1.1: Визначення інтеграла

Можливо, найпростіший спосіб запровадити інтеграцію - це розглянути область між графіком даної функції та$x$ віссю -між двома конкретними вертикальними лініями - наприклад, як показано на малюнку вище. Ми будемо слідувати цьому маршруту, починаючи з мотивуючого прикладу.

Мотивуючий приклад

Знайдемо площу під кривою$y=e^x$ (і над$x$ -віссю) для$0\le x\le 1\text{.}$ Тобто площа$\big\{\ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le e^x\text{,}$$0\le x\le 1\ \big\}\text{.}$

Ця площа дорівнює «визначеному інтегралу»

\ begin {align*}\ текст {Площа} &=\ int_0^1 e^x\, d {x}\ end {align*}

Не варто переживати з приводу цього позначення або термінології просто поки. Ми обговорюємо його на довжині нижче. У різних додатках ця кількість матиме різні інтерпретації - не тільки область. Наприклад, якщо$x$ час і$e^x$ ваша швидкість в той час,$x\text{,}$ то ми побачимо пізніше (у прикладі 1.1.18), що вказана область - це чиста відстань, пройдена між часом$0$ і часом$1\text{.}$ Після того, як ми закінчимо з прикладом, ми імітуємо його, щоб дати загальне визначення інтегральний$\int_a^b f(x) \,d{x}\text{.}$

Приклад 1.1.1 Обчислення площі з вертикальними смугами

Ми хочемо обчислити площу$\big\{\ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le e^x\text{,}$$0\le x\le 1\ \big\}\text{.}$ Ми знаємо, з нашого досвіду з$e^x$ диференціальним численням, що крива$y=e^x$ не легко записується з точки зору інших простіших функцій, тому дуже малоймовірно, що ми зможемо записати область як комбінацію простіших геометричних такі об'єкти, як трикутники, прямокутники або кола.

Тож замість того, щоб намагатися точно записати область, наша стратегія полягає в тому, щоб наблизити область, а потім зробити наше наближення більш точним ¹. Вибираємо ², щоб наблизити площу як об'єднання великої кількості високих тонких (вертикальних) прямокутників. Коли ми беремо все більше і більше прямокутників, ми отримуємо кращі і кращі наближення. Беручи межу, оскільки кількість прямокутників переходить до нескінченності, дає точну площу ³.

В якості вправи на розминку ми тепер будемо використовувати просто чотири прямокутника. У прикладі 1.1.2 нижче ми розглянемо довільну кількість прямокутників, а потім візьмемо межу, оскільки кількість прямокутників переходить до нескінченності. Так

• $0\le x\le 1$поділити інтервал на$4$ рівні підінтервали кожен ширини$\frac{1}{4}\text{,}$ і
• поділіть цікаву область на чотири відповідні вертикальні смуги, як на малюнку нижче.

Площа, яку ми хочемо, - це саме сума площ всіх чотирьох смуг.

Кожна з цих смужок - це майже, але не зовсім прямокутник. Поки низ і боки прекрасні (сторони знаходяться під прямим кутом до основи), верхня частина смуги не горизонтальна. Ось тут ми повинні почати наближатися. Ми можемо замінити кожну смужку прямокутником, просто вирівнявши верхню частину. Але тепер ми повинні зробити вибір — на якій висоті ми вирівнюємо вершину?

Розглянемо, наприклад, крайню ліву смужку. На цій смузі$x$ проходить від$0$ до$\frac{1}{4}\text{.}$ Як$x$ проходить від$0$ до$\frac{1}{4}\text{,}$ висоти$y$ біжить від$e^0$ до$e^{\frac{1}{4}}\text{.}$ Було б розумно вибрати висоту наближеного прямокутника, щоб бути десь між$e^0$ і$e^{\frac{1}{4}}\text{.}$ Який

висоту ми повинні вибрати? Ну, насправді це не має значення. Коли ми врешті-решт беремо межу нескінченно багатьох наближених прямокутників, усі ці різні варіанти дають точно таку ж остаточну відповідь. Детальніше про це ми розповімо пізніше.

У цьому прикладі ми зробимо два приклади обчислень.

• Для першого обчислення ми наближаємо кожен зріз прямокутником, висота якого дорівнює висоті лівої сторони зрізу.
  • На першому зрізі$x$ проходить від$0$ до$\frac{1}{4}\text{,}$ і висота$y$ проходить від$e^0\text{,}$ лівого боку, до$e^{\frac{1}{4}}\text{,}$ правого боку.
  • Таким чином, ми наближаємо перший зріз прямокутником висоти$e^0$ і ширини$\frac{1}{4}\text{,}$ і, отже, площі$\frac{1}{4}\,e^0 =\frac{1}{4}\text{.}$
  • На другому зрізі$x$ проходить від$\frac{1}{4}$ до$\frac{1}{2}\text{,}$ і висота$y$ йде від$e^{\frac{1}{4}}$ і$e^{\frac{1}{2}}\text{.}$
  • Таким чином, ми наближаємо другий зріз прямокутником висоти$e^{\frac{1}{4}}$ і ширини$\frac{1}{4}\text{,}$ і, отже, площі$\frac{1}{4}\,e^{\frac{1}{4}}\text{.}$
  • І так далі.
  • Всі разом ми наближаємо цікаву площу на суму площ чотирьох наближених прямокутників, яка

    \ begin {збирати*}\ великий [1+ e^ {\ frac {1} {4}} + e^ {\ frac {1} {2}} +e^ {\ frac {3} {4}}\ великий]\ розрив {1} {4} =1.5124\ кінець {збирати*}

  • Це конкретне наближення називається «наближенням лівої суми Рімана до$\int_0^1 e^x\,d{x}$ з$4$ підінтервалами». Ми пояснимо цю термінологію пізніше.
  • Це конкретне наближення представляє затінену область на малюнку зліва внизу. Зверніть увагу, що, оскільки$e^x$ $x$збільшується зі збільшенням, це наближення, безумовно, менше, ніж справжня площа.

• Для другого обчислення ми наближаємо кожен зріз прямокутником, висота якого дорівнює висоті правої сторони зрізу.
  • На першому зрізі$x$ проходить від$0$ до$\frac{1}{4}\text{,}$ і висота$y$ проходить від$e^0\text{,}$ лівого боку, до$e^{\frac{1}{4}}\text{,}$ правого боку.
  • Таким чином, ми наближаємо перший зріз прямокутником висоти$e^{\frac{1}{4}}$ і ширини$\frac{1}{4}\text{,}$ і, отже, площі$\frac{1}{4}\,e^{\frac{1}{4}}\text{.}$
  • На другому зрізі$x$ проходить від$\frac{1}{4}$ до$\frac{1}{2}\text{,}$ і висота$y$ йде від$e^{\frac{1}{4}}$ і$e^{\frac{1}{2}}\text{.}$
  • Таким чином, ми наближаємо другий зріз прямокутником висоти$e^{\frac{1}{2}}$ і ширини$\frac{1}{4}\text{,}$ і, отже, площі$\frac{1}{4}\,e^{\frac{1}{2}}\text{.}$
  • І так далі.
  • Всі разом ми наближаємо цікаву площу на суму площ чотирьох наближених прямокутників, яка

    \ begin {збирати*}\ великий [e^ {\ frac {1} {4}} + e^ {\ frac {1} {2}} +e^ {\ frac {3} {4}} +e^1\ big]\ frac {1} {4} =1.9420\ кінець {збирати*}

  • Це конкретне наближення називається «правильним наближенням суми Рімана до$\int_0^1 e^x\,d{x}$ з$4$ підінтервалами».
  • Це конкретне наближення представляє затінену область на малюнку праворуч вгорі. Зверніть увагу, що, оскільки$e^x$ $x$збільшується зі збільшенням, це наближення, безумовно, більше, ніж справжня площа.

Тепер для повного обчислення, що дає точну площу.

Приклад 1.1.2 Обчислення площі точно

Нагадаємо, що ми бажаємо обчислити площу

\ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ le y\ le e ^ x,\ 0\ le x\ le 1\\ big\}\ end {gather*}

і що наша стратегія полягає в тому, щоб наблизити цю область площею об'єднання великої кількості дуже тонких прямокутників, а потім взяти межу, оскільки кількість прямокутників переходить до нескінченності. У прикладі 1.1.1 ми використовували лише чотири прямокутники. Тепер ми розглянемо загальну кількість прямокутників, які ми будемо називати$n\text{.}$ Тоді ми візьмемо межа$n\rightarrow\infty\text{.}$ Так

• вибрати натуральне число$n$ і
• $0\le x\le 1$поділити інтервал на$n$ рівні підінтервали кожен ширини$\frac{1}{n}\text{,}$ і
• поділіть цікаву область на відповідні тонкі смужки, як на малюнку нижче.

Площа, яку ми хочемо, - це саме сума площ усіх тонких смужок.

Кожна з цих смужок - це майже, але не зовсім прямокутник. Як і в прикладі 1.1.1, єдина проблема полягає в тому, що верх не горизонтальний. Таким чином, ми наближаємо кожну смужку прямокутником, просто вирівнюючи зверху. Знову ж таки, ми повинні зробити вибір — на якій висоті ми вирівнюємо вершину?

Розглянемо, наприклад, крайню ліву смужку. На цій смузі$x$ проходить від$0$ до$\frac{1}{n}\text{.}$ Як$x$ проходить від$0$ до$\frac{1}{n}\text{,}$ висоти$y$ біжить від$e^0$ до$e^{\frac{1}{n}}\text{.}$ Було б розумно вибрати висоту наближеного прямокутника, щоб бути десь між$e^0$ і$e^{\frac{1}{n}}\text{.}$ Який висоту ми повинні вибрати?

Ну, як ми вже говорили в прикладі 1.1.1, це не має значення. Ми незабаром візьмемо межу,$n\rightarrow\infty$ і в цій межі всі ці різні варіанти дають точно таку ж остаточну відповідь. Ми не будемо виправдовувати це твердження в цьому прикладі, але незабаром буде (необов'язковий) розділ, який надає обґрунтування. Для цього прикладу ми просто, довільно, вибираємо висоту кожного прямокутника, щоб бути висотою графіка$y=e^x$ при найменшому значенні$x$ у відповідній смузі ⁴. На малюнку зліва нижче показані наближені прямокутники, коли$n=4$ і на малюнку праворуч показані наближені прямокутники, коли$n=8\text{.}$

Тепер обчислюємо апроксимаційну площу, коли є$n$ смужки.

• Ми наближаємо крайню ліву смугу прямокутником висоти.$e^0\text{.}$ Всі прямокутники мають ширину.$\frac{1}{n}\text{.}$ Таким чином, крайній лівий прямокутник має площу.$\frac{1}{n}e^0\text{.}$
• На смузі номер$2\text{,}$$x$ проходить від$\frac{1}{n}$ до$\frac{2}{n}\text{.}$ Таким чином, найменше значення$x$ на смузі номер$2$ є$\frac{1}{n}\text{,}$ і ми наближаємо номер смуги$2$ прямокутником висоти$e^{\frac{1}{n}}$ і, отже, площі$\frac{1}{n}e^{\frac{1}{n}} \text{.}$
• І так далі.
• На останній смузі,$x$ проходить від$\frac{n-1}{n}$ до$\frac{n}{n}=1\text{.}$ Так найменше значення$x$ на останній смузі є$\frac{n-1}{n}\text{,}$ і ми наближаємо останню смугу прямокутником висоти$e^{\frac{(n-1)}{n}}$ і, отже, площі$\frac{1}{n}e^{\frac{(n-1)}{n}} \text{.}$

Загальна площа всіх наближаються прямокутників дорівнює

\ begin {вирівнювати*}\ текст {Загальна площа наближення} &=\ frac {1} {n} e^0 +\ frac {1} {n} e^ {\ frac {1} {n}} +\ frac {1} {\ frac {3}} +\ frac {1} {n} e^ {\ frac {3} n}} +\ cdots +\ розрив {1} {n} e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\\ &=\ розрив {1} {n}\ Великий (1+ e^ {\ frac {1} {n}}} +e^ {\ frac {2} {n}} +e^ {\ frac {3} {n}} + cdots+ e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\ великий)\ кінець {вирівнювати*}

Тепер сума в дужках може виглядати трохи лякає через всіх експоненціальних, але він насправді має досить просту структуру, яку можна легко побачити, якщо ми перейменуємо$e^{\frac{1}{n}}=r\text{.}$ Потім

• перший член дорівнює 1 =$r^0$ і
• другий термін -$e^{\frac{1}{n}}=r^1$ і
• третій термін -$e^{\frac{2}{n}}=r^2$ і
• четвертий термін -$e^{\frac{3}{n}}=r^3$ і
• і так далі і
• останній термін -$e^{\frac{(n-1)}{n}}=r^{n-1}\text{.}$

Так

\ begin {align*}\ text {Загальна площа наближення} &=\ frac {1} {n}\ ліворуч (1+ r +r^2 +\ cdots+ r^ {n-1}\ праворуч)\ end {align*}

Сума в дужках відома як геометрична сума і задовольняє приємній простій формулі:

Рівняння 1.1.3 Геометрична сума

\ почати {збирати*} 1+ r +r^2 +\ cdots+ r^ {n-1} =\ frac {r^n-1} {r-1}\ qquad\ text {за умови $r\ ne 1$}\ кінець {збирати*}

Виведення вищевказаної формули не так вже й складно. Отже, давайте виведемо його в трохи осторонь.

Геометрична сума

Позначимо суму як

\ begin {вирівнювати*} S & =1 + r + r^2 +\ cdots + r^ {n-1}\ end {вирівнювати*}

Зверніть увагу, що якщо ми помножимо всю суму на$r$ ми отримуємо назад майже те ж саме:

\ почати {вирівнювати*} &R\\ &= r\ ліворуч (1+ r +\ cdots+ r^ {n-1}\ праворуч)\\ &= r+ r^2+ r^3 +\ cdots+ r^n\ end {align*}

Ця права сторона відрізняється від початкової суми$S$ лише тим, що

• правій стороні, яка починається з «$r+\,$», відсутня «$1+\,$», що$S$ починається з, і
• права сторона має додатковий «$+r^n\,$» в кінці, який не відображається в$S\text{.}$

Тобто

$$\begin{align*} rS & = S-1+r^n\\ \end{align*}$$

Переміщення цього навколо трохи дає

\ begin {вирівнювати*} (r-1) S &= (r^n-1)\\ S &=\ розриву {r^n-1} {r-1}\ end {align*}

в міру необхідності. Зверніть увагу, що останній крок в маніпуляціях працює тільки надання$r \neq 1$ (інакше ділимо на нуль).

Тепер ми можемо повернутися до нашої області наближення озброєного вищевказаним результатом про геометричні суми.

\ begin {вирівнювати*}\ текст {Загальна площа наближення} &=\ frac {1} {n}\ ліворуч (1+ r +r^2 +\ cdots+ r^ {n-1}\ право)\\ &=\ frac {1} {n}\ frac {r^n-1} {r-1}\ qquad\ qquad\ text {пам'ятайте, що $r=e^ {1/n} $}\\ &=\ гідророзриву {1} {n}\ розрив {e^ {n/n} - 1} {e^ {1/n} -1}\\ &=\ гідророзриву {1} {n}\ frac {e - 1} {e^ {1/n} -1}\ end {вирівнювати*}

Щоб отримати точну область ⁵, все, що нам потрібно зробити, це зробити наближення краще і краще, взявши$n\rightarrow \infty\text{.}$ межу. Межа буде виглядати більш звичною, якщо ми перейменуємо$\frac{1}{n}$ в$X\text{.}$ Як$n$ прагне до нескінченності, як$X$ правило,$0\text{,}$ так

\ begin {вирівнювати*}\ текст {Область} &=\ lim_ {n\ стрілка вправо\ infty}\ frac {1} {n}\ frac {e-1} {e^ {1/n} -1}\ lim_ {n\ правий\ infty}\ frac {1/n} {e^ {1/n} -1}\\ &= (e-1)\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {X} {e^x-1} &\ text {(з $X =\ frac {1} {n} $)}\ end {align*}

Вивчаючи цю межу, ми бачимо, що і чисельник, і знаменник, як правило, до нуля,$X\to 0\text{,}$ і тому ми не можемо оцінити цю межу, обчисливши межі чисельника та знаменника окремо, а потім розділивши результати. Незважаючи на це, межа не надто важко оцінити; тут ми наводимо два способи:

• Мабуть, найпростіший спосіб обчислити ліміт - це використання правила ⁶ L'Hôpital. Так як і чисельник, і знаменник йдуть в нуль, це$\frac00$ невизначена форма. Таким чином

  \ почати {вирівнювати*}\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {X} {e^x-1} &=\ lim_ {X\ стрілка вправо 0}\ frac {d} {dx} {d} {dx} (E^x-1)} =\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {1} {E^x} =1\ end {вирівнювати*}

• Ще один спосіб ⁷ оцінити ту ж межу - це спостерігати, що його можна масажувати у вигляді граничного визначення похідної. Спочатку зауважте, що

  \ begin {вирівнювати*}\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {X} {e^x-1} &=\ ліворуч [\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {e^x-1} {X}\ праворуч] ^ {-1}\ кінець {вирівня*}

  за умови, що ця друга межа існує і не дорівнює нулю ⁸. Цей другий ліміт повинен виглядати трохи звично:

  \ begin {вирівнювати*}\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {e^x-1} {X} &=\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ розриву {e^x-e^0} {X-0}\ end {align*}

  що є лише визначенням похідної від$e^x$ at$x=0\text{.}$ Отже, ми маємо

  \ begin {вирівнювати*}\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {X} {E ^x-1} &=\ ліворуч [\ lim_ {X\ праворуч 0}\,\ frac {e^x-e^0} {X-0}\ праворуч] ^ {-1}\ &=\ ліворуч [\ dfrac {d} {dx} E^x\ Big|_ X = 0}\ праворуч] ^ {-1}\\ &=\ ліворуч [e^x\ big|_ {X = 0}\ праворуч] ^ {-1}\ &=1\ end {align*}

Отже, після цього короткого убік у межі, ми можемо зробити висновок, що

\ begin {вирівнювати*}\ текст {Площа} &= (e-1)\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ розрив {X} {E^x-1}\\ &=e-1\ end {align*}

Додатково - більш суворе обчислення площі

У прикладі 1.1.1 вище ми розглянули площу області$\big\{\ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le e^x\text{,}$$0\le x\le 1\ \big\}\text{.}$ Ми наблизили цю площу об'єднання$n$ тонких прямокутників. Потім ми стверджували, що, взявши кількість прямокутників до нескінченності, наближення області стало точною площею. Однак ми не виправдовували претензію. Мета цього необов'язкового розділу полягає в тому, щоб зробити цей розрахунок суворим.

Широка настройка однакова. Ділимо область вгору на$n$ вертикальні смуги, кожна$\frac1n$ шириною, а потім наближаємо ці смужки прямокутниками. Однак замість неконтрольованого наближення ми будуємо два множини прямокутників — одна множина завжди менша за початкову площу, а одна завжди більша. Це дає нам нижню і верхню межі області. Нарешті, ми використовуємо теорему ^{стискання 9} для встановлення результату.

• Щоб знайти наші верхні та нижні межі, ми використовуємо той факт, що$e^x$ є зростаючою функцією. Ми знаємо це, тому що похідна$\frac{d}{dx}e^x=e^x$ завжди позитивна. Отже, найменші і найбільші значення$e^x$ на інтервалі$a\le x\le b$ є$e^a$ і$e^b\text{,}$ відповідно.
• Зокрема, для$0\le x\le \frac{1}{n}\text{,}$$e^x$ приймає значення тільки між$e^0$ і$e^{\frac{1}{n}}\text{.}$ Як результат, перша смужка

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ ле х\ ле\ ле\ frac {1} {n},\ 0\ le y\ le e^x\\ big\}\ end {gather*}

  • містить прямокутник$0\le x\le \frac{1}{n}\text{,}$$0\le y\le e^0$ (світліший прямокутник на малюнку зліва внизу) і
  • міститься в прямокутнику$0\le x\le \frac{1}{n}\text{,}$$0\le y\le e^{\frac{1}{n}}$ (найбільший прямокутник на малюнку зліва внизу).

  Звідси

  \ begin {збирати*}\ розрив {1} {n} e^ {0}\ le {\ rm Площа}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ ле х\ ле\ ле\ frac {1} {n},\ 0\ le y\ le e\\ big\}\ le\ frac {1} n}}\ end {збирати*}

• Аналогічно для другої, третьої,..., останньої смужки, як на малюнку праворуч вгорі,

  \ begin {align*}\ frac {1} {n} e^ {\ frac {1} {n}} &\ le {\ rm Площа}\ великий\ {x, y)\\ big|\\\ frac {1} {n}\ ле\ ле\\ ле\ frac {1} {n} e^ {\ frac {2} {n}}\\ frac {1} {n} e^ {\ frac {2} {n}} &\ le {\ rm Площа}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\\ гідророзриву {2} {n} {n}\ ле x\ le\ frac {3} {n}\ 0\ ле у\ ле е ^ х\\ великий\}\\\ ле\ гідророзрив {1} {n} e^ {\ frac {3} {n}}\\ &\ vdots\\ розриву {1} {n} e^ {\ frac {(n-1)} {n}} &\ le {\ rm Площа}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\\ frac {(n-1)}} {n}\ le x\ le\ frac {n} {n},\ 0\ le y\ le e^x\\ big\}\ le\ frac {1} {n} e^ {\ frac {n} {n}}\ end {align*}

• Додавання цих$n$ нерівностей разом дає

  \ begin {вирівнювати*} &\ розрив {1} {n}\ ліворуч (1+e^ {\ frac {1} {n}} +\ cdots+e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\ праворуч)\\ &\ le {\ rm Площа}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ ле x\ le 1, 0\ le y\ le e^x\\ великий\}\\ &\ ле\ frac {1} {n}\ лівий (e^ {\ frac {1} {n}} +e^ {\ frac {2} {n}} +\ cdots+ e^ {\ frac {n} {n}}\ праворуч)\ кінець {align*}

• Потім ми можемо переробити рівняння 1.1.3 з$r^n=\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n=e\text{.}$ таким чином,$r=e^{\frac1n}\text{,}$ щоб Таким чином, ми маємо

  \ begin {збирати*}\ розрив {1} {n}\ frac {e-1} {e^ {\ frac {1} {n}} -1}\ le {\ rm Площа}\ великий\\ (x, y)\\ big|\ 0\ ле x\ le 1,\ 0\ le y\ le e ^ x\\\ big\}\ le\ frac {1} e^ {\ frac {1} {n}}\ frac {e-1} {e^ {\ frac {1} {n}} -1}\ кінець {збирати*}

  де ми використовували той факт, що верхня межа є простою кратною нижньої межі:

  \ почати {вирівнювати*}\ ліворуч (e^ {\ frac {1} {n}} +e^ {\ frac {2} {n}} +\ cdots+ e^ {\ frac {n} {n}}\ праворуч) &= e^ {\ frac {1} {n}}\ ліворуч (1+e^ {\ frac {1} {n}} +\ c крапки +e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\ праворуч). \ end {вирівнювати*}

• Тепер ми застосуємо теорему стискання до вищезазначених нерівностей. Зокрема, межі нижньої і верхньої меж є$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\frac{e-1}{e^{\frac{1}{n}}-1}$ і$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}e^{\frac{1}{n}}\frac{e-1}{e^{\frac{1}{n}}-1}\text{,}$ відповідно. Як ми зробили ближче$\frac{1}{n}$ до кінця Прикладу 1.1.2, ми робимо ці межі більш звичними, перейменуючи в As$n$ прагне до нескінченності,$X\text{.}$ як$X$ правило,$0\text{,}$ так межі нижньої та верхньої меж

  \ begin {align*}\ lim_ {n\ стрілка вправо\ infty}\ frac {1} {n}\ frac {e-1} {e^ {\ frac {1} {n}} -1} &= (e-1)\ lim_ {X =\ frac {1} {n}\ правої стрілки 0}\ frac {X} {E ^x-1} =e-1 кінець {вирівнювати*}

  (за правилом L'Hôpital) і

  \ почати {вирівнювати*}\ lim_ {n\ стрілка вправо\ infty}\ розрив {1} {n} e^ {\ frac {1} {n}}\ frac {e^ {\ frac {1} {n}} -1} &= (e-1)\ lim_ {X =\ frac {1} {n}\ стрілка вправо 0}\ cdot\ frac {Xe^X} {e^x-1}\\ &= (е-1)\ lim_ {X\ до 0} e^x\ cdot\ lim_ {X =\ до 0}\ розриву {X} {e^x-1}\ &= (e-1)\ cdot 1\ cdot 1\ кінець {вирівнювати*}

  Таким чином, оскільки точна площа знаходиться в пастці між нижньою та верхньою межами, теорема стиснення має на увазі, що

  \ begin {align*}\ text {Точна область} &= e-1. \ end {вирівнювати*}

Позначення підсумовування

Як ви можете бачити з наведеного вище прикладу (і більш ретельного суворого обчислення), наше обговорення інтеграції передбачає справедливу роботу з сумами величин. З цією метою робимо швидку сторону в підсумовувальні позначення. Хоча можна опрацювати матеріал нижче без цього позначення, правильне позначення підсумовування варто вивчити, тому ми радимо читачеві наполегливо.

Виписувати сумки явно може стати досить непрактичним — наприклад, скажімо, нам потрібна сума перших 11 квадратів:

\ begin {збирати*} 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2+ 5^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2 + 10^2 + 10^2 + 11^2\ end {збирати*}

Це стає стомлюючим. Там, де шаблон зрозумілий, ми часто пропускаємо середні кілька термінів і замість цього пишемо

\ begin {збирати*} 1 + 2^2 +\ cdots + 11^2. \ end {збирати*}

Набагато більш точним способом написати це є використання$\Sigma$ (капітал-сигма) позначення. Наприклад, ми можемо записати вищевказану суму як

\ begin {збирати*}\ sum_ {k=1} ^ {11} k^2\ end {збирати*}

Це читається як

Сума$k$ від 1 до 11$k^2\text{.}$

Більш загалом

Визначення 1.1.4

$m\leq n$Дозволяти бути цілими числами і нехай$f(x)$ функція визначена на цілих числах. Тоді пишемо

\ begin {збирати*}\ sum_ {k=m} ^n f (k)\ end {збирати*}

означати суму$f(k)$ for$k$ від$m$ до$n\text{:}$

\ begin {збирати*} f (m) + f (m+1) + f (m+2) +\ cdots + f (n-1) + f (n). \ end {збирати*}

Аналогічно пишемо

\ begin {збирати*}\ sum_ {i=m} ^n a_i\ end {збирати*}

означати

\ почати {збирати*} a_m+a_ {m+1} +a_ {m+2} +\ cdots+a_ {n-1} +a_n\ end {збирати*}

для деякого набору коефіцієнтів$\{ a_m, \ldots, a_n \}\text{.}$

Розглянемо на прикладі

\ begin {збирати*}\ sum_ {k=3} ^7\ розрив {1} {k^2} =\ гідророзриву {1} {3^2} +\ гідророзриву {1} +\ frac {1} +\ гідророзриву {1} {6^2} +\ гідророзриву {1} {7^2}

Важливо відзначити, що права сторона цього виразу оцінюється як число ¹⁰; воно не містить «$k$». Індекс підсумовування$k$ - це просто «фіктивна» змінна, і її не потрібно викликати$k\text{.}$ Наприклад

\ почати {збирати*}\ сума_ {k=3} ^7\ розрив {1} {k^2} =\ сума_ {i = 3} ^7\ розрив {1} {i^2} =\ sum_ {j=3} ^7\ розрив {1} {j^2} =\ сума {\ ell=3} ^7\ frac {1} {\ ell=3} ^2}\ end {збирати*}

Також індекс підсумовування не має значення поза сумою. Наприклад

\ begin {збирати*} k\ sum_ {k=3} ^7\ frac {1} {k^2}\ end {збирати*}

не має математичного значення; це тарабарство.

Сума може бути представлена за допомогою підсумовувальних позначень різними способами. Якщо ви не впевнені, чи є два підсумовувальних позначення однаковою сумою, просто випишіть перші кілька термінів і останні пару термінів. Наприклад,

\ begin {align*}\ sum_ {m = 3} ^ {15}\ розриву {1} {m^2} &=\ накладення {\ розриву {1} {3^2}} ^ {m = 3} +\ накладення {\ frac {1} {4^2}} ^ {м = 4} +\ овербрекс {\ frac {1} {5^2}}} ^ {м = 5} +\ cdots +\ накладення {\ frac {1} {14^2}} ^ {м = 14} +\ перекриття {\ розрив {1} {15^2}} ^ {m=15}\\ sum_ {m = 4} ^ {16}\ frac {1} {m-1) ^2} &=\ overbrace {\ frac {1} {3^2}} ^ {m = 4} +\ накладення {\ гідророзрив {1} {4^2}} ^ {м = 5} +\ накладення {\ гідророзриву {1} {5 ^ 2}} ^ {м = 6} +\ cdots +\ накладення {\ frac {1} {14^2}} ^ {м = 15} +\ накладення {\ frac {1} {15^2}} ^ {м = 16} кінець {вирівнювати*}

рівні.

Ось теорема, яка дає кілька правил маніпулювання підсумовувальними позначеннями.

Теорема 1.1.5 Арифметика позначень підсумовування

$n\ge m$Дозволяти цілими числами. Тоді для всіх дійсних чисел$c$ і$a_i,b_i\text{,}$$m\le i\le n\text{.}$

1. $\sum\limits_{i=m}^nca_i = c\bigg(\sum\limits_{i=m}^na_i\bigg)$
2. $\sum\limits_{i=m}^n(a_i+b_i) = \bigg(\sum\limits_{i=m}^na_i\bigg) + \bigg(\sum\limits_{i=m}^nb_i\bigg)$
3. $\sum\limits_{i=m}^n(a_i-b_i) = \bigg(\sum\limits_{i=m}^na_i\bigg) - \bigg(\sum\limits_{i=m}^nb_i\bigg)$

Доказ

Ми можемо довести цю теорему, просто виписавши обидві сторони кожного рівняння, і спостерігаючи, що вони рівні, за звичайними законами арифметики ¹¹. Наприклад, для першого рівняння ліва і права сторони є

\ почати {збирати*}\ сума_ {i = м} ^nca_i = ca_m+ca_ {m+1} +\ cdots+ca_n\\ квад\ текст {і}\ квад c\ bigg (\ сума\ обмеження_ {i = м} ^na_i\ bigg) = c (a_m+a_ {m+1} +\ cdots+a_n)\ кінець {збирати*}

Вони рівні за звичайним розподільним законом. «Розподільний закон» - це химерна назва$c(a+b)=ca+cb\text{.}$

Не так багато сум можна обчислити рівно ¹². Ось деякі, які можуть. Перші кілька використовуються багато.

Теорема 1.1.6

1. $\sum\limits_{i=0}^n ar^i = a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\text{,}$для всіх дійсних чисел$a$$r\ne 1$ і всіх цілих чисел$n\ge 0\text{.}$
2. $\sum\limits_{i=1}^n 1 = n\text{,}$для всіх цілих чисел$n\ge 1\text{.}$
3. $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{1}{2}n(n+1)\text{,}$для всіх цілих чисел$n\ge 1\text{.}$
4. $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\text{,}$для всіх цілих чисел$n\ge 1\text{.}$
5. $\sum\limits_{i=1}^n i^3 = \Big[\frac{1}{2}n(n+1)\Big]^2\text{,}$для всіх цілих чисел$n\ge 1\text{.}$

Доказ теореми 1.1.6 (необов'язково)

Доказ

1. Перша сума дорівнює

   \ begin {збирати*}\ sum_ {i=0} ^n ar^i =ar^0 + ar^1 + ar^2 +\ cdots + ar^n\ end {збирати*}

   який є лише лівою стороною рівняння 1.1.3, з$n$ заміненням на,$n+1$ а потім помноженим на$a\text{.}$
2. Друга сума - це просто$n$ копії,$1$ додані разом, тому, звичайно, сума$n\text{.}$
3. Третя і четверта суми обговорюються в додатку тексту CLP-1. У цій дискусії використовуються певні «хитрощі» для обчислення сум лише простою арифметикою. Ці хитрощі не легко узагальнити до п'ятої суми.
4. Замість того, щоб повторювати цей додаток, ми виведемо третю суму, використовуючи трюк, який узагальнює четверту та п'яту суми (а також на вищі сили). Хитрість використовує генеруючу функцію ¹³.$S(x)\text{:}$

   Рівняння 1.1.7 Кінцева геометрична сума

   $$\begin{align*} S(x) = 1+x+x^2+\cdots+x^n &= \frac{x^{n+1}-1}{x-1} \end{align*}$$

   Зверніть увагу, що це просто геометрична сума, задана рівнянням 1.1.3 із$n$ заміненою на$n+1\text{.}$

   Тепер розглянемо межу

   \ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to 1} S (x) &=\ lim_ {x\ до 1}\ ліворуч (1+x+x^2+\ cdots+x^n\ праворуч) = n+1\ qquad\ текст {але також}\\\ &=\ lim_ {x\ to 1}\ frac {x^ {n+1} -1} qquad\ qquad\ qquad\ text {тепер використовуйте правило L'Hôpital}\\ &=\ lim_ {x\ to 1}\ frac {(n+1) x^n} {1} = n+1. \ end {вирівнювати*}

   Це не так складно (або корисно). Але тепер розглянемо похідну від$S(x)\text{:}$

   \ begin {align*} S' (x) &= 1 +2x + 3x^2 +\ cdots + n x^ {n-1}\\ &=\ frac {d} {dx}\ лівий [\ frac {x^ {n+1} -1}\ вправо]\ qquad\ qquad\ qquad\ text {використовуйте правило частки}\\ &=\ розрив {(x-1)\ cdot (n+1) x^n - (x^ {n+1} -1)\ cdot 1} {(x-1) ^2}\ qquad\ текст {тепер очистіть його}\\ &=\ frac {n+1} - (n+1) x^n+1} {(x-1) ^2}. \ end {вирівнювати*}

   Отже, якщо ми візьмемо межу вищевказаного виразу, коли$x\to 1$ ми відновлюємо.

   \ begin {align*}\ lim_ {x\ to 1} S' (x) &= 1 +2 +3+\ cdots+n\\ &=\ lim_ {x\ to 1}\ frac {nx ^ {n+1} - (n+1) x^n+1} {(x-1) ^2}\ qquad\ qquad\ текст {тепер використовуйте правило L'Hôpital}\ &=\ lim_ {x\ to 1}\ frac {n (n+1) x^ {n} -n (n+1) x^ {n-1}} {2 (x-1)}\ qquad\ текст {правило l'Hôpital знову}\\ &=\ lim_ {x\ to 1}\ frac {n^2 (n+1) x^ {n-1} -n (+1) (п -1) x^ {n-2}} {2}\\ &=\ розрив {n^2 (n+1) - n (n+1) (n+1)} {2} =\ розрив {n (n+1)} {2}\ end {align*}

   як потрібно. Це обчислення може бути зроблено без правила l'hôpital, але необхідні маніпуляції є справедливими трохи сумнішими.

5. Виведення четвертої і п'ятої сум схоже на, але навіть більш виснажливе, ніж, третьої суми. Один береться два-три похідні породжує функціоналу.

Визначення визначеного інтеграла

У цьому розділі наведено визначення визначеного інтеграла, що$\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}$ узагальнює техніку, яку ми використовували в прикладі 1.1.1. Але спочатку якась термінологія і пара зауважень, щоб краще мотивувати визначення.

Визначення 1.1.8

Символ$\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}$ читається «певний інтеграл функції$f(x)$ від$a$ до$b$». Функція$f(x)$ називається integrand$\int_a^b f(x)\,d{x}$ і$a$ і$b$ називається ¹⁴ меж інтеграції. Інтервал$a\le x \le b$ називається інтервалом інтеграції і ще називається областю інтеграції.

Перш ніж ми пояснимо більш точно, що є певним інтегралом насправді, кілька зауважень (насправді - кілька інтерпретацій) в порядку.

• Якщо$f(x)\ge 0$ і$a\le b\text{,}$ одне тлумачення символу$\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}$ - «площа регіону$\big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)\ \big\}$».

  

  Таким чином ми можемо переписати область в прикладі 1.1.1 як певний інтеграл$\int_0^1 e^x \,d{x}\text{.}$

• Це тлумачення$f(x)$ руйнується, коли$a \gt b$ або не завжди є позитивним, але його можна відремонтувати, розглядаючи «підписані області».
• Якщо$a\le b\text{,}$ але не завжди$f(x)$ є позитивним, одним$\int_a^b f(x)\,d{x}$ інтерпретацією є «підписана область між$y=f(x)$ і$x$ -вісь для$a\le x\le b$». Для «підписаної області» (яку також називають «чистою областю»), області над$x$ віссю -вважаються позитивними, тоді як області нижче$x$ -осі вважаються негативними. У наведеному нижче прикладі ми маємо графік функції

  \ begin {align*} f (x) =\ begin {випадки} -1 &\ текст {якщо} 1\ ле х\ ле 2\\ 2 &\ текст {якщо} 2\ lt x\ le 4\\ 0 &\ text {інакше}\ кінець {випадки}\ end {align*}

  $2\times 2$Затінений квадрат над$x$ -віссю має$+2\times 2=+4\text{.}$ підписану область$1\times 1$ Затінений квадрат нижче$x$ -осі має підписану область$-1\times 1=-1\text{.}$ Отже, для цього$f(x)\text{,}$

  \ begin {збирати*}\ int_0^5 f (x)\, d {x} = +4-1=3\ кінець {збирати*}

  

• Ми повернемося до справи$b \lt a$ пізніше.

Тепер ми готові визначити$\int_a^b f(x)\,d{x}\text{.}$ визначення трохи бере участь, але по суті імітує те, що ми зробили в прикладі 1.1.1 (саме тому ми зробили приклад перед визначенням). Основні відмінності полягають у тому, що ми замінюємо функцію$e^x$ загальною функцією$f(x)$ і замінюємо інтервал$0$ from to$1$ на родовий інтервал ¹⁵ від$a$ до$b\text{.}$

• Почнемо з вибору будь-якого натурального числа$n$ і поділу інтервалу від$a$ до$b$ на$n$ рівні підінтервали. Кожен підінтервал має ширину$\frac{b-a}{n}\text{.}$
• Так само, як це було в прикладі 1.1.1, ми врешті-решт візьмемо межу,$n\to\infty\text{,}$ яка стискає ширину кожного підінтервалу до нуля.
• Для кожного цілого числа$0\le i\le n\text{,}$ визначте$x_i = a + i \cdot\frac{b-a}{n}\text{.}$ Зверніть увагу, що$x_n = b\text{.}$ це означає, що$x_0=a$ і Варто мати на увазі, що ці числа$x_i$$n$ залежать від того, що наш вибір позначення приховує цю залежність.
• $i$Субінтервальне число є$x_{i-1} \leq x \leq x_i\text{.}$ Зокрема, на першому підінтервалі,$x$ проходить від$x_0=a$ до$x_1=a+\frac{b-a}{n}\text{.}$ На другому підінтервалі,$x$ проходить від$x_1$ до$x_2=a+2\frac{b-a}{n}\text{.}$

  

• На кожному підінтервалі ми тепер вибираємо$x_{i,n}^*$ між$x_{i-1}$ і$x_i\text{.}$ Ми потім$f(x)$ наближаємо на$i^\mathrm{th}$ підінтервал постійною функцією$y=f(x_{i,n}^*)\text{.}$ Ми включаємо$n$ в індекс, щоб нагадати собі, що ці числа залежать від$n\text{.}$

  Геометрично ми наближаємо область

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\\ текст {$x$ знаходиться між $x_ {i-1} $ і $x_i $, а $y$ знаходиться між $0$ і $f (x) $}\\ big\}\ end {gather*}

  за прямокутником

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\\ текст {$x$ знаходиться між $x_ {i-1} $ і $x_i $, а $y$ знаходиться між $0$ і $f (x_ {i, n} ^*) $}\\ big\}\ end {збирати*}

  

  У прикладі 1.1.1 ми вибрали$x_{i,n}^* = x_{i-1}$ і тому ми наблизили функцію$e^x$ на кожному підінтервалі за значенням, яке воно взяло в крайній лівій точці цього підінтервалу.

• Отже, коли є$n$ підінтервали наше наближення до підписаної області між кривою$y=f(x)$ і$x$ -віссю, з$x$ бігом від$a$ до$b\text{,}$ є

  \ begin {збирати*}\ sum_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ end {збирати*}

  Ми трактуємо це як підписану область, оскільки повістки не$f(x_{i,n}^*)\cdot\frac{b-a}{n}$ повинні бути позитивними.
• Нарешті, ми визначаємо певний інтеграл, взявши межу цієї суми як$n\rightarrow\infty\text{.}$

ОФ! Це досить складний процес, але тепер ми можемо записати потрібне нам визначення.

Визначення 1.1.9

$a$$b$Дозволяти і бути два дійсних числа і нехай$f(x)$ бути функція, яка визначається для всіх$x$ між$a$ і$b\text{.}$ Тоді ми визначаємо

\ почати {збирати*}\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ lim_ {n\ rightarrow\ infty}\ sum_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ кінець {збирати*}

коли межа існує і приймає однакове значення для всіх варіантів. У цьому випадку ми говоримо, що$f$ інтегрується на інтервалі від$a$ до$x_{i,n}^*$$b\text{.}$

Звичайно, не відразу очевидно, коли ця межа повинна існувати. На щастя, це простіше для функції бути «інтегрується», ніж для того, щоб вона була «диференційованою».

Теорема 1.1.10

$f(x)$Дозволяти бути функцією на інтервалі$[a,b]\text{.}$ If

• $f(x)$є безперервним на$[a,b]\text{,}$ або
• $f(x)$має кінцеве число розривів стрибка на$[a,b]$ (і в іншому випадку є безперервним)

$f(x)$то інтегрується на$[a,b]\text{.}$

Ми не будемо виправдовувати цю теорему. Але трохи слабше твердження доведено в (необов'язковому) Розділі 1.1.7. Звичайно, це не говорить нам, як насправді оцінити будь-які певні інтеграли - але ми дійдемо до цього вчасно.

Деякі коментарі:

• Зверніть увагу, що у визначенні 1.1.9 ми дозволяємо$a$ і$b$ бути будь-якими двома дійсними числами. Ми не вимагаємо,$a \lt b\text{.}$ що Тобто, навіть коли$a \gt b\text{,}$ символ все ще$\int_a^b f(x)\,d{x}$ визначається за формулою Визначення 1.1.9. Ми отримаємо інтерпретацію,$\int_a^b f(x)\,d{x}\text{,}$ коли$a \gt b\text{,}$ пізніше.
• Важливо зазначити, що певний інтеграл$\int_a^b f(x)\,d{x}$ представляє число, а не функцію Змінна інтеграції$x$ - це ще одна «фіктивна» змінна, як і індекс підсумовування$i$ в$\sum_{i=m}^n a_i$ (див. Розділ 1.1.3).$x\text{.}$ Змінну інтеграції не потрібно$x\text{.}$ викликати Наприклад

  \ почати {збирати*}\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ int_a^b f (t)\, d {t} =\ int_a^b f (u)\, d {u}\ end {збирати*}

  Так само, як і у змінних підсумовування, змінна інтеграції не$x$ має ніякого значення за межами$f(x)\,d{x}\text{.}$ Наприклад

  \ begin {збирати*} х\ int_0^1 e^x\, d {x}\ qquad\ текст {і}\ qquad\ int_0^x e^x\, d {x}\ end {збирати*}

  обидва тарабарства.

Сума всередині визначення 1.1.9 названа на честь Бернхарда Рімана ¹⁶, який зробив перше суворе визначення певного інтеграла і таким чином розмістив інтегральне числення на суворі підстави.

Визначення 1.1.11

Сума$\displaystyle$ всередині визначення 1.1.9

\ begin {збирати*}\ sum_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\,\ frac {b-a} {n}\ end {збирати*}

називається сума Рімана. Він також часто пишеться як

\ begin {збирати*}\ sum_ {i=1} ^n f (x_i^*)\,\ Дельта х\ кінець {зберет*}

де$\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}$

• Якщо ми виберемо кожен$x_{i,n}^* = x_{i-1}=a+(i-1)\frac{b-a}{n}$ лівою кінцевою точкою$i^{\rm th}$ інтервалу,$[x_{i-1},x_i]\text{,}$ ми отримаємо наближення

  \ begin {збирати*}\ sum_ {i=1} ^n f\ ліворуч (a+ (i-1)\ frac {b-a} {n}\ праворуч)\,\ frac {b-a} {n}\ end {gather*}

  який називається «наближенням лівої суми Рімана до$\int_a^b f(x)\,d{x}$ з$n$ підінтервалами». Це наближення, використане в прикладі 1.1.1.
• Таким же чином, якщо ми виберемо,$x_{i,n}^* = x_{i}=a+i\frac{b-a}{n}$ ми отримаємо наближення

  \ begin {збирати*}\ sum_ {i=1} ^n f\ ліворуч (a+i\ frac {b-a} {n}\ праворуч)\,\ frac {b-a} {n}\ end {gather*}

  який називається «право наближення суми Рімана до$\int_a^b f(x)\,d{x}$ з$n$ підінтервалами». Слово «право» означає, що на кожному підінтервалі$[x_{i-1},x_i]$ ми наближаємося$f$ за його значенням у правій кінцевій точці,$x_i=a+i\frac{b-a}{n}\text{,}$ субінтервалу.
• Третім часто вживаним наближенням є

  \ begin {збирати*}\ sum_ {i=1} ^n f\ ліворуч (a+ (i-\ frac12)\ frac {b-a} {n}\ праворуч)\,\ frac {b-a} {n}\ end {gather*}

  який називається «серединною точкою наближення суми Рімана до$\int_a^b f(x)\,d{x}$ з$n$ підінтервалами». Слово «середина» означає, що на кожному підінтервалі$[x_{i-1},x_i]$ ми$f$ наближаємося за його значенням в середній точці,$\frac{x_{i-1}+x_i}{2} =a+(i-\frac{1}{2})\frac{b-a}{n}\text{,}$ субінтервалу.

Для того, щоб обчислити певний інтеграл з використанням сум Рімана, нам потрібно мати можливість обчислити межу суми, оскільки кількість доданих переходить до нескінченності. Такий підхід не завжди здійсненний, і незабаром ми прийдемо до інших засобів обчислення певних інтегралів на основі антипохідних. Однак суми Рімана також дають нам хорошу середню апроксимацію певних інтегралів — якщо$n$ взяти велике, але скінченне ціле число, то відповідна сума Рімана може бути хорошим наближенням певного інтеграла. За певних обставин це може бути посилено, щоб дати суворі межі на інтеграл. Давайте переглянемо приклад 1.1.1.

Приклад 1.1.12 Верхня та нижня межі області

Скажімо, ми знову зацікавлені в інтегралі$\int_0^1 e^x\,d{x}\text{.}$ Ми можемо слідувати тій же процедурі, що ми використовували раніше для побудови наближень суми Рімана. Однак, оскільки integrand$f(x)=e^x$ є зростаючою функцією, ми можемо зробити наші наближення у верхню та нижню межі без особливої додаткової роботи.

Точніше, наближаємо$f(x)$ на кожному підінтервалі$x_{i-1}\le x\le x_i$

• за найменшим його значенням на підінтервалі, а саме$f(x_{i-1})\text{,}$ при обчисленні наближення лівої суми Рімана і
• за його найбільшим значенням на підінтервалі, а саме$f(x_i)\text{,}$ при обчисленні правого наближення суми Рімана.

Це проілюстровано на двох малюнках нижче. Затінена область на лівій фігурі - це наближення суми Лівого Рімана, а затінена область в правій фігурі - наближення суми правого Рімана.

Ми бачимо, що$f(x)$ саме тому, що збільшується, ліва сума Рімана описує площу меншу за певний інтеграл, тоді як права сума Рімана дає площу більше ¹⁷, ніж інтеграл.

Коли ми наближаємо інтеграл$\int_0^1 e^x\,d{x}$ за допомогою$n$ підінтервалів, то, на інтервал числа$i\text{,}$

• $x$біжить від$\frac{i-1}{n}$ до$\frac{i}{n}$ і
• $y=e^x$проходить від$e^{\frac{(i-1)}{n}}\text{,}$ коли$x$ знаходиться в лівій кінцевій точці інтервалу, до$e^{\frac{i}{n}}\text{,}$ коли$x$ знаходиться в правій кінцевій точці інтервалу.

Отже, наближення лівої суми Рімана до$\int_0^1 e^x\,d{x}$ є,$\sum_{i=1}^n e^{\frac{(i-1)}{n}}\,\frac{1}{n}$ а наближення правої суми Рімана дорівнює$\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}\cdot\frac{1}{n}\text{.}$ So

\ begin {збирати*}\ sum_ {i = 1} ^n e^ {\ frac {(i-1)} {n}}\,\ frac {1} {n}\\ le\ int_0^1 e^x\, d {x}\\ ле\\ сума {i = 1} ^n e^ {\ frac {i} {n}}\ cdot\ frac\ c {1} {n}\ end {збирати*}

Таким чином,$L_n=\sum_{i=1}^n e^{\frac{(i-1)}{n}}\,\frac{1}{n}\text{,}$ який для будь-якого$n$ може бути оцінений комп'ютером, є нижньою межею на точне значення$\int_0^1 e^x\,d{x}$ і$R_n=\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}\,\frac{1}{n}\text{,}$ який для будь-якого також$n$ може бути оцінений комп'ютером, є верхньою межею на точне значення$\int_0^1 e^x\,d{x}\text{.}$ Наприклад, коли$n=1000\text{,}$$L_n= 1.7174$ і$R_n=1.7191$ ( обидва до чотирьох знаків після коми) так що, знову до чотирьох знаків після коми,

\ begin {збирати*} 1.7174\ le\ int_0^1 e^x\, d {x}\ le 1.7191\ end {збирати*}

Нагадаємо, що точне значення$e-1 = 1.718281828\dots\text{.}$

Використання відомих областей для оцінки інтегралів

Однією з головних цілей цього курсу є створення загальної техніки для обчислення певних інтегралів (а також їх інтерпретації та застосування). Ми почнемо з цього найближчим часом, але ще не зовсім. Ми вже бачили один конкретний, якщо трудомісткий, метод обчислення визначених інтегралів — беручи межі сум Рімана, як ми це робили в прикладі 1.1.1. Другий метод, який буде працювати для деяких спеціальних інтегралів, працює шляхом інтерпретації певного інтеграла як «підписана область». Такий підхід буде добре працювати, коли область під кривою розкладається на прості геометричні фігури, такі як трикутники, прямокутники та кола. Ось кілька прикладів цього другого способу.

Приклад 1.1.13 Дуже простий інтеграл і дуже проста область

Інтеграл$\int_a^b 1\,d{x}$ (який також пишеться як просто$\int_a^b\,d{x}$) - це площа затіненого прямокутника (ширини$b-a$ та висоти$1$) на малюнку праворуч внизу. Так

$\int_a^b\,d{x} = (b-a)\times (1)=b-a$

Приклад 1.1.14 Ще один простий інтеграл

Нехай$b \gt 0\text{.}$ Інтеграл$\int_0^b x\,d{x}$ - це площа затіненого трикутника (основи$b$ та висоти$b$) на малюнку праворуч внизу. Так

$\int_0^b x\,d{x} = \frac{1}{2}b\times b=\frac{b^2}{2}$

Інтеграл$\int_{-b}^0 x\,d{x}$ - це підписана область затіненого трикутника (знову основи$b$ та висоти$b$) на малюнку праворуч внизу. Так

$\int_{-b}^0 x\,d{x} = -\frac{b^2}{2}$

Зверніть увагу, що дуже легко розширити цей приклад$\int_0^b c x\,d{x}$ на інтеграл для будь-яких дійсних чисел$b,c \gt 0$ і знайти

\ begin {align*}\ int_0^b c x\, d {x} &=\ гідророзриву {c} {2} b^2. \ end {вирівнювати*}

Приклад 1.1.15 Оцінка$\int_{-1}^1 \left(1-|x|\right)\,d{x}$

У цьому прикладі ми оцінимо$\int_{-1}^1 \left(1-|x|\right)\,d{x}\text{.}$ Згадати, що

\ begin {align*} |x|=\ begin {випадки} -х &\ текст {якщо $x\ le 0$}\ x &\ text {якщо $x\ ge 0$}\ кінець {випадки}\ кінець {align*}

щоб

\ begin {align*} 1-|x|=\ begin {випадки} 1+x &\ text {якщо $x\ le 0$}\\ 1-х &\ текст {якщо $x\ ge 0$}\ кінець {випадки}\ end {align*}

Щоб зобразити геометричну фігуру, площа якої представляє інтеграл, спостерігайте, що

• на лівому кінці області інтеграції$x=-1$ і integrand$1-|x|=1-|-1|=1-1=0$ і
• як$x$ збільшується від$-1$ напрямку$0\text{,}$ до цілісного$1-|x|=1+x$ збільшується лінійно, до
• коли$x$$0$ потрапляє в integrand хіти,$1-|x|=1-|0|=1$ а потім
• при$x$ збільшенні від$0\text{,}$ цілого тіла$1-|x|=1-x$ зменшується лінійно, до
• коли$x$$+1\text{,}$ потрапляє в правий кінець області інтеграції, integrand потрапляє$1-|x|=1-|1|=0\text{.}$

Таким чином, інтеграл$\int_{-1}^1 \left(1-|x|\right)\,d{x}$ - це площа затіненого трикутника (основи$2$ та висоти$1$) на малюнку праворуч внизу і

$\int_{-1}^1 \left(1-|x|\right)\,d{x} = \frac{1}{2}\times 2\times 1 = 1$

Приклад 1.1.16. Оцінка$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,d{x}$

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,d{x}$Інтеграл має integrand$f(x)=\sqrt{1-x^2}\text{.}$ Таким чином, він являє собою область під$y=\sqrt{1-x^2}$ з$x$ працює від$0$ до$1\text{.}$ Але ми можемо переписати

\ begin {align*} y&=\ sqrt {1-x^2} &\ текст {як} && x^2+y^2&= 1, y\ geq 0\ end {align*}

Але це (неявне) рівняння для кола - додаткова умова, яка$y\geq0$ робить його рівнянням для півкола, центрованого на початку координат з радіусом 1, що лежить на осі і вище$x$ -осі. Таким чином, інтеграл представляє площу чверті кола радіуса$1\text{,}$, як показано на малюнку праворуч внизу. Так

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,d{x} = \frac{1}{4}\pi(1)^2 = \frac{\pi}{4}$

Цей наступний трохи складніший і спирається на те, що ми знаємо симетрії синусоїдальної функції.

Приклад 1.1.17 Інтеграція синуса

Інтеграл$\int_{-\pi}^\pi \sin x\,d{x}$ - це підписана область затіненої області на малюнку праворуч внизу. Він, природно, розщеплюється на дві області, по одній з обох боків від$y$ -осі. Ми не знаємо формулу для площі жодного з цих регіонів (поки), однак два регіони дуже майже однакові. Насправді частина затіненої області нижче$x$ -осі є саме відображенням, в$x$ -осі, частини затіненої області над$x$ -віссю. Таким чином, підписана область частини затіненої області нижче$x$ -осі є негативним від підписаної області частини затіненої області над$x$ -віссю і

$\int_{-\pi}^\pi \sin x\,d{x} = 0$

Інша інтерпретація для певних інтегралів

Поки що ми маємо лише єдину інтерпретацію ¹⁸ для певних інтегралів — а саме областей під графами. У наступному прикладі ми розробляємо другу інтерпретацію.

Приклад 1.1.18 Рухома частинка

Припустимо, що частинка рухається уздовж$x$ -осі і припустимо, що в той час$t$ її швидкість є$v(t)$ (із$v(t) \gt 0$ зазначенням руху вправо і$v(t) \lt 0$ вказуючи рух вліво). Що таке зміна його$x$ -координати між часом$a$ і часом$b \gt a\text{?}$

Ми будемо працювати це за допомогою процедури, подібної до нашого визначення інтеграла. Спочатку виберіть натуральне число$n$ і розділіть часовий інтервал від$a$ до$b$ на$n$ рівні підінтервали, кожен ширини$\frac{b-a}{n}\text{.}$ Ми працюємо свій шлях до суми Рімана (як ми робили кілька разів вище), і тому ми врешті-решт візьмемо межу$n\rightarrow\infty\text{.}$

• Перший проміжок часу проходить від$a$ до$a+\frac{b-a}{n}\text{.}$ Якщо ми думаємо про$n$ якесь велике число, ширина цього інтервалу,$\frac{b-a}{n}$ дуже мала і за цей проміжок часу швидкість не дуже сильно змінюється. Отже, ми можемо наблизити швидкість протягом першого підінтервалу як по суті постійну за своїм значенням на початку часового інтервалу —$v(a)\text{.}$ За підінтервалом$x$ -координата змінюється за часом швидкості, а саме$v(a) \cdot \frac{b-a}{n}\text{.}$
• Аналогічно, другий інтервал проходить час$a+\frac{b-a}{n}$ від часу$a+2\frac{b-a}{n}\text{.}$ Знову ж таки, ми можемо припустити, що швидкість не дуже сильно змінюється, і тому ми можемо наблизити швидкість як по суті постійну при її значенні на початку субінтервалу - а саме$v\left(a+\frac{b-a}{n}\right)\text{.}$ Так протягом другого підінтервалу $x$-координата частинок змінюється приблизно на$v\left(a+\frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n}\text{.}$
• Загалом, тимчасове підінтервальне число$i$ проходить від$a+(i-1)\frac{b-a}{n}$ до$a+i\frac{b-a}{n}$ і протягом цього підінтервалу$x$ -координата частинки змінюється, по суті, на

  \ begin {збирати*}, v\ ліворуч (a+ (i-1)\ frac {b-a} {n}\ праворуч)\ frac {b-a} {n}. \ end {збирати*}

Таким чином, чиста зміна в$x$$a$ -coordinate час від часу$b$ приблизно

\ begin {align*} &v (a)\,\ розрив {б-а} {n} + v\ Великий (a+\ frac {b-a} {n}\ Великий)\,\ frac {б-а} {n} +\ cdots +v\ Великий (a+ (i-1)\ розрив {b-a} {n}\ Big)\,\ frac {b-a}\} +\ cdots\\ & +v\ Великий (a+ (n-1)\ розрив {б-а} {n}\ Великий)\,\ гідророзриву {b-a} {n}\\ &=\ sum_ {i=1} ^n v\ Великий (a+ (i-1)\ frac {b-a} {n}\ Великий)\,\ frac {b-a} кінець {вирівнювати*}

Це саме наближення лівої суми Рімана до інтеграла$v$ від$a$ до$b$ з$n$ підінтервалами. Межа, як$n\rightarrow\infty$ саме певний інтеграл$\int_a^b v(t)\,d{t}\text{.}$ Наступна традиція, ми назвали (фіктивну) змінну інтеграції,$t$ а не$x$ нагадувати нам, що настав час, який працює від$a$ до$b\text{.}$

Висновок вищевикладеного обговорення полягає в тому, що якщо частка рухається вздовж$x$ -осі і її$x$ -координата і швидкість в часі$t$ є$x(t)$ і$v(t)\text{,}$ відповідно, то, для всіх$b \gt a\text{,}$

\ begin {збирати*} x (b) - x (a) =\ int_a^b v (t)\, d {t}. \ end {збирати*}

Необов'язково - ретельне визначення інтеграла

У цьому необов'язковому розділі ми даємо більш математично суворе визначення певного інтеграла$\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}\text{.}$ Деякі підручники використовують більш підступне, але еквівалентне визначення. Інтеграл буде визначено як межа сімейства наближень до площі між графом$y=f(x)$ і$x$ -віссю, з$x$ бігом від$a$ до$b\text{.}$ Ми покажемо умови, при яких ця межа гарантовано існує. Ми повинні заздалегідь заявити, що ці умови є більш обмежувальними, ніж є суворо необхідними - це робиться для того, щоб докази були доступними.

Сімейство необхідних наближень є дещо більш загальним, ніж той, який використовувався для визначення сум Рімана в попередніх розділах, хоча воно досить схоже. Головна відмінність полягає в тому, що ми не вимагаємо, щоб всі субінтервали мали однаковий розмір.

• Ми почнемо з вибору натурального цілого$n\text{.}$ Як було раніше, це буде кількість підінтервалів, використовуваних в наближенні, і врешті-решт ми візьмемо межу як$n \to \infty\text{.}$
• Тепер розділіть інтервал від$a$ до$b$ на$n$ підінтервали, вибравши$n+1$ значення$x$, які підкоряються

  \ begin {збирати*} a=x_0\ lt x_1\ lt x_2\ lt\ cdots\ lt x_ {n-1}\ lt x_n=b.\ end {збирати*}

  Субінтервальне число$i$ проходить від$x_{i-1}$ до$x_i\text{.}$ Ця формулювання не вимагає, щоб підінтервали мали однаковий розмір. Однак ми зрештою вимагатимемо, щоб ширина підінтервалів зменшувалася до нуля, як$n\to\infty\text{.}$
• Потім для кожного підінтервалу ми вибираємо значення$x$ в цьому інтервалі. Тобто, для$i=1,2,\dots,n\text{,}$ вибору$x_i^*$ задовольняє$x_{i-1} \leq x_i^* \leq x_i\text{.}$ Ми будемо використовувати ці значення,$x$ щоб допомогти наблизити$f(x)$ на кожному підінтервалі.
• Площа між графіком$y=f(x)$ і$x$ -віссю, з$x$ бігом

  

  від$x_{i-1}$ до$x_i\text{,}$ тобто внесок,$\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,d{x}\text{,}$ від інтервального числа$i$ до інтеграла, наближається площею прямокутника. Прямокутник має ширину$x_i-x_{i-1}$ і висоту$f(x_i^*)\text{.}$

  

• Таким чином, наближення до інтегралу, використовуючи всі$n$ підінтервали, становить

  \ почати {збирати*}\ int_a^b f (x)\, d {x}\ приблизно f (x_1^*) [x_1-x_0] +f (x_2^*) [x_2-x_1] +\ cdots+ f (x_n^*) [x_n-x_ {n-1}]\ кінець {збер*}

• Звичайно, кожен інший вибір$n$$x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}$ і$x_1^*, x_2^*,\cdots,x_n^*$ дає різне наближення. Отже, щоб спростити подальше обговорення, позначимо конкретний вибір всіх цих чисел$\mathbb{P}\text{:}$

  \ begin {збирати*}\ mathbb {P} =\ ліво (n, x_1, x_2,\ cdots, x_ {n-1}, x_1^*, x_2^*,\ cdots, x_n^*\ справа). \ end {збирати*}

  Аналогічно позначимо отримане наближення$\cI(\mathbb{P})\text{:}$

  \ почати {збирати*}\ cI (\ mathbb {P}) =f (x_1^*) [x_1-x_0] +f (x_2^*) [x_2-x_1] +\ cdots+ f (x_n^*) [x_n-x_ {n-1}]\ end {збирати*}

• Ми стверджуємо, що для будь-якої розумної ¹⁹ функції,$f(x)\text{,}$ якщо ви берете будь-яку розумну послідовність ²⁰ цих наближень, ви завжди отримаєте точно таке ж граничне значення. Визначимо$\int_a^b f(x) \,d{x}$, що це граничне значення.
• Будемо точніше. Ми можемо взяти межу цих наближень двома еквівалентними способами. Вище ми зробили це, взявши кількість субінтервалів$n$ до нескінченності. Коли ми це зробили, ширина всіх підінтервалів пішла до нуля. З формулюванням, яке ми зараз використовуємо, просто беручи кількість підінтервалів, щоб бути дуже великою, не означає, що всі вони зменшаться в розмірі. Ми могли б мати один дуже великий субінтервал і велика кількість крихітних. Таким чином ми беремо потрібний нам ліміт, взявши ширину субінтервалів до нуля. Так що для будь-якого вибору$\mathbb{P}\text{,}$ визначаємо

  \ begin {збирати*} M (\ mathbb {P}) =\ макс\ великий\ {x_1-x_0\,\ x_2-x_1\,\ cdots\,\ x_n-x_ {n-1}\ великий\}\ кінець {збирати*}

  тобто максимальна ширина підінтервалів, використовуваних в наближенні, визначена$\mathbb{P}\text{.}$ шляхом змушення максимальної ширини йти до нуля, ширини всіх підінтервалів йдуть до нуля.
• Потім ми визначаємо певний інтеграл як межу

  \ почати {збирати*}\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ lim_ {M (\ mathbb {P})\ стрілка вправо 0}\ ci (\ mathbb {P}). \ end {збирати*}

Звичайно, зараз залишається питання визначення того, коли існує вищевказана межа. Доказ дуже загальних умов, які гарантують існування цієї межі, виходить за рамки цього курсу, тому ми замість цього даємо більш слабкий результат (з більш сильними умовами), який набагато простіше довести.

Для решти цього розділу припустимо

• що$f(x)$ є безперервним для$a\le x\le b\text{,}$
• що$f(x)$ є диференційованим для$a \lt x \lt b\text{,}$ і
• що$f'(x)$ обмежено — тобто$|f'(x)|\leq F$ для деякої константи$F\text{.}$

Зараз ми покажемо, що під цими гіпотезами, як$M(\mathbb{P})$ наближається до нуля,$\cI(\mathbb{P})$ завжди наближається до області,$A\text{,}$ між графіком$y=f(x)$ і$x$ -віссю, з$x$ бігом від$a$ до$b\text{.}$

Ці припущення обрані для того, щоб зробити аргумент особливо прозорим. Трохи більше роботи можна значно послабити гіпотези. Ми трохи обманюємо, неявно припускаючи, що область$A$ існує. Насправді, можна налаштувати аргумент нижче, щоб видалити це неявне припущення.

• $A_j\text{,}$Розглянемо частину площі, що надходить від$x_{j-1}\le x\le x_j\text{.}$

  

  Ми наблизили цю область за$f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}]$ (див. Малюнок зліва).

• $f({\overline x}_j)$$f({\underline x}_j)$Дозволяти і бути найбільшим і найменшим значенням ²¹ of$f(x)$ for$x_{j-1}\le x\le x_j\text{.}$ Тоді істинна площа обмежується

  \ begin {збирати*} f ({\ підкреслення x} _j) [x_j-x_ {j-1}]\ leq a_J\ leq f ({\ overline x} _j) [x_j-x_ {j-1}]. \ end {збирати*}

  (Див. Малюнок праворуч).
• Тепер, оскільки$f({\underline x}_j) \leq f(x_j^*) \leq f({\overline x}_j)\text{,}$ ми також знаємо, що

  \ begin {збирати*} f ({\ підкреслення x} _j) [x_j-x_ {j-1}]\ leq f (x_j^*) [x_j-x_ {j-1}]\ leq f ({\ overline x} _j) [x_j-x_ {j-1}]. \ end {збирати*}

• Таким чином, і справжня область,$A_j\text{,}$ і наше наближення цієї області$f(x_j^*)[x_j - x_{j-1}]$ повинні лежати між$f({\overline x}_j)[x_j-x_{j-1}]$ і$f({\underline x}_j)[x_j-x_{j-1}]\text{.}$ Поєднуючи ці межі, ми маємо, що різниця між істинною областю і нашим наближенням цієї області обмежується

  \ begin {збирати*}\ big|a_j-f (x_j^*) [x_j-x_ {j-1}]\ big|\ le [f ({\ overline x} _j) -f ({\ підкреслення x} _j)]\ cdot [x_j-x_ {j-1}]. \ end {збирати*}

  (Щоб побачити це, подумайте про найменшу істинну площу може бути і найбільшим наше наближення може бути і навпаки.)
• Тепер,$f(x)$ оскільки наша функція диференційовна, ми можемо застосувати одну з головних теорем, яку ми вивчили в CLP-1 — теорему про середнє значення ²². MVT має на увазі, що існує$c$ між${\underline x}_j$ і${\overline x}_j$ такими, що

  \ begin {збирати*} f ({\ overline x} _j) -f ({\ підкреслення x} _j) =f' (c)\ cdot [{\ overline x} _j- {\ підкреслення x} _j]\ end {збирати*}

• За припущенням, що$|f'(x)|\le F$ для всіх$x$ і те, що${\underline x}_j$ і${\overline x}_j$ повинно бути між$x_{j-1}$ і$x_j$

  \ begin {збирати*}\ big|f ({\ overline x} _j) -f ({\ підкреслення x} _j)\ big|\ ле F\ cdot\ big| {\ overline x} _j- {\ підкреслення x} _j\ big|\ ле F\ cdot [x_j-x_ {j-1}]\ кінець {збори*}

  Звідси помилка в цій частині нашого наближення підкоряється

  \ begin {збирати*}\ big|a_j-f (x_j^*) [x_j-x_ {j-1}]\ big|\ ле F\ cdot [x_j-x_ {j-1}] ^2. \ end {збирати*}

• Це була лише помилка в наближенні$A_j\text{.}$ Тепер ми зв'язали загальну помилку, поєднуючи помилки від наближення на всіх підінтервалах. Це дає $$\begin{align*} \left| A-\cI(\mathbb{P})\right| &= \left| \sum_{j=1}^n A_j - \sum_{j=1}^n f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}] \right|\\ &= \left| \sum_{j=1}^n \left(A_j - f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}] \right) \right| &\text{triangle inequality}\\ &\leq \sum_{j=1}^n\left|A_j - f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}]\right|\\ &\leq \sum_{j=1}^n F\cdot [x_j-x_{j-1}]^2 & \text{from above}\\ \end{align*}$$

  Тепер зробіть щось трохи підлий. Замініть один із цих факторів$[x_j-x_{j-1}]$ (який є лише шириною$j^\mathrm{th}$ підінтервалу) на максимальну ширину підінтервалів:

  \ begin {align*} &\ leq\ sum_ {j=1} ^n F\ cdot М (\ mathbb {P})\ cdot [x_j-x_ {j-1}] &\ текст {$F$ і $M (\ mathbb {P}) $ є постійними}\\ &\ leq F\ cdot М (\ mathbb {P})\ cdot\ sum_ {j=1} ^n [x_j-x_ {j-1}] &\ text {сума - загальна ширина}\\ & = F\ cdot M (\ mathbb {P})\ cdot (b-a). \ end {вирівнювати*}
• Оскільки$a\text{,}$$b$ і$F$ є фіксованими, це має тенденцію до нуля, оскільки максимальна ширина прямокутника$M(\mathbb{P})$ прагне до нуля.

Таким чином, ми довели

Теорема 1.1.19

Припустимо, що$f(x)$ є безперервним для$a\le x\le b\text{,}$ і диференційованим$|f'(x)|\le F\text{,}$ для всіх$a \lt x \lt b$ з деякою константою$F\text{.}$ Тоді, оскільки максимальна ширина прямокутника$M(\mathbb{P})$ прагне до$A\text{,}$ нуля,$\cI(\mathbb{P})$ завжди сходиться до площі між графіком$y=f(x)$ і$x$ - вісь, з$x$ ходом від$a$ до$b\text{.}$

Вправи

Етап 1

Для питань з 1 по 5 ми хочемо, щоб ви розробили розуміння моделі, яку ми використовуємо для визначення інтеграла: ми наближаємо площу під кривою, обмежуючи її між прямокутниками. Пізніше ми дізнаємося більш складні методи інтеграції, але всі вони засновані на цій простій концепції.

У питаннях з 6 по 10 ми практикуємо використання сигма-нотації. Існує багато способів написати задану суму в сигма-позначеннях. Ви можете потренуватися в пошуку декількох, і вирішити, який виглядає найяснішим.

Питання з 11 по 15 призначені для того, щоб дати вам практику інтерпретації формул у визначенні 1.1.11. Спочатку формули можуть виглядати складними, але якщо ви розумієте, що означає кожен шматок, їх легко вивчити.

1

Дайте діапазон можливих значень для затіненої області на малюнку нижче.

1

Дайте діапазон можливих значень для затіненої області на малюнку нижче.

3

Використовуючи прямокутники, знайдіть нижню та верхню$\displaystyle\int_1^3 \dfrac{1}{2^x}\,d{x}$ межу для яких відрізняються максимум на 0,2 квадратних одиниці.

4

$f(x)$Дозволяти функція,$x=5\text{.}$ яка зменшується від$x=0$ до Яка сума Рімана$\displaystyle\int_0^5 f(x)\,d{x}$ наближена найбільша - ліва, права або середня точка?

5

Наведіть$f(x)\text{,}$ приклад функції інтервал$[a,b]\text{,}$ і число,$n$ такі, що середня сума Рімана$f(x)$ над$[a,b]$ використанням$n$ інтервалів більша за ліву і праву суми перевищення Рімана з$f(x)$$[a,b]$ використанням$n$ інтервалів.

6

Висловіть наступні суми в сигма-позначеннях:

1. $3+4+5+6+7$
2. $6+8+10+12+14$
3. $7+9+11+13+15$
4. $1+3+5+7+9+11+13+15$

1

Висловіть наступні суми в сигма-позначеннях:

1. $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}$
2. $\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\frac{2}{81}$
3. $-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+\frac{2}{81}$
4. $\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}$

8

Висловіть наступні суми в сигма-позначеннях:

1. $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{5}{27}+\frac{7}{81}+\frac{9}{243}$
2. $\frac{1}{5}+\frac{1}{11}+\frac{1}{29}+\frac{1}{83}+\frac{1}{245}$
3. $1000+200+30+4+\frac{1}{2}+\frac{3}{50}+\frac{7}{1000}$

9

Оцініть наступні суми. Можливо, ви захочете використовувати формули з теорем 5 і 6.

1. $\displaystyle\sum_{i=0}^{100} \left(\dfrac{3}{5}\right)^i$
2. $\displaystyle\sum_{i=50}^{100} \left(\dfrac{3}{5}\right)^i$
3. $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} \left(i^2-3i+5\right)$
4. $\displaystyle\sum_{n=1}^{b}\left[ \left(\frac{1}{e}\right)^n+en^3\right]\text{,}$де$b$ деяке ціле число більше 1.

10

Оцініть наступні суми. Можливо, ви захочете використовувати формули з теореми 1.1.6.

1. $\displaystyle\sum_{i=50}^{100} (i-50)+\displaystyle\sum_{i=0}^{50} i$
2. $\displaystyle\sum_{i=10}^{100} \left(i-5\right)^3$
3. $\displaystyle\sum_{n=1}^{11} (-1)^n$
4. $\displaystyle\sum_{n=2}^{11} (-1)^{2n+1}$

11

На малюнку нижче намалюйте прямокутники, площа яких (підписана) обчислюється середньою сумою Рімана$\displaystyle\sum_{i=1}^4 \dfrac{b-a}{4}\cdot f\left(a+\left(i-\frac{1}{2}\right)\dfrac{b-a}{4}\right)\text{.}$

12 (✳)

$\displaystyle \sum_{k=1}^4 f(1+k)\cdot 1$є лівою сумою Рімана для функції$f(x)$ на інтервалі$[a,b]$ з$n$ підінтервалами. Знайти значення$a\text{,}$$b$ і$n\text{.}$

13

Намалюйте малюнок, що ілюструє площу, задану наступною сумою Рімана.

$$\sum_{i=1}^3 2\cdot\left(5+2i\right)^2 \nonumber$$

14

Намалюйте малюнок, що ілюструє площу, задану наступною сумою Рімана.

$$\sum_{i=1}^5 \frac{\pi}{20}\cdot \tan\left(\frac{\pi (i-1)}{20}\right) \nonumber$$

15 (✳)

Заповніть пробіли правою, лівою або середньою точкою; інтервалом; і значенням n.

1. $\sum\limits_{k=0}^3 f (1.5 + k) \cdot 1$є сумою$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ Рімана для$f$ інтервалу$[\,\underline{\ \ \ \ \ \ }\ ,\ \underline{\ \ \ \ \ \ }\,]$ з$n =\underline{\ \ \ \ \ }\text{.}$

16

Оцініть наступний інтеграл, інтерпретувавши його як підписану область та використовуючи геометрію:

$$\int_0^5 x \,\,d{x} \nonumber$$

17

Оцініть наступний інтеграл, інтерпретувавши його як підписану область та використовуючи геометрію:

$$\int_{-2}^5 x \,\,d{x} \nonumber$$

Етап 2

Питання 26 і 27 використовують формулу геометричної суми, Рівняння 1.1.3

Пам'ятайте, що певний інтеграл - це підписана область між кривою і$x$ -віссю. Ми витратимо багато часу на вивчення стратегій оцінки певних інтегралів, але ми вже знаємо багато способів знайти площу геометричних фігур. У питаннях з 28 по 33 використовуйте свої знання геометрії, щоб знайти підписані області, описані наданими інтегралами.

18 (✳)

Використовуйте сигма-позначення, щоб записати середню суму Рімана для$f(x)=x^8$ on$[5,15]$ з$n=50\text{.}$ Не оцінюйте суму Рімана.

19 (✳)

Оцініть,$\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\,d{x}$ використовуючи три наближені прямокутники і ліві кінцеві точки.

20 (✳)

$f$Дозволяти бути функцією на всій реальній лінії. Експрес$\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\,d{x}$ як ліміт сум Рімана, використовуючи правильні кінцеві точки.

21 (✳)

Значення наступної межі дорівнює площі під графіком$y=f(x)\text{,}$ інтегрованого через інтервал$[0,b]\text{:}$

\ begin {збирати*}\ lim_ {n\ to\ infty}\ sum_ {i = 1} ^ {n}\ frac {4} {n}\ лівий [\ sin\ лівий (2 +\ frac {4i} {n}\ праворуч)\ праворуч] ^2\ кінець {збирати*}

Знайти$f(x)$ і$b\text{.}$

22 (✳)

Для певної функції має$f(x)\text{,}$ таке рівняння:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}} =\int_0^1 f(x)\ \,\,d{x} \nonumber$$

Знайти$f(x)\text{.}$

23 (✳)

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{3}{n} e^{-i/n} \cos\left(\frac{3i}{n}\right)$Висловити як певний інтеграл.

24 (✳)

Нехай$\displaystyle R_n= \sum_{i=1}^{n} \frac{i e^{i/n}}{n^2}\text{.}$ висловити$\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n$ як певний інтеграл. Не варто оцінювати цей інтеграл.

25 (✳)

Експрес$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ як інтеграл трьома різними способами.

26

Оцініть суму$1+r^3+r^6+r^9+\cdots+r^{3n}\text{.}$

27

Оцініть суму$r^5+r^6+r^7+\cdots+r^{100}\text{.}$

28 (✳)

Оцініть${\displaystyle\int_{-1}^2 |2x|\ \,\,d{x}}\text{.}$

29

Оцініть наступний інтеграл, інтерпретувавши його як підписану область та використовуючи геометрію:

$$\int_{-3}^5 |t-1| \,\,d{t} \nonumber$$

30

Оцініть наступний інтеграл, інтерпретувавши його як підписану область та використовуючи геометрію:

$$\int_a^b x \,\,d{x} \nonumber$$

де$0 \leq a \leq b\text{.}$

31

Оцініть наступний інтеграл, інтерпретувавши його як підписану область та використовуючи геометрію:

$$\int_a^b x\, \,d{x} \nonumber$$

де$a \leq b \leq 0\text{.}$

32

Оцініть наступний інтеграл, інтерпретувавши його як підписану область та використовуючи геометрію:

$$\int_0^4 \sqrt{16-x^2} \,d{x} \nonumber$$

33 (✳)

Використовуйте елементарну геометрію для обчислення$\displaystyle \int_0^3 f(x)\,\,\,d{x}\text{,}$ місця

\ begin {align*} f (x) =\ begin {випадки} x, &\ text {якщо} x\ le 1,\\ 1, &\ text {якщо} х\ gt 1. \ end {випадки}\ end {align*}

34 (✳)

Педаль газу автомобіля застосовується за$t=0$ лічені секунди, і автомобіль безперервно розганяється до$t=2$ секунд. Швидкість автомобіля з інтервалом в півсекунди наведена в таблиці нижче. Знайдіть найкращу можливу верхню оцінку відстані, яку автомобіль проїхав протягом цих двох секунд.

$t$(и)	$0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2$
$v$(м/с)	0	14	22	30	40

35

Правда чи помилково: відповідь, яку ви дали на питання 34, безумовно, більше або дорівнює відстані, яку автомобіль проїхав протягом двох секунд, про які йдеться.

36

Швидкість літака з інтервалом в одну годину наведена в таблиці нижче. Приблизна відстань, пройдену літаком з полудня до 16:00 трьома способами, використовуючи середню суму Рімана.

час	12:00 вечора	13:00 вечора	14:00 вечора	15:00	16:00 вечора
швидкість (км/год)	800	700	850	900	750

Етап 3

37 (✳)

(а) Експрес

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} \nonumber$$

як певний інтеграл.

(b) Оцінити інтеграл частини (а).

38 (✳)

Розглянемо інтеграл:

\ begin {збирати*}\ int_0^3 (7 + x^3)\,\, d {x}. \ qquad\ qquad (*)\ кінець {збирати*}

1. Наблизимо цей інтеграл, використовуючи ліву суму Рімана з$n=3$ інтервалами.
2. Запишіть вираз для правої суми Рімана з$n$ інтервалами і обчисліть суму. Тепер візьміть$n \to \infty$ межу у вашому вираженні для суми Рімана, щоб точно оцінити інтеграл ($*$).

Ви можете використовувати ідентифікацію

\ begin {збирати*}\ sum_ {i=1} ^ {n} i^3 =\ frac {n^4 +2n^3 + n^2} {4}\ end {збирати*}

39 (✳)

Використовуючи ліміт правої кінцевої точки сум Рімана, оцінюйте$\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\,d{x}\text{.}$ Ви можете використовувати формули$\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ та$\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\text{.}$

40 (✳)

Знайти$\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\,d{x}$ за допомогою визначення певного інтеграла. Ви можете використовувати формули підсумовування$\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ та$\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}\text{.}$

41 (✳)

Використовуючи ліміт сум Riemann правої кінцевої точки, оцініть$\displaystyle\int_1^4 (2x-1)\,\,\,d{x}\text{.}$ Не використовуйте антидиференціацію, крім як перевірити свою відповідь. ²³ Ви дізнаєтеся про цей метод, починаючи з розділу 1.3. Ви також можете перевірити цю відповідь за допомогою геометрії. Ви можете використовувати формулу$\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}$

42

Дайте функцію$f(x)$, яка має такий вираз у вигляді правої суми Рімана, коли$n=10\text{,}$$\Delta(x)=10$ і$a=-5\text{:}$

$$\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,. \nonumber$$

43

Використовуючи метод Прикладу 1.1.2, оцінюємо

$$\int_0^1 2^x \,d{x} \nonumber$$

44

1. Використовуючи метод Прикладу 1.1.2, оцінюємо

   $$\int_a^b 10^x \,d{x} \nonumber$$

2.  

Використовуючи свою відповідь зверху, зробіть припущення для

$$\int_a^b c^x \,d{x} \nonumber$$

де$c$ позитивна константа. Чи погоджується це з Запитанням 43?

45

Оцінити$\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\,d{x}$ за допомогою геометрії, якщо$0 \leq a \leq 1\text{.}$

46

Припустимо,$f(x)$ що позитивна, спадна функція від$x=a$ до$x=b\text{.}$ Ви даєте верхню і нижню межу на площі під кривою,$y=f(x)$ використовуючи$n$ прямокутники і ліву і праву суму Рімана відповідно, як на малюнку нижче.

1. У чому різниця між нижньою межею і верхньою межею? (Тобто, якщо відняти меншу оцінку з більшої оцінки, що ми отримаємо?) Дайте свою відповідь з точки зору$f\text{,}$$a\text{,}$$b\text{,}$ і$n\text{.}$
2. Якщо ви хочете наблизити площу під кривою до 0,01 квадратних одиниць за допомогою цього методу, скільки прямокутників слід використовувати? Тобто, що повинно$n$ бути?

47

$f(x)$Дозволяти лінійна функція,$a \lt b$ нехай цілі числа, і нехай$n$ бути ціле число. True або false: якщо ми усереднюємо ліву та праву суми Рімана за$\displaystyle\int_a^b f(x)\,d{x}$ використання$n$ прямокутників, то отримаємо те саме значення, що й серединна сума Рімана за допомогою$n$ прямокутників.

1. Це повинно нагадати читачеві про підхід, прийнятий для обчислення нахилу дотичної лінії шлях назад на початку диференціального числення.
2. Наближення області таким чином призводить до визначення інтеграції, яка називається інтеграцією Рімана. Це найбільш часто використовуваний підхід до інтеграції. Однак ми також могли б наблизити площу, використовуючи довгі тонкі горизонтальні смужки. Це призводить до визначення інтеграції, яка називається інтеграцією Лебега. Ми не будемо висвітлювати інтеграцію Лебега в цих нотатках.
3. Якщо ми хочемо бути обережнішими тут, ми повинні побудувати два наближення, одне, яке завжди трохи менше бажаної області і одне, яке трохи більше. Потім ми можемо взяти межу за допомогою теореми стискання і прийти до точної області. Детальніше про це пізніше.
4. Зауважте, що з$e^x$ is an increasing function, this choice of heights means that each of our rectangles is smaller than the strip it came from.
5. Ми не довели, що це дасть нам точну площу, але повинно бути зрозуміло, що прийняття цієї межі дасть нам нижню межу на площі. Щоб завершити речі суворо, нам також потрібна верхня межа та теорема стискання. Робимо це в наступному необов'язковому підрозділі.
6. Якщо ви не пам'ятаєте правило L'Hôpital і невизначені форми, то ми рекомендуємо вам пропустити ваші диференціальні замітки з обчислення на цю тему.
7. Скажіть, якщо ви не пам'ятаєте правило L'Hôpital і не встигли його переглянути.
8. Переносити чи не переносити: «ненульовий» або «ненульовий»? Автори взяли на себе ініціативу звідси і тут.
9. Нагадаємо, що якщо у нас 3 функції$f(x), g(x), h(x)$ that satisfy $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ and we know that $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L$ exists and is finite, then the squeeze theorem tells us that $\lim_{x\to a} g(x) = L\text{.}$
10. Деяке ретельне доповнення показує, що це$\frac{46181}{176400}\text{.}$
11. Оскільки всі суми кінцеві, це не надто важко. Більше обережності потрібно проявляти, коли суми передбачають нескінченну кількість термінів. Ми розглянемо це в розділі 3.
12. Звичайно, будь-яку кінцеву суму можна обчислити точно — просто сумуйте разом терміни. Те, що ми маємо на увазі під «обчисленим точно» у цьому контексті, полягає в тому, що ми можемо переписати суму як просту та легко оцінювану формулу, що включає термінали суми. Наприклад,$\sum_{k=m}^n r^k = \frac{r^{n+1}-r^m}{r-1}$ передбачено$r\neq1\text{.}$. Незалежно від того, що кінцеві цілі числа ми вибираємо для$m$ і$n$, ми можемо швидко обчислити суму всього за кілька арифметичних операцій. З іншого боку, суми$\sum_{k=m}^n \frac{1}{k}$ і$\sum_{k=m}^n \frac{1}{k^2}\text{,}$ не можуть бути виражені в таких чистих формулах (хоча ви можете переписати їх досить чисто за допомогою інтегралів). Щоб пояснити більш чітко, нам потрібно буде перейти до більш детальної та ретельної дискусії, яка виходить за рамки цього курсу.
13. Генеруючі функції часто використовуються в математиці для аналізу послідовностей і рядів, але виходять за рамки курсу. Зацікавленому читачеві варто поглянути на «Генеруючийфункціонологію» Херба Вільфа. Це відмінна книга, а також безкоштовна для завантаження.
14. $a$ and $b$ are also called the bounds of integration.
15. Ми врешті-решт дозволимо$a$ and $b$ to be any two real numbers, not even requiring $a \lt b\text{.}$ But it is easier to start off assuming $a \lt b\text{,}$ and that's what we'll do.
16. Бернхард Ріман був німецьким математиком 19-го століття, який зробив надзвичайно важливий внесок у багато різних областей математики - занадто багато, щоб перерахувати тут. Можливо, дві найважливіші (після сум Рімана) тепер називаються поверхнями Рімана та гіпотезою Рімана (він не назвав їх на честь себе).
17. Коли функція зменшується, ситуація зворотна — ліва сума Рімана завжди більша за інтеграл, тоді як права сума Рімана менша за інтеграл. Для більш загальних функцій, які як збільшуються, так і зменшуються, мабуть, найпростіше вивчити кожен збільшується (або зменшується) інтервал окремо.
18. Якби це була єдина інтерпретація, то інтеграли були б приємною математичною цікавістю і навряд чи будуть основною темою великого першого курсу математики.
19. Ми будемо більш точними про те, що означає «розумний» найближчим часом.
20. Знову ж таки, ми незабаром пояснимо це «розумне»
21. Тут ми використовуємо теорему про екстремальне значення - її доказ виходить за рамки цього курсу. Теорема говорить, що будь-яка неперервна функція на замкнутому інтервалі повинна досягати мінімуму і максимуму хоча б один раз. У даній ситуації це означає, що для будь-якої безперервної функції$f(x)\text{,}$ there are $x_{j-1}\le {\overline x}_j, {\underline x}_j\le x_j$ such that $f({\underline x}_j)\le f(x) \le f({\overline x}_j)$ for all $x_{j-1}\le x\le x_j\text{.}$
22. Нагадаємо, що теорема про середнє значення стверджує, що для функції неперервної$[a,b]$ and differentiable on $(a,b)\text{,}$ there exists a number $c$ between $a$ and $b$ so that $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$