишіть рівняння параболи як

\ begin {вирівнювати*} y &= Ax^2+ BX +C\ end {вирівнювати*}

Тоді площа між ним і$x$ -віссю з$x$ бігом$h$ від$-h$ до

\ begin {вирівнювати*}\ int_ {-h} ^h\ великий [Ax^2+ Bx+C\ великий]\, d {x} &=\ лівий [\ frac {A} {3} x^3 + Frac {B} {2} x^2 + Cx\ праворуч] _ {-h} ^h\\ &=\ frac {2A} {3} h^3 + 2Ch &\ text {корисно написати його як}\\ &=\ frac {h} {3}\ left (2Ah ^ 2 + 6C\ праворуч)\ end {align*}

Тепер три пункти$(-h,y_{-1}), (0,y_0)$ і$(h,y_1)$ лежать на цій параболі якщо і тільки якщо

\ begin {align*} A h^2 - Bh + C &= y_ {-1} &\ текст {на $ (-h, y_ {-1}) $}\\ C &= y_ {0} &\ текст {в $ (0, y_ {0}) $}\\ A h^2+ BH + C &= y_ {1} &\ текст {в $ (h, y_ {1}) $}\ end {вирівнювати*}

Додавання першого і третього рівнянь разом дає нам

\ begin {вирівнювати*} 2Ах^2 + (Б-Б) h + 2C &= y_ {-1} +y_ {1}\ end {align*}

До цього складаємо чотири рази середнє рівняння.

\ begin {вирівнювати*} 2Ах^2 + 6C &= y_ {-1} +4y_0+y_1. \ end {вирівнювати*}

Це означає, що

\ begin {вирівнювати*}\ текст {область} &=\ int_ {-h} ^h\ великий [Ax^2+ Bx+C\ великий]\, d {x} =\ розриву {h} {3}\ ліворуч (2Ah ^ 2 + 6C\ праворуч)\\ &=\ розриву {h} {3}\ ліворуч (y_ {-1} +4y_0+y_1\ праворуч)\ end {align*}

Зверніть увагу, що тут

• $h$дорівнює половині довжини розглянутого$x$ інтервалу
• $y_{-1}$- висота параболи в лівому кінці розглянутого інтервалу
• $y_0$- висота параболи в середній точці розглянутого інтервалу
• $y_{1}$- висота параболи в правому кінці розглянутого інтервалу

Отже, правило Сімпсона наближається

$$\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,\, d{x} \approx \tfrac{1}{3}\Delta x\big[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\big] \nonumber$$

і

$$\int_{x_2}^{x_4} f(x)\,\, d{x} \approx \tfrac{1}{3}\Delta x\big[f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\big] \nonumber$$

і так далі. Підсумовуючи все це разом дає:

\ почати {align*}\ int_a^b& f (x)\,\, d {x} =\ int_ {x_0} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_2} ^ {x_4} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_4} ^ {x_6} f (x)\,\, d {x} +\ cdots +\ int_ {x_ {n-2}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ приблизно\,\ tfrac {\ Дельта х} {3}\ великий [f (x_0) +4f (x_1) +f (x_2)\ великий] +,\ tfrac {\ Дельта х} {3}\ великий [f (x_2) +4f (x_3) +f (x_4)\ великий]\ кр &\ \\ +\,\ tfrac {\ Дельта х} {3}\ великий [f (x_4) +4f (x_5) +f (x_6)\ великий] +\,\ cdots\ +\,\ tfrac {\ Дельта х} {3}\ великий [f (x_ {n-2}) +4f (x_ {n-1}) +f (x_ {n-1}) +f (x_ {n-1}) +f (x_ {n-1}) +f (x_ {n-1}) +f (x_ {n-1}) +f (x_ {n-1} n)\ великий]\\ &=\ Великий [f (x_0)\! +4ф (х_1)\! +2ф (х_2)\! +4ф (х_3)\! +2ф (х_4)\! +\ крапки+ 2f (x_ {n-2})\! +4ф (x_ {n-1})\! + f (x_n)\ Великий]\ tfrac {\ Дельта х} {3}\ кінець {вирівнювати*}

Підсумовуючи

Рівняння 1.11.9 Правило Сімпсона

Наближення правила Сімпсона

\ begin {align*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &\ приблизно\ Великий [f (x_0)\! +4ф (х_1)\! +2ф (х_2)\! +4ф (х_3)\! +2ф (х_4)\! +\ точки\\ &\ hskip2in\ cdots + 2f (x_ {n-2})\! +4ф (x_ {n-1})\! + f (x_n)\ Великий]\ tfrac {\ Дельта х} {3}\ кінець {вирівнювати*}

$n$де навіть і

\ begin {збирати*}\ Дельта х =\ tfrac {b-a} {n},\ квад x_0=a,\ quad x_1=a+\ Дельта х,\ квад x_2=a+2\ Дельта х,\ quad\ cdots,\ quad x_ {n-1} =b\ deta x,\ quad x_n=b\ кінець {збирати*}

Зверніть увагу, що правило Сімпсона вимагає по суті не більше роботи, ніж трапецієподібне правило. В обох правилах ми повинні оцінити$f(x)$ в,$x=x_0,x_1,\cdots,x_n\text{,}$ але ми додаємо ці терміни, помножені на різні константи ⁶.

Давайте поставимо його для роботи на наших двох запущених прикладах.

Приклад 1.11.10$\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,\, d{x}$ — using Simpson's rule

Рішення

Приступаємо майже однаково до Прикладу 1.11.7 і знову використовуємо$n=8$ кроки.

• У нас є те ж саме$\Delta,a,b,x_0,\cdots, x_n$, що і приклад 1.11.7.
• Застосування рівняння 1.11.9 дає

  \ begin {align*} &\ int_0^1\ розриву {4} {1+x^2}\,\, d {x}\\ &\ приблизно\ bigg [\ frac {4} {1+0^2} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac {1} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {1} c {2^2} {8^2}} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac {3^2} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {4} {8^2}}\\ &\ hskip0.5in +4\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {8^2} ^2}} + 2\ гідророзриву {4} {1+\ tfrac {6^2} {8^2}} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac { 7^2} {8^2}} +\ розрив {4} {1+\ tfrac {8^2} {8^2}}\ великий]\ розрив {1} {8\ раз 3}\\ &=\ Великий [4\! +\! 4\ разів 3,938461538\! +\! 2\ разів 3,764705882\! +\! 4\ раз 3.506849315\! +\! 2\ рази 3.2\\ &\ hskip0.5in +4\ раз 2.876404494 + 2\ рази 2.56 + 4\ раз 2.265486726 + 2\ великий]\ розрив {1} {8\ раз 3}\\ &= 3.14159250\ кінець {вирівнювати*}

  до восьми знаків після коми.
• Це узгоджується з$\pi$ (точним значенням інтеграла) до шести знаків після коми. Отже, помилка в наближенні, породжена вісьмома кроками правила Сімпсона$|3.14159250-\pi|=1.5\times 10^{-7}\text{,}$, є$100\tfrac{|3.14159250-\pi|}{\pi}\% =5\times 10^{-6}\%$ точною відповіддю.

Вражає те, що абсолютна похибка, наближена до правила Сімпсона, набагато менша, ніж похибка з середини та трапецієподібних правил.

\ begin {align*} &\ text {помилка середньої точки}\ hskip-0.35in &&= 0,0013\\ &\ текст {помилка трапеції}\ hskip-0.35in &&= 0,0026\\ &\ текст {помилка Сімпсона}\ hskip-0.35in &&= 0.00000015\ кінець {align*}

Підкріплений цим успіхом, ми також переробимо приклад 1.11.8, використовуючи правило Сімпсона.

Приклад 1.11.11$\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}$ — Simpson's rule

Рішення

Приступаємо майже однаково до Прикладу 1.11.8 і знову використовуємо$n=8$ кроки.

• У нас є те ж саме$\Delta,a,b,x_0,\cdots, x_n$, що і приклад 1.11.7.
• Застосування рівняння 1.11.9 дає

  \ begin {align*} &\ int_0^\ пі\ sin х\,\, d {x}\\ &\ hskip0.5in\ приблизно\ великий [\ sin (x_0) +4\ sin (x_1) +2\ sin (x_2) +\ cdots+4\ sin (x_7) +\ sin (x_8)\ великий]\ tfrac {\ дельта х} {3}\\ &\ hskip0.5in=\ великий [\ грін (0) + 4\ sin (\ tfrac {\ pi} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {2\ пі} {8}) + 4\ sin (\ tfrac {3\ пі} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {4\ пі} {8}) кр &\ hskip0.5in\ фантом {=\ великий [\ sin (0)\,} +4\ sin (\ tfrac {5\ пі} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {6\ пі} {8}) + 4\ sin (\ tfrac {7\ пі} {8}) +\ sin (\ tfrac {8\ пі} {8})\ великий]\ tfrac {pi} {8\ раз 3}\ cr &=\ hskip0.5in\ великий [0+ 4\ раз 0.382683+ 2\ рази 0.707107+ 4\ раз 0.923880+ 2\ раз 1.0\\ &\ hskip0.5in\ фантом {=\ великий [0\,} + 4\ раз 0.923880+ 2\ раз 0. 707107+ 4\ раз 0,382683+0\ великий]\ tfrac {\ pi} {8\ раз 3}\\ &\ hskip0.5in=15.280932\ раз 0.130900\\ &\ hskip0.5in=2.00027\ кінець {вирівнювати*}

• Всього за вісім кроків правила Сімпсона ми досягли$100\tfrac{2.00027-2}{2}=0.014\%$ точності.

Знову контрастуємо досягнуту помилку з двома іншими правилами:

\ begin {align*} &\ text {помилка середньої точки}\ hskip-0.35in &&= 0.013\\ &\ текст {помилка трапеції}\ hskip-0.35in &&= 0.026\\ &\ текст {помилка Сімпсона}\ hskip-0.35in &&= 0.00027\ кінець {align*}

На цьому ми завершуємо виведення середніх, трапецієподібних і сімпсонових правил апроксимації значень визначених інтегралів. Поки що ми не намагалися побачити, наскільки ефективні та точні алгоритми загалом. Це наше наступне завдання.

Три простих числових інтеграторів - Поведінка помилок

Тепер ми озброєні нашими трьома (відносно простим) методом числового інтегрування, ми повинні подумати про те, наскільки практичними вони можуть бути в реальному світі ⁷. Два очевидних міркування при вирішенні питання про те, чи має даний алгоритм будь-яку практичну цінність,

1. кількість обчислювальних зусиль, необхідних для виконання алгоритму і
2. точність, яку дає це обчислювальне зусилля.

Для алгоритмів, таких як наші прості інтегратори, основна частина обчислювальних зусиль зазвичай йде на$f(x)\text{.}$ оцінку функції Кількість оцінок,$f(x)$ необхідних для$n$ кроків правила середньої точки, в$n\text{,}$ той час як число, необхідне для$n$ кроків трапецієподібного і Правила Сімпсона є$n+1\text{.}$ Таким чином, всі три наші правила вимагають по суті однакових зусиль - одна оцінка$f(x)$ за крок.

Щоб отримати перше враження про поведінку помилок цих методів, ми застосовуємо їх до проблеми, відповідь якої ми точно знаємо:

\ begin {збирати*}\ int_0^\ пі\ sin х\,\, d {x} =-\ cos х\ big|_0^\ pi = 2. \ end {збирати*}

Щоб бути трохи точніше, ми хотіли б зрозуміти, як змінюються помилки трьох методів, коли ми збільшуємо зусилля, які ми докладаємо (вимірюється кількістю кроків$n$). У наступній таблиці наведено помилку в приблизному значенні цього числа, створеного нашими трьома правилами, застосованими з трьома різними варіантами$n\text{.}$ Він також перераховує кількість оцінок,$f$ необхідних для обчислення наближення.

	Середина		Трапецієподібний		Сімпсон
п	помилка	# звали	помилка	# звали	помилка	# звали
10	$8.2\times 10^{-3}$	10	$1.6\times 10^{-2}$	11	$1.1\times 10^{-4}$	11
100	$8.2\times 10^{-5}$	100	$1.6\times 10^{-4}$	101	$1.1\times 10^{-8}$	101
1000	$8.2\times 10^{-7}$	1000	$1.6\times 10^{-6}$	1001	$1.1\times 10^{-12}$	1001

Зауважте, що

• Використання 101 оцінки вартості$f$ правила Сімпсона дає помилку в 75 разів меншу, ніж 1000 оцінок вартості$f$ правила середньої точки.
• Помилка трапецієподібного правила з$n$ кроками приблизно вдвічі перевищує помилку правила середньої точки з$n$ кроками.
• За допомогою правила середньої точки збільшення кількості кроків у 10 разів зменшує похибку приблизно в один раз$100=10^2=n^2\text{.}$
• При трапецієподібному правилі збільшення кількості ступенів в 10 разів зменшує похибку приблизно в рази$10^2=n^2\text{.}$
• За правилом Сімпсона збільшення кількості кроків у 10 разів зменшує похибку приблизно в один раз$10^4=n^4\text{.}$

Так виглядає

\ begin {align*} &\ hbox {приблизно значення $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ задано $n$ кроками середньої точки}\ hskip-0.35in&&\ приблизно\ int_a^b f (x)\,\, d {x} +K_M\ cdot\ frac {1} {n^2}\ &\ hbox {приблизно значення $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ задано $n$ трапецієподібними кроками}\ hskip-0.35in&&\ приблизно\ int_a^b f (x)\,\, d {x} +K_T\ cdot\ frac {1} {n^2}\\ &\ hbox {приблизно значення $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ задано $n $ кроки Сімпсона}\ hskip-0.35in&&\ приблизно\ int_a^a_ б f (x)\,\, d {x} +K_M\ cdot\ frac {1} {n^4}\ end {align*}

з деякими константами$K_M,\ K_T$ і також$K_S\text{.}$ здається, що$K_T\approx 2 K_M\text{.}$

Малюнок 1.11.12. Графік log-log помилки в наближенні$n$ кроку до$\displaystyle \int_0^\pi \sin x\,\, d{x}\text{.}$

Щоб перевірити ці гіпотези на поведінку помилок, ми застосовуємо наші три правила з приблизно десятьма різними варіантами$n$ форми$n=2^m$ з$m$ цілим числом. Малюнок 1.11.12 містить два графіки результатів. Лівий графік показує результати для середніх і трапецієподібних правил, а правий графік показує результати для правила Сімпсона.

Для кожного правила ми очікуємо (виходячи з наших припущень вище), що помилка

\ begin {align*} e_n &= |\ текст {точне значення} -\ текст {приблизне значення} |\ end {align*}

з$n$ кроками є (приблизно) форми

\ begin {збирати*} e_n=k\ frac {1} {n^k}\ end {збирати*}

для деяких констант$K$ і$k\text{.}$ Ми хотіли б перевірити, якщо це дійсно так, шляхом графіки$Y=e_n$ проти$X=n$ і бачачи, якщо граф «виглядає правильно». Але нелегко сказати, чи дійсно дана крива є$Y=\frac{K}{X^k}\text{,}$ для якоїсь конкретної$k\text{,}$, просто дивлячись на неї. Однак ваше око досить добре визначає, чи є графік прямою лінією. На щастя, є невелика хитрість, яка перетворює криву$Y=\tfrac{K}{X^k}$ в пряму лінію - незалежно від того, що$k$ є.

Замість того, щоб$Y$ замишляти проти$X\text{,}$ ми змову$\log Y$ проти$\log X\text{.}$ Ця трансформація ⁸ працює, тому що коли$Y=\frac{K}{X^k}$

\ begin {align*}\ журнал Y &=\ журнал K - k\ log X\ end {align*}

Таким чином, побудова$y=\log Y$ проти$x=\log X$ дає пряму лінію$y=\log K -kx\text{,}$, яка має нахил$-k$ і$y$ -перехоплення$\log K\text{.}$

Три графіки на малюнку 1.11.12 будують$y=\log_2 e_n$ проти$x=\log_2 n$ наших трьох правил. Зверніть увагу, що ми вирішили використовувати логарифми ⁹ з цією «незвичайною базою», оскільки це дає зрозуміти, наскільки помилка покращується, якщо подвоїти кількість використовуваних кроків. Якщо бути більш точним - один одиничний крок вздовж$x$ осі -відображає зміну$n \mapsto 2n\text{.}$ Наприклад, застосування правила Сімпсона з$n=2^4$ кроками призводить до помилки,$0000166\text{,}$ тому точка$(x=\log_2 2^4=4, y=\log_2 0000166 = \frac{\log 0000166}{\log 2} = -15.8)$ була включена на графік. Подвоєння використаного зусилля - тобто подвоєння кількості кроків до$n=2^5$ - призводить до помилки$0.00000103\text{.}$ Отже, точка даних$(x=\log_2 2^5=5\ ,\ y=\log_2 0.00000103 =\frac{\ln 0.00000103}{\ln 2}=-19.9)$ лежить на графіку. Зверніть увагу, що$x$ -координати цих точок відрізняються на 1 одиницю.

Для кожного з трьох наборів точок даних також була нанесена пряма лінія «через» точки даних. Процедура, яка називається лінійною регресією ¹⁰, була використана для точного визначення прямої лінії для побудови графіка. Він надає формулу нахилу та$y$ -перехоплення прямої лінії, яка «найкраще підходить» для будь-якого заданого набору точок даних. З трьох ліній це, безумовно, виглядає як$k=2$ для середніх і трапецієподібних правил і$k=4$ для правила Сімпсона. Це також виглядає як співвідношення між значенням$K$ для трапецієподібного правила, а саме$K=2^{0.7253}\text{,}$ і значенням$K$ для правила середньої точки, а саме$K=2^{-0.2706}\text{,}$ досить близьке до 2:$2^{0.7253}/2^{-0.2706}=2^{0.9959}\text{.}$

Інтуїція, про поведінку помилок, яку ми щойно розробили, насправді правильна - за умови, що цілісність$f(x)$ є досить гладкою. Якщо бути точніше

Теорема 1.11.13 Помилки числового інтегрування

Припустимо, що$|f''(x)| \leq M$ для всіх$a\leq x \leq b\text{.}$ Тоді

\ begin {align*} &\ text {загальна помилка, введена правилом середньої точки, обмежена} &\ frac {M} {24}\ frac {(b-a) ^3} {n^2}\ &\ text {і}\\ &\ text {загальна помилка, введена трапецієподібним правилом, обмежена} &\ frac {M} {12}\ frac {б-а) ^3} {n^2}\\ end {вирівнювати*}

при наближенні$\displaystyle \int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}$ Далі, якщо$|f^{(4)}(x)|\leq L$ для всіх$a\leq x \leq b\text{,}$ то

\ begin {align*} &\ text {загальна помилка, введена правилом Сімпсона, обмежена} &\ frac {L} {180}\ frac {(b-a) ^5} {n^4}. \ end {вирівнювати*}

Перша з цих помилок обмежується перевіреним у наступному (необов'язковому) розділі. Ось кілька прикладів, які ілюструють, як вони використовуються. Спочатку перевіримо, чи відповідає вищевказаний результат нашим даними на малюнку 1.11.12

Приклад 1.11.14 Апроксимація помилки правила середньої точки$\int_0^\pi \sin x\,\, d{x}$

• $\int_0^\pi \sin x\,\, d{x}$Інтеграл має$b-a=\pi\text{.}$
• Друга похідна цілого числа задовольняє

  \ почати {вирівнювати*}\ ліворуч |\ розрив {d^ {2}} {dx^ {2}}\ sin x\ праворуч | &= |-\ sin x|\ leq 1\ end {align*}

  Отже, беремо$M=1\text{.}$
• Таким чином, помилка,$e_n\text{,}$ введена при використанні$n$ кроків обмежується

  \ begin {align*} |e_n|&\ ле\ frac {M} {24}\ розрив {(b-a) ^3} {n^2}\\ &=\ розриву {\ pi^3} {24}\ frac {1} {n^2}\\ &\ приблизно 1,29\ розриву {1} {n^2}\ кінець {align*}

• Дані на графіку на малюнку 1.11.12 дають

  \ begin {align*} |e_n| &\ приблизно 2^ {-.2706}\ розрив {1} {n^2} =0.83\ розриву {1} {n^2}\ end {align*}

  який узгоджується з пов'язаним$|e_n|\le \frac{\pi^3}{24}\frac{1}{n^2}\text{.}$

У типовому додатку нам буде запропоновано оцінити заданий інтеграл до певної зазначеної точності. Наприклад, якщо ви є виробником і ваша техніка може різати матеріали лише з${\tfrac{1}{10}}^{\rm th}$ точністю до міліметра, немає сенсу робити технічні характеристики більш точними, ніж${\tfrac{1}{10}}^{\rm th}$ міліметр.

Приклад 1.11.15 Скільки кроків для заданої точності?

Припустимо, наприклад, що ми хочемо використовувати правило середньої точки для оцінки ¹¹

\ begin {збирати*}\ int_0^1 e^ {-x^2}\, d {x}\ end {збирати*}

щоб в межах точності$10^{-6}\text{.}$

Рішення

• Інтеграл має$a=0$ і$b=1\text{.}$
• Перші дві похідні цілісного

  \ begin {align*}\ розриву {d} {dx} e^ {-x^2} &=-2xe^ {-x^2}\ hskip2in\ текст {і}\\ frac {d^ {2}} {dx^ {2}} e^ {-x^2} &=\ frac {d} {dx}\ великий (-2x^ {-x^ 2} ^ 2}\ великий) =-2e^ {-x^2} +4x^2e^ {-x^2} =2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ end {align*}

• Як$x$ працює від 0 до 1,$2x^2-1$ збільшується від$-1$ до$1\text{,}$ так, що

  \ begin {збирати*} 0\ ле х\ ле 1\ передбачає |2x^2-1|\ le 1,\ e^ {-x^2}\ le 1\ мається на увазі\ big|2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ big|\ le 2\ end {збирати*}

  Отже, беремо$M=2\text{.}$
• Помилка, введена правилом середньої точки$n$ кроку, становить не більше

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ розрив {M} {24}\ гідророзриву {(b-a) ^3} {n^2}\\ leq\ frac {2} {24}\ frac {(1-0) ^3} {n^2} =\ розрив {1} {12n^2}\ кінець {align*}

• Нам потрібно, щоб ця помилка була меншою, ніж$10^{-6}$ так

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {1} {12n^2}\ leq 10^ {-6} &\ текст {і так}\\ 12n^2 &\ geq 10^6 &\ текст {очистити}\\ n^2 &\ geq\ frac {10^6} {12} = 83333.3 &\ текст {корінь квадратний з обох сторін}\\ n &\ geq 288.7\ кінець {вирівнювати*}

  Таким чином,$289$ кроки правила середньої точки виконають роботу.
• Насправді$n=289$ призводить до помилки про$3.7\times 10^{-7}\text{.}$

Це здається занадто багато роботи, і трапецієподібне правило матиме вдвічі більше помилки. Тож ми повинні поглянути на правило Сімпсона.

Приклад 1.11.16 Скільки кроків за допомогою правила Сімпсона?

Припустимо, що тепер ми$\int_0^1 e^{-x^2}\,\, d{x}$ хочемо оцінити з точністю$10^{-6}$ - але тепер використовуючи правило Сімпсона. Скільки кроків ми повинні використовувати?

Рішення

• Знову ми маємо$a=0,b=1\text{.}$
• Потім нам потрібно$\frac{d^{4}}{dx^{4}}e^{-x^2}$ прив'язати до області інтеграції,$0\leq x\leq 1\text{.}$

  \ begin {align*}\ розриву {d^ {3}} {dx^ {3}} e^ {-x^2} &=\ розриву {d} {dx}\ великий\ {2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ &=4 (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\\ гідророзриву {d^ {4}} {dx^ {4}} e^ {-x^2} &=\ розриву {d} {dx}\ великий\ {4 (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\ великий\}\\ &= 4 (-6x^3x) e^ {-x^2}\ великий\\\ &= 4 (-6x^3x) 2+3) e^ {-x^2}\ hskip-4pt-8x (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\\ &= 4 (4x^4-12x^2+3) е ^ {-x^2}\ end {вирівнювати*}

• Тепер, для будь-якого$x\text{,}$$e^{-x^2}\le 1\text{.}$ Також, для$0\le x\le 1\text{,}$

  \ begin {align*} 0 &\ leq x^2, x^4\ leq 1 &\ текст {так}\\ 3 &\ leq 4x^4+3\ leq 7 &\ text {і}\\ -12 &\ leq -12x^2\ leq 0 &\ text {додавання їх разом дає}\\ -9 &\ leq 4x4-12x^2 + 3 q 7\ end {вирівнювати*}

  Отже,$|4x^4-12x^2+3|$ обмежується$9$ і так

  \ begin {збирати*}\ ліворуч |\ frac {d^ {4}} {dx^ {4}} e^ {-x^2}\ праворуч |\ leq 4\ times 9=36\ end {збирати*}

  Так що візьміть$L=36\text{.}$
• Помилка, введена правилом$n$ кроку Сімпсона, є не більше

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ розрив {L} {180}\ гідророзриву {(b-a) ^5} {n^4}\\ leq\ frac {36} {180}\ frac {(1-0) ^5} {n^4} =\ розрив {1} {5n^4}\ кінець {align*}

• Для того щоб ця помилка була не більше, ніж$10^{-6}$ ми вимагаємо$n$ задовольнити

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {1} {5n^4}\ leq 10^ {-6} &\ текст {і так}\\ 5n^4 &\ geq 10^6\\ n^4 &\ geq 200000 &\ text {взяти четвертий корінь}\\ n &\ geq 21.15\ end {align*}

  Тож$22$ кроки правила Сімпсона зроблять роботу.
• $n=22$кроки насправді призводить$3.5\times 10^{-8}\text{.}$ до помилки Причина того, що ми отримуємо помилку набагато меншу, ніж нам потрібно, полягає в тому, що ми завищили кількість необхідних кроків. Це, в свою чергу, сталося тому, що ми зробили досить грубу прив'язку$\left|\frac{d^{4}}{dx^{4}}f(x)\right|\leq 36\text{.}$ Якщо ми більш обережні, то ми отримаємо трохи менше$n\text{.}$ Це насправді виходить ¹² що вам потрібно лише$n=10$ наблизити в межах$10^{-6}\text{.}$

Необов'язково — помилка, прив'язана до правила середньої точки

Зараз ми спробуємо розвинути певне розуміння того, чому ми отримали вищевказані експериментальні результати. Почнемо з помилки, породженої одним кроком правила середньої точки. Тобто помилка, введена наближенням

$$\int_{x_0}^{x_1}f(x)\,\, d{x}\approx f(\bar x_1)\Delta x \qquad\hbox{ where } \Delta x=x_1-x_0,\ \bar x_1=\tfrac{x_0+x_1}{2} \nonumber$$

Для цього нам потрібно буде застосувати інтеграцію частинами підлий спосіб. Давайте почнемо з розгляду ¹³ підінтервал$\alpha \leq x \leq \beta$ і давайте називати ширину підінтервалу$2q$ так що$\beta=\alpha+2q\text{.}$ якби ми тепер застосувати правило середньої точки до цього підінтервалу, то ми б написали

\ почати {вирівнювати*}\ int_\ альфа^\ бета f (x)\, d {x} &\ приблизно 2q\ cdot f (\ альфа+q) = q f (\ альфа+q) + q f (\ бета-q)\ кінець {вирівнювати*}

оскільки інтервал має ширину,$2q$ а середина -$\alpha+q=\beta-q\text{.}$

Підлий трюк, який ми будемо використовувати, - це писати

\ почати {вирівнювати*}\ int_\ альфа^\ бета f (x)\, d {x} &=\ int_\ альфа^ {\ альфа+q} f (x)\, d {x} +\ int_ {\ бета-q} ^\ бета-ф (x)\, d {x}\ кінець {вирівнювати*}

а потім вивчіть кожен з інтегралів на правій стороні (використовуючи інтеграцію по частинам) і показати, що вони є кожним з форм

\ begin {align*}\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} &\ приблизно q f (\ alpha+q) +\ текст {маленький термін помилки}\\ int_ {\ бета-q} ^\ бета-ф (x)\, d {x} &\ приблизно q f (\ beta-q) +\ текст {маленький термін помилки}\ кінець {align*}

Давайте застосуємо інтеграцію по частинам до$\int_\alpha^{\alpha+q} f(x)\, d{x}$ — з$u=f(x), \, d{v}=\, d{x}$ таким,$\, d{u}=f'(x)\, d{x}$ і ми зробимо трохи нестандартний вибір$v=x-\alpha\text{:}$

\ почати {вирівнювати*}\ int_\ альфа^ {\ альфа+q} f (x)\, d {x} &=\ великий [(х-\ альфа) f (x)\ великий] _\ альфа^ {\ альфа+q} -\ int_\ альфа^ {\ альфа+q} (х-\ альфа) f' (x)\, d {x}\\ &= q\ альфа+q) -\ int_\ альфа^ {\ альфа+q} (х-\ альфа) f' (x)\, d {x}\ end {вирівнює*}

Зверніть увагу, що перший термін праворуч - це термін, який нам потрібен, і що наш нестандартний вибір$v$ дозволив нам уникнути введення$f(\alpha)$ терміна.

Тепер знову інтегруйте по частинам, використовуючи$u=f'(x), \, d{v}=(x-\alpha)\, d{x}\text{,}$ так$\, d{u}=f''(x), v = \frac{(x-\alpha)^2}{2}\text{:}$

\ почати {вирівнювати*}\ int_\ альфа^ {\ альфа+q} f (x)\, d {x} &= q f (\ альфа+q) -\ int_\ альфа^ {\ альфа+q} (х-\ альфа) f' (х)\, d {x}\\ &= q f (\ альфа+q) -\ лівий [\ frac {x-\ альфа) ^2} {2} f' (x)\ право] _\ альфа^ {\ альфа+q} +\ int_\ альфа^ {\ альфа+q}\ frac {(x-\ альфа) ^2} f "(x)\, d {x}\\ &= q f (\ альфа+q) -\ frac {q^2} {2} f '(\ альфа) +q) +\ int_\ альфа^ {\ альфа+q}\ розрив {(х-\ альфа) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ end {algin*}

Щоб отримати аналогічний вираз для іншого інтеграла, повторюємо наведені вище дії і отримуємо:

\ begin {align*}\ int_ {\ бета-q} ^\ бета f (x)\, d {x} &= q f (\ бета-q) +\ frac {q^2} {2} f' (\ бета-q) +\ int_ {\ бета-q} ^\ бета\ frac {(x-\ бета) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ end {вирівнювати*}

Тепер складіть разом ці два вирази

$$\begin{align*} \int_\alpha^{\alpha+q} f(x)\, d{x} + \int_{\beta-q}^\beta f(x)\, d{x} &= q f(\alpha+q) + q f(\beta-q) + \frac{q^2}{2}\left( f'(\beta-q)-f'(\alpha+q) \right)\\ & + \int_\alpha^{\alpha+q} \frac{(x-\alpha)^2}{2}f''(x)\, d{x} + \int_{\beta-q}^\beta \frac{(x-\beta)^2}{2}f''(x)\, d{x}\\ \end{align*}$$

Тоді, оскільки$\alpha+q=\beta-q$ ми можемо об'єднати інтеграли з лівого боку та усунути деякі терміни з правого боку:

\ почати {вирівнювати*}\ int_\ альфа^\ бета f (x)\, d {x} &= 2q f (\ альфа+q) +\ int_\ альфа^ {\ альфа+q}\ frac {(x-\ альфа) ^2} {2} f "(x)\, d {x} +\ int_ {\ бета-q} ^\ бета\ frac {(x-)\ бета) ^2} {2} f" (x)\, d {x}\ end {align*}

Трохи переставте цей вираз і візьміть абсолютні значення

\ почати {вирівнювати*}\ лівий|\ int_\ альфа^\ бета f (x)\, d {x} - 2q f (\ альфа+q)\ праворуч | &\ leq\ ліворуч |\ int_\ альфа^ {\ альфа+q}\ frac {(x-\ альфа) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ право| +\ left|\ int_ {\ бета-q} ^\ бета\ гідророзриву {(x-\ бета) ^2} {2} f" (x)\, d {x}\ right|\ end {align*}

де ми також використовували нерівність трикутника ¹⁴. За припущенням$|f''(x)| \leq M$ на інтервалі$\alpha \leq x \leq \beta\text{,}$ так

\ почати {вирівнювати*}\ ліворуч |\ int_\ альфа^\ бета f (x)\, d {x} - 2q f (\ альфа+q)\ праворуч | &\ leq M\ int_\ альфа^ {\ альфа+q}\ frac {(x-\ альфа) ^2}\, d {x} + M\ int_ {\ бета-q} ^\ бета гідророзриву {(х-\ бета) ^2} {2}\, d {x}\\ &=\ гідророзриву {Mq^3} {3} =\ гідророзриву {M (\ бета-\ альфа) ^3} {24}\ end {align*}

де ми використовували на$q = \frac{\beta-\alpha}{2}$ останньому кроці.

Таким чином, на будь-якому проміжку$x_i \leq x \leq x_{i+1}=x_i+\Delta x$

\ begin {align*}\ ліворуч |\ int_ {x_i} ^ {x_ {i+1}} f (x)\, d {x} -\ Дельта х ф\ ліворуч (\ frac {x_i+x_ {i+1}}} {2}\ праворуч)\ праворуч | &\ leq\ frac {M} {24} (\ Дельта х) ^3\ кінець {align*}

Збираючи все разом, ми бачимо, що помилка з використанням правила середньої точки обмежена

\ почати {збирати*}\ ліворуч |\ int_a^b f (x)\, d {x} -\ лівий [f (\ бар x_1) +f (\ бар x_2) +\ cdots +f (\ бар x_n)\ праворуч]\ дельта х\ праворуч |\\ leq\ ліворуч |\ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x)\, d {x} -\ дельта х f (\ бар x_1)\ праворуч | +\ cdots+\ ліворуч |\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\, d {x} -\ Дельта х ф (\ бар x_n)\ праворуч |\\ leq n\ times\ frac {M} {24}\ Дельта x) ^3 = п\ раз\ розриву {M} {24}\ ліворуч (\ frac {b-a} {n}\ праворуч) ^3 =\ frac {M (b-a) ^3} {24 n^2}\ end {збирати*}

в міру необхідності.

Дуже схожий аналіз показує, що, як було зазначено в теоремі 1.11.13 вище,

• загальна похибка, введена трапецієподібним правилом, обмежена$\displaystyle \frac{M}{12}\frac{(b-a)^3}{n^2}\text{,}$
• загальна помилка, введена правилом Сімпсона, обмежена$\displaystyle \frac{M}{180}\frac{(b-a)^5}{n^4}$

Вправи

Нагадаємо, що ми використовуємо$\log x$ для позначення логарифма$x$ з основою.$e\text{.}$ В інших курсах його часто позначають.$\ln x\text{.}$

Етап 1

1

Припустимо, ми наближаємо об'єкт, щоб мати обсяг,$1.5 \mathrm{m}^3\text{,}$ коли його точний обсяг$1.387 \mathrm{m}^3\text{.}$ Дайте відносну похибку, абсолютну похибку та відсоток похибки нашого наближення.

2

Розглянемо наближення$f(x)$,$\displaystyle\int_2^{10} f(x) \, d{x}\text{,}$ де знаходиться функція на графіку нижче.

1. Намалюйте прямокутники, пов'язані з наближенням правила середньої точки та$n=4\text{.}$
2. Намалюйте трапеції, пов'язані з наближенням трапецієподібного правила і$n=4\text{.}$

Вам не потрібно давати наближення.

3

Нехай$f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2\text{.}$

1. Знайдіть розумне значення$M$ таке, що$|f''(x)| \leq M$ для всіх$1 \leq x \leq 6\text{.}$
2. Знайдіть розумне значення$L$ таке, що$|f^{(4)}(x)| \leq L$ для всіх$1 \leq x \leq 6\text{.}$

4

Нехай$f(x) = x\sin x+2\cos x\text{.}$ знайдуть розумну цінність$M$ таку, що$|f''(x)| \leq M$ для всіх$-3 \leq x \leq 2\text{.}$

5

Враховуйте кількість$A=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \, d{x}\text{.}$

1. Знайдіть верхню межу помилки за допомогою правила Сімпсона з$n=4$ наближенням$A$ за допомогою теореми 1.11.13 у тексті.
2. Знайдіть наближення правила Сімпсона до$A$ використання$n=4\text{.}$
3. Що таке (фактична) абсолютна похибка в наближенні правила Сімпсона$A$ з$n=4\text{?}$

6

Дайте$f(x)$ таку функцію, що:

• $f''(x) \leq 3$для кожного$x$ в$[0,1]\text{,}$ і
• похибка при використанні трапецієподібного правила, наближаючись$\displaystyle\int_0^1 f(x) \, d{x}$ з$n=2$ інтервалами, точно$\dfrac{1}{16}\text{.}$

7

Припустимо, мамі менше 100 років, а мені менше 200 років. ¹⁵ Ми їдемо кудись із цим. Хто старший?

8

1. True або False: для фіксованих позитивних констант$M\text{,}$$n\text{,}$$a\text{,}$ і$b\text{,}$ з$b \gt a\text{,}$

   $$\dfrac{M}{24}\dfrac{(b-a)^3}{n^2}\leq \dfrac{M}{12}\dfrac{(b-a)^3}{n^2} \nonumber$$

2. True або False: для функції$f(x)$ і фіксованих констант$n\text{,}$$a\text{,}$ і$b\text{,}$ з$b \gt a\text{,}$$n$ -інтервалом серединної точки наближення$\displaystyle\int_a^b f(x) \, d{x}$ є більш точним, ніж$n$ -інтервал трапецієподібного наближення.

9 (✳)

Вирішіть, чи є таке твердження істинним чи хибним. Якщо помилково, наведіть контрприклад. Якщо true, надайте коротке обґрунтування.

Коли$f(x)$ позитивний і увігнутий вгору, будь-яке наближення трапецієподібного правила для$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\, d{x}$ буде верхньою оцінкою для$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\, d{x}\text{.}$

10

Дайте многочлен$f(x)$ з властивістю, що наближення правила Сімпсона$\displaystyle\int_a^b f(x) \, d{x}$ є точним для всіх$a\text{,}$$b\text{,}$ і$n\text{.}$

Етап 2

Питання 11 і 12 просять вас наблизити заданий інтеграл, використовуючи формули Рівняння 1.11.2, 1.11.6 і 1.11.9 в тексті.

Питання 13 хоча 17 просять вас приблизити кількість на основі спостережуваних даних.

У питаннях 18 через 24 ми практикуємо пошук меж помилок для наших наближень.

11

Випишіть всі три наближення$\displaystyle\int_0^{30} \frac{1}{x^3+1} \, d{x}$ з$n=6\text{.}$ (Тобто: середина, трапецієподібний і Сімпсон.) Вам не потрібно спрощувати свої відповіді.

12 (✳)

Знайти наближення правила середньої точки до$\displaystyle\int_0^\pi \sin x\, d{x}$ with$n = 3\text{.}$

13 (✳)

Тверда$V$ речовина висотою 40 см, а горизонтальні перерізи - кругові диски. У таблиці нижче наведені діаметри перетинів в сантиметрах з інтервалом 10 см. Використовуйте трапецієподібне правило для оцінки обсягу$V\text{.}$

висота	0	10	20	30	40
діаметр	24	16	10	6	4

14 (✳)

$6$Метрова кедрова колода має поперечні перерізи, які приблизно круглі. Діаметри колоди, виміряні з інтервалом в один метр, наведені нижче:

метрів від лівого кінця колоди	0	1	2	3	4	5	6
діаметр в метрах	1.2	1	0.8	0.8	1	1	1.2

Скористайтеся Правилом Сімпсона, щоб оцінити обсяг журналу.

15 (✳)

Окружність дерева висотою 8 метрів на різній висоті над землею наведена в таблиці нижче. Припустімо, що всі горизонтальні перерізи дерева є круговими дисками.

висота (метри)	0	2	4	6	8
окружність (метри)	1.2	1.1	1.3	0.9	0.2

Використовуйте правило Сімпсона, щоб наблизити обсяг дерева.

16 (✳)

Вимірюючи ділянки, укладені контурами на топографічній карті, геолог визначає площі поперечного перерізу$A$ в$\mathrm{m}^2$ високому пагорбі$60$ м. У таблиці нижче наведена площа поперечного перерізу$A(h)$ на різній$h\text{.}$ висоті. Обсяг пагорба дорівнює$V=\int_0^{60} A(h)\,\, d{h}\text{.}$

$h$	0	10	20	30	40	50	60
$A$	10 200	9 200	8 000	7 100	4 500	2 400	100

1. Якщо геолог використовує трапецієподібне правило для оцінки обсягу пагорба, якою буде їх оцінка, до найближчої 1000$\mathrm{m}^3\text{?}$
2. Якою буде оцінка геолога обсягу пагорба, якщо замість трапецієподібного правила вони використовують Правило Сімпсона?

17 (✳)

Графік нижче застосовується до обох частин (a) і (b).

1. Скористайтеся трапецієподібним правилом,$n = 4\text{,}$ щоб оцінити площу під графіком між ними$x = 2$ та повністю$x = 6\text{.}$ спростити відповідь.
2. Використовуйте Правило Сімпсона, з$n = 4\text{,}$ щоб оцінити площу під графіком між$x = 2$ і$x = 6\text{.}$

18 (✳)

Інтеграл$\displaystyle\int_{-1}^{1} \sin(x^2) \, \, d{x}$ оцінюється за допомогою Midpoint Rule з$1000$ інтервалами. Показати, що абсолютна похибка в цьому наближенні не більше$2\cdot 10^{-6}\text{.}$

Ви можете використовувати той факт, що при наближенні$\int_a^b f(x) \, \, d{x}$ з Правилом середньої точки з використанням$n$ точок абсолютне значення помилки є не більше,$M(b-a)^3/24n^2$ коли$\left|f''(x)\right|\leq M$ для всіх$x\in[a,b]\text{.}$

19 (✳)

Загальна похибка за допомогою правила середньої точки з$n$ підінтервалами для наближення інтеграла$f(x)$$[a,b]$ over обмежена$\dfrac{M (b-a)^3}{(24n^2)}\text{,}$ if$|f''(x)| \le M$ for all$a \le x \le b\text{.}$

Використовуючи цю межу, якщо інтеграл$\displaystyle\int_{-2}^{1} 2x^4 \,\, d{x}$ наближений за допомогою правила середньої точки з$60$ підінтервалами, яка найбільша можлива похибка між наближенням$M_{60}$ і істинним значенням інтеграла?

20 (✳)

Обидві частини цього питання стосуються інтегральної$I = \displaystyle\int_{0}^{2} (x-3)^5\,\, d{x}\text{.}$

1. Запишіть наближення Правила Сімпсона до$I$ з$n=6\text{.}$ Залиште свою відповідь у формі, готовій до калькулятора.
2. Який метод апроксимації$I$ призводить до меншої обмеженої помилки: правило середньої точки з$n=100$ інтервалами, або Правило Сімпсона з$n=10$ інтервалами? Ви можете використовувати формули

   \ begin {збирати*} |E_M|\ ле\ розрив {М (б-а) ^3} {24n^2}\ qquad\ текст {і}\ qquad |E_S|\ ле\ frac {L (b-a) ^5} {180n^4},\ end {збирати*}

   де$M$ є верхньою межею для$|f''(x)|$ і$L$ є верхньою межею для$|f^{(4)}(x)|\text{,}$ і$E_M$ і$E_S$ є абсолютними похибками, що виникають відповідно з правилом середньої точки та правилом Сімпсона.

21 (✳)

Знайдіть межу для помилки в апроксимації$\displaystyle\int_1^5 \frac{1}{x}\,\, d{x}$ за допомогою правила Сімпсона за допомогою пункту$n = 4\text{.}$ Не записуйте наближення правила Сімпсона$S_4\text{.}$

Загалом, помилка в$\int_a^b f(x)\, d{x}$ апроксимації за допомогою правила Сімпсона$n$ кроками обмежена тим$\dfrac{L(b-a)}{180}(\Delta x)^4$, де$\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ і$L\ge |f^{(4)}(x)|$ назавжди.$a\le x\le b\text{.}$

22 (✳)

Знайти межу для помилки в апроксимації

$$\int_0^1 \big(e^{-2x}+3x^3\big)\,\, d{x} \nonumber$$

використовуючи правило Сімпсона з$n = 6\text{.}$ Не записуйте наближення правила Сімпсона$S_n\text{.}$

Загалом, помилка в наближенні$\int_a^b f(x)\, d{x}$ за допомогою правила Сімпсона$n$ кроками обмежена$\dfrac{ L(b-a)}{180}(\Delta x)^4$ де$\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ і$L\ge |f^{(4)}(x)|$ назавжди$a\le x\le b\text{.}$

23 (✳)

Нехай$I=\displaystyle\int_1^2 (1/x)\,\, d{x}\text{.}$

1. Запишіть трапецієподібне наближення$T_4$ для$I\text{.}$ Вас не потрібно спрощувати свою відповідь.
2. Запишіть наближення Сімпсона$S_4$ для$I\text{.}$ Вас не потрібно спрощувати свою відповідь.
3. Без обчислень$I\text{,}$ знайти верхню межу для$|I - S_4|\text{.}$ Ви можете скористатися тим фактом, що якщо$\big|f^{(4)}(x)\big|\le L$ на інтервалі,$[a, b]\text{,}$ то похибка у$S_n$ використанні для наближення$\int_a^b f(x)\,\, d{x}$ має абсолютне значення менше або дорівнює$L(b-a)^5/180n^4\text{.}$

24 (✳)

Функція$s(x)$ задовольняє$s(0)=1.00664\text{,}$$s(2)=1.00543\text{,}$$s(4)=1.00435\text{,}$$s(6)=1.00331\text{,}$$s(8)=1.00233\text{.}$ Крім того, вона, як відомо, задовольняє$\big|s^{(k)}(x)\big|\le \dfrac{k}{1000}$ for$0\le x\le 8$ і всі натуральні числа$k\text{.}$

1. Знайдіть найкращі наближення трапецієподібного правила та правила Сімпсона, для яких ви можете$\displaystyle I=\int_0^8 s(x)\, d{x}\text{.}$
2. Визначте максимально можливі розміри помилок в наближеннях, які ви дали в частині (а). Нагадаємо, що якщо функція$f(x)$ задовольняє$\big|f^{(k)}(x)\big|\le K_k$,$[a,b]\text{,}$ то

   $$\bigg|\int_a^b f(x)\, d{x} -T_n\bigg|\le \frac{K_2(b-a)^3}{12n^2} \quad\hbox{and}\quad \bigg|\int_a^b f(x)\, d{x} -S_n\bigg|\le \frac{K_4(b-a)^5}{180n^4} \nonumber$$

25 (✳)

Розглянемо трапецієподібне правило для складання числових наближень до$\displaystyle\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}$ Похибка для трапецієподібного правила задовольняє$|E_T| \le \dfrac{ M(b - a)^3}{12n^2}$, де$|f''(x)| \le M$$-2 \lt f''(x) \lt 0$ для$a \le x \le b\text{.}$ If for$1 \le x \le 4\text{,}$ знайти значення,$n$ щоб гарантувати, трапецієподібне правило дасть наближення для$\displaystyle\int_1^4 f(x)\, d{x}$ з абсолютна похибка,$|E_T|\text{,}$ менше$0.001\text{.}$

Етап 3

26 (✳)

Басейн має форму, показану на малюнку нижче. Вертикальні поперечні перерізи басейну є напівкруглими дисками. Відстані в футах по всьому басейну наведені на малюнку з інтервалом 2 футів уздовж шістнадцяти футів довжини басейну. Скористайтеся Правилом Сімпсона, щоб оцінити обсяг пулу.

27 (✳)

Шматок дроту довжиною 1м радіусом 1мм робиться таким чином, щоб щільність змінювалася в її поперечному перерізі, але була радіально симетричною (тобто місцева щільність$g(r)$$r$ в${\rm kg/m^3}$ залежить тільки від відстані в мм від центру дроту). Візьміть, враховуючи, що загальна маса$W$ дроту в кг дається

\ begin {збирати*} W=2\ pi 10^ {-6}\ int_0^1 rg (r)\,\, d {r}\ кінець {збирати*}

Дані від виробника наведені нижче:

$r$	0	1/4	1/2	3/4	1
$g(r)$	8051	8100	8144	8170	8190

1. Знайдіть найкраще наближення трапецієподібного правила, яке ви можете отримати на$W$ основі даних у таблиці.
2. Припустимо, що відомо, що$|g'(r)| \lt 200$ і$|g''(r)| \lt 150$ для всіх значень$r\text{.}$ Визначте максимально можливий розмір похибки в наближенні, яке ви дали в частині (а). Нагадаємо, що якщо функція$f(x)$ задовольняє$|f''(x)|\le M$,$[a,b]\text{,}$ то

   \ begin {збирати*} |i-t_n|\ le\ frac {M (b-a) ^3} {12n^2}\ end {збирати*}

   де$I=\int_a^b f(x)\,\, d{x}$ і$T_n$ - це наближення трапецієподібного правила до$I$ використання$n$ підінтервалів.

28 (✳)

Правило Сімпсона можна використовувати для наближення,$\log 2\text{,}$ оскільки$\displaystyle\log 2=\int_1^2\frac{1}{x}\,\, d{x}\text{.}$

1. Використовуйте правило Сімпсона з 6 підінтервалами для наближення$\log 2\text{.}$
2. Скільки субінтервалів потрібно для того, щоб гарантувати, що абсолютна похибка менше$0.00001\text{?}$

Зверніть увагу, що якщо$E_n$ помилка з використанням$n$ підінтервалів,$L$ то$|E_n|\le\dfrac{L(b-a)^5}{180n^4}$ де максимальне абсолютне значення четвертої похідної інтегрується функції$a$ і і$b$ є кінцевими точками інтервалу.

29 (✳)

Дозволяти$I={\displaystyle\int_0^2}\cos(x^2)\, d{x}$ і нехай$S_n$ буде правило Сімпсона наближення до$I$ використання$n$ підінтервалів.

1. Оцінити максимальну абсолютну похибку при використанні,$S_8$ щоб наблизити$I\text{.}$
2. Наскільки великими повинні$n$ бути для того, щоб забезпечити$|I-S_n|\le 0.0001\text{?}$

Примітка: Графік$f''''(x)\text{,}$ де$f(x)=\cos(x^2)\text{,}$ наведено нижче. Абсолютна похибка в наближенні правила Сімпсона обмежена$\dfrac{L(b-a)^5}{180n^4}$ when$|f''''(x)|\le L$ на інтервалі$[a,b]\text{.}$

30 (✳)

Визначте функцію$f(x)$ та інтеграл$I$ за

\ почати {збирати*} f (x) =\ int_0^ {x^2}\ sin (\ sqrt {t})\,\, d {t},\ qquad I=\ int_0^1 f (t)\,\, d {t}\ end {збирати*}

Оцініть, скільки підрозділів потрібно для обчислення$I$ до п'яти десяткових знаків точності за допомогою трапецієподібного правила.

Зверніть увагу, що якщо$E_n$ є похибка з використанням$n$ підінтервалів,$M$ то$|E_n|\le\dfrac{M(b-a)^3}{12n^2\vphantom{\frac{1}{2}}}\text{,}$ де максимальне абсолютне значення другої похідної інтегрується функції$a$ і і$b$ є межею інтеграції.

31

$f(x)$Дозволяти функція ¹⁸ Наприклад,$f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+(1+x)\log|x+1|$ will do, but you don't need to know what $f(x)$ is for this problem. з$f''(x) = \dfrac{x^2}{x+1}\text{.}$

1. Показати, що$|f''(x)| \leq 1$ всякий раз$x$, коли знаходиться в інтервалі$[0,1]\text{.}$
2. Знайти максимальне значення$|f''(x)|$ за інтервал$[0,1]\text{.}$
3. Припускаючи,$M=1\text{,}$ скільки інтервалів ви повинні використовувати для$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x) \, d{x}$ наближення до$10^{-5}\text{?}$
4. Використовуючи значення$M$, знайдене в (b), скільки інтервалів ви повинні використовувати для$\displaystyle\int_0^1 f(x) \, d{x}$ наближення до$10^{-5}\text{?}$

32

Наближення функції$\log x$ з раціональною функцією шляхом наближення інтеграла$\displaystyle\int_1^{x\vphantom{\frac{1}{2}}} \frac{1}{t} \, d{t}$ за допомогою правила Сімпсона. Ваша раціональна функція$f(x)$ повинна наближатися$\log x$ з похибкою не більше 0,1 для будь-якої$x$ в інтервалі$[1,3]\text{.}$

33

Використовуючи наближення площі під кривою,$\dfrac{1}{x^2+1}\text{,}$ показують, що константа$\arctan2$ знаходиться в інтервалі$\left[\dfrac{\pi}{4}+0.321,\, \dfrac{\pi}{4}+0.323\right]\text{.}$

Ви можете припустити використання без доказів того, що$\displaystyle\frac{d^{4}}{dx^{4}}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\} = \dfrac{24(5x^4-10x^2+1)}{(x^2+1)^5}\text{.}$ Ви можете використовувати калькулятор, але лише для додавання, віднімання, множення та ділення.

1. Ми приносимо вибачення за те, що тут трохи неохайно - але ми просто хочемо сказати, що це може бути дуже важко або навіть неможливо написати деякі інтеграли як деяке кінцевий розмір вираз, що включає поліноми, експоненціальні числа, логарифми та тригонометричні функції. Ми не хочемо вступати в обговорення обчислюваності, хоча це дуже цікава тема.
2. На щастя, дуже легко написати програму, щоб застосувати правило середньої точки.
3. Цей спосіб ще називають «трапецієподібним правилом» і «правилом трапеції».
4. Трапеція - це чотиристоронній багатокутник, подібний прямокутнику. Але, на відміну від прямокутника, верх і низ трапеції не обов'язково повинні бути паралельними.
5. Правило Сімпсона названо на честь англійського математика 18 століття Томаса Сімпсона, незважаючи на його використання століттям раніше німецьким математиком і астрономом Йоганнесом Кеплером. У багатьох німецьких текстах правило часто називають правилом Кеплера.
6. Існує легке узагальнення правила Сімпсона, яке використовує кубіку замість параболи. Він відомий як друге правило Сімпсона і правило Сімпсона$\frac38$. Хоча можна просунути цей підхід далі (використовуючи квартики, квінтики тощо), це іноді може призвести до більших помилок - зацікавлений читач повинен шукати феномен Рунге.
7. Дійсно, навіть поза «реальним світом» багатьох застосувань у текстах обчислення першого року, деякі методи, які ми описали, використовуються реальними людьми (такими як суднобудівники, інженери та геодезисти) для оцінки площ та обсягів реальних об'єктів!
8. Існує варіант цього трюку, який працює навіть тоді, коли ви не знаєте відповіді на інтеграл завчасно. Припустимо, що ви підозрюєте, що наближення задовольняє$M_n=A+K\tfrac{1}{n^k}$ where $A$ is the exact value of the integral and suppose that you don't know the values of $A\text{,}$ $K$ and $k\text{.}$ Then $M_{n}-M_{2n} =K\tfrac{1}{n^k}-K\tfrac{1}{(2n)^k} =K\big(1-\tfrac{1}{2^k}\big)\tfrac{1}{n^k}$ so plotting $y=\log(M_{n}-M_{2n})$ against $x=\log n$ gives the straight line $y=\log \big[K\big(1-\frac{1}{2^k}\big)\big] -kx\text{.}$
9. Зараз настав час для швидкого перегляду логарифмів — див. «Вихоровий огляд логарифмів» у розділі 2.7 тексту CLP-1.
10. Лінійна регресія не є частиною цього курсу, оскільки її виведення вимагає деякого багатоваріантного обчислення. Це дуже стандартна методика в статистиці.
11. Це наш улюблений біговий приклад інтеграла, який неможливо оцінити алгебраїчно - нам потрібно використовувати числові методи.
12. Автори перевірили це емпіричним шляхом.
13. Ми вибрали цей інтервал, так що у нас не було багато індексів плаваючі навколо в алгебрі.
14. Нерівність трикутника говорить про те, що для будь-яких дійсних чисел$x,y$ $|x+y| \leq |x| + |y|.$