1.4: Заміна

У попередньому розділі ми досліджували фундаментальну теорему числення та зв'язок, який вона забезпечує між певними інтегралами та антипохідними. Дійсно, інтеграли з простими інтегралами зазвичай оцінюються за цим посиланням. У цьому розділі ми починаємо досліджувати методи інтеграції більш складних інтегралів. Ми вже бачили - через теорему 1.2.1 - що інтеграли дуже добре взаємодіють із додаванням, відніманням та множенням на константи:

\ begin {align*}\ int_a^b\ ліворуч (Af (x) + B g (x)\ праворуч)\, d {x} &= A\ int_a^b f (x)\, d {x} + B\ int_a^b g (x)\, d {x}\ end {align*}

для$A,B$ констант. Об'єднавши це з переліком невизначених інтегралів у теоремі 1.3.17, ми можемо обчислити інтеграли лінійних комбінацій простих функцій. Наприклад

\ begin {align*}\ int_1^4\ ліворуч (e^x - 2\ sin x + 3x^2\ праворуч)\, d {x} &=\ int_1^4e^x\, d {x} -2\ int_1^4\ sin x\, d {x} +3\ int_1^4x^2\, d {x}\\ &=\ ліворуч (e^^4x^2\ x + (-2)\ cdot (-\ cos x) + 3\ frac {x^3} {3}\ праворуч)\ bigg|_1^4 &\ text {і так далі}\ end {align*}

Звичайно, існує безліч функцій, до яких можна підійти таким чином, однак є кілька дуже простих прикладів, які не можуть.

\ begin {вирівнювати*}\ int\ sin (\ пі х)\, d {x} &&\ int х e^x\, d {x} &\ int\ frac {x} {x^2-5x+6}\, d {x}\ end {align*}

У кожному випадку інтеграли не є лінійними комбінаціями простіших функцій; для їх обчислення нам потрібно зрозуміти, як інтеграли (та антипохідні) взаємодіють з композиціями, продуктами та частками. Ми досягли дуже подібної точки в нашому диференціальному обчисленні, де ми зрозуміли лінійність похідної,

\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ ліворуч (Af (x) + Bg (x)\ праворуч) &= A\ frac {df} {dx} + B\ frac {dx} {dx},\ end {align*}

але ще не бачив ланцюга, продукту та частки правил ¹. Поки ми будемо розробляти інструменти для пошуку другого та третього інтегралів у наступних розділах, ми повинні почати з того, як інтегрувати композиції функцій.

Важливо заздалегідь заявити, що взагалі не можна записати інтеграл складу двох функцій — навіть якщо ці функції прості. Це не тому, що інтеграл не існує. Швидше це тому, що інтеграл не може бути записаний як кінцева комбінація стандартних функцій, які ми знаємо. Дуже хорошим прикладом цього, з яким ми зіткнулися в прикладі 1.3.4, є склад$e^x$ і$-x^2\text{.}$ хоча ми знаємо

\ begin {align*}\ int e^x\, d {x} &= e^x+C &\ текст {і} &&\ int -x^2\, d {x} &= -\ frac13 x^3 +C\ end {align*}

немає простої функції, яка дорівнює невизначеному інтегралу

\ begin {збирати*}\ int e^ {-x^2}\, d {x}. \ end {збирати*}

навіть незважаючи на те, що невизначений інтеграл існує. Таким чином інтеграція сильно відрізняється від диференціації.

З цим застереженням, ми можемо ввести правило заміни. Правило заміщення отримують шляхом антидиференціації правила ланцюга. У певному сенсі це правило ланцюга в зворотному порядку. Для повноти повторимо правило ланцюга:

Теорема 1.4.1 Правило ланцюга

Нехай$F(u)$ і$u(x)$ будуть диференційовані функції і формують їх склад$F(u(x))\text{.}$ Тоді

\ begin {align*}\ frac {d} {dx} F\ великий (u (x)\ великий) &= F '\ великий (u (x)\ великий)\ cdot u' (x)\ end {align*}

Рівнозначно, якщо$y(x)=F(u(x))\text{,}$ тоді

\ begin {вирівнювати*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {дФ} {ду}\ ddo\ dfrac {ду} {dx}. \ end {вирівнювати*}

Розглянемо функцію,$f(u)\text{,}$ яка має$F(u)\text{.}$ антидеривативне Тоді ми знаємо, що

\ почати {вирівнювати*}\ int f (u)\, d {u} &=\ int F '(u)\, d {u} = F (u) +C\ end {вирівнювати*}

Тепер візьміть вищевказане рівняння і підставляйте в нього$u=u(x)$ — тобто замініть змінну$u$ будь-якою (диференційованою) функцією,$x$ щоб отримати

\ почати {вирівнювати*}\ int f (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=u (x)} &= F (u (x)) +C\ end {вирівнювати*}

Але тепер права сторона є функцією$x\text{,}$ так що ми можемо диференціювати його по відношенню$x$ до отримати

\ begin {вирівнювати*}\ frac {d} {dx} F (u (x)) &= F '(u (x))\ cdot u' (x)\ end {align*}

Це говорить нам про те, що$F(u(x))$ є антипохідною функції$F'(u(x))\cdot u'(x) = f(u(x))u'(x)\text{.}$ Таким чином, ми знаємо

\ begin {align*}\ int f\ великий (u (x)\ великий)\ cdot u' (x)\,\, d {x} &= F\ великий (u (x)\ великий) +C =\ int f (u)\,\, d {u}\ bigg|_ {u = u (x)}\ кінець {вирівня*}

Це правило підстановки невизначеного інтегралу.

Теорема 1.4.2 Правило підстановки — невизначений інтегральний варіант

Для будь-якої диференційованої функції$u(x)\text{:}$

\ begin {вирівнювати*}\ int f (u (x)) u' (x)\, d {x} &=\ int f (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=u (x)}\ end {align*}

Для того, щоб успішно застосувати правило підміни, нам доведеться написати integrand$f(u(x))\cdot u'(x)\text{.}$ в формі. Для цього нам потрібно зробити хороший вибір функції,$u(x)\text{;}$ після цього її не важко потім знайти$f(u)$ і,$u'(x)\text{.}$ На жаль, немає єдиної стратегії вибору.$u(x)\text{.}$ Це може зробити застосування правила заміщення більше мистецтва, ніж наука ². Тут ми пропонуємо дві можливі стратегії вибору$u(x)\text{:}$

1. Фактор integrand і вибрати один з факторів бути$u'(x)\text{.}$ Щоб це спрацювало, ви повинні бути в змозі легко знайти антипохідне обраного фактора. Антидериватив буде$u(x)\text{.}$
2. Шукайте фактор в integrand, який є функцією з аргументом, який є більш складним, ніж просто «$x$». Цей фактор буде грати роль$f\big(u(x)\big)$ Вибір$u(x)$ бути складним аргументом.

Ось два приклади, які ілюструють кожну з цих стратегій по черзі.

Приклад 1.4.3$\int 9\sin^8(x) \cos(x) \, d{x}$

Розглянемо інтегральний

\ begin {збирати*}\ int 9\ sin^8 (x)\ cos (x)\, d {x}\ end {збирати*}

Ми хочемо масажувати це у вигляді цілісного в правилі заміщення, а саме:$f(u(x))\cdot u'(x)\text{.}$ Наша цілісність може бути записана як добуток двох факторів.

\ begin {збирати*}\ underbrace {9\ sin^8 (x)} _\ текст {перший множник}\ cdot\ underbrace {\ cos (x)} _\ текст {другий фактор}\ end {gather*}

і ми починаємо з визначення (або вгадування), який фактор відіграє роль$u'(x)\text{.}$ Ми можемо вибрати$u'(x)=9\sin^8(x)$ або$u'(x)=\cos(x)\text{.}$

• Якщо ми виберемо,$u'(x)=9\sin^8(x)\text{,}$ то антидиференціювати$u(x)$ це знайти насправді не дуже просто. Тож, мабуть, краще дослідити інший вибір, перш ніж продовжувати цей.
• Якщо ми виберемо,$u'(x)=\cos(x)\text{,}$ то ми знаємо (Теорема 1.3.17), що$u(x)=\sin(x)\text{.}$ Це також добре працює, тому що це робить інший фактор спростити зовсім небагато$9\sin^8(x) = 9u^8\text{.}$ Це виглядає як правильний шлях.

Отже, йдемо з другим вибором. Встановити$u'(x)=\cos(x), u(x)=\sin(x)\text{,}$ потім

$$\begin{align*} \int 9\sin^8(x) \cos(x) \, d{x} &= \int 9u(x)^8 \cdot u'(x) \, d{x}\\ &= \int 9u^8 \, d{u} \bigg|_{u=\sin(x)} & \text{by the substitution rule}\\ \end{align*}$$

Тепер ми залишилися з проблемою антидиференціації монома; це ми можемо зробити з теоремою 1.3.17.

\ почати {вирівнювати*} &=\ ліворуч (u^9+C\ праворуч)\ bigg|_ {u=\ sin (x)}\\ &=\ sin^9 (x) +C\ end {align*}

Зверніть увагу, що$9\sin^8(x) \cos(x)$ це функція$x\text{.}$ Отже, наша відповідь, яка є невизначеною інтегралом$9\sin^8(x) \cos(x)\text{,}$ повинна бути також$x\text{.}$ функцією Ось чому ми підставили на$u=\sin(x)$ останньому кроці нашого рішення - це робить наше рішення функцією$x\text{.}$

Приклад 1.4.4$\int 3x^2 \cos(x^3) \, d{x}$

Оцініть інтеграл

\ begin {збирати*}\ int 3x^2\ cos (x^3)\, d {x}\ end {збирати*}

Рішення

Знову ми будемо використовувати правило заміщення, і послужливо наш integrand є добутком двох факторів.

\ begin {gather*}\ underbrace {3x^2} _\ text {перший фактор}\ cdot\ underbrace {\ cos (x^3)} _\ text {другий фактор}\ end {gather*}

Другий фактор,$\cos\big(x^3\big)$ це функція, а саме$\cos\text{,}$ зі складним аргументом, а саме$x^3\text{.}$ тому ми намагаємося$u(x)= x^3\text{.}$ Тоді$u'(x) = 3x^2\text{,}$ який є іншим фактором в integrand. Таким чином, інтеграл стає

\ begin {align*}\ int 3x^2\ cos (x^3)\, d {x} &=\ int u' (x)\ cos\ великий (u (x)\ великий)\, d {x} &\ text {просто поміняти порядок факторів}\\ &=\ int\ cos\ великий (u (x)\ великий) u '(x)\, d {x}\ текст {за правилом підстановки}\\ &=\ int\ cos (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=x^3}\\ &=\ лівий (\ sin (u) + C\ правий)\ big|_ {u=x^3} &\ текст {використання теореми} {\ текст {1.3.17}})\\ &=\ sin (x^3) +C\ end {align*}

Ще один - ми використаємо це, щоб показати, як використовувати правило підстановки з певними інтегралами.

Приклад 1.4.5$\int_0^1 e^x\sin(e^x)\, d{x}$

Обчислити

\ begin {збирати*}\ int_0^1 e^x\ sin\ великий (e^x\ великий)\, d {x}. \ end {збирати*}

Рішення

Знову використовуємо правило підміни.

• Інтегран знову є добутком двох факторів, і ми можемо вибрати$u'(x)=e^x$ або$u'(x)=\sin(e^x)\text{.}$
• Якщо ми виберемо$u'(x)=e^x$ тоді$u(x)=e^x$ і стане інший фактор$\sin(u)$ — це виглядає перспективно. Зверніть увагу, що якщо ми застосували іншу стратегію пошуку складного аргументу, то ми прийшли б до того ж вибору.
• Тому ми намагаємося$u'(x)=e^x$ і$u(x)=e^x\text{.}$ Це дає (якщо ми ігноруємо межі інтеграції на мить)

  \ begin {align*}\ int e^x\ sin\ великий (e^x\ big)\, d {x} &=\ int\ sin\ великий (u (x)\ великий) u' (x)\, d {x} &\ text {застосувати правило підстановки}\\ &=\ int\ sin (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=e^x}\ &=\ ліворуч (-\ cos (u) +C\ праворуч)\ bigg|_ {u=e^x}\\ &= -\ cos\ великий (e^x\ великий) +C\ end {align*}

• Але що сталося з межами інтеграції? Ми можемо включити їх зараз. Ми щойно показали, що невизначений інтеграл є$-\cos(e^x)\text{,}$ таким фундаментальною теоремою числення.

  \ begin {align*}\ int_0^1 e^x\ гріх\ великий (e^x\ великий)\, d {x} &=\ великий [-\ cos\ великий (e^x\ великий)\ великий] _0^1\\ &= -\ cos (e^1) - (-\ cos (e^0))\\ &= -\ cos (e) +\ cos (1))\ end {вирівнювати*}

Теорема 1.4.2, правило заміщення невизначеного інтегралу, говорить нам, що якщо$F(u)$ будь-яка антипохідна для$f(u)\text{,}$ то$F\big(u(x)\big)$ є антипохідною для$f\big(u(x)\big) u'(x)\text{.}$ Отже, фундаментальна теорема числення дає нам

\ begin {align*}\ int_a^b f\ big (u (x)\ великий) u' (x)\,\, d {x} &= F\ великий (u (x)\ великий)\ big|_ {x=a} ^ {x = b}\ &= F\ великий (u (b)\ великий) - F\ великий (u (u (a)\ великий)\ =\ int_ {u (a)} ^ {u (b)} f (u)\,\, d {u} &\ text {оскільки $F (u) $ є антипохідним для $f (u) $}\ end {align*}

і ми щойно знайшли

Теорема 1.4.6 Правило підстановки — певна інтегральна версія

Для будь-якої диференційованої функції$u(x)\text{:}$

\ begin {align*}\ int_a^b f (u (x)) u' (x)\, d {x} &=\ int_ {u (a)} ^ {u (b)} f (u)\, d {u}\ end {align*}

Зверніть увагу, що отримати від інтеграла на лівій стороні до інтеграла на правій стороні ви

• замінник ³$u(x)\rightarrow u$ і$u'(x)\, d{x}\rightarrow \, d{u}\text{,}$
• встановити нижню межу для$u$ інтеграла значення$u$ (а саме$u(a)$), яке відповідає нижній межі$x$ інтеграла (а саме$x=a$), і
• встановити верхню межу для$u$ інтеграла значення$u$ (а саме$u(b)$), яке відповідає верхній межі$x$ інтеграла (а саме$x=b$).

Також зауважимо, що тепер у нас є два способи оцінки певних інтегралів виду$\int_a^b f\big(u(x)\big)u'(x)\,\, d{x}\text{.}$

• Ми можемо знайти невизначений інтеграл$\int f\big(u(x)\big) u'(x)\,\, d{x}\text{,}$ за допомогою теореми 1.4.2, а потім оцінити результат між$x=a$ і$x=b\text{.}$ Це те, що було зроблено в прикладі 1.4.5.
• Або ми можемо застосувати теорему 1.4.2. Це тягне за собою знаходження невизначеного інтеграла$\int f(u)\,\, d{u}$ та оцінку результату між$u=u(a)$ і$u=u(b)\text{.}$ Це те, що ми зробимо в наступному прикладі.

Приклад 1.4.7$\int_0^1 x^2\sin(x^3+1)\, d{x}$

Обчислити

\ begin {збирати*}\ int_0^1 x^2\ sin\ великий (x^3+1\ великий)\, d {x}\ end {збирати*}

Рішення

• У цьому прикладі цілісність вже акуратно розбита на дві частини. Хоча ми могли б розгорнути будь-яку з наших двох стратегій, можливо, простіше в цьому випадку вибрати,$u(x)$ шукаючи складний аргумент.
• Другим фактором integrand є те$\sin\big(x^3+1\big)\text{,}$, що функція$\sin$ оцінюється в$x^3+1\text{.}$ So set$u(x)=x^3+1\text{,}$ даючи$u'(x)=3x^2$ і$f(u)=\sin(u)$
• Перший фактор integrand - це не зовсім$x^2$,$u'(x)\text{,}$ однак ми можемо легко масажувати цілісність в необхідну форму, множивши і діливши на$3\text{:}$

  \ begin {align*} x^2\ sin\ великий (x^3+1\ big) &=\ frac {1} {3}\ cdot 3x^2\ cdot\ sin\ великий (x^3+1\ великий). \ end {вирівнювати*}

• Ми хочемо це у вигляді правила підміни, тому робимо невеликий масаж:

  \ begin {align*}\ int_0^1 x^2\ sin\ великий (x^3+1\ великий)\, d {x} &=\ int_0^1\ frac {1} {3}\ cdot\ cdot\ sin\ великий (x^3+1\ великий)\, d {x}\\ &=\ frac {1} {3}\ int_0^1\ гріх\ великий (х ^ 3+1\ великий)\ cdot 3x^2\, d {x}\\ &\ hskip1.5in\ текст {за теоремою} {\ текст {1.2.1}}\ текст {(c)}\ кінець {align*}

• Тепер ми готові до правила підміни: $$\begin{align*} \frac{1}{3}\int_0^1 \sin\big(x^3+1\big)\cdot 3x^2 \, d{x} &=\frac{1}{3}\int_0^1 \underbrace{\sin\big(x^3+1\big)}_{=f(u(x))}\cdot \underbrace{3x^2}_{=u'(x)} \, d{x}\\ \end{align*}$$

  Тепер встановлюємо$u(x)=x^3+1$ і$f(u)=\sin(u)$

  \ begin {align*} &=\ розриву {1} {3}\ int_0^1 f (u (x)) u' (x)\, d {x}\ &=\ frac {1} {3}\ int_ {u (0)} ^ {u (1)} f (u)\, d {u}} &\ text {за правилом підстановки}\\ &=\ гідророзриву {1} {3}\ int_ {1} ^ {2}\ sin (u)\, d {u} &\ текст {оскільки $u (0) =1$ і $u (1) =2$}\\ &=\ фрак {1} {3}\ великий [-\ cos (u)\ великий] _1^2\\ &=\ frac { 1} {3}\ великий (-\ cos (2) - (-\ cos (1))\ великий)\\ &=\ гідророзриву {\ cos (1) -\ cos (2)} {3}. \ end {вирівнювати*}

Є ще один, а можливо і більш простий, спосіб перегляду маніпуляцій в попередньому прикладі. Після того, як ви вибрали$u(x)$ вас

• зробити заміну$u(x) \rightarrow u\text{,}$
• замінити$\, d{x} \rightarrow \dfrac{1}{u'(x)} \, d{u}\text{.}$

При цьому ми беремо інтеграл

\ почати {вирівнювати*}\ int_a^b f (u (x))\ cdot u' (x)\, d {x} &=\ int_ {u (a)} ^ {u (b)} f (u)\ cdot u' (x)\ cdot\ frac {1} {u '(x)}\, d {u}\ u}\\ &=\ int_ {u' (x)}\ (a)} ^ {u (b)} f (u)\, d {u} &\ text {саме правило підстановки}\ end {align*}

але ми не повинні маніпулювати integrand так, щоб зробити$u'(x)$ явним. Переробимо попередній приклад таким підходом.

Приклад 1.4.8 Приклад 1.4.7 переглянуто

Обчислити інтеграл

\ begin {збирати*}\ int_0^1 x^2\ sin\ великий (x^3+1\ великий)\, d {x}\ end {збирати*}

Рішення

• Ми вже спостерігали, що одним з факторів integrand є$\sin\big(x^3+1\big)\text{,}$ який$\sin$ оцінюється в$x^3+1\text{.}$ Таким чином, ми намагаємося встановити$u(x)=x^3+1\text{.}$
• Це робить$u'(x)=3x^2\text{,}$ і ми замінюємо$u(x)=x^3+1\rightarrow u$ і$\, d{x}\rightarrow\frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{3x^2}\, d{u}\text{:}$

  \ begin {align*}\ int_0^1 x^2\ гріх\ великий (x^3+1\ великий)\, d {x} &=\ int_ {u (0)} ^ {u (1)} x^2\ піддужка {\ гріх\ великий (x^3+1\ великий)} _ {=\ sin (u)}\ frac {1} {3x^2}, d {u}\\ &=\ int_ {1} ^ {2}\ sin (u)\ frac {x^2} {3x^2}\, d {u}\\ &=\ int_ {1} ^ {2}\ frac {1} {3}\ sin (u)\, d {u}\ &=\ frac {1} {3}\ int_ {1} ^ {2}\ sin (u)\, d {u}\ end {align*}

  який є саме інтегралом, який ми знайшли в прикладі 1.4.7.

Приклад 1.4.9 Ще кілька замін

Обчислити невизначені інтеграли

\ begin {align*}\ int\ sqrt {2x+1}\, d {x} &&\ текст {і} &&\ int e^ {3x-2}\, d {x}\ end {align*}

Рішення

• Починаючи з першого інтеграла, ми бачимо, що не надто важко помітити складний аргумент. Якщо ми встановимо,$u(x)=2x+1$ то integrand просто$\sqrt{u}\text{.}$
• Звідси підставляємо$2x+1 \rightarrow u$ і$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u}=\frac{1}{2}\, d{u}\text{:}$

  \ почати {вирівнювати*}\ int\ sqrt {2x+1}\, d {x} &=\ int\ sqrt {u}\ frac {1} {2}\, d {u}\\ &=\ int u^ {1/2}\ frac {1} {2}\, d {u}\ &=\ лівий (\ frac {2} {3} u^ {2}\ cdot\ гідророзриву {1} {2} +C\ праворуч)\ bigg|_ {u=2x+1}\\ &=\ гідророзриву {1} {3} (2x+1) ^ {3/2} + C\ end {align*}

• Ми можемо оцінити другий інтеграл приблизно так само. Встановити$u(x)=3x-2$ і замінити$\, d{x}$ на$\frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{3}\, d{u}\text{:}$

  \ почати {вирівнювати*}\ int e^ {3x-2}\, d {x} &=\ int e^u\ розриву {1} {3}\, d {u}\\ &=\ лівий (\ frac {1} {3} e^u + C\ правий)\ big|_ {u=3x-2}\\ &=\ frac {1} {3} е ^ {3} 3x-2} +C\ end {вирівнювати*}

Цей останній приклад ілюструє, що заміщення може бути використано для легкого вирішення аргументів форми,$ax+b\text{,}$ тобто які є лінійними функціями,$x\text{,}$ і пропонує наступну теорему.

Теорема 1.4.10

$F(u)$Дозволяти бути антипохідним$f(u)$ і нехай$a,b$ бути константами. Тоді

\ begin {вирівнювати*}\ int f (ax+b)\, d {x} &=\ frac {1} {a} F (ax+b) +C\ end {вирівнювати*}

Доказ

Ми можемо показати це за допомогою правила підміни. Нехай$u(x)=ax+b$ так$u'(x)=a\text{,}$ тоді

\ почати {вирівнювати*}\ int f (ax+b)\, d {x} &=\ int f (u)\ cdot\ frac {1} {u' (x)}\, d {u}\ &=\ int\ frac {1} {a} f (u)\, d {u}\\ &=\ frac {1} {a}\ int f (u)\, d {u} &\ text {оскільки $a$ є константою}\\ &=\ frac {1} {a} F (u)\ big|_ {u=ax+b} +C &\ text {оскільки $F (u) $ є антипохідним $f (u) $}\\ &=\ frac {1 } {a} F (ax+b) +C.\ end {align*}

Тепер ми можемо зробити наступний приклад, використовуючи правило підстановки або вищевказану теорему:

Приклад 1.4.11$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x)\, d{x}$

Обчислити$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x)\, d{x}\text{.}$

• У цьому прикладі ми повинні встановити$u=3x\text{,}$ і замінити$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{3}\, d{u}.$ Коли ми робимо це, ми також повинні перетворити межі інтеграла:$u(0)=0$ і$u(\pi/2)=3\pi/2\text{.}$ Це дає

  \ begin {align*}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ cos (3x)\, d {x} &=\ int_0^ {\ frac {3\ pi} {2}}\ cos (u) {1} {3}\, d {u}\ &=\ лівий [\ frac {1} {3}\ sin (u)\ право] _0^ {\ frac {3\ pi} {2}}\\ &=\ гідророзриву {\ sin (3\ pi/2) -\ sin (0)} {3}\\ &=\ frac {-1-0} {3} = -\ гідророзриву {1} {3}. \ end {вирівнювати*}

• Ми також можемо зробити цей приклад більш безпосередньо, використовуючи вищевказану теорему. Оскільки$\sin(x)$ є антипохідним від$\cos(x)\text{,}$ теореми 1.4.10 говорить нам, що$\frac{\sin(3x)}{3}$ це антипохідне від$\cos(3x)\text{.}$ Отже

  \ begin {align*}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ cos (3x)\, d {x} &=\ лівий [\ frac {\ sin (3x)} {3}\ праворуч] _0^ {\ frac {\ pi} {\ pi} {2}}\\ &=\ frac {\ sin (3\ pi/2) -\ sin (0)} {3}\\ &= -\ гідророзриву {1} {3}. \ end {вирівнювати*}

Решта цього розділу - лише додаткові приклади правила підміни. Ми рекомендуємо вам після прочитання цих, що ви практикуєте багато прикладів самостійно в умовах іспиту.

Приклад 1.4.12$\int_0^1 x^2\sin(1-x^3)\, d{x}$

Цей інтеграл виглядає дуже схожим на приклад 1.4.7. Має сенс спробувати,$u(x)=1-x^3$ оскільки це аргумент$\sin(1-x^3)\text{.}$ Ми

• замінник$u=1-x^3$ і
• замінити$\, d{x}$ на$\frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{-3x^2}\, d{u}\text{,}$
• коли у$x=0\text{,}$ нас є$u=1-0^3=1$ і
• коли у$x=1\text{,}$ нас є$u=1-1^3=0\text{.}$

Так

$$\begin{align*} \int_0^1 x^2 \sin\big(1-x^3\big)\cdot \, d{x} &=\int_1^0 x^2 \sin(u) \cdot \frac{1}{-3x^2}\, d{u}\\ &= \int_1^0 -\frac{1}{3}\sin(u)\, d{u}.\\ \end{align*}$$

Зверніть увагу, що нижня межа$u$ -інтеграла, а$1\text{,}$ саме більше верхньої межі, яка є$0\text{.}$ В цьому немає абсолютно нічого поганого. Ми можемо просто оцінити$u$ -інтеграл в нормальний спосіб. Так як$-\cos(u)$ є антипохідним від$\sin(u)\text{:}$

\ begin {вирівнювати*} &=\ ліворуч [\ frac {\ cos (u)} {3}\ праворуч] _1^0\ &=\ гідророзриву {\ cos (0) -\ cos (1)} {3}\ &=\ frac {1-\ cos (1)} {3}. \ end {вирівнювати*}

Приклад 1.4.13$\int_0^1\frac{1}{(2x+1)^3}\, d{x}$

Обчислити$\int_0^1\frac{1}{(2x+1)^3}\, d{x}\text{.}$

Ми могли б зробити це за допомогою теореми 1.4.10, але без цього не дуже важко обійтися. Ми можемо думати про integrand як про функцію «один над кубом» з аргументом$2x+1\text{.}$ Так$u=2x+1\text{.}$ що має сенс замінити Це

• набір$u=2x+1$ і
• замінити$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{2}\, d{u}\text{.}$
• Коли у$x=0\text{,}$ нас є$u=2\times 0+1=1$ і
• коли у$x=1\text{,}$ нас є$u=2\times 1+1=3\text{.}$

Так

\ begin {align*}\ int_0^1\ розриву {1} {(2x+1) ^3}\, d {x} &=\ int_1^ {3}\ розриву {1} {u^3}\ cdot\ frac {1} {2}\, d {u}\ &=\ гідророзриву {1} {2}\ int_1^ {3} {-3}\, d {u}\\ &=\ гідророзриву {1} {2}\ ліворуч [\ frac {u^ {-2}} {-2}\ праворуч] _1^ {3}\ &=\ frac {1} {2} {-2}\ cdot\ гідророзриву {1} {1}\ cdot\ frac {1} {1}\ право)\\ &=\ FRAC {1 } {2}\ ліворуч (\ розрив {1} {2} -\ розрив {1} {18}\ праворуч) =\ гідророзриву {1} {2}\ cdot\ гідророзриву {8} {18}\ &=\ frac {2} {9}\ end {align*}

Приклад 1.4.14$\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\, d{x}$

Оцінити$\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\, d{x}\text{.}$

Рішення

• Integrand можна переписати як$x \cdot \frac{1}{1+x^2}\text{.}$ Цей другий фактор говорить про те, що ми повинні спробувати встановити$u=1+x^2$ - і тому ми інтерпретуємо другий фактор як функцію «один над», що оцінюється в аргументі$1+x^2\text{.}$
• З цим вибором ми
  • набір$u=1+x^2\text{,}$
  • замінник$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{2x}\, d{u}\text{,}$ і
  • перекласти межі інтеграції: коли$x=0\text{,}$ ми маємо$u=1+0^2=1$ і коли$x=1\text{,}$ маємо$u=1+1^2=2\text{.}$
• Інтеграл тоді стає

  \ begin {align*}\ int_0^1\ гідророзриву {x} {1+x^2}\, d {x} &=\ int_1^2\ розриву {x} {u}\ frac {1} {2x}\, d {u}\ &=\ int_1^2\ гідророзриву {1} {2u}\, d {u}\\ &=\ гідророзриву {1} {2}\ великий [\ log|u|\ великий] _1^2\ &=\ гідророзриву {\ лог 2 -\ журнал 1} {2} =\ гідророзриву {\ log 2} {2}. \ end {вирівнювати*}

Пам'ятайте, що ми використовуємо позначення «$\log$» для натурального логарифма, тобто логарифма з основою$e\text{.}$ Ви також можете бачити його написаним як «$\ln x$», або з основою, зробленої явним як «$\log_e x$».

Приклад 1.4.15$\int x^3\cos\big(x^4+2\big)\, d{x}$

Обчислити інтеграл$\int x^3\cos\big(x^4+2\big)\, d{x}\text{.}$

Рішення

• Integrand - це добуток$\cos$ обчислюється в аргумент$x^4+2$ часу$x^3\text{,}$, який, крім множника,$4\text{,}$ є похідною аргументу.$x^4+2\text{.}$
• Отже, ми встановлюємо,$u=x^4+2$ а потім підставляємо$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{4x^3}\, d{u}\text{.}$
• Перш ніж продовжувати, слід зазначити, що це невизначений інтеграл, тому нам не доведеться турбуватися про межі інтеграції. Однак нам потрібно переконатися, що наша відповідь є функцією$x$ - ми не можемо залишити її як функцію$u\text{.}$
• При такому виборі$u\text{,}$ інтеграла потім стає

  \ почати {вирівнювати*}\ int x^3\ cos\ великий (x^4+2\ великий)\, d {x} &=\ int x^3\ cos (u)\ розриву {1} {4x^3}\, d {u}\ bigg|_ {u=x^4+2}\\ &=\ int\ frac {1} {4}\ cos (u)\, {d u}\ bigg|_ {u=x^4+2}\\ &=\ лівий (\ frac {1} {4}\ sin (u) +C\ праворуч)\ bigg|_ {u=x^4+2}\\ &=\ frac {1} {4}\ sin (x^4+2) +C.\ end {align*}

Наступні два приклади більш залучені і вимагають більш ретельного мислення.

Приклад 1.4.16$\int \sqrt{1+x^2}\,x^3\, d{x}$

Обчислити$\int \sqrt{1+x^2}\,x^3\, d{x}\text{.}$

• Очевидним вибором$u$ є аргумент всередині квадратного кореня. Так підставляємо$u=1+x^2$ і$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{2x}\, d{u}\text{.}$
• Коли ми це робимо, ми отримуємо

  \ почати {вирівнювати*}\ int\ sqrt {1+x^2}\ cdot x^3\, d {x} &=\ int\ sqrt {u}\ cdot\ frac {1} {2x}\, d {u}\ &=\ int\ FRAC {1} {2}\ sqrt {u}\ cdot x^2\ d {u}\ end {вирівнювати*}

  На відміну від усіх наших попередніх прикладів, ми не скасували всі з integrand.$x$ Однак, перш ніж ми робимо інтеграл$u\text{,}$ по відношенню до integrand повинен бути виражений виключно з точки зору$u$ -$x$ ні дозволені. (Подивіться, що integrand на правій стороні теореми 1.4.2.)
• Але не все втрачено. Ми можемо переписати коефіцієнт з$x^2$ точки зору змінної$u\text{.}$ Ми знаємо, що$u=1+x^2\text{,}$ так це означає$x^2 = u-1\text{.}$ Підставляючи це в наш інтеграл дає

  \ почати {вирівнювати*}\ int\ sqrt {1+x^2}\ cdot x^3\, d {x} &=\ int\ FRAC {1} {2}\ sqrt {u}\ cdot x^2\, d {u}\\ &=\ int\ frac {1} {2}\ sqrt {u}\ cdot (u-1)\, d {u}}\\ &=\ розриву {1} {2}\ int\ ліворуч (u^ {3/2} -u^ {1/2}\ праворуч)\, d {u}\ &=\ розриву {1} {2}\ ліворуч (\ frac {2} {5} u^ {5/2} -\ frac {2} {3} u^ {3/2}\ праворуч)\ big|_ {u=x^2+1} +С\\ &=\ ліворуч (\ розрив {1} {5} u^ {5/2} -\ розрив {1} {3} u^ {3/2}\ праворуч)\ bigg|_ {u=x^2+1} +C\\ &=\ розрив {1} {5} (x^2+1) ^ {5/2} -\ frac {1} {3} (x^2+1 ^) {3/2} +C.\ end {вирівнювати*}

  Оф!
• Не забувайте, що ви завжди можете перевірити відповідь, диференціюючи:

  \ begin {align*} &\ гідророзриву {d} {dx}\ ліворуч (\ розриву {1} {5} (x^2+1) ^ {5/2} -\ розриву {1} {3} (x^2+1) ^ {3/2} +C\ &=\ розриву {d} {dx}\ ліворуч (\ frac {1} {5} (x^2} +1) ^ {5/2}\ праворуч) -\ frac {d} {dx}\ ліворуч (\ frac {1} {3} (x^2+1) ^ {3/2}\ праворуч)\\ &=\ frac {1} {5}\ cdot 2x\ cdot\ frac {5} {2}\ cdot (x^2+1) ^ {3/2} {1} {3}\ точка 2х\ cdot\ розрив {3} {2}\ cdot (x^2+1) ^ {1/2}\ &= x (x^2+1) ^ {3/2} - x (x^2+1) ^ {1/2}\ &= х\ великий [(x^2+1) -1\ великий]\ cdot\ sqrt {x^2+1}\\ &= x ^ 3\ sqrt {^2+1}. \ end {вирівнювати*}

  який є оригінальним цілісним$\checkmark\text{.}$

Приклад 1.4.17$\int \tan x\, d{x}$

Оцініть невизначений інтеграл$\int \tan(x) \, d{x}\text{.}$

Рішення

• На перший погляд тут нічим маніпулювати і так дуже мало йти далі. Однак ми можемо переписати$\tan x$ як$\frac{\sin x}{\cos x}\text{,}$ зробити інтеграл$\int \frac{\sin x}{\cos x}\, d{x}\text{.}$ Це дає нам більше працювати.
• Тепер подумайте про integrand як про продукт$\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x\text{.}$ Це говорить про те, що ми встановили$u=\cos x$ і що ми інтерпретуємо перший фактор як функцію «один над» оцінюється на$u=\cos x\text{.}$
• Підставити$u = \cos x$ і$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{-\sin x}\, d{u}$ дати:

  \ begin {вирівнювати*}\ int\ frac {\ sin x} {\ cos x}\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin x} {u}\ frac {1} {-\ sin x}\, d {u}\ bigg|_ {u=\ cos x}\\ &=\ int -\ frac {1} {u} bigg|_ {u=\ cos x}\\ &= -\ log|\ cos x | +C &\ text {і якщо ми хочемо піти далі}\\ &=\ log\ left |\ frac {1} {\ cos x}\ право|+C\\ &=\ log|\ сек x | +C\ кінець {вирівнювати*}

У всіх перерахованих вище прикладах підстановки ми висловили нову змінну$u(x)\text{,}$ інтеграції,$u\text{,}$ як функцію, старої інтеграційної змінної$x\text{.}$ Також можна висловити стару змінну інтеграції,$x\text{,}$ як функцію,$x(u)\text{,}$ нової інтеграційної змінної$u\text{.}$ Ми див. приклади цього в розділі 1.9.

Вправи

Нагадаємо, що ми використовуємо$\log x$ для позначення логарифма$x$ з основою.$e\text{.}$ В інших курсах його часто позначають.$\ln x\text{.}$

Етап 1

1

1. Правда чи помилково:$\displaystyle\int \sin(e^x)\cdot e^x\, d{x} = \left.\displaystyle\int \sin(u)\,d u\right|_{u=e^x} = -\cos(e^x)+C$
2. Правда чи помилково:$\displaystyle\int_0^1 \sin(e^x)\cdot e^x\, d{x} = \displaystyle\int_0^1 \sin(u),\d u = 1-\cos(1)$

2

Чи звучать такі міркування? Якщо немає, виправте це.

Проблема: Оцініть$\displaystyle\int (2x+1)^2 \, d{x}\text{.}$

Робота: Використовуємо підміну$u=2x+1\text{.}$ Тоді:

\ почати {вирівнювати*}\ int (2x+1) ^2\, d {x} &=\ int u^2\, d {u}\ &=\ розрив {1} {3} u^3+C\\ &=\ розрив {1} {3}\ лівий (2x+1\ праворуч) ^3+C\ кінець {вирівнювати*}

3

Чи звучать такі міркування? Якщо немає, виправте це.

Проблема: Оцініть$\displaystyle\int_{1}^{\pi} \dfrac{\cos(\log t)}{t}\, d{t}\text{.}$

Робота: Ми використовуємо підстановку$u=\log t\text{,}$ так$\, d{u}=\frac{1}{t}\, d{t}\text{.}$ далі:

\ begin {align*}\ int_ {1} ^ {\ pi}\ dfrac {\ cos (\ log t)} {t}\, d {t} &=\ int_1^ {\ pi}\ cos (u)\, d {u}\ &=\ sin (\ pi) -\ sin (1) =\ sin (1)\,. \ end {вирівнювати*}

4

Чи звучать такі міркування? Якщо немає, виправте це.

Проблема: Оцініть$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \, d{x}\text{.}$

Робота: Починаємо з підміни$u=x^2\text{,}$$\, d{u} = 2x\, d{x}\text{:}$

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \, d{x}&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\, d{x}\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\, d{u}\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\, d{u}\\ \end{align*}$$

Тепер використовуємо підміну$v=\cos u\text{,}$$\, d{v}=-\sin u \, d{u}\text{:}$

\ почати {вирівнювати*} &=\ гідророзриву {1} {2}\ int_ {\ cos 0} ^ {\ cos (\ pi^2/16)} -\ dfrac {1} {v}\, d {v}\ &=-\ frac {1} {2}\ int_ {1} ^ {\ cos (\ pi^2/16)}\ dfrac {1} v}\, d {v}\\ &=-\ гідророзриву {1} {2}\ ліворуч [\ log|v|\ праворуч] _ {1} ^ {\ cos (\ pi^2/16)}\\ & =-\ frac {1} {2}\ ліворуч (\ журнал\ ліворуч (\ cos (\ pi ^2/16)\ праворуч) -\ лог (1)\ праворуч\ &=-\ гідророзриву {1} {2}\ увійти\ ліворуч (\ cos (\ pi^2/16)\ праворуч)\ кінець {align*}

5 (✳)

Що таке інтеграл, який виходить при$u= \sin x$ застосуванні заміщення до інтеграла$\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(\sin x)\,\, d{x}\text{?}$

6

$g$Дозволяти$f$ і бути функції, які є безперервними і диференційованими скрізь. Спростити

$$\int f'(g(x))g'(x)\, d{x} - f(g(x)). \nonumber$$

Етап 2

7 (✳)

Використовуйте заміну для оцінки$\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos (e^{x^2}) \,\, d{x}\text{.}$

8 (✳)

$f(t)$Дозволяти будь-яка функція, для якої$\displaystyle\int_1^8 f(t)\,\, d{t}=1\text{.}$ Обчисліть інтеграл$\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x^3)\,\, d{x}\text{.}$

9 (✳)

Оцінити$\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\left ( x^{3}+31 \right )^{101}}\,d{x}\text{.}$

10 (✳)

Оцінити$\displaystyle \int_{e}^{e^4} \frac{\, d{x}}{x\log x}\text{.}$

11 (✳)

Оцінити$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x} {1+\sin x}\,\, d{x}\text{.}$

12 (✳)

Оцінити$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cdot (1+\sin^2 x)\,\, d{x}\text{.}$

13 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int_1^3(2x-1)e^{x^2-x}\, d{x}\text{.}$

14 (✳)

Оцінити${\displaystyle \int \frac{(x^2-4)x}{\sqrt{4-x^2}}\,\, d{x}}\text{.}$

15

Оцінити$\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{\log x}}}{2x\sqrt{\log x}}\, d{x}\,.$

Етап 3

Питання з 18 по 22 можна вирішити підміною, але може бути неочевидно, яка підміна спрацює. Взагалі, при оцінці інтегралів не завжди відразу зрозуміло, які методи є доречними. Якщо це трапиться з вами, не впадайте у відчай і точно не здавайтеся! Просто вгадайте метод і спробуйте його. Навіть якщо це не вдається, ви, ймовірно, дізнаєтеся щось, що ви можете використовувати, щоб краще здогадатися. ⁴ Це також досить пристойна життєва порада.

16 (✳)

Розрахувати$\displaystyle\int_{-2}^2 xe^{x^2}\,\, d{x}\text{.}$

17 (✳)

Розрахувати$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j}{n^2}\sin\left(1+\dfrac{j^2}{n^2}\right)\text{.}$

18

Оцінити$\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{u^3}{u^2+1}\, d{u}\text{.}$

19

Оцінити$\displaystyle\int \tan^3 \theta\ \, d{\theta}\text{.}$

20

Оцінити$\displaystyle\int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}}\, d{x}$

21

Оцінити$\displaystyle\int_0^1 (1-2x)\sqrt{1-x^2}\, d{x}$

22

Оцінити$\displaystyle\int\tan x \cdot \log\left(\cos x\right) \, d{x}$

23 (✳)

Оцінити$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j}{n^2}\cos\left(\dfrac{j^2}{n^2}\right)\text{.}$

24 (✳)

Розрахувати$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{j=1}^n \frac{j}{n^2}\sqrt{1+\frac{j^2}{n^2}}\text{.}$

25

Використовуючи суми Рімана, доведіть, що

$$\int_a^b 2f(2x)\, d{x} = \int_{2a}^{2b} f(x)\, d{x} \nonumber$$

1. Якщо ваша пам'ять про ці правила трохи туманна, то ви дійсно повинні повернутися назад і переглянути їх, перш ніж продовжувати. Вам обов'язково знадобиться добре зрозуміти правило ланцюга для того, що випливає в цьому розділі.
2. На щастя, це стає легше з досвідом, і ми рекомендуємо читачеві прочитати деякі приклади, а потім багато практикувати.
3. Хороший спосіб запам'ятати цей останній крок полягає в тому, що ми$\frac{du}{dx}\,d{x}$ замінюємо просто$d{u}$ - що, схоже, ми скасували$d{x}$ терміни:$\frac{d{u}}{\cancel{d{x}}}\cancel{d{x}} = d{u}\text{.}$ Хоча використання «скасувати$d{x}$» є хорошим мнемоніком (пам'ять допомоги), ви не повинні думати про похідну$\frac{du}{dx}$ як дріб - ви не $d{u}$діливши на$d{x}$.