1.10: Часткові дроби

Часткові дроби - це назва, яка надається техніці інтеграції, яка може бути використана для інтеграції будь-якої раціональної функції ¹. Ми вже знаємо, як інтегрувати деякі прості раціональні функції

\ begin {вирівнювати*}\ int\ розрив {1} {x}\, d {x} &=\ log|x|+C &\ int\ гідророзриву {1} {1+x^2}\, d {x} &=\ арктан (x) +C\ кінець {вирівнювати*}

Поєднуючи їх з правилом підстановки, ми можемо інтегрувати подібні, але більш складні раціональні функції:

\ почати {вирівнювати*}\ int\ розрив {1} {2x+3}\, d {x} &=\ розрив {1} {2}\ log|2x+3| +C &\ int\ гідророзриву {1} {3+4x^2}\, d {x} &=\ розрив {1} {2\ sqrt {3}}\ арктан\ лівий (\ frac {2} x} {\ sqrt {3}}\ праворуч) +C\ end {align*}

Підсумовуючи такі терміни разом, ми можемо інтегрувати ще більш складні форми.

\ почати {вирівнювати*}\ int\ ліворуч [х +\ розриву {1} {x+1} +\ гідророзриву {1} {x-1}\ праворуч]\, d {x} &=\ розриву {x^2} {2} +\ log|x+1| +\ log|x-1 | +C\ end {align*}

Однак ми (як правило) не представлені з раціональною функцією, красиво розкладеної на акуратні маленькі шматочки. Набагато більш імовірно, що раціональна функція буде записана у вигляді співвідношення двох многочленів. Наприклад:

\ begin {збирати*}\ int\ frac {x^3+x} {x^2-1}\, d {x}\ end {збирати*}

У цьому конкретному прикладі неважко підтвердити, що

\ почати {вирівнювати*} x+\ гідророзрив {1} {x+1} +\ гідророзрив {1} {x-1} &=\ гідророзрив {x (x+1) (x-1) + (x+1)} {(x+1) (x-1)} =\ розрив {x^3+x} {x^2-1}\ кінець {align*}

і, отже,

\ begin {вирівнювати*}\ int\ розрив {x^3+x} {x^2-1}\, d {x} &=\ int\ ліворуч [x +\ гідророзриву {1} {x+1} {x-1}\ праворуч]\, d {x}\\ &=\ розрив {x^2} {2} +\ log|x+1| +\ журнал|x-1| +C\ end {вирівнювати*}

Звичайно, йти в цьому напрямку (від суми термінів до єдиної раціональної функції) просто. Щоб бути корисними, нам потрібно зрозуміти, як це зробити у зворотному напрямку: розкласти задану раціональну функцію на суму простіших частин, які ми можемо інтегрувати.

Припустимо, що$N(x)$ і$D(x)$ є поліномами. Основна стратегія полягає в тому, щоб написати$\frac{N(x)}{D(x)}$ як суму дуже простих, легко інтегрувати раціональних функцій, а саме

1. поліноми - ми побачимо нижче, що вони потрібні, коли ступінь ²$N(x)$ дорівнює або строго перевищує ступінь$D(x)\text{,}$ і
2. раціональні функції особливо простої форми$\frac{A}{(ax+b)^n}$ і
3. раціональні функції форми$\frac{Ax+B}{(ax^2+bx+c)^m}\text{.}$

Ми вже знаємо, як інтегрувати перші дві форми, і побачимо, як інтегрувати третю форму найближчим часом.

Щоб почати досліджувати цей метод розкладання, повернемося до прикладу, який ми щойно побачили.

\ почати {вирівнювати*} x+\ гідророзрив {1} {x+1} +\ гідророзрив {1} {x-1} &=\ гідророзрив {x (x+1) (x-1) + (x+1)} {(x+1) (x-1)} =\ розрив {x^3+x} {x^2-1}\ кінець {align*}

Методика, яку ми будемо використовувати, заснована на двох спостереженнях:

1. Знаменники на лівій стороні - це фактори знаменника з правого$x^2-1=(x-1)(x+1)$ боку.
2. Використовуйте$P(x)$ для позначення многочлена з лівого боку, а потім використовуйте$N(x)$ і$D(x)$ для позначення чисельника і знаменника правої сторони. Тобто

   \ почати {вирівнювати*} P (x) &= x & N (x) &= x ^ 3+x & D (x) &= x^2-1. \ end {вирівнювати*}

   Тоді ступінь$N(x)$ - це сума ступенів$P(x)$ і$D(x)\text{.}$ Це тому, що найвищий ступінь термін в$N(x)$ є$x^3\text{,}$ який походить від$P(x)$ множення на,$D(x)\text{,}$ як ми бачимо в

   \ почати {вирівнювати*} х +\ розрив {1} {x+1} +\ гідророзриву {1} {x-1} &=\ розриву {x} ^ {P (x)}\ накладення {(x+1) (x-1)} ^ {D (x)} + (x-1) + (x+1)} {(x+1)} {x+1) (x-1)} {x-1)} {x-1)} {x-1)} c {x^3+x} {x^2-1}\ end {вирівнювати*}

   Більш загально про наявність многочлена з лівого боку сигналізує з правого боку тим, що ступінь чисельника не менше, ніж ступінь знаменника.

Приклади розкладання часткового дробу

Замість того, щоб писати техніку - відому як розкладання часткового дробу - в повній загальності, ми натомість проілюструємо її через послідовність прикладів.

Приклад 1.10.1$\int\frac{x-3}{x^2-3x+2}\, d{x}$

У цьому прикладі ми інтегруємо$\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{x-3}{x^2-3x+2}\text{.}$

Рішення

• Крок 1. Спочатку перевіряємо, чи$P(x)$ потрібен многочлен. Для цього ми перевіряємо, чи$N(x)\text{,}$ є ступінь чисельника, строго менше, ніж ступінь знаменника.$D(x)\text{.}$ У цьому прикладі чисельник,$x-3\text{,}$ має ступінь перший, і це дійсно строго менше, ніж ступінь знаменника,$x^2-3x+2\text{,}$ який два. У цьому випадку ³ нам не потрібно витягувати многочлен$P(x)$ і ми переходимо до кроку 2.
• Крок 2. Другий крок - множник знаменника

  \ begin {вирівнювати*} x^2-3x+2&= (x-1) (x-2)\ кінець {вирівнювати*}

  У цьому прикладі це досить легко, але в майбутніх прикладах (і цілком можливо в домашніх завданнях, вікторині та іспиті) вам доведеться більше працювати, щоб врахувати знаменник. У додатку А.16 ми написали кілька простих прийомів факторингу поліномів. Ми проілюструємо їх у прикладі 1.10.3 нижче.
• Крок 3. Третій крок - написати$\frac{x-3}{x^2-3x+2}$ в формі

  \ begin {збирати*}\ розрив {x-3} {x^2-3x+2} =\ гідророзриву {A} {x-1} +\ гідророзриву {B} {x-2}\ кінець {збирати*}

  для деяких констант$A$ і$B\text{.}$ більш загальному, якщо знаменник складається з$n$ різних лінійних факторів, то ми розкладаємо співвідношення як

  \ begin {align*}\ text {раціональна функція} &=\ frac {A_1} {\ text {лінійний фактор 1}} +\ frac {A_2} {\ текст {лінійний фактор 2}} +\ cdots +\ frac {a_n} {\ текст {лінійний коефіцієнт n}}\ кінець {align*}

  Щоб продовжити, нам потрібно визначити значення констант,$A,\ B$ і для цього існує кілька різних методів. Ось два методи:

• Крок 3 — Метод алгебри. Цей підхід має перевагу в тому, що концептуально чіткіше і простіше, але недоліком є те, що він більш стомлюючий.

  Для визначення значень констант$A,\ B\text{,}$ ставимо ⁴ правої сторони назад над загальним знаменником.$(x-1)(x-2)\text{.}$

  \ begin {збирати*}\ гідророзриву {x-3} {x^2-3x+2} =\ розрив {A} {x-1} +\ розриву {B} {x-2} =\ розриву {А (x-2) +B (x-1)} {(x-1) (x-2)}\ кінець {збирати*}

  Дріб у крайньому лівому куті такий же, як дріб на крайньому правому куті, якщо і тільки тоді, коли їх чисельники однакові.

  $$\begin{align*} x-3&=A(x-2)+B(x-1)\\ \end{align*}$$

  Напишіть праву частину як многочлен в стандартній формі (тобто зібрати всі$x$ терміни і всі постійні терміни)

  \ begin {вирівнювати*} х-3& =( A+B) х + (-2A-B)\ кінець {вирівнювати*}

  Щоб ці два поліноми були однаковими, коефіцієнт$x$ на лівій стороні і коефіцієнт$x$ на правій стороні повинні бути однаковими. Аналогічно повинні збігатися коефіцієнти$x^0$ (тобто постійні члени). Це дає нам систему з двох рівнянь.

  \ begin {вирівнювати*} A+B & = 1 & -2A-B&=-3\ кінець {вирівнювати*}

  у двох невідомих$A,B\text{.}$ Ми можемо вирішити цю систему

  • використовуючи перше рівняння, а саме$A+B=1\text{,}$ визначити$A$ в терміні$B\text{:}$

    \ begin {збирати*} A=1-B\ end {збирати*}

  • Підставляючи це рівняння, що залишилося, виключає$A$ від другого рівняння, залишаючи одне рівняння в одному невідомому,$B\text{,}$ яке потім можна вирішити для$B\text{:}$

    \ begin {align*} -2A-B&=-3 &\ текст {замінити $A = 1-B$}\\ -2 (1-B) -B = -3 &\ текст {очистити}\\ -2+B &=-3 &\ текст {так $B = -1$}\ end {align*}

  • Як тільки ми знаємо,$B\text{,}$ ми можемо замінити його назад,$A=1-B$ щоб отримати$A\text{.}$

    \ begin {збирати*} A=1-B=1- (-1) =2\ кінець {збирати*}

  Звідси

  \ begin {збирати*}\ гідророзриву {x-3} {x^2-3x+2} =\ гідророзриву {2} {x-1} -\ гідророзриву {1} {x-2}\ кінець {збирати*}

• Крок 3 - Підлий метод. Це вимагає трохи більше роботи, щоб зрозуміти, але він більш ефективний, ніж метод алгебри.

  Бажаємо знайти$A$ і$B$ для чого

  \ begin {збирати*}\ розрив {x-3} {(x-1) (x-2)}} =\ розрив {A} {x-1} +\ розриву {B} {x-2}\ end {gather*}

  Зверніть увагу, що знаменник з лівого боку був написаний у факторованому вигляді.

  • Для визначення$A\text{,}$ множимо обидві сторони$A$ рівняння на знаменник, який є$x-1\text{,}$

    \ begin {збирати*}\ розрив {x-3} {x-2} =A+\ frac {(x-1) B} {x-2}\ кінець {збирати*}

    і тоді ми повністю виключаємо$B$ з рівняння, оцінюючи на$x=1\text{.}$$x$ Це значення вибирається зробити$x-1=0\text{.}$

    \ begin {збирати*}\ розрив {x-3} {x-2}\ bigg|_ {x = 1} =A+\ розриву {(x-1) B} {x-2}\ bigg|_ {x=1}\ означає A =\ frac {1-3} {1-2} = 2\ кінець {збирати*}

  • Для визначення$B\text{,}$ множимо обидві сторони$B$ рівняння на знаменник, який є$x-2\text{,}$

    \ begin {збирати*}\ розрив {x-3} {x-1} =\ frac {(x-2) A} {x-1} + B\ end {збирати*}

    і тоді ми повністю виключаємо$A$ з рівняння, оцінюючи на$x=2\text{.}$$x$ Це значення вибирається зробити$x-2=0\text{.}$

    \ begin {збирати*}\ розрив {x-3} {x-1}\ bigg|_ {x = 2} =\ frac {(x-2) A} {x-1}\ bigg|_ {x=2} +B\ означає B =\ frac {2-3} {2-1} = -1\ кінець {збирати*}

  Отже, ми маємо (на щастя послідовну відповідь)

  \ begin {збирати*}\ гідророзриву {x-3} {x^2-3x+2} =\ гідророзриву {2} {x-1} -\ гідророзриву {1} {x-2}\ кінець {збирати*}

  Зверніть увагу, що незалежно від того, який метод ми використовуємо для пошуку констант, ми можемо легко перевірити нашу відповідь, підсумовуючи терміни разом:

  \ begin {вирівнювати*}\ гідророзриву {2} {x-1} -\ гідророзриву {1} {x-2} &=\ гідророзриву {2 (x-2)} {x-2) (x-1)}\\ & =\ гідророзриву {2x-4-x+1} {x^2-3x+2} =\ розрив {x-3} {x^2-3x+2}\ перевірка позначка\ кінець {align*}

• Крок 4. Останнім кроком є інтеграція.

  \ почати {вирівнювати*}\ int\ розрив {x-3} {x^2-3x+2}\, d {x} & =\ int\ гідророзриву {2} {x-1}\, d {x} +\ int\ frac {-1} {x-2}\\ & =2\ log|x-1 |-\ log|x-2|C\ кінець {align*}

Мабуть, перше, що ви помітите, це те, що цей процес займає досить багато кроків ⁵. Однак жоден крок не є таким складним; для цього потрібна лише практика. З урахуванням сказаного, давайте зробимо інший, трохи складніший, один.

Приклад 1.10.2$\int\frac{3x^3-8x^2+4x-1}{x^2-3x+2}\, d{x}$

У цьому прикладі ми інтегруємо$\frac{N(x)}{D(x)} =\frac{3x^3-8x^2+4x-1}{x^2-3x+2}\text{.}$

Рішення

• Крок 1. Спочатку ми перевіряємо, чи ступінь чисельника$N(x)$ строго менше, ніж ступінь знаменника.$D(x)\text{.}$ У цьому прикладі чисельник,$3x^3-8x^2+4x-1\text{,}$ має ступінь три, а знаменник$x^2-3x+2\text{,}$ має ступінь два. Як$3\ge 2\text{,}$ ми повинні здійснити перший крок.

  Мета першого кроку - написати$\frac{N(x)}{D(x)}$ в формі

  \ begin {збирати*}\ розрив {N (x)} {D (x)} =P (x) +\ frac {R (x)} {D (x)}\ кінець {збирати*}

  з$P(x)$ будучи поліном і$R(x)$ будучи поліномом ступеня строго менший за ступінь$D(x)\text{.}$ правої сторони,$\frac{P(x)D(x)+R(x)}{D(x)}\text{,}$ тому ми повинні висловити чисельник у вигляді$N(x)=P(x)D(x)+R(x)\text{,}$ з$P(x)$ і$R(x)$ будучи поліномами і зі ступенем$R$ будучи строго меншим за ступінь$D\text{.}$$P(x)D(x)$ - це сума виразів виду$ax^n D(x)\text{.}$ Ми хочемо витягнути з чисельника якомога більше виразів цієї форми,$N(x)\text{,}$ залишивши лише низький ступінь залишку$R(x)\text{.}$

  Ми робимо це, використовуючи довгий ділення - той самий довгий поділ, який ви вивчили в школі, але з базою 10 замінено на$x\text{.}$

  • Ми починаємо з спостереження, що, щоб отримати від найвищого ступеня члена в знаменнику ($x^2$) до найвищого ступеня в чисельнику ($3x^3$), ми повинні помножити його на$3x\text{.}$ Отже, ми пишемо,

    

    У вищевказаному виразі знаменник знаходиться зліва, чисельник - праворуч і$3x$ пишеться над терміном найвищого порядку чисельника. Завжди ставте нижчі повноваження$x$ праворуч від вищих сил$x$ — це відображає те, як ви робите довгий поділ з числами; нижчі повноваження десяти сидять праворуч від вищих сил десяти.

  • Тепер віднімаємо$3x$ раз знаменник,$x^2-3x+2\text{,}$ який є$3x^3-9x^2+6x\text{,}$ з чисельника.

    

  • Це залишило залишок від$x^2-2x-1\text{.}$ Щоб отримати від члена найвищого ступеня в знаменнику ($x^2$) до найвищого ступеня в залишку ($x^2$), ми повинні помножити на$1\text{.}$ Отже, ми пишемо,

    

  • Тепер віднімаємо$1$ раз знаменник,$x^2-3x+2\text{,}$ який є$x^2-3x+2\text{,}$ з залишку.

    

  • Це залишає залишок$x-3\text{.}$ Оскільки залишок має ступінь,$1\text{,}$ яка менша за ступінь знаменника (будучи ступінь 2), ми зупиняємося.
  • У цьому прикладі, коли ми віднімали$3x(x^2-3x+2)$ і$1(x^2-3x+2)$ з$3x^3-8x^2+4x-1$ ми закінчилися з$x-3\text{.}$ That is,

    \ почати {вирівнювати*} &3x^3-8x^2+4x-1\ -\ 3x (x^2-3x+2)\ -\ 1 (x^2-3x+2)\\ &\ hskip2.5in= х-3\ кінець {вирівнювати*}

    або, збираючи два члени, пропорційні$(x^2-3x+2)$

    \ почати {збирати*} 3x^3-8x^2+4x-1\ -\ (3x+1) (x^2-3x+2)\ =\ x-3\ end {збирати*}

    Переміщення$(3x+1)(x^2-3x+2)$ в праву сторону і ділення всього рівняння на$x^2-3x+2$ дає

    \ begin {збирати*}\ розрив {3x^3-8x^2+4x-1} {x^2-3x+2}\ =\ 3x+1\ +\\ гідророзриву {x-3} {x^2-3x+2}\ кінець {збирати*}

    І ми можемо легко перевірити цей вираз, просто підсумовуючи два терміни на правій стороні.

  Ми написали integrand у формі$\frac{N(x)}{D(x)}=P(x)+\frac{R(x)}{D(x)},$ зі ступенем$R(x)$ строго меншою, ніж ступінь$D(x)\text{,}$ якої є те, що ми хотіли. Зауважте, що$R(x)$ це остаточний залишок процедури довгого поділу і$P(x)$ знаходиться у верхній частині обчислення довгого ділення. Це кінець кроку 1. Of! Ви обов'язково повинні практикувати цей крок.

• 

• Крок 2. Другий крок - множник знаменника

  \ begin {збирати*} x^2-3x+2= (x-1) (x-2)\ end {збирати*}

  Ми вже зробили це в прикладі 1.10.1.
• Крок 3. Третій крок - написати$\frac{x-3}{x^2-3x+2}$ в формі

  \ begin {збирати*}\ розрив {x-3} {x^2-3x+2} =\ гідророзриву {A} {x-1} +\ гідророзриву {B} {x-2}\ кінець {збирати*}

  для деяких констант$A$ і$B\text{.}$ ми вже зробили це в прикладі 1.10.1. Ми знайшли$A=2$ і$B=-1\text{.}$
• Крок 4. Останнім кроком є інтеграція.

  \ почати {вирівнювати*} &\ int\ розрив {3x^3-8x^2+4x-1} {x^2-3x+2}\, d {x}\\ &\ hskip0.5in=\ int\ великий [3х+1\ великий]\, d {x} +\ int\ frac {2} {x-1}\, d {x} +\ int\ frac {2} {x-1}\, d {x} +\ int\ frac {} {x-2}\, d {x}\\ &\ hskip0.5in=\ розриву {3} {2} x^2+x+ 2\ log|x-1|-\ log|x-2|+c\ end {вирівнювати*}

Ви можете бачити, що крок інтеграції досить швидкий — майже вся робота йде в підготовці integrand.

Ось дуже солідний приклад. Вона досить довга і задіяні кроки. Однак, будь ласка, наполегливо. Жоден крок не є занадто складним.

Приклад 1.10.3$\int\frac{x^4+5x^3+16x^2+26x+22}{x^3+3x^2+7x+5}\, d{x}$

У цьому прикладі ми інтегруємо$\frac{N(x)}{D(x)}= \frac{x^4+5x^3+16x^2+26x+22}{x^3+3x^2+7x+5}\text{.}$

Рішення

• Крок 1. Знову починаємо з порівняння ступенів чисельника і знаменника. У цьому прикладі чисельник,$x^4+5x^3+16x^2+26x+22\text{,}$ має ступінь чотири і знаменник,$x^3+3x^2+7x+5\text{,}$ має ступінь три. Як$4\ge 3\text{,}$ ми повинні виконати перший крок, який полягає в$\frac{N(x)}{D(x)}$ написанні у формі

  \ begin {збирати*}\ розрив {N (x)} {D (x)} =P (x) +\ frac {R (x)} {D (x)}\ кінець {збирати*}

  $P(x)$будучи поліном і$R(x)$ будучи поліномом ступеня строго менший за ступінь$D(x)\text{.}$ Цей крок досягається довгим діленням, так само, як ми це робили в прикладі 1.10.3. Ми пройдемо весь процес детально ще раз.

  Насправді - перш ніж читати далі, будь ласка, пройдіть довгий дивізіон. Це хороша практика.

  • Ми починаємо з спостереження, що, щоб отримати від найвищого ступеня члена в знаменнику ($x^3$) до найвищого ступеня в чисельнику ($x^4$), ми повинні помножити на$x\text{.}$ Отже, ми пишемо,

    

  • Тепер віднімаємо$x$ раз знаменник$x^3+3x^2+7x+5\text{,}$, який є$x^4+3x^3+7x^2+5x\text{,}$ з чисельника.

    

  • Залишок був$2x^3+9x^2+21x+22\text{.}$ Щоб отримати від найвищого ступеня члена в знаменнику ($x^3$) до найвищого ступеня члена в залишку ($2x^3$), ми повинні помножити на$2\text{.}$ Отже, ми пишемо,

    

  • Тепер віднімаємо$2$ раз знаменник$x^3+3x^2+7x+5\text{,}$, який є$2x^3+6x^2+14x+10\text{,}$ від залишку.

    

  • Це залишає залишок$3x^2+7x+12\text{.}$ Тому що залишок має ступінь,$2\text{,}$ яка менше, ніж ступінь знаменника, який$3\text{,}$ ми зупиняємося.
  • У цьому прикладі, коли ми віднімали$x(x^3+3x^2+7x+5)$ і$2(x^3+3x^2+7x+5)$ з$x^4+5x^3+16x^2+26x+22$ ми закінчилися з$3x^2+7x+12\text{.}$ That is,

    \ почати {вирівнювати*} &х ^ 4+5x^3+16x^2+26x+22\ -\ x (x^3+3x^2+7x+5)\\ &\ hskip2in\ -\ 2 (x^3+3x^2+7x+5)\\ &\ hskip0.5in = 3х^2+7х+12\ кінець {вирівнювати*}

    або, збираючи два члени пропорційні$(x^3+3x^2+7x+5)$ ми отримуємо

    \ почати {вирівнювати*} &х ^ 4+5x^3+16x^2+26x+22\ -\ (x+2) (x^3+3x^2+7x+5)\\ &\ hskip0.5in=\ 3x^2+7x+12\ кінець {вирівнювати*}

    Переміщення$(x+2)(x^3+3x^2+7x+5)$ в праву сторону і ділення всього рівняння на$x^3+3x^2+7x+5$ дає

    \ begin {збирати*}\ розрив {x^4+5x^3+16x^2+26x+22} {x^3+3x^2+7x+5} =x+2+\ розрив {3x^2+7x+12} {x^3+3x^2+7x+5}\ кінець {збирати*}

  Це форма$\frac{N(x)}{D(x)}=P(x)+\frac{R(x)}{D(x)},$ зі ступенем$R(x)$ строго меншою, ніж ступінь$D(x)\text{,}$ якої ми хотіли. Ще раз спостерігайте, що$R(x)$ це остаточний залишок процедури довгого поділу і$P(x)$ знаходиться у верхній частині обчислення довгого ділення.

  

• Крок 2. Другий крок полягає в факторі знаменника$D(x)=x^3+3x^2+7x+5\text{.}$ У «реальному світі» факторинг поліномів часто дуже важко. На щастя ⁶, це не «реальний світ», і є хитрість, яка допоможе нам знайти цю факторизацію. Читач повинен зайняти деякий час, щоб переглянути Додаток A.16, перш ніж продовжити.
  • Хитрість експлуатує той факт, що більшість поліномів, які з'являються в домашніх завданнях і на тестах, мають цілочисельні коефіцієнти і деякі цілочисельні корені. Будь-який цілий корінь многочлена, який має цілочисельні коефіцієнти, як$D(x)=x^3+3x^2+7x+5\text{,}$ повинен розділити постійний член многочлена точно. Чому це так, пояснюється ⁷ у Додатку А.16.
  • Таким чином, будь-який ціле корінь з$x^3+3x^2+7x+5$ повинні розділити$5$ точно. Таким чином, єдиними цілими числами, які можуть бути коренями,$D(x)$ є$\pm 1$ і$\pm 5\text{.}$ Звичайно, не всі вони дають коріння многочлена - насправді немає ніякої гарантії, що будь-який з них буде. Ми повинні перевірити кожен з них.
  • Щоб перевірити, чи$+1$ є корінь, ми sub$x=1$ в$D(x)\text{:}$

    \ begin {збирати*} D (1) =1^3+3 (1) ^2+7 (1) +5=16\ кінець {збирати*}

    Як$D(1)\ne 0\text{,}$$1$ не корінь$D(x)\text{.}$
  • Щоб перевірити, чи$-1$ є корінь, ми підставимо його в$D(x)\text{:}$

    \ почати {збереть*} D (-1) = (-1) ^3+3 (-1) ^2+7 (-1) +5=-1+3-7+5=0\ кінець {збирати*}

    Як$D(-1)= 0\text{,}$$-1$ є корінь$D(x)\text{.}$ As$-1$ є коренем$D(x)\text{,}$$\big(x-(-1)\big)=(x+1)$ обов'язкового фактора$D(x)$ точно. Ми можемо знову врахувати$(x+1)$ вихід з$D(x)=x^3+3x^2+7x+5$ довгого поділу.
  • Поділ$D(x)$ на$(x+1)$ дає:

    

    Цього разу, коли ми віднімали$x^2(x+1)$$2x(x+1)$ і$5(x+1)$ з$x^3+3x^2+7x+5$ нас закінчили$0$ - як ми знали, що станеться, тому що ми знали, що$x+1$ розділяє$x^3+3x^2+7x+5$ точно. Звідси

    \ почати {збирати*} x^3+3x^2+7x+5\ -\ x^2 (x+1)\ -\ 2x (x+1)\ -\ 5 (x+1)\ =\ 0\ кінець {збирати*}

    або

    \ почати {збирати*} x^3+3x^2+7x+5\ =\ x^2 (x+1)\ +\ 2x (x+1)\ +\ 5 (x+1)\ end {збирати*}

    або

    \ почати {збирати*} x^3+3x^2+7x+5= (x^2+2x+5) (x+1)\ end {збирати*}

  • Це ще не зовсім час, щоб зупинитися; ми повинні спробувати фактор квадратичного фактора.$x^2+2x+5\text{.}$ Ми можемо використовувати квадратичну формулу ⁸, щоб знайти коріння$x^2+2x+5\text{:}$

    \ почати {збирати*}\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a} =\ frac {-2\ pm\ sqrt {4-20}} {2} =\ frac {-2\ pm\ sqrt {-16}} {2}\ кінець {збори*}

    Оскільки цей вираз містить квадратний корінь від'ємного числа, рівняння не$x^2+2x+5=0$ має дійсних розв'язків; без використання комплексних чисел$x^2+2x+5$ не може бути враховано.

  Ми дійшли до кінця кроку 2. На даний момент у нас є

  \ begin {збирати*}\ розрив {x^4+5x^3+16x^2+26x+22} {x^3+3x^2+7x+5} =x+2+\ розрив {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)}\ кінець {збирати*}

• Крок 3. Третій крок - написати$\frac{3x^2+7x+12}{(x+1)(x^2+2x+5)}$ в формі

  \ begin {збирати*}\ розрив {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} =\ розрив {A} {x+1} +\ розрив {Bx+C} {x^2+2x+5}\ кінець {збирати*}

  для деяких констант$A\text{,}$$B$ і$C\text{.}$

  Зверніть увагу, що чисельник другого члена$Bx+C$ з правого боку - це не просто константа. Це ступеня перший, який точно на один менше, ніж ступінь знаменника,$x^2+2x+5\text{.}$ більш загалом, якщо знаменник складається з$n$ різних лінійних факторів і$m$ різних квадратичних факторів, то ми розкладаємо співвідношення як

  \ begin {align*}\ текст {раціональна функція} &=\ frac {A_1} {\ текст {лінійний фактор 1}} +\ розрив {A_2} {\ текст {лінійний фактор 2}} +\ cdots +\ frac {a_n} {\ текст {лінійний фактор n}}\\ &\ фантом {=} +\ frac {B_1x+C_1} {\ текст {квадратичний коефіцієнт 1}} +\ frac {B_2x+C_2} {\ text {квадратичний коефіцієнт 2}} +\ cdots\\ &\ hskip2in+\ frac {B_ MX+c_m} {\ text {квадратичний множник m}}\ end {align*}

  Для визначення значень констант$A,\ B,\ C\text{,}$ ставимо праву сторону назад над загальним знаменником.$(x+1)(x^2+2x+5)\text{.}$

  \ почати {вирівнювати*}\ розрив {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} & =\ розрив {А} {x+1} +\ розриву {Bx+C} {x^2+2x+5}\\ & =\ розрив {A (x^2+2x+5) + (Вх+С) (x+1}) {(x+1) (x^2+2x+5)}\ end {вирівнювати*}

  Дріб у крайньому лівому куті такий же, як дріб на крайньому правому куті, якщо і тільки тоді, коли їх чисельники однакові.

  \ почати {збирати*} 3x^2+7x+12=A (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)\ кінець {збереть*}

  Знову ж таки, як і в прикладі 1.10.1, існує пара різних способів визначення значень$A\text{,}$$B$ і$C$ з цього рівняння.

• Крок 3 — Метод алгебри. Концептуально найяснішою процедурою є написання правого боку як полінома в стандартній формі (тобто зібрати всі$x^2$ терміни, всі$x$ терміни і всі постійні терміни)

  \ почати {збирати*} 3x^2+7x+12= (A+B) x^2+ (2A+B+C) x+ (5A+C)\ кінець {збереть*}

  Щоб ці два поліноми були однаковими, коефіцієнт$x^2$ на лівій стороні і коефіцієнт$x^2$ на правій стороні повинні бути однаковими. Аналогічно коефіцієнти$x^1$ повинні збігатися і коефіцієнти$x^0$ повинні збігатися.

  Це дає нам систему з трьох рівнянь

  \ begin {вирівнювати*} A+B = 3 && 2A+B+C = 7 && 5A+C = 12\ кінець {вирівнювати*}

  у трьох невідомих$A,B,C\text{.}$ Ми можемо вирішити цю систему

  • використовуючи перше рівняння, а саме$A+B=3\text{,}$ визначити$A$ в терміні$B\text{:}$$\ \ A=3-B\text{.}$
  • Підстановка$A=3-B$ в інші два рівняння виключає ці два$A$ рівняння з цих двох рівнянь, залишаючи два рівняння в двох невідомих$B$ і$C\text{.}$

    \ begin {вирівнювати*} & A = 3-B\ qquad 2A+B+C & = 7\ quad & 5A+C & = 12\\ &\\ Стрілка вправо & 2 (3-B) +B+C & = 7 &\! \! \! \! \! \! 5 (3-B) +C & = 12\\ &\ Стрілка вправо & -B+C & = 1 & -5B+C & = -3\ кінець {вирівнювати*}

  • Тепер ми можемо використовувати рівняння$-B+C=1\text{,}$ для визначення з$B$ точки зору$C\text{:}$$B=C-1\text{.}$
  • Підстановка цього в решту рівняння усуває$B$ залишення рівняння в одному невідомому$C\text{,}$, яке легко вирішити.

    \ begin {вирівнювати*} & B & B & = C-1\ qquad & -5B+C & = -3\\ &\\ Стрілка вправо\ qquad & & & -5 (C-1) +C & = -3\\ &\\\ Стрілка вправо & & & -4C&=-8\ кінець {вирівнювати*}

  • Так$C=2\text{,}$ і то$B=C-1=1\text{,}$ і тоді$A=3-B=2\text{.}$ Звідси

    \ begin {збереть*}\ розрив {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} =\ розрив {2} {x+1} +\ розрив {x+2} {x^2+2x+5}\ кінець {збирати*}

• Крок 3 - Підлий метод. Хоча вищевказаний спосіб прозорий, він досить виснажливий. Можливо, краще використовувати другу, більш підступну і ефективну, процедуру. Для того, щоб

  \ почати {збирати*} 3x^2+7x+12=A (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)\ кінець {збереть*}

  рівняння має утримуватися для всіх значень$x\text{.}$

  • Зокрема, він повинен бути істинним для$x=-1\text{.}$ Коли$x=-1\text{,}$$(x+1)$ множення коефіцієнта рівно$Bx+C$ дорівнює нулю. Отже,$B$ і$C$ зникайте з рівняння, залишаючи нам легке рівняння для вирішення$A\text{:}$

    \ begin {вирівнювати*} 3x^2+7x+12\ Big|_ {x = -1} & =\ Великий [A (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)\ Великий] _ {x = -1}\\ &\ Довгострілка 8=4A\ Довга стрілка A=2\ кінець {align*}

  • Sub це значення$A$ назад в і спростити.

    \ почати {вирівнювати*} 3x^2+7x+12&= 2 (x^2+2x+5) + (Вх+С) (x+1)\ x ^ 2+3x+2&= (Вх+С) (x+1)\ кінець {вирівнювати*}

    Оскільки$(x+1)$ це фактор з правого боку, він також повинен бути фактором з лівого боку.

    \ почати {збирати*} (x+2) (x+1) = (Bx+C) (x+1)\\ квадроцикл\ Стрілка вправо\ квадроцикл (x+2) = (Bx+C)\ квад\ Стрілка вправо\ квад B = 1,\ C = 2\ кінець {збирати*}

  Отже, знову ми виявляємо, що

  \ begin {збирати*}\ розрив {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} =\ розрив {2} {x+1} +\ frac {x+2} {x^2+2x+5}\ галочка\ кінець {збирати*}

  Таким чином, наш integrand може бути записаний як

  \ begin {збирати*}\ розрив {x^4+5x^3+16x^2+26x+22} {x^3+3x^2+7x+5} =х+2+\ розрив {2} {x+1} +\ розрив {x+2} {x^2+2x+5}. \ end {збирати*}

• Крок 4. Тепер ми можемо нарешті інтегруватися! Перші дві штуки легко.

  \ почати {збирати*}\ int (x+2)\, d {x} =\ розрив {1} {2} x^2x\ qquad\ int\ frac {2} {x+1}\, d {x} = 2\ log|x+1|\ кінець {збирати*}

  (Ми залишаємо довільну константу до кінця обчислення.)

  Остаточний шматок трохи складніше. Ідея полягає в тому, щоб завершити квадрат ⁹ в знаменнику

  \ begin {збирати*}\ розрив {x+2} {x^2+2x+5} =\ розрив {x+2} {(x+1) ^2+4}\ кінець {збирати*}

  а потім зробити зміну змінних, щоб зробити дріб виглядати як$\frac{ay+b}{y^2+1}\text{.}$ У цьому випадку

  \ begin {збирати*}\ розрив {x+2} {(x+1) ^2+4} =\ гідророзриву {1} {4}\ гідророзриву {x+2} {(\ frac {x+1} {2}) ^2+1}\ кінець {збирати*}

  тому ми робимо зміну змінних$y=\frac{x+1}{2},\, d{y}=\frac{dx}{2},\ x=2y-1,\, d{x}=2\,\, d{y}$

  \ почати {вирівнювати*}\ int\ розрив {x+2} {(x+1) ^2+4}\, d {x} &=\ гідророзриву {1} {4}\ int\ гідророзриву {x+2} {(\ frac {x+1} {2})} ^2+1}\, d {x}\\ &=\ гідророзриву {1} {4}\ int\ frac {(2y-1) +2} {y^2+1}\ ,2\,\, d {y}\ =\\ гідророзриву {1} {2}\ int\ frac {2y+1} {y^2+1}\,\, d {y}\\ &=\ int\ frac {y} {y^2+1}\,\, d {y} +\ frac {1} {y^2+1}\, d {y} +\ frac {1}}\ int\ frac {1} {y^2+1}\,\, d {y}\ end {align*}

  Обидва інтеграли легко оцінюються, використовуючи підстановку$u=y^2+1\text{,}$$\, d{u}=2y\,\, d{y}$ для першого.

  \ begin {вирівнювати*}\ int\ frac {y} {y^2+1}\,\, d {y} &\ =\\ int\ гідророзриву {1} {u}\, d {u}} {2}\ =\ frac {1} {2}\ log|u|=\ frac {1} {2}\ лог (y^2+1)\ & =\\ гідророзриву {1} {2}\ лог\ Великий [\ Великий (\ Frac {x+1} {2}\ Великий) ^2+1\ Великий]\\ гідророзриву {1} {2}\ int\ frac {1} {y^2+1}\, d {y} &\ =\\ гідророзриву {1} {2}\ арктин y\ =\ frac {1} c {1} {2}\ арктан\ Великий (\ розрив {x+1} {2} }\ Великий)\ кінець {вирівнювати*}

  Ось нарешті все. Збираємо всі шматки разом

  \ begin {збирати*}\ int\ гідророзриву {x^4\! +\! 5x^3\! +\! 16х^2\! +\! 26x+22} {x^3+3x^2+7x+5}\, d {x} =\ розрив {1} {2} x^2\! +2x+2\ log|x+1|\\\ +\ гідророзриву {1} {2}\ журнал\ Великий [\ Великий (\ Frac {x\! +\! 1} {2}\ Великий) ^2+1\ Великий] +\ розрив {1} {2}\ арктан\ Великий (\ frac {x\! +\! 1} {2}\ Великий) +C\ end {збирати*}

Найкраще після роботи через кілька приємних довгих прикладів - це зробити ще один приємний довгий приклад - це відмінна практика ¹⁰. Ми рекомендуємо читачеві спробувати проблему, перш ніж читати наше рішення.

Приклад 1.10.4$\int\frac{4x^3+23x^2+45x+27}{x^3+5x^2+8x+4}\, d{x}$

У цьому прикладі ми інтегруємо$\frac{N(x)}{D(x)}= \frac{4x^3+23x^2+45x+27}{x^3+5x^2+8x+4}\text{.}$

• Крок 1. Ступінь чисельника$N(x)$ дорівнює ступеня знаменника,$D(x)\text{,}$ тому перший крок потрібно записати$\frac{N(x)}{D(x)}$ у вигляді

  \ begin {збирати*}\ розрив {N (x)} {D (x)} =P (x) +\ frac {R (x)} {D (x)}\ кінець {збирати*}

  з$P(x)$ будучи поліном (який повинен бути ступеня$0\text{,}$ тобто просто константа) і$R(x)$ будучи поліном ступеня строго менший$D(x)\text{.}$ за ступінь За довгим діленням

  

  тому

  \ begin {збирати*}\ розрив {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4} =4+\ розрив {3x^2+13x+11} {x^3+5x^2+8x+4}\ кінець {збирати*}

• Крок 2. Другий крок - факторизація$D(x)=x^3+5x^2+8x+4\text{.}$
  • Для початку спробуємо вгадати цілочисельний корінь. Будь-який цілий корінь$D(x)$ повинен розділити постійний член,$4\text{,}$ точно. Лише$\pm 1,\ \pm2,\ \pm4$ можуть бути цілими корінням$x^3+5x^2+8x+4\text{.}$
  • Ми перевіряємо, чи$\pm 1$ є коріння.

    \ begin {вирівнювати*} D (1) &= (1) ^3+5 (1) ^2+8 (1) +4\ ne 0&&\ Стрілка вправо\\ текст {$x=1$ не є коренем}\\ D (-1) &= (-1) ^3\! +\! 5 (-1) ^2\! +\! 8 (-1)\! +\! 4= 0\! \! \! \! &&\ Стрілка вправо\\ текст {$x=-1$ є коренем}\ end {align*}

    Так$(x+1)$ треба розділити$x^3+5x^2+8x+4$ рівно.
  • За тривалим поділом

    

    тому

    \ почати {вирівнювати*} x^3+5x^2+8x+4&= (x+1) (x^2+4x+4)\ &= (x+1) (x+2) (x+2)\ кінець {вирівнювати*}

  • Зверніть увагу, що ми могли б замість цього перевірити, чи$\pm 2$ є корінням чи ні.

    \ begin {вирівнювати*} D (2) &= (2) ^3+5 (2) ^2+8 (2) +4\ ne 0&&\ Стрілка вправо\\ текст {$x=2$ не є коренем}\\ D (-2) &= (-2) ^3\! +\! 5 (-2) ^2\! +\! 8 (-2)\! +\! 4= 0\! \! \! \! &&\ Стрілка вправо\\ текст {$x=-2$ є коренем}\ end {align*}

    Тепер ми знаємо, що обидва$-1$ і$-2$ є корінням$x^3 + 5x^2 + 8x + 4$ і, отже, обидва$(x+1)$ і$(x+2)$ є факторами$x^3 + 5x^2 + 8x + 4\text{.}$ Тому що$x^3 + 5x^2 + 8x + 4$ має ступінь третій, а коефіцієнт$x^3$ є$1\text{,}$ ми повинні мати$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x+1)(x+2)(x+a)$ для деякої постійної$a\text{.}$ Множення правої сторони показує, що постійний термін$2a\text{.}$ так$2a=4$ і$a=2\text{.}$

  Це кінець кроку 2. Тепер ми знаємо, що

  \ почати {збереть*}\ розрив {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4}\ =\ 4+\ розрив {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2}\ кінець {збирати*}

• Крок 3. Третій крок - написати$\frac{3x^2+13x+11}{(x+1)(x+2)^2}$ в формі

  \ begin {вирівнювати*}\ розрив {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2} &=\ розрив {A} {x+1} +\ розрив {B} {x+2} +\ розрив {C} {(x+2) ^2}\ кінець {вирівнювати*}

  для деяких констант$A\text{,}$$B$ і$C\text{.}$

  Зверніть увагу, що на правій руці є два терміни, що виникають з фактора$(x+2)^2\text{.}$ Один має знаменник,$(x+2)$ а один - знаменник.$(x+2)^2\text{.}$ Більш загальним чином, для кожного фактора$(x+a)^n$ в знаменнику раціональної функції з лівого боку ми включаємо

  \ begin {збирати*}\ розрив {A_1} {x+a} +\ розрив {A_2} {(x+a) ^2} +\ cdots +\ розриву {a_n} {(x+a) ^n}\ кінець {збирати*}

  в частковому дробі розкладання на правій стороні ¹¹.

  Для визначення значень констант$A,\ B,\ C\text{,}$ ставимо праву сторону назад над загальним знаменником.$(x+1)(x+2)^2\text{.}$

  \ почати {вирівнювати*}\ розрив {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2} &=\ розриву {A} {x+1} +\ гідророзриву {B} {x+2} +\ розрив {C} {(x+2) ^2}\\ &=\ розрив {A (x+2) ^2+B (x+1) (x+2)) +C (x+1)} {(x+1) (x+2) ^2}\ end {вирівнювати*}

  Дріб у крайньому лівому куті такий же, як дріб на крайньому правому куті, якщо і тільки тоді, коли їх чисельники однакові.

  \ почати {збирати*} 3x^2+13x+11=A (x+2) ^2+B (x+1) (x+2) +C (x+1)\ end {збереть*}

  Як і в попередніх прикладах, існує пара різних способів визначення значень$A\text{,}$$B$ і$C$ з цього рівняння.

• Крок 3 — Метод алгебри. Концептуально найяснішою процедурою є написання правого боку як полінома в стандартній формі (тобто зібрати всі$x^2$ терміни, всі$x$ терміни і всі постійні терміни)

  \ почати {збирати*} 3x^2+13x+11= (A+B) x^2 + (4A+3B+C) х + (4A+2B+C)\ кінець {збирати*}

  Щоб ці два поліноми були однаковими, коефіцієнт$x^2$ на лівій стороні і коефіцієнт$x^2$ на правій стороні повинні бути однаковими. Аналогічно повинні збігатися коефіцієнти$x^1$ і коефіцієнти$x^0$ (тобто постійні члени). Це дає нам систему з трьох рівнянь,

  \ почати {збирати*} A+B = 3\ qquad 4A+3B+C = 13\ qquad 4A+2B+C = 1\ кінець {збереть*}

  у трьох невідомих$A,B,C\text{.}$ Ми можемо вирішити цю систему

  • використовуючи перше рівняння, а саме$A+B=3\text{,}$ визначити$A$ в терміні$B\text{:}$$\ \ A=3-B\text{.}$
  • Підстановка цього в інші рівняння виключає$A\text{,}$ залишення двох рівнянь у двох невідомих.$B,C\text{.}$

    \ почати {збирати*} 4 (3-B) +3B+C = 13\ qquad 4 (3-B) +2B+C = 11\ кінець {збереть*}

    або

    \ begin {збирати*} -B+C = 1\ qquad -2B+C = -1\ кінець {збирати*}

  • Тепер ми можемо вирішити перше з цих рівнянь, а саме$-B+C=1\text{,}$ для з$B$ точки зору$C\text{,}$ дачі$B=C-1\text{.}$
  • Підставляючи це в останнє рівняння, а саме$-2B+C=-1\text{,}$ дає,$-2(C-1)+C=-1$ яке легко вирішується, щоб дати
  • $C=3\text{,}$а потім$B=C-1=2$ і потім$A=3-B=1\text{.}$

  Звідси

  \ почати {вирівнювати*}\ розрив {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4} &= 4+\ розрив {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2}\\ & = 4+\ розриву {1} {x+1} +\ розриву {2} {x+2}\ розрив {3} {(x+2) ^2}\ end {вирівнювати*}

• Крок 3 - Підлий метод. Другий, підступний, метод пошуку$A\text{,}$$B$ і$C$ експлуатує той факт, що$3x^2 + 13x + 11 = A(x+2)^2 + B(x+1)(x+2) + C(x+1)$ повинен бути істинним для всіх значень$x\text{.}$ Зокрема, він повинен бути істинним для$x=-1\text{.}$ Коли$x=-1\text{,}$ коефіцієнт$(x+1)$ множення$B$ і рівно$C$ дорівнює нулю. Отже,$B$ і$C$ зникайте з рівняння, залишаючи нам легке рівняння для вирішення$A\text{:}$

  \ begin {вирівнювати*} 3x^2+13x+11\ Big|_ {x = -1} &=\ Великий [A (x\! +\! 2) ^2+В (х\! +\! 1) (х\! +\! 2) +С (х\! +\! 1)\ Big] _ {x = -1}\\ Довгаста стрілка вправо 1&=A\ end {align*}

  Sub це значення$A$ назад в і спростити.

  \ почати {вирівнювати*} 3x^2+13x+11&= (1) (x+2) ^2+B (x+1) (x+2) +C (x+1)\ 2x^2+9x+7&= B (x+1) (x+2) +C (x+1)\ &= (XB+2B+C) (x+1)\ кінець {вирівнювати*}

  Оскільки$(x+1)$ це фактор з правого боку, він також повинен бути фактором з лівого боку.

  \ почати {вирівнювати*} & (2x+7) (x+1) = (XB+2B+C) (x+1)\\ &\ hskip2in\ Стрілка вправо\ квадрад (2x+7) = (XB+2B+C)\ кінець {вирівнювати*}

  Для коефіцієнтів,$x$ щоб відповідати,$B$ повинні бути$2\text{.}$ Для постійних членів, щоб відповідати,$2B+C$ повинні бути$7\text{,}$ так$C$ повинні бути$3\text{.}$ Отже, ми знову маємо

  \ почати {вирівнювати*}\ розрив {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4} &= 4+\ розрив {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2}\\ & = 4+\ розриву {1} {x+1} +\ розриву {2} {x+2}\ гідророзриву {3} {(x+2) ^2}\ end {вирівнювати*}

• Крок 4. Завершальним кроком є інтеграція

  \ почати {вирівнювати*} &\ int\ розрив {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4}\, d {x}\ &=\ int 4\, d {x} +\ int\ frac {1} {x+1}\, d {x} +\ int\ frac {2} {x+2}\, d {x} x} +\ int\ гідророзриву {3} {(x+2) ^2}\, d {x}\\ &= 4x+\ log|x+1|+2\ log|x+2|-\ гідророзриву {3} {x+2} +C\ end {вирівнювати*}

Метод часткових дробів не обмежується лише проблемою інтеграції раціональних функцій. Є й інші інтеграли - такі як$\int\sec x\, d{x}$ і$\int \sec^3 x\, d{x}$ - які можуть бути перетворені (через підстановки) в інтеграли раціональних функцій. Ми зустріли обидва ці інтеграли в розділах 1.8 та 1.9 про тригонометричні інтеграли та заміни.

Приклад 1.10.5$\int\sec x\, d{x}$

Рішення

У цьому прикладі ми інтегруємо Ще не$\sec x\text{.}$ зрозуміло, що цей інтеграл має відношення до часткових дробів. Щоб дістатися до обчислення часткових дробів, ми спочатку зробимо одну з наших старих замін.

\ begin {align*}\ int\ сек x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\, d {x} &\ text {трохи масажувати вираз}\\ &=\ int\ frac {\ cos x} {\ cos x}\, d {x} &\ текст {заміна $u=\ sin x $, $\, d {u} =\ cos x\, d {x} $}\\ &= -\ int\ frac {\, d {u}} {u^2-1} &\ text {і використовувати $\ cos^2x=1-\ sin^2x=1-u^2$}\ end {вирівняти *}

Отже, ми тепер повинні інтегрувати$\frac{1}{u^2-1}\text{,}$, яка є раціональною функцією$u\text{,}$ і так ідеально підходить для часткових дробів.

• Крок 1. Ступінь чисельника,$1\text{,}$ дорівнює нулю, що строго менше ступеня знаменника,$u^2-1\text{,}$ який дорівнює двом. Так що перший крок пропускається.
• Крок 2. Другий крок - множник знаменника:

  \ begin {збирати*} u^2-1= (u-1) (u+1)\ end {збирати*}

• Крок 3. Третій крок - написати$\frac{1}{u^2-1}$ в формі

  \ begin {збирати*}\ розрив {1} {u^2-1} =\ розрив {1} {(u-1) (u+1)} =\ гідророзриву {A} {u-1} +\ frac {B} {u+1}\ кінець {збори*}

  для деяких констант$A$ і$B\text{.}$
• Крок 3 - Підлий метод.
  • Помножте на знаменник, щоб отримати

    \ begin {вирівнювати*} 1 &= A (u+1) + B (u-1)\ end {вирівнювати*}

    Це рівняння має бути вірним для всіх$u\text{.}$
  • Якщо ми зараз встановимо,$u=1$ то ми усуваємо$B$ з рівняння, залишаючи нас з

    \ begin {вирівнювати*} 1 &= 2A &\ текст {так $A=\ frac12$.} \ end {вирівнювати*}

  • Аналогічно, якщо ми встановимо,$u=-1$ то усуваємо$A\text{,}$ відхід

    \ begin {align*} 1 &= -2B &\ текст {що означає $B=-\ frac {1} {2} $.} \ end {вирівнювати*}

  Зараз ми з'ясували, що$A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2}\text{,}$ так

  \ begin {збирати*}\ гідророзриву {1} {u^2-1} =\ гідророзриву {1} {2}\ Великий [\ гідророзриву {1} {u-1} -\ гідророзриву {1} {u+1}\ Big]. \ end {збирати*}

• Це завжди гарна ідея, щоб перевірити нашу роботу.

  \ begin {вирівнювати*}\ гідророзриву {\ гідророзриву {1} {2}} {u-1} +\ гідророзриву {-\ гідророзриву {1} {2}} {u+1}} {u+1} {2} (u-1)} {2} (u-1)} {(u-1) (u+1)} =\ frac {1} {(u-1) (u+1)}\ галочка\ кінець {align*}

• Крок 4. Останнім кроком є інтеграція.

  \ begin {align*} &\ int\ сек x\, d {x} = -\ int\ frac {\, d {u}} {u^2-1} &\ текст {після підстановки}\\ & =-\ frac {2} {2}\ int\ frac {\, d {u}} {u-1} +\ frac {1} {2}\ int\ frac {\, d {u}} {u+1} &\ текст {часткові дроби}\\ & =-\ гідророзриву {1} {2}\ log|u-1|+\ гідророзриву {1} {2}\ log|U+1|+C\\ & =-\ frac {1} {2}\ log|\ sin (x) -1|+\ frac {1} {2}\ log|\ sin (x) +1|+C &\ text {трохи переставити}\\ & =\ розрив {1} {2}\ журнал\ ліворуч |\ розрив {1+\ sin x} {1-\ sin x}\ праворуч |+C\ end {align*}

  Зверніть увагу, що оскільки$-1\le\sin x\le 1\text{,}$ ми вільні скинути абсолютні значення в останньому рядку, якщо ми хочемо.

Інший приклад в тому ж дусі, хоч і дотик важче. Знову ж таки, ми побачили цю проблему в розділі 1.8 і 1.9.

Приклад 1.10.6$\int \sec^3 x\, d{x}$

Рішення

• Почнемо з перетворення його в інтеграл раціональної функції за допомогою підстановки$u=\sin x\text{,}$$\, d{u}=\cos x\, d{x}\text{.}$
  \ begin {align*}\ int\ sec^3 x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos^3 x}\, d {x}\ text {трохи помасажуйте це}\\ &=\ int\ frac {\ cos x} {\ cos x} &\ текст {замінити $\ cos^2 x=1-\ sin^2x=1-u^2$}\\ &=\ int\ розрив {\ cos x\, d {x}} {[1-\ sin^2 x]} ^2}\\ &=\ int\ frac {\, d {u}} {[1-u^2] ^2}\ кінець {align*}
• Тепер ми могли б знайти декомпозицію часткового дробу integrand,$\frac{1}{ {[1-u^2]}^2}$ виконавши звичайні чотири кроки. Але користуватися нею простіше.

  \ begin {збирати*}\ гідророзриву {1} {u^2-1} =\ гідророзриву {1} {2}\ Великий [\ гідророзриву {1} {u-1} -\ гідророзриву {1} {u+1}\ Big]\ end {gather*}

  який ми розробили в прикладі 1.10.5 вище.
• Квадратування це дає

  \ begin {align*}\ гідророзриву {1} {{[1-u^2]} ^2} &=\ гідророзриву {1} {4}\ Великий [\ гідророзриву {1} {u-1} {u+1}\ Big] ^2\ &=\ гідророзриву {1} {4}\ Великий [\ frac {1} {u-1} {u-1} ^2} -\ розрив {2} {(u-1) (u+1)} +\ розрив {1} {(u+1) ^2}\ Великий]\\ &=\ гідророзриву {1} {4}\ Великий [\ гідророзриву {1} {(u-1) ^2} -\ гідророзриву {1} {u-1} +\ гідророзриву {1} {u+1} {(u+1) ^2}\ Великий]\ кінець {вирівнювати*}

  де ми знову використовували на$\frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right]$ останньому кроці.
• Залишилося тільки зробити інтеграли і спростити.

  \ begin {вирівнювати*} &\ int\ сек^3 х\, d {x} =\ розрив {1} {4}\ int\ Великий [\ гідророзриву {1} {(u\! -\! 1) ^2} -\ гідророзриву {1} {u\! -\! 1} +\ гідророзриву {1} {u\! +\! 1} +\ гідророзриву {1} {(u\! +\! 1) ^2}\ Великий]\, d {u}\\ &=\ гідророзриву {1} {4}\ Великий [-\ гідророзриву {1} {u-1} -\ log|u+1|+\ log|u+1|-\ frac {1} {u+1}\ Big] +C\\ &\ hskip2in\ текст {група обережно}\\ &=\ frac {-1} {4}\ Великий [\ розрив {1} {u-1} +\ гідророзриву {1} {u+1}\ Великий] +\ гідророзриву {1} {4}\ Великий [\ log|u+1| -\ log|u-1 |\ Big] + C\\ &\ hskip2in\ текст {ретельно сума}\\ &=-\ frac {1} {4}\ гідророзриву {2u} {u^2-1} +\ гідророзриву {1} {4}\ журнал\ Великий |\ розрив {u+1} {u-1}\ Великий |+C\\ &\ hskip2in\ текст {очистити}\\ &=\ frac {1} {2}\ гідророзриву {u} {1-u^2} +\ frac {1} {4}\ журнал Великий|\ розрив {u+1} {u-1}\ Big|+C\\ &\ hskip2in\ текст {покласти $u =\ sin x$}\\ & =\ frac {2}\ frac {\ sin x} {\ cos^2x} +\ frac {1} {4}\ журнал\ великий |\ frac {\ sin x+1} {\ sin x-1}\ Великий |+C\ end {вирівнювати*}

Форма розкладання часткової фракції

У наведених вище прикладах ми використовували метод часткових дробів для розкладання раціональних функцій на легко інтегровані частини. Кожен з цих прикладів був досить залучений, і нам довелося витратити досить багато часу на факторинг і довгий поділ. Ключовим кроком у кожному з обчислень був крок 3 — на цьому кроці ми розкладали раціональну функцію$\frac{N(x)}{D(x)}$ (або$\frac{R(x)}{D(x)}$), для якої ступінь чисельника строго менша за ступінь знаменника, на суму особливо простих раціональних функцій, як$\frac{A}{x-a}\text{.}$ Ми цього не зробили, однак, дайте систематичну характеристику тих розкладань.

У цьому підрозділі ми заповнимо цю прогалину, описуючи загальну ¹² форму розкладання часткових дробів. Обґрунтування цих форм не є частиною курсу, але зацікавленому читачеві пропонується прочитати наступний (необов'язковий) підрозділ, де дається таке обґрунтування. У наступному передбачається, що

• $N(x)$і$D(x)$ є поліномами зі ступенем$N(x)$ строго меншим за ступінь$D(x)\text{.}$
• $K$є постійною.
• $a_1\text{,}$$a_2\text{,}$$\cdots\text{,}$$a_j$всі різні цифри.
• $m_1\text{,}$$m_2\text{,}$$\cdots\text{,}$$m_j\text{,}$і$n_1\text{,}$$n_2\text{,}$$\cdots\text{,}$$n_k$ всі суворо позитивні цілі числа.
• $x^2+b_1x+c_1\text{,}$$x^2+b_2x+c_2\text{,}$$\ \cdots\ \text{,}$$x^2+b_kx+c_k$всі різні.

Простий випадок лінійного фактора

Якщо знаменник$D(x)=K(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_j)$ є добутком$j$ різних лінійних факторів, то

Рівняння 1.10.7

\ почати {збирати*}\ розрив {N (x)} {D (x)} =\ розрив {A_1} {x-a_1} +\ гідророзриву {A_2} {x-a_2} +\ cdots+\ frac {a_J} {x-a_j}\ кінець {збирати*}

Потім ми можемо інтегрувати кожен термін

\ begin {align*}\ int\ frac {A} {x-a}\, d {x} &= A\ log|x-a| +C.\ end {align*}

Загальний випадок лінійного фактора

Якщо знаменник,$D(x)=K(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots(x-a_j)^{m_j}$ то

Претензія 1.10.8

$$\begin{align*} \frac{N(x)}{D(x)} &=\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots +\frac{A_{1,m_1}}{(x-a_1)^{m_1}}\\ &\phantom{=}+\frac{A_{2,1}}{x-a_2}+\frac{A_{2,2}}{(x-a_2)^2}+\cdots +\frac{A_{2,m_2}}{(x-a_2)^{m_2}}+\cdots\\ &\phantom{=}+\frac{A_{j,1}}{x-a_j}+\frac{A_{j,2}}{(x-a_j)^2}+\cdots +\frac{A_{j,m_j}}{(x-a_j)^{m_j}} \end{align*}$$

Зверніть увагу, що ми могли б переписати кожен рядок як

\ почати {вирівнювати*}\ розрив {A_ {1}} {x-a} +\ гідророзриву {A_ {2}} {(х-а) ^2} +\ cdots+\ розриву {A_ {m}} {(x-a) ^ {м}} &=\ frac {A_ {1} (x-a) ^ {м-1} +A_ {2} (x-a)) ^ {м-2} +\ CDots+A_ {м}} {(х-а) ^м}\\ &=\ гідророзрив {B_ {1} x^ {м-1} +B_ {2} x^ {m-2} +\ CDots+b_ {m}} {(x-a) ^m}\ кінець {вирівня*}

який є поліномом, ступінь якого,$m-1\text{,}$ строго менший, ніж у знаменника$(x-a)^m\text{.}$ Але форма Рівняння 1.10.8 є кращою, оскільки її легше інтегрувати.

\ begin {align*}\ int\ розриву {A} {x-a}\, d {x} &= A\ log|x-a| +C\\ int\ frac {A} {(x-a) ^k}\, d {x} &= -\ frac {1} {k-1}\ cdot\ frac {A} {(x-a) ^ {k-1}\ текст {за умови} k\ gt 1. \ end {вирівнювати*}

Простий лінійний і квадратичний випадок фактора

Якщо$D(x)=K(x-a_1)\cdots(x-a_j)(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_kx+c_k)$ тоді

Претензія 1.10.9

$$\begin{align*} \frac{N(x)}{D(x)} &=\frac{A_1}{x-a_1}+\cdots+\frac{A_j}{x-a_j} +\frac{B_1x+C_1}{x^2+b_1x+c_1}+\cdots+\frac{B_kx+C_k}{x^2+b_kx+c_k} \end{align*}$$

Зверніть увагу, що чисельник кожного члена з правого боку має ступінь на один менший, ніж ступінь знаменника.

Квадратичні терміни$\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$ інтегровані в двоетапний процес, який найкраще ілюструється простим прикладом (див. Також Приклад 1.10.3 вище).

Приклад 1.10.10$\int \frac{2x+7}{x^2+4x+13}\, d{x}$

Рішення

• Почніть з заповнення квадрата в знаменнику:

  \ почати {вирівнювати*} х ^2+4x+13 &= (x+2) ^2+9 &\ текст {і таким чином}\\ розриву {2x+7} {x^2+4x+13} &=\ розрив {2x+7} {(x+2) ^2+3^2}\ кінець {вирівнювати*}

• Тепер встановлюємо$y=(x+2)/3, \, d{y}=\frac{1}{3}\, d{x}\text{,}$ або еквівалентно$x=3y-2, \, d{x}=3\, d{y}\text{:}$

  \ почати {вирівнювати*}\ int\ розрив {2x+7} {x^2+4x+13}\, d {x} &=\ int\ розриву {2x+7} {(x+2) ^2+3^2}\, d {x}\\ &=\ int\ розрив {6y-4+7} {3^2 y^2}\ cdot 3\, d y}\\ &=\ int\ розриву {6y+3} {3 (y^2+1)}\, d {y}\\ &=\ int\ гідророзриву {2y+1} {y^2+1}\, d {y}\ end {вирівнює*}

  Зверніть увагу, що ми вибрали 3 в$y=(x+2)/3$ точно, щоб перетворити знаменник у форму.$y^2+1\text{.}$
• Тепер майже завжди чисельник буде лінійним многочленом$y$ і розкладаємо наступним чином

  \ почати {вирівнювати*}\ int\ розрив {2x+7} {x^2+4x+13}\, d {x} &=\ int\ гідророзриву {2y+1} {y^2+1}\, d {y}\\ &=\ int\ frac {y^2+1}\, d {y} +\ int\ frac {1} {y^2+1}\, d {y}\\ &=\ log|y^2+1| +\ arctan y + C\\ &=\ журнал\ ліворуч (\ frac {x+2} {3}\ праворуч) ^2 +1\ праворуч | +\ арктан\ ліворуч (\ frac {x+2} {3}\ праворуч) +C\ кінець {вирівнювати*}

Додатково — Загальний лінійний та квадратичний випадок коефіцієнта

Якщо$D(x)=K(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_j)^{m_j} (x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_kx+c_k)^{n_k}$

Претензія 1.10.11

$$\begin{align*} \frac{N(x)}{D(x)} &=\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots +\frac{A_{1,m_1}}{(x-a_1)^{m_1}}+\cdots\\ &\phantom{=}\!+\frac{A_{j,1}}{x-a_j}+\frac{A_{j,2}}{(x-a_j)^2}+\cdots +\frac{A_{j,m_j}}{(x-a_j)^{m_j}}\\ &\phantom{=}\!+\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+b_1x+c_1} +\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+b_1x+c_1)^2}+\!\cdots\! +\frac{B_{1,n_1}x+C_{1,n_1}}{(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}}\!+\!\cdots\\ &\phantom{=}\!+\frac{B_{k,1}x+C_{k,1}}{x^2+b_kx+c_k} +\frac{B_{k,2}x+C_{k,2}}{(x^2+b_kx+c_k)^2}+\!\cdots\! +\frac{B_{k,n_k}x+C_{1,n_k}}{(x^2+b_kx+c_k)^{n_k}} \end{align*}$$

Ми вже бачили, як інтегрувати прості та загальні лінійні терміни, а також прості квадратичні терміни. Інтегрувати загальні квадратичні терміни не так вже й просто.

Приклад 1.10.12$\int \frac{\, d{x}}{(x^2+1)^n}$

Цей приклад не такий простий, тому його обов'язково слід вважати необов'язковим.

Рішення

У чому далі пишуть

\ begin {вирівнювати*} i_n &=\ int\ frac {\, d {x}} {(x^2+1) ^n}. \ end {вирівнювати*}

• Коли$n=1$ ми це знаємо

  \ begin {вирівнювати*}\ int\ frac {\, d {x}} {x^2+1} &=\ арктан х +C\ end {вирівнювати*}

• Тепер припустимо, що$n \gt 1\text{,}$ тоді

  \ begin {вирівнювати*}\ int\ розрив {1} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &=\ int\ розриву {(x^2+1-x^2)} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &\ текст {підлий}\\ &=\ int\ frac {1} {(x^2+1) ^ {n} 1}}\, d {x} -\ int\ розрив {x^2} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\ &= I_ {n-1} -\ int\ frac {x^2} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\ кінець {вирівнювати*}

  Таким чином, ми можемо написати з$I_n$ точки зору$I_{n-1}$ і цей другий інтеграл.
• Ми можемо використовувати інтеграцію частинами для обчислення другого інтеграла:

  \ begin {вирівнювати*}\ int\ розрив {x^2} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &=\ int\ розриву {x} {2}\ cdot\ frac {2x} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &\ текст {підлий}\ кінець {вирівнювати*}

  Ми встановлюємо$u=x/2$ і$\, d{v}=\frac{2x}{(x^2+1)^n}\, d{x}\text{,}$ який дає$\, d{u}=\frac{1}{2}\, d{x}$ і$v=-\frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\text{.}$ Ви можете перевірити$v$, диференціюючи. Інтеграція частинами дає

  \ почати {вирівнювати*} &\ int\ розрив {x} {2}\ cdot\ розрив {2x} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\\ &\ hskip0.5in= -\ frac {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}} +\ int\ frac {\, d {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}}\\ &\ hskip0.5in= -\ розрив {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}} +\ frac {1} {2 (n-1)}\ cdot I_ {n-1}\ кінець {вирівнювати*}

• Тепер складіть все воєдино:

  \ begin {вирівнювати*} i_n &=\ int\ розриву {1} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\\ &= I_ {n-1} +\ frac {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}} -\ розрив {1} {2 (n-1)}\ cdot I_ {n-1}\\ &=\ гідророзриву {2n-3} {2 (n-1)} I_ {n-1} +\ розрив {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}}\ end {align*}

• Потім ми можемо використовувати цей повторення, щоб записати$I_n$ для перших кількох$n\text{:}$

  \ begin {вирівнювати*} I_2 &=\ гідророзриву {1} {2} I_1 +\ гідророзриву {x} {2 (x^2+1)} +C\\ &=\ розриву {1} {2} {2}\ розрив {x} {2 (x^2+1)}\ I_3 &=\ FRAC {3} {4} I_2 +\ розрив {x} {4 (x^2+1) ^2}\\ &=\ гідророзриву {3} {8}\ арктин х +\ розрив {3x} {8 (x^2+1)} +\ frac {x} {4 (x^2+1) ^2} +C\ I_4 &=\ FRAC {5} {6} I_3 +\ frac {x} {6 (x^2+1) ^3}\\ &=\ гідророзриву {5 } {16}\ арктан х +\ розрив {5x} {16 (x^2+1)} +\ розрив {5x} {24 (x^2+1) ^2} +\ розрив {x} {6 (x^2+1) ^3} +C\ end {вирівнювати*}

  і так далі. Ви можете зрозуміти, чому питання часткового дробу за участю знаменників з повторюваними квадратичними факторами не часто з'являються на іспитах.

Необов'язково — Обґрунтування розкладання часткових дробів

Зараз ми побачимо обґрунтування форми розкладання часткового дробу. Ми розглянемо тільки той випадок, в якому знаменник має тільки лінійні множники. Аргументи при наявності квадратичних факторів теж схожі ¹³.

Простий випадок лінійного фактора

У найпоширенішому розкладанні часткового дробу ми розщеплюємо

\ begin {збирати*}\ frac {N (x)} {(x-a_1)\ раз\ cdots\ times (x-a_d)}\ end {збирати*}

в суму форми

\ почати {збирати*}\ розрив {A_1} {x-a_1} +\ cdots+\ розрив {a_d} {x-a_d}\ кінець {збирати*}

Зараз ми показуємо, що це розкладання завжди може бути досягнуто, за$a_i$ припущеннями, що всі вони різні і$N(x)$ є поліномом ступеня максимум$d-1\text{.}$ Для цього ми неодноразово застосовуватимемо наступну лему.

Лемма 1.10.13

$N(x)$$D(x)$Дозволяти і бути поліномами ступеня$n$ і$d$ відповідно, з$n\le d\text{.}$ Припустимо, що$a$ це НЕ нуль$D(x)\text{.}$ Тоді є многочлен$P(x)$ ступеня$p \lt d$ і число$A$ таке, що

\ begin {вирівнювати*}\ розрив {N (x)} {D (x)\, (х-а)} &=\ розриву {P (x)} {D (x)} +\ розриву {A} {x-a}\ end {align*}

Доказ

• Щоб зберегти написання, нехай$z=x-a\text{.}$ Ми потім пишемо$\tilde N(z)=N(z+a)$ і$\tilde D(z)=D(z+a)\text{,}$ які знову поліноми ступеня$n$ і$d$ відповідно. Ми також знаємо, що$\tilde D(0)=D(a)\ne 0\text{.}$
• Для того, щоб завершити доказ, нам потрібно знайти многочлен$\tilde P(z)$ ступеня$p \lt d$ і число$A$ таке, що

  \ почати {збирати*}\ frac {\ тильда N (z)} {\ тильда D (z)\, z} =\ frac {\ тильда P (z)} {\ тильда D (z)} +\ frac {z} =\ frac {\ тильда P (z) z+A\ тильда D (z)} {\ тильда D (z)} {\ тильда D (z), z}\ end {збирати*}

  або еквівалентно, такий, що

  \ begin {збирати*}\ тильда P (z) z+a\ тильда D (z) =\ тильда N (z). \ end {збирати*}

• Тепер подивіться на многочлен з лівого боку. Кожен член в$\tilde P(z) z\text{,}$ має принаймні одну силу$z\text{.}$ Отже, постійний термін на лівій стороні - це саме постійний термін, в$A\tilde D(z)\text{,}$ якому дорівнює$A\tilde D(0)\text{.}$ Постійний член на правій стороні дорівнює$\tilde N(0)\text{.}$ Тому постійні терміни на лівій і правій стороні однакові. якщо ми виберемо$A=\frac{\tilde N(0)}{\tilde D(0)}\text{.}$ Відкликати, що$\tilde D(0)$ не може бути нулем,$A$ тому добре визначено.
• Тепер$A\tilde D(z)$ переходимо до правого боку.

  \ begin {збирати*}\ тильда P (z) z=\ тильда N (z) -A\ тильда D (z)\ кінець {збирати*}

  $A\tilde D(z)$Постійні терміни в$\tilde N(z)$ і однакові, тому права сторона не містить постійного члена, а права сторона має форму$\tilde N_1(z) z$ для деякого многочлена$\tilde N_1(z)\text{.}$
• Так як$\tilde N(z)$ є ступеня в більшості$d$ і$A\tilde D(z)$$d\text{,}$$\tilde N_1$ є ступеня саме поліном ступеня$d-1\text{.}$ Зараз досить вибрати$\tilde P(z)=\tilde N_1(z)\text{.}$

Тепер повернемося до

\ begin {збирати*}\ frac {N (x)} {(x-a_1)\ раз\ cdots\ times (x-a_d)}\ end {збирати*}

Застосувати Lemma 1.10.13, з$D(x)=(x-a_2)\times\cdots\times (x-a_d)$ і$a=a_1\text{.}$ це говорить

\ begin {збирати*}\ розрив {N (x)} {(x-a_1)\ раз\ cdots\ раз\ раз (x-a_d)} =\ розриву {A_1} {x-a_1} +\ frac {P (x)} {(x-a_2)\ раз\ cdots\ раз (x-a_d)}\ кінець {збирати*}

для деякого полінома$P$ ступеня максимум$d-2$ і деякого числа$A_1\text{.}$

Застосуйте Lemma 1.10.13 вдруге, з$D(x)=(x-a_3)\times\cdots\times (x-a_d)\text{,}$$N(x)=P(x)$ і$a=a_2\text{.}$ Це говорить

\ почати {збирати*}\ розриву {P (x)} {(x-a_2)\ раз\ cdots\ раз\ раз (x-a_d)} =\ розриву {A_2} {x-a_2} +\ frac {Q (x)} {(x-a_3)\ раз\ cdots\ раз (x-a_d)}\ кінець {збирати*}

для деякого полінома$Q$ ступеня максимум$d-3$ і деякого числа$A_2\text{.}$

На цьому етапі ми знаємо, що

\ почати {збирати*}\ розрив {N (x)} {(x-a_1)\ раз\ cdots\ раз\ раз (x-a_d)} =\ розриву {A_1} {x-a_1} +\ frac {Q (x)} {(x-a_3)\ раз\ cdots\ раз\ раз (x-a_d)}\ кінець {збирати*}

Якщо ми просто продовжуємо йти, неодноразово застосовуючи Lemma 1, ми врешті-решт закінчимо

\ почати {збирати*}\ розрив {N (x)} {(x-a_1)\ раз\ cdots\ раз\ раз (x-a_d)} =\ розриву {A_1} {x-a_1} +\ cdots+\ frac {a_d} {x-a_d}\ кінець {збори*}

в міру необхідності.

Загальний випадок з лінійними факторами

Тепер розглянемо розщеплення

\ begin {збирати*}\ frac {N (x)} {(x-a_1) ^ {n_1}\ раз\ cdots\ раз\ раз (x-a_d) ^ {n_d}}\ end {gather*}

в суму форми ¹⁴

\ почати {збирати*}\ Великий [\ розрив {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ cdots+\ розриву {A_ {1, n_1}} {(x-a_1) ^ {n_1}}\ великий] +\ cdots+\ великий [\ frac {A_ {d,1}} {x-a_d} +\ cdots+\ frac {A_ {d,1}} +\ cdots+\ frac c {A_ {d, n_d}} {(x-a_d) ^ {n_d}}\ великий]\ кінець {збирати*}

Зараз ми показуємо, що це розкладання завжди може бути досягнуто, за$a_i$ припущеннями, що всі вони різні і$N(x)$ є поліномом ступеня максимум$n_1+\cdots+n_d-1\text{.}$ Для цього ми неодноразово застосовуватимемо наступну лему.

Лема 1.10.14

$N(x)$$D(x)$Дозволяти і бути поліномами ступеня$n$ і$d$ відповідно, з$n \lt d+m\text{.}$ Припустимо, що$a$ це НЕ нуль$D(x)\text{.}$ Тоді є многочлен$P(x)$ ступеня$p \lt d$ і числа$A_1,\ \cdots,\ A_m$ такі, що

\ почати {збирати*}\ розрив {N (x)} {D (x)\, (х-а) ^м} =\ розрив {P (x)} {D (x)} +\ розрив {A_1} {x-a} +\ frac {A_2} {(x-a) ^2} +\ cdots +\ frac {a_m} {(x-a) ^m} кінець {збирати*}

Доказ

• Як ми це робили в доказі попередньої леми, ми пишемо$z=x-a\text{.}$ Тоді$\tilde N(z)=N(z+a)$ і$\tilde D(z)=D(z+a)$ є поліномами ступеня$n$ і$d$ відповідно,$\tilde D(0)=D(a)\ne 0\text{.}$
• Для того, щоб завершити доказ, ми повинні знайти многочлен$\tilde P(z)$ ступеня$p \lt d$ і числа$A_1,\ \cdots,\ A_m$ такі, що

  \ почати {вирівнювати*}\ розрив {\ тильда N (z)} {\ тильда D (z)\, z^m} &=\ розриву {\ тильда P (z)} {\ тильда D (z)} +\ frac {A_1} {z} +\ frac {A_2} {z^2} +\ cdots +\ frac {a_m} {z^2} м}\\ &=\ розрив {\ тильда P (z) z^m+a_1z^ {м-1}\ тильда D (z) +a_2z^ {м-2}\ тильда D (z) +\ cdots+a_M\ тильда D (z)} {\ тильда D (z)\, z^m}\ кінець {вирівня*}

  або еквівалентно, такий, що

  \ почати {вирівнювати*} &\ тильда P (z) z^m+a_1z^ {м-1}\ тильда D (z) +a_2z^ {м-2}\ тильда D (z) +\ cdots +A_ {m-1} z\ тильда D (z) +a_M\ тильда D (z)\\ &\ hskip3in =\ тильда N ()\ end {вирівнювати*}

• Тепер подивіться на многочлен з лівого боку. Кожен окремий член на лівій стороні, за винятком самого останнього,$A_m\tilde D(z)\text{,}$ має принаймні одну силу$z\text{.}$ Отже, постійний термін на лівій стороні - це саме постійний член, в$A_m\tilde D(z)\text{,}$ якому дорівнює Постійний член на правій стороні дорівнює$\tilde N(0)\text{.}$ Отже$A_m\tilde D(0)\text{.}$ постійні терміни на лівій та правій стороні однакові, якщо ми виберемо$A_m=\frac{\tilde N(0)}{\tilde D(0)}\text{.}$ Відкликати,$A_m$ що$\tilde D(0)\ne 0$ так чітко визначено.
• Тепер$A_m\tilde D(z)$ переходимо до правого боку.

  \ почати {вирівнювати*} &\ тильда P (z) z^m+a_1z^ {м-1}\ тильда D (z) +a_2z^ {м-2}\ тильда D (z) +\ cdots +A_ {м-1} з\ тильда D (z)\\ &\ hskip3in=\ тильда N (z) -A_M\ тильда D (z))\ end {вирівнювати*}

  $A_m\tilde D(z)$Постійні$\tilde N(z)$ члени в і однакові, тому права сторона не містить постійного члена, а права сторона має форму$\tilde N_1(z) z$ з$\tilde N_1$ поліном ступеня в більшості$d+m-2\text{.}$ (Нагадаємо, що$\tilde N$ це ступінь не більше$d+m-1$ і$\tilde D$ є ступеня$d\text{.}$ (максимум) Розділіть все рівняння на,$z$ щоб отримати

  \ почати {збирати*}\ тильда P (z) z^ {м-1} +a_1z^ {м-2}\ тильда D (z) +a_2z^ {м-3}\ тильда D (z) +\ cdots +A_ {m-1}\ тильда D (z) =\ тильда N_1 (z). \ end {збирати*}

• Тепер ми можемо повторити попередній аргумент. Постійний член на лівій стороні, який точно дорівнює$A_{m-1}\tilde D(0)$ збігається з постійним терміном на правій стороні, який дорівнює,$\tilde N_1(0)$ якщо ми виберемо$A_{m-1}=\frac{\tilde N_1(0)}{\tilde D(0)}\text{.}$ При цьому виборі$A_{m-1}$

  \ почати {збирати*}\ тильда P (z) z^ {м-1} +a_1z^ {м-2}\ тильда D (z) +a_2z^ {м-3}\ тильда D (z) +\ cdots +A_ {m-2} z\ тильда D (z)\ =\ тильда N_1 (z) -А_ {м-1}\ тильда D (z) z) =\ тильда N_2 (z) z\ кінець {збирати*}

  $\tilde N_2$з поліномом ступеня не більше$d+m-3\text{.}$ Ділити на$z$ і продовжити.
• Після таких$m$ кроків ми закінчуємо

  \ begin {збирати*}\ тильда P (z) z=\ тильда N_ {m-1} (z) -A_1\ тильда D (z)\ кінець {збирати*}

  після того, як вибрав$A_1=\frac{\tilde N_{m-1}(0)}{\tilde D(0)}\text{.}$
• На правій стороні немає постійного терміна, так$\tilde N_{m-1}(z)-A_1\tilde D(z)$ що він має форму$\tilde N_m(z) z$$\tilde N_m$ з поліномом ступеня$d-1\text{.}$ Вибір$\tilde P(z)=\tilde N_m(z)$ завершує доказ.

Тепер повернемося до

\ begin {збирати*}\ frac {N (x)} {(x-a_1) ^ {n_1}\ раз\ cdots\ раз\ раз (x-a_d) ^ {n_d}}\ end {gather*}

Застосувати Lemma 1.10.14, з$D(x)=(x-a_2)^{n_2}\times\cdots\times (x-a_d)^{n_d}\text{,}$$m=n_1$ і$a=a_1\text{.}$ це говорить

\ почати {вирівнювати*} &\ розрив {N (x)} {(x-a_1) ^ {n_1}\ раз\ cdots\ раз\ cdots\ раз (x-a_d) ^ {n_d}}\\ & =\ frac {A_ {1}} {x-a_1}} {x-a_1) ^2} +\ cdots +\ розрив {A_ {1, n_1}} {(х-а) ^ {n_1}} +\ розрив {P (x)} {(x-a_2) ^ {n_2}\ раз\ cdots\ раз (x-a_d) ^ {n_d}}\ кінець {align*}

Застосовуйте Lemma 1.10.14 вдруге, з$D(x)=(x-a_3)^{n_3}\times\cdots\times (x-a_d)^{n_d}\text{,}$$N(x)=P(x)\text{,}$$m=n_2$$a=a_2\text{.}$ і так далі. Зрештою, ми закінчуємо

\ почати {збирати*}\ Великий [\ розрив {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ cdots+\ розриву {A_ {1, n_1}} {(x-a_1) ^ {n_1}}\ великий] +\ cdots+\ великий [\ frac {A_ {d,1}} {x-a_d} +\ cdots+\ frac {A_ {d,1}} +\ cdots+\ frac c {A_ {d, n_d}} {(x-a_d) ^ {n_d}}\ великий]\ кінець {збирати*}

що саме те, що ми намагалися показати.

Дійсно необов'язково - повністю загальний випадок

Зараз ми побачимо, що, загалом, якщо$N(x)$ і$D(x)$ є поліномами зі ступенем$N$ бути строго меншим, ніж ступінь$D$ (яку ми позначимо$\deg(N) \lt \deg(D)$) і якщо

\ почати {зібрати} D (x) =K (x-a_1) ^ {m_1}\ cdots (x-a_j) ^ {m_j} (x^2+b_1x+c_1) ^ {n_1}\ cdots (x^2+b_kx+c_k) ^ {n_k}\ мітка {eq_intFactD}\ тег {$\star$}\ кінець зібрати}

(З$b_\ell^2-4 c_\ell \lt 0$ для всіх$1\le\ell\le k$ так, що жоден квадратичний коефіцієнт не може бути записаний як добуток лінійних факторів з дійсними коефіцієнтами) то існують дійсні числа$A_{i,j}\text{,}$$B_{i,j}\text{,}$$C_{i,j}$ такі, що

\ begin {вирівнювати*}\ розрив {N (x)} {D (x)} &=\ розрив {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ розрив {A_ {1,2}} {(x-a_1) ^2} +\ cdots +\ розриву {A_ {1, m_1}} {x-a_1) ^ {m_1}} cdots\\ &\ фантом {=}\! +\ розрив {A_ {j,1}} {x-a_j} +\ розрив {A_ {j,2}} {(x-a_j) ^2} +\ cdots +\ розриву {A_ {j, m_j}} {(x-a_j) ^ {m_j}}\\ &\ фантом {=}\! +\ розрив {B_ {1,1} x+C_ {1,1}} {x^2+b_1x+c_1} +\ розрив {B_ {1,2} x+C_ {1,2}}} {(x^2+b_1x+c_1) ^2} +\! \ cdots\! +\ розрив {B_ {1, n_1} x+C_ {1, n_1}} {(x^2+b_1x+c_1) ^ {n_1}}\! +\! \ cdots\\ &\ фантом {=}\! +\ розрив {B_ {k,1} x+C_ {k,1}} {x^2+b_kx+c_k} +\ розрив {B_ {k,2} x+C_ {k,2}} {(x^2+b_kx+c_k) ^2} +\! \ cdots\! +\ розрив {B_ {k, n_k} x+C_ {1, n_k}} {(x^2+b_kx+c_k) ^ {n_k}}\ end {align*}

Це було рівняння 1.10.11. Ми почнемо з двох простих результатів, які ми будемо використовувати неодноразово, щоб отримати Рівняння 1.10.11. У першому більш простому результаті ми розглянемо дріб$\frac{P(x)}{Q_1(x)\,Q_2(x)}$ з$P(x)\text{,}$$Q_1(x)$ і$Q_2(x)$ будучи поліномами з дійсними коефіцієнтами і будемо вважати, що коли$P(x)\text{,}$$Q_1(x)$ і$Q_2(x)$ враховуються як in ($\star$), жоден з них не має спільного лінійного або квадратичного фактор. Як приклад, немає двох

\ почати {вирівнювати*} Р (х) &= 2 (х-3) (х-4) (х ^ 2+3х+3)\\ Q_1 (x) &= 2 (x-1) (x^2+2x+2)\\ Q_2 (x) &= 2 (x-2) (x^2+2x+3)\ кінець {вирівнювати*}

мають такий загальний фактор. Але, для

\ почати {вирівнювати*} Р (х) &= 2 (х-3) (х-4) (х ^ 2+х+1)\\ Q_1 (x) &= 2 (x-1) (x^2+2x+2)\\ Q_2 (x) &= 2 (x-2) (x^2+x+1)\ кінець {вирівнювати*}

$P(x)$і$Q_2(x)$ мають спільний фактор$x^2+x+1\text{.}$

Лема 1.10.15

Дозволяти$P(x)\text{,}$$Q_1(x)$ і$Q_2(x)$ бути поліномами з дійсними коефіцієнтами і з$\deg(P)\lt\deg(Q_1Q_2)\text{.}$ Припустимо, що немає двох$P(x)\text{,}$$Q_1(x)$ і$Q_2(x)$ мають загальний лінійний або квадратичний коефіцієнт. Потім з'являються$\deg(P_1)\lt\deg(Q_1)\text{,}$$\deg(P_2)\lt\deg(Q_2)\text{,}$ многочлени$P_1,\ P_2$ з і

\ begin {збирати*}\ розрив {P (x)} {Q_1 (x)\, Q_2 (x)} =\ розрив {P_1 (x)} {Q_1 (x)} +\ frac {P_2 (x)} {Q_2 (x)}\ кінець {збирати*}

Доказ

Ми повинні знайти многочлени,$P_1$ і$P_2$ які підкоряються

\ почати {збирати*} P (x) = P_1 (x)\, Q_2 (x) + P_2 (x)\, Q_1 (x)\ end {збирати*}

Насправді, ми збираємося знайти поліноми$p_2$,$p_1$ і які підкоряються

\ почати {зібрати} p_1 (x)\, Q_1 (x) +p_2 (x)\, Q_2 (x) = C\ мітка {EQ_intPonePTwo}\ тег {$\star\star$}\ кінець {зібрати}

для деякої ненульової константи,$C\text{,}$ а потім просто помножити ($\star\star$) на$\frac{P(x)}{C}\text{.}$ Щоб знайти,$p_1\text{,}$$p_2$ і$C$ ми збираємося використовувати те, що називається евклідовим алгоритмом. Це алгоритм ¹⁵, який використовується для ефективного пошуку найбільших спільних дільників двох чисел. Тому що$Q_1(x)$ і не$Q_2(x)$ мають загальних факторів ступеня$1$ або$2\text{,}$ їх «найбільший спільний дільник» має ступінь$0\text{,}$ тобто є постійною.

• Перший крок полягає в застосуванні довгого ділення,$\frac{Q_1(x)}{Q_2(x)}$ щоб знайти$n_0(x)$ многочлени і$r_0(x)$ такі, що

  \ begin {збирати*}\ розрив {Q_1 (x)} {Q_2 (x)} = n_0 (x) +\ розрив {r_0 (x)} {Q_2 (x)}\ qquad\ текст {з}\ deg (r_0)\ lt\ deg (Q_2)\ кінець {збирати*}

  або, рівнозначно,

  \ begin {збирати*} Q_1 (x) = n_0 (x)\, Q_2 (x) + r_0 (x)\ qquad\ текст {з}\ deg (r_0)\ lt\ deg (Q_2)\ кінець {збирати*}

• Другий крок полягає в застосуванні довгого ділення,$\frac{Q_2(x)}{r_0(x)}$ щоб знайти$n_1(x)$ многочлени і$r_1(x)$ такі, що

  \ почати {збирати*} Q_2 (x) = n_1 (x)\, r_0 (x) + r_1 (x)\ qquad\ текст {з}\ deg (r_1)\ lt\ deg (r_0)\\ text {або}\ r_1 (x) =0\ кінець {збирати*}

• Третій крок (якщо припустити, що не$r_1(x)$ був нулем) полягає в застосуванні довгого ділення,$\frac{r_0(x)}{r_1(x)}$ щоб знайти$n_2(x)$ многочлени і$r_2(x)$ такі, що

  \ почати {збирати*} r_0 (x) = n_2 (x)\, r_1 (x) + r_2 (x)\ qquad\ текст {з}\ deg (r_2)\ lt\ deg (r_1)\\ текст {або}\\ r_2 (x) =0\ кінець {збирати*}

• І так далі.

Оскільки ступінь залишку$r_i(x)$ зменшується принаймні на одну щоразу, коли$i$ збільшується на одиницю, вищевказана ітерація повинна$\ell$ закінчуватися деякими$r_{\ell+1}(x)=0\text{.}$ Тобто ми вибираємо індекс останнього ненульового залишку. Ось короткий виклад всіх довгих кроків поділу.

\ begin {align*} Q_1 (x) &= n_0 (x)\, Q_2 (x) + r_0 (x)\ qquad &&\ текст {з}\ deg (r_0)\ lt\ deg (Q_2)\\ Q_2 (x) &= n_1 (x)\, r_0 (x) + r_1 (x) qquad &&\ текст {з}\ град (r_1)\ lt\ deg (r_0)\\ r_0 (x) &= n_2 (x)\, r_1 (x) +r_2 (x)\ qquad &&\ текст {з}\ град (r_2)\ lt\ deg (r_1)\ r_1 (x) &= n_3 (х)\, r_2 (х) +r_3 (х)\ квадрат &\ текст {з}\ град (r_3)\ lt\ deg (r_2)\\\\ vdots\\\ vdots\\\ r_ {\ ell-2} (x) &= n_\ ell (x)\, r_ {\ ell-1} (х) +r_\ ell (x)\ qquad &\ текст {з}\ deg (r_\ ell)\ lt\ град (r_ {\ ell-1})\\ r_ {\ ell-1} (x) &= n_ {\ ell+1} (x)\, r_\ ell (x) +r_ {\ ell+1} (x)\ qquad &&\ текст {з} r_ {\ ell+1} =0\ кінець {вирівнювати*}

Тепер ми детальніше розглянемо всі різні залишки, які ми створили.

• З першого довгого кроку поділу, а саме$Q_1(x) = n_0(x)\,Q_2(x) + r_0(x)$ ми маємо, що залишок

  \ begin {збирати*} r_0 (x) =Q_1 (x) -n_0 (x)\, Q_2 (x)\ кінець {збирати*}

• З другого довгого кроку поділу, а саме$Q_2(x) = n_1(x)\,r_0(x) + r_1(x)$ ми маємо що залишок

  \ begin {align*} & r_1 (x) =Q_2 (x) -n_1 (x)\, r_0 (x) = Q_2 (x) -n_1 (x)\ великий [Q_1 (x) -n_0 (x)\, Q_2 (x)\ великий]\\ &\ фантом {r_1 (x)} =A_1 (x)\, Q_1 (x) +B_1 (x)\, Q_2 (x)\ кінець {вирівнювати*}

  з$A_1(x) =-n_1(x)$ і$B_1(x) = 1+n_0(x)\,n_1(x)\text{.}$
• З третього довгого кроку ділення (якщо припустити, що не$r_1(x)$ було нуля), а саме$r_0(x)=n_2(x)\,r_1(x)+r_2(x)\text{,}$ ми маємо, що залишок

  \ begin {align*} r_2 (x) &=r_0 (x) -n_2 (x)\, r_1 (x)\\ &=\ великий [Q_1 (x) -n_0 (x)\, Q_2 (x)\ великий] -n_2 (x)\ великий [A_1 (x)\, Q_1 (x) +B_1 (x) x)\, Q_2 (x)\ великий]\\ &=A_2 (x)\, Q_1 (x) +B_2 (x)\, Q_2 (x)\ кінець {align*}

  з$A_2(x)= 1-n_2(x)\,A_1(x)$ і$B_2(x) = -n_0(x)-n_2(x)\,B_1(x)\text{.}$
• І так далі. Продовжуючи таким чином, робимо висновок, що остаточний ненульовий залишок$r_\ell(x)=A_\ell(x)\,Q_1(x)+B_\ell(x)\,Q_2(x)$ для деяких многочленів$A_\ell$ і$B_\ell\text{.}$

Тепер останній ненульовий залишок$r_\ell(x)$ повинен бути ненульовою константою,$C$ оскільки

• вона ненульова за визначенням$r_\ell(x)$ і
• $r_\ell(x)$якби поліном ступеня хоча б один, то
• так що це$r_\ell(x)$ було б загальним фактором для$Q_1(x)$ і$Q_2(x)\text{,}$ суперечить гіпотезі про те, що немає двох$P(x)\text{,}$$Q_1(x)$ і$Q_2(x)$ мають загальний лінійний або квадратичний фактор.

Тепер у нас є, що$A_\ell(x)\,Q_1(x)+B_\ell(x)\,Q_2(x)=r_\ell(x)=C\text{.}$ Множення на$\frac{P(x)}{C}$ дає

\ begin {збирати*}\ тильда P_2 (x)\, Q_1 (x) +\ тильда P_1 (x)\, Q_2 (x) = P (x)\ квад\ текст {або}\ quad\ frac {\ тильда P_1 (x)} {Q_1 (x)} +\ qrac {\ тильда P_2 (x)} {Q_1 (x)} _2 (x)} =\ розрив {P (x)} {Q_1 (x)\, Q_2 (x)}\ кінець {збереть*}

з$\tilde P_2(x)=\frac{P(x)\,A_\ell(x)}{C}$ і$\tilde P_1(x)=\frac{P(x)\,B_\ell(x)}{C}\text{.}$ Ми не зовсім закінчили, тому що все ще існує небезпека, що$\deg(\tilde P_1)\ge \deg(Q_1)$ або$\deg(\tilde P_2)\ge \deg(Q_2)\text{.}$ Щоб мати справу з цією можливістю, ми довго ділимо$\frac{\tilde P_1(x)}{Q_1(x)}$ і називаємо решту$P_1(x)\text{.}$

\ begin {збирати*}\ розрив {\ тильда P_1 (x)} {Q_1 (x)} = N (x) +\ розрив {P_1 (x)} {Q_1 (x)}\ qquad\ текст {з}\ deg (P_1)\ lt\ deg (Q_1)\ кінець {збори*}

Тому ми маємо це

\ почати {вирівнювати*}\ розрив {P (x)} {Q_1 (x)\, Q_2 (x)} &=\ розриву {P_1 (x)} {Q_1 (x)} +N (x) +\ розрив {\ тильда P_2 (x)} {Q_2 (x)}\ &\ =\ frac {P_1 (x)} {Q_1 (x)} +\ розрив {\ тильда P_2 (x) +N (x) Q_2 (x)} {Q_2 (x)}\ кінець {align*}

Позначення$P_2(x)=\tilde P_2(x)+N(x)Q_2(x)$ дає$\frac{P}{Q_1\,Q_2} =\frac{P_1}{Q_1} +\frac{P_2}{Q_2}$ і оскільки єдине$\deg(P_1)\lt\deg(Q_1)\text{,}$, що залишилося довести, це те, що$\deg(P_2)\lt\deg(Q_2)\text{.}$ Ми припускаємо, що$\deg(P_2)\ge\deg(Q_2)$ і шукаємо протиріччя. У нас є

\ begin {align*} &\ град (P_2Q_1)\ ge\ град (Q_1Q_2)\ gt\ deg (P_1Q_2)\\ &\ означає\ град (P) =\ град (P_1Q_2+P_2Q_1) =\ град (P_2Q_1)\ ge\ deg (Q_2Q_1) 1Q_2)\ кінець {вирівнювати*}

що суперечить гіпотезі про те, що$\deg(P)\lt\deg(Q_1Q_2)$ і доказ є повним.

Для другого з двох простіших результатів, які ми незабаром використаємо неодноразово, щоб отримати Рівняння 1.10.11, ми розглянемо$\frac{P(x)}{(x-a)^m}$ і$\frac{P(x)}{{(x^2+bx+c)}^m}\text{.}$

Лема 1.10.16

$m\ge 2$Дозволяти бути цілим числом, і нехай$Q(x)$ бути або$x-a$ або$x^2+bx+c\text{,}$ з$a\text{,}$$b$ і$c$ будучи дійсними числами. $P(x)$Дозволяти поліном з дійсними коефіцієнтами, який не містить$Q(x)$ як множник, а з$\deg(P)\lt\deg(Q^m)=m\deg(Q)\text{.}$ Тоді, для кожного$1\le i\le m\text{,}$ існує многочлен$P_i$ з$\deg(P_i)\lt\deg(Q)$ або$P_i=0\text{,}$ такий, що

\ почати {збирати*}\ розрив {P (x)} {Q (x) ^м} =\ розрив {P_1 (x)} {Q (x)} +\ розрив {P_2 (x)} {Q (x) ^2} +\ розрив {P_3 (x)} {Q (x) ^3} +\ cdots +\ frac {P_ {м-1} (x)} {Q (x) ^ {м-1}} +\ розрив {P_ {m} (x)} {Q (x) ^м}. \ end {збирати*}

Зокрема, якщо$Q(x) =x-a\text{,}$ тоді кожен$P_i(x)$ є просто$A_i\text{,}$ константою, а якщо$Q(x) =x^2+bx+c\text{,}$ тоді кожен$P_i(x)$ - поліном$B_i x+ C_i$ ступеня не більше одного.

Доказ

Ми просто неодноразово використовуємо довгий ділення, щоб отримати

\ почати {вирівнювати*}\ розрив {P (x)} {Q (x) ^м} &=\ розрив {P (x)} {Q (x)}\,\ розрив {1} {Q (x) ^ {м-1}} =\ ліворуч\ {n_1 (x) +\ frac {r_1 (x)} {Q (x)}\ праворуч\\ frac {r_1 (x)} {Q (x)}\ праворуч\}\ frac c {1} {Q (x) ^ {м-1}}\\ &=\ гідророзриву {r_1 (x)} {Q (x) ^ м} +\ розриву {n_1 (x)} {Q (x)} {Q (x) ^ {м-2}}\\ &=\ розриву {r_1 (x)} {Q (x)}\\ &=\ розриву {r_1 (x)} {Q (x)) ^ м} +\ ліворуч\ {n_2 (x) +\ розрив {r_2 (x)} {Q (x)}\ праворуч\}\ розрив {1} {Q (x) ^ {м-2}} \\ &=\ розрив {r_1 (x)} {Q (x) ^м} +\ розрив {r_2 (x)} {Q (x) ^ {м-1}} +\ розрив {n_2 (x)} {Q (x)}\,\ розрив {1} {Q (x) ^ {м-3}}\\ &\\ vdots\ =\ розрив {r_1 (x)} {Q (x) ^м} +\ розриву {r_2 (x)} {Q (x) ^ {м-1}} +\ cdots+\ розриву {r_ {m-2} (x)} {Q (x) ^3} +\ розрив {n_ {м-2} (x)} {Q (x)}\\ розрив {1} {Q (x)}\\ &=\ гідророзриву {r_1 (x)} {Q (x) ^м} +\ розриву {r_2 (x)} {Q (x) ^ {м-1}} +\ cdots+\ розрив {r_ {м-2} (x)} {Q (x) ^3} +\\ &\ hskip1in\ лівий\ {n_ {м-1} (x) +\ frac {r_ {m-1} (x)} {Q (x)}\ праворуч\}\ frac {1} {Q (x)}\ &=\ frac {1} {Q (x)} c {r_1 (x)} {Q (x) ^м} +\ розрив {r_2 (x)} {Q (x) ^ {м-1}} +\ cdots+\ frac {r_ {м-2} (x)} {Q (x) ^3} +\ frac {r_ {м-1} (х)} {Q (x) ^2} +\ frac {r_ {м-1} (х)} {Q (x) ^2} +\ frac c {n_ {м-1} (x)} {Q (x)}\ кінець {вирівнювати*}

За правилами довгого ділення кожен$\deg(r_i)\lt\deg(Q)\text{.}$ Це також вірно, що кінцевий чисельник,$n_{m-1}\text{,}$ має$\deg(n_{m-1})\lt\deg(Q)$ — тобто ми продовжували ділити на,$Q$ поки ступінь частки не була меншою за ступінь$Q\text{.}$ Щоб побачити це, зверніть увагу, що$\deg(P)\lt m\deg(Q)$ і

\ begin {align*}\ град (n_1) &=\ град (P) -\ град (Q)\\ град (n_2) &=\ град (n_1) -\ град (Q) =\ град (P) -2\ град (Q)\\ &\\ vdots\\\ deg (n_ {м-1}) &= град (n_ {м-2}) -\ град (Q) =\ град (Р) - (м-1)\ град (Q)\\ &\ lt м\ град (Q) - (м-1)\ град (Q)\\ &=\ град (Q)\ кінець {вирівнювати*}

Так, якщо$\deg(Q)=1\text{,}$ тоді всі$r_1, r_2, \ldots, r_{m-1}, n_{m-1}$ дійсні числа, і якщо$\deg(Q)=2\text{,}$ тоді$r_1, r_2, \ldots, r_{m-1}, n_{m-1}$ всі мають ступінь не більше одного.

Тепер ми в змозі отримати Рівняння 1.10.11. Ми використовуємо ($\star$) до фактора ¹⁶$D(x)= (x-a_1)^{m_1} Q_2(x)$ і використовуємо Lemma 1.10.15, щоб отримати

\ почати {збирати*}\ розрив {N (x)} {D (x)} =\ розрив {N (x)} {(x-a_1) ^ {m_1} Q_2 (x)} =\ розрив {P_1 (x)} {(x-a_1) ^ {m_1}} +\ розрив {P_2 (x)} {Q_2 (x)}}\ end {збирати*}

де$\deg(P_1)\lt m_1\text{,}$ і$\deg(P_2)\lt\deg(Q_2)\text{.}$ тоді ми використовуємо Lemma Lemma 1.10.16, щоб отримати

\ почати {збирати*}\ розрив {N (x)} {D (x)} =\ розрив {P_1 (x)} {(x-a_1) ^ {m_1}} +\ розриву {P_2 (x)} {Q_2 (x)} {Q_2 (x)} =\ розрив {A_ {1,1}}} {x-a_1} +\ frac {A_ {1,2}} {(x-a_1) ^2} +\ cdots +\ розриву {A_ {1, m_1}} {(x-a_1) ^ {m_1}} +\ розриву {P_2 (x)} {Q_2 (x)}\ end {збирати*}

Продовжуємо працювати$\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$ таким чином, відтягуючи знаменник$(x^2+b_ix + c_i)^{n_i}$ по одному$(x-a_i)^{m_i}$ або по одному, поки не вичерпаємо всі фактори в знаменнику$D(x)\text{.}$

Вправи

Нагадаємо, що ми використовуємо$\log x$ для позначення логарифма$x$ з основою.$e\text{.}$ В інших курсах його часто позначають.$\ln x\text{.}$

Етап 1

1

Нижче наведені графіки чотирьох різних квадратичних функцій. Для кожної квадратичної функції визначте, чи є вона: (i) нескорочуваним, (ii) добутком двох різних лінійних факторів, або (iii) добутком повторюваного лінійного фактора (і, можливо, постійної).

2 (✳)

Виписувати загальний вигляд парціально-дробового розкладання від$\displaystyle\frac{x^3+3}{(x^2-1)^2(x^2+1)} \text{.}$ Вам не потрібно визначати значення будь-якого з коефіцієнтів.

3 (✳)

Знайти коефіцієнт$\displaystyle \frac{1}{x-1}$ в частковому дробі розкладання$\displaystyle\frac{3x^3-2x^2+11}{x^2(x-1)(x^2+3)}\text{.}$

4

Перепишіть такі раціональні функції як суму многочлена і раціональної функції, чисельник якої має строго менший ступінь, ніж його знаменник. (Пам'ятайте наш метод розкладання часткового дробу раціональної функції працює тільки тоді, коли ступінь чисельника строго менше ступеня знаменника.)

1. $\dfrac{x^3+2x+2}{x^2+1}$
2. $\dfrac{15x^4+6x^3+34x^2+4x+20}{5x^2+2x+8}$
3. $\dfrac{2x^5+9x^3+12x^2+10x+30}{2x^2+5}$

5

Розподіліть наступні многочлени на лінійні та незведені фактори.

1. $5x^3-3x^2-10x+6$
2. $x^4-3x^2-5$
3. $x^4-4x^3-10x^2-11x-6$
4. $2x^4+12x^3-x^2-52x+15$

6

Ось факт:

Припустимо, у нас є раціональна функція з повторюваним лінійним коефіцієнтом$(ax+b)^n$ в знаменнику, а ступінь чисельника строго менше ступеня знаменника. При розкладанні часткового дробу ми можемо замінити терміни

$$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1} \nonumber$$

з єдиним терміном

$$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2} \nonumber$$

і все одно гарантовано знайде рішення.

Чому ми використовуємо суму in (1), а не єдиний член in (2), при частковому дробному розкладанні?

Етап 2

7 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int_1^2 \frac{\, d{x}}{x+x^2}\text{.}$

8 (✳)

Розрахувати$\displaystyle \int \frac{1}{x^4+x^2}\,\, d{x}\text{.}$

9 (✳)

Розрахувати$\displaystyle \int \frac{12x+4}{(x-3)(x^2+1)}\,dx\text{.}$

10 (✳)

Оцініть наступний невизначений інтеграл за допомогою часткового дробу:

\ begin {збирати*} F (x) =\ int\ frac {3x^2 -4} {(x-2) (x^2+4)}\,\, d {x}. \ end {збирати*}

11 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int \frac{x-13}{x^2-x-6}\, d{x}\text{.}$

12 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int \frac{5x+1}{x^2+5x+6}\, d{x}\text{.}$

13

Оцінити$\displaystyle\int \frac{5x^2-3x-1}{x^2-1} \, d{x}\text{.}$

14

Оцінити$\displaystyle\int \frac{4x^4+14x^2+2}{4x^4+x^2} \, d{x}\text{.}$

15

Оцінити$\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2} \, d{x}\text{.}$

16

Оцінити$\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4} \, d{x}\text{.}$

17

Оцінити$\displaystyle\int_0^1 \frac{10x^2+24x+8}{2x^3+11x^2+6x+5} \, d{x}\text{.}$

Етап 3

У питаннях 18 та 19 ми використовуємо частковий дріб, щоб знайти антипохідні двох важливих функцій: косекансної та кубічної.

Метою виконання розкладання часткового дробу є маніпулювання цілісним у форму, яка легко інтегрується. Ці «легко інтегруються» форми є раціональними функціями, знаменником яких є сила лінійної функції або незведеної квадратичної функції. У питаннях 20-23 ми досліджуємо інтеграцію раціональних функцій, знаменники яких включають нескорочувані квадратики.

У питаннях з 24 по 26 ми використовуємо підстановку, щоб перетворити нераціональний інтеграл в раціональний інтеграл, а потім оцінюємо отриманий інтеграл за допомогою часткового дробу. До цих пір проблеми з частковим дробом, які ви бачили, виглядали в значній мірі однаково, але майте на увазі, що розкладання часткового дробу може бути невеликим кроком у більшій задачі.

18

Використовуючи метод Прикладу 1.10.5, інтегруйте$\displaystyle\int \csc x \, d{x}\text{.}$

19

Використовуючи метод Прикладу 1.10.6, інтегруйте$\displaystyle\int \csc^3 x \, d{x}\text{.}$

20

Оцінити$\displaystyle\int_1^2 \frac{3x^3+15x^2+35x+10}{x^4+5x^3+10x^2} \, d{x}\text{.}$

21

Оцінити$\displaystyle\int\left(\frac{3}{x^2+2}+\frac{x-3}{(x^2+2)^2}\right) \, d{x} \text{.}$

22

Оцінити$\displaystyle\int\frac{1}{(1+x^2)^3} \, d{x}\text{.}$

23

Оцінити$\displaystyle\int \left(3x+\frac{3x+1}{x^2+5}+\frac{3x}{(x^2+5)^2}\right) \, d{x}\text{.}$

24

Оцінити$\displaystyle\int \frac{\cos\theta}{3\sin\theta+\cos^2\theta-3} \, d{\theta}\text{.}$

25

Оцінити$\displaystyle\int\frac{1}{e^{2t}+e^t+1} \, d{t}\text{.}$

26

Оцініть$\displaystyle\int\sqrt{1+e^x} \, d{x}$ за допомогою часткового дробу.

27 (✳)

Регіон$R$ - це частина першого$3\le x\le 4$ квадранта, де і$0\le y\le\dfrac{10}{\sqrt{25-x^2}}\text{.}$

1. Ескіз регіону$R\text{.}$
2. Визначте обсяг твердого тіла, отриманого$R$ обертанням навколо$x$ -осі.
3. Визначте обсяг твердого тіла, отриманого$R$ обертанням навколо$y$ -осі.

28

Знайти площу скінченної області, обмеженої кривими$y=\dfrac{4}{3+x^2}\text{,}$$y=\dfrac{2}{x(x+1)}\text{,}$$x=\dfrac14\text{,}$ і$x=3\text{.}$

29

Нехай$F(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{1}{t^2-9} \, d{t}\text{.}$

1. Дайте формулу для$F(x)$ того, що не передбачає інтеграла.
2. Знайти$F'(x)\text{.}$

1. Нагадаємо, що раціональна функція - це відношення двох многочленів.
2. Ступінь многочлена - найбільша сила$x\text{.}$ For example, the degree of $2x^3+4x^2+6x+8$ is three.
3. Незабаром ми перейдемо до прикладу (приклад 1.10.2 насправді), в якому ступінь чисельника принаймні така ж велика, як і ступінь знаменника - в цій ситуації ми повинні витягти поліном,$P(x)$ перш ніж ми зможемо перейти до кроку 2.
4. Тобто беремо розкладену форму і підсумовуємо її назад разом.
5. Хоча, справедливості заради, ми зробили крок 3 двічі - і це найнудніший біт... Насправді - іноді факторинг знаменника може бути досить складним завданням. Розглянемо це питання більш докладно найближчим часом.
6. Зазвичай не думають про математичні завдання чи іспити як приємні добрі місця... Поліноми, які з'являються в «реальному світі», не настільки прощають. Природа, червоний в зубі і кігті — цитувати Теннісона недоречно (особливо, коли цей автор не знає інших слів з вірша).
7. Додаток А.16 містить кілька простих прийомів факторингу поліномів. Рекомендуємо вам ознайомитися з ними.
8. Якщо бути точним, квадратне рівняння$ax^2+bx+c=0$ has solutions $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ The term $b^2-4ac$ is called the discriminant and it tells us about the number of solutions. If the discriminant is positive then there are two real solutions. When it is zero, there is a single solution. And if it is negative, there is no real solutions (you need complex numbers to say more than this).
9. Ця ж ідея виникла в розділі 1.9. З огляду на квадратичну, написану як$Q(x)= ax^2+bx+c$ rewrite it as $Q(x) = a(x+d)^2+e\text{.}$ We can determine $d$ and $e$ by expanding and comparing coefficients of $x\text{:}$ $ax^2+bx+c = a(x^2+2dx+d^2)+e = ax^2 + 2dax + (e+ad^2) \text{.}$ Hence $d=b/2a$ and $e=c-ad^2\text{.}$
10. Ризикуючи цитувати Ніцше, «Те, що нас не вбиває, робить нас сильнішими». Хоча цей автор завжди віддавав перевагу логічно еквівалентному контрапозитиву — «Те, що не робить нас сильнішими, вб'є нас». Однак ніхто, швидше за все, не постраждає від практики часткових дробів або пошуку цитат у Вікіпедії. Це також хороший привід нагадати собі про те, що таке контрапозитив - хоча ми, швидше за все, подивимося на них знову, коли перейдемо до послідовностей та серій.
11. Це обґрунтовано у (необов'язковому) підрозділі «Обґрунтування розкладень часткових дробів» нижче.
12. Ну — не зовсім загальна форма, в тому сенсі, що ми не допускаємо використання комплексних чисел. В результаті ми повинні використовувати як лінійні, так і квадратичні множники в знаменнику. Якби ми могли використовувати комплексні числа, ми могли б обмежитися лінійними факторами.
13. Насправді квадратичних факторів можна повністю уникнути, тому що, якщо використовувати комплексні числа, то кожен многочлен може бути записаний як добуток лінійних факторів. Це фундаментальна теорема алгебри.
14. Якщо ми дозволяємо собі використовувати складні числа як коріння, це загальний випадок. Нам не потрібно розглядати квадратичні (або вищі) фактори, оскільки всі поліноми можна записати як добуток лінійних факторів зі складними коефіцієнтами.
15. Вона фігурує в «Стихіях Евкліда», яка була написана близько 300 р. До н.е., і вона, ймовірно, була відома ще до цього.
16. Це припускає, що існує хоча б один лінійний коефіцієнт. Якщо ні, ми враховуємо$D(x) = (x^2+b_1x + c_1)^{n_1} Q_2(x)$ instead.