1.6: Обсяги

Ще одним простим додатком інтеграції ¹ є обчислення обсягів. Ми використовуємо ту саму стратегію, яку ми використовували для вираження областей областей у двох вимірах як інтеграли - наближаємо область об'єднанням малих простих частин, обсяг яких ми можемо обчислити, а потім прийняти межу, оскільки «розмір шматка» прагне до нуля.

У багатьох випадках це призведе до «багатовимірних інтегралів», які виходять за межі нашої нинішньої сфери ². Але є деякі особливі випадки, коли це призводить до інтегралів, які ми можемо обробляти. Ось кілька прикладів.

Приклад 1.6.1 Конус

Знайти об'єм кругового конуса висоти\(h\) і радіуса\(r\text{.}\)

Рішення

Ось ескіз конуса.

Ми назвали вертикальну вісь\(x\text{,}\) тільки так, що ми в кінцевому підсумку з «\(\, d{x}\)» інтеграл.

• У чому далі наріжемо конус на тонкі горизонтальні «млинці». Для того щоб наблизити обсяг тих зрізів, нам потрібно знати радіус конуса на висоті\(x\) над його точкою. Розглянемо поперечні перерізи, показані на наступному малюнку.

  

  На повну висоту\(h\text{,}\) конус має радіус.\(r\text{.}\) Якщо ми розрізаємо конус по висоті,\(x\text{,}\) то аналогічними трикутниками (див. Малюнок праворуч) радіус буде\(\frac{x}{h}\cdot r\text{.}\)

• Тепер подумайте про те, щоб нарізати конус на\(n\) тонкі горизонтальні «млинці». Кожен такий млинець приблизно приземкуватий циліндр висоти.\(\Delta x=\frac{h}{n}\text{.}\) Це дуже схоже на те, як ми наблизили площу під кривою\(n\) високими тонкими прямокутниками. Так само, як ми наблизили площу під кривою, підсумовуючи ці прямокутники, ми можемо наблизити обсяг конуса, підсумовуючи обсяги цих циліндрів. Ось вид збоку конуса і одного з циліндрів.

  

• Ми слідуємо методу, який ми використовували в прикладі 1.5.1, за винятком того, що наші скибочки тепер млинці замість прямокутників.
  • Виберіть натуральне число\(n\) (яке ми згодом надішлемо до нескінченності), потім
  • розділити конус на\(n\) тонкі млинці, кожен шириною\(\Delta x=\frac{h}{n}\text{.}\)
  • Для кожного\(i=1,2,\cdots,n\text{,}\) млинця число\(i\) проходить від\(x=x_{i-1}=(i-1)\cdot\Delta x\) до\(x=x_i=i\cdot\Delta x\text{,}\) і ми наближаємо його обсяг на обсяг присідаючого конуса. Підбираємо число\(x_i^*\) між\(x_{i-1}\) і\(x_i\) і наближаємо млинець по циліндру висоти\(\Delta x\) і радіуса\(\frac{x_i^*}{h}r\text{.}\)
  • При цьому обсяг\(i\) млинця приблизно\(\pi \left( \frac{x_i^*}{h}r\right)^2 \Delta x\) (як показано на малюнку вище).
• Отже, сума Рімана наближення обсягу дорівнює

  \ begin {align*}\ text {Площа} &\ приблизно\ sum_ {i = 1} ^n\ pi\ ліворуч (\ frac {x_i^*} {h} r\ праворуч) ^2\ Delta x\ end {align*}

• Приймаючи межу як\(n \to \infty\) (тобто приймаючи межу, оскільки товщина млинців йде до нуля), ми перетворюємо суму Рімана в певний інтеграл (див. Визначення 1.1.9) і при цьому наше наближення обсягу стає точним об'ємом:

  \ begin {збирати*}\ int_0^h\ pi\ Big (\ frac {x} {h} r\ Big) ^2\, d {x}\ end {gather*}

Наше життя ³ було б простіше, якби ми могли уникнути всієї цієї офіційної роботи з сумами Рімана кожного разу, коли ми стикаємося з новим томом. Тому, перш ніж обчислити вищевказаний інтеграл, давайте переробимо вищевказаний розрахунок в менш формальному порядку.

• Починайте знову з малюнка конуса

  

  і подумайте, щоб нарізати його на тонкі млинці, кожен ширини\(\, d{x}\text{.}\)

• Млинець на висоті\(x\) над точкою конуса (що є часткою\(\frac{x}{h}\) загальної висоти конуса) має

  Як\(x\) працює від\(0\)\(h\text{,}\) до загального обсягу

  \ begin {align*}\ int_0^h\ пі\ великий (\ frac {x} {h} r\ Big) ^2\, d {x} &=\ розриву {\ pi r^2} {h^2}\ int_0^h x^2\, d {x}\\ &=\ frac {\ pi r^2} {h^2}\ bigg гідророзрив {x^3} {3}\ bigg] _0^h\\ &=\ розрив {1} {3}\ пі r^2 h\ end {align*}

  • радіус\(\frac{x}{h}\cdot r\) (\(\frac{x}{h}\)частка повного радіуса\(r\)) і так
  • площа поперечного перерізу\(\pi \big(\frac{x}{h}r\big)^2\text{,}\)
  • товщина\(\, d{x}\) - ми зробили щось трохи підлий тут, див. Обговорення нижче.
  • обсяг\(\pi \big(\frac{x}{h}r\big)^2\, d{x}\)

У цьому другому обчисленні ми використовуємо трюк, що економить час. Як ми бачили в формальному обчисленні вище, що нам дійсно потрібно зробити, це вибрати натуральне число,\(n\text{,}\) нарізати конус на\(n\) млинці кожен товщини,\(\Delta x = \frac{h}{n}\) а потім взяти межу, оскільки\(n \to \infty\text{.}\) Це призвело до суми Рімана.

\ begin {align*}\ sum_ {i = 1} ^n\ pi\ ліворуч (\ frac {x_i^*} {h} r\ праворуч) ^2\ дельта х &&\ текст {який стає}\ int_0^h\ pi\ ліворуч (\ frac {x} {h} r\ праворуч) ^2\, d {x}\ end {align*}

Тож знаючи, що ми замінимо

\ begin {align*}\ sum_ {i = 1} ^n &\ довга стрілка\ int_0^h\\ x_i^* &\\ довга стрілка x\\\ Дельта х\\ довгастрілка праворуч\, d {x}\ end {align*}

коли ми беремо ліміт, ми просто пропустили проміжні кроки. Хоча це не зовсім суворо, це можна зробити так, і це врятує нас багато алгебри.

Приклад 1.6.2 Сфера

Знайти об'єм сфери радіуса\(r\text{.}\)

Рішення

Ми знайдемо обсяг частини сфери в першому октанті ⁴, намальованому нижче. Потім помножимо на\(8\text{.}\)

• Щоб обчислити обсяг,

  

  нарізаємо його на тонкі вертикальні «млинці» (так само, як ми це робили в попередньому прикладі).

• Кожен млинець - одна чверть тонкого круглого диска. Млинець на відстані\(x\) від\(yz\) -площини показано на ескізі вище. Радіус цього млинця - це відстань від точки, показаної на малюнку, до\(x\) -осі, тобто\(y\) -координата точки. Щоб отримати координати точки, зауважте, що
  • це лежить\(xy\) -plane, і так має\(z\) -координата нуль, і що
  • вона також лежить на сфері, так що її координати підкоряються\(x^2+y^2+z^2=r^2\text{.}\) Так\(z=0\) і\(y \gt 0\text{,}\)\(y=\sqrt{r^2-x^2}\text{.}\)
• Так млинець на відстані\(x\) від\(yz\) -площині має
  • товщина ⁵\(dx\) і
  • радіус\(\sqrt{r^2-x^2}\)
  • площа поперечного перерізу\(\frac{1}{4}\pi \big(\sqrt{r^2-x^2}\,\big)^2\) і, отже,
  • обсяг\(\frac{\pi}{4} \big(r^2-x^2\big)\, d{x}\)
• Як\(x\) проходить\(r\text{,}\) від\(0\) до загального обсягу частини сфери в першому октанті дорівнює

  \ почати {збирати*}\ int_0^r\ розриву {\ pi} {4}\ великий (r^2-x^2\ великий)\, d {x} =\ розриву {\ pi} {4}\ bigg [r^2x-\ frac {x^3} {3}\ bigg] _0^r =\ frac {1} {6}\ пі r^3\ end {збирати*}

  а загальний обсяг всієї сфери у вісім разів більше, ніж\(\frac{4}{3}\pi r^3\text{,}\) очікувалося.

Приклад 1.6.3 Обертання області

Область між лініями\(y=3\text{,}\)\(y=5\text{,}\)\(x=0\) і\(x=4\) обертається навколо лінії\(y=2\text{.}\) Знайдіть обсяг області змітається.

Рішення

Як і у більшості цих проблем, ми повинні почати з ескізу проблеми.

• Розглянемо область і нарізаємо її на тонкі вертикальні смужки ширини.\(\, d{x}\text{.}\)
• Тепер ми повинні повернути цю область навколо лінії\(y=2\text{.}\) Уявіть, дивлячись прямо вниз по осі обертання,\(y=2\text{,}\) кінець на. Символ на малюнку вище трохи праворуч від кінця лінії\(y=2\) повинен представляти ваше око ⁶. Ось що ви бачите, як відбувається обертання.

  

• При обертанні близько лінії\(y=2\) наша смужка змітає «шайбою».
  • перетин якого - диск радіусу,\(5-2=3\) з якого диск радіусу\(3-2=1\) був вилучений так, щоб він мав
  • площа поперечного перерізу\(\pi 3^2 -\pi 1^2 = 8\pi\) і a
  • товщина\(\, d{x}\) і, отже,
  • обсяг\(8\pi\,\, d{x}\text{.}\)
• Оскільки наша крайня ліва смуга знаходиться на,\(x=0\) а наша крайня права смуга - в\(x=4\text{,}\) загальній сумі.

  \ begin {align*}\ текст {Том} &=\ int _0^4 8\ pi\,\, d {x} = (8\ pi) (4) =32\ пі\ кінець {align*}

Зверніть увагу, що ми також могли б досягти цієї відповіді, написавши обсяг як різницю двох циліндрів.

• Зовнішній циліндр має радіус\((5-2)\) і довжину 4. Це має обсяг

  \ почати {вирівнювати*} V_ {зовнішній} &=\ пі r^2\ ell =\ пі\ cdot 3^2\ cdot 4 = 36\ пі. \ end {вирівнювати*}

• Внутрішній циліндр має радіус\((3-2)\) і довжину 4. Це має обсяг

  \ почати {вирівнювати*} V_ {внутрішній} &=\ пі r^2\ ell =\ пі\ cdot 1^2\ cdot 4 = 4\ пі. \ end {вирівнювати*}

• Обсяг, який ми хочемо, - це різниця цих двох, а саме

  \ begin {вирівнювати*} V &= V_ {зовнішній} - V_ {внутрішній} = 32\ pi. \ end {вирівнювати*}

Давайте трохи збільшимо труднощі на цьому останньому прикладі.

Приклад 1.6.4 Знову обертається

Область між кривою\(y=\sqrt{x}\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(x=0\) і лініями\(x=4\) обертається навколо лінії\(y=0\text{.}\) Знайти обсяг області змітається.

Рішення

Ми можемо підійти до цього приблизно так само, як і попередній приклад.

• Розглянемо регіон і нарізаємо його тонкими вертикальними смужками ширини.\(\, d{x}\text{.}\)

  

• Коли ми обертаємо область близько лінії,\(y=0\text{,}\) кожну смужку змітає тонкий млинець.
  • перетин якого - диск радіусу\(\sqrt{x}\) з
  • площа поперечного перерізу\(\pi (\sqrt{x})^2 = \pi x\) і a
  • товщина\(\, d{x}\) і, отже,
  • обсяг\(\pi x \, d{x}\text{.}\)
• Оскільки наша крайня ліва смуга знаходиться на,\(x=0\) а наша крайня права смуга - в\(x=4\text{,}\) загальній сумі.

  \ begin {align*}\ текст {Том} &=\ int _0^4\ пі х\, d {x} =\ лівий [\ frac {\ pi} {2} x^2\ праворуч] _0^4 =8\ pi\ end {align*}

В останньому прикладі ми розглядали обертання області навколо\(x\) -осі. Зробимо те ж саме, але обертаючись навколо\(y\) -осі.

Приклад 1.6.5 Знову обертається

Область між кривою\(y=\sqrt{x}\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(x=0\) і лініями\(x=4\) обертається навколо лінії\(x=0\text{.}\) Знайти обсяг області змітається.

Рішення:

• Ми розрізаємо область на горизонтальні зрізи, тому ми повинні писати\(x\) як функція\(y\text{.}\) Тобто область обмежена\(x=y^2\text{,}\)\(x=4\text{,}\)\(y=0\) і\(y=2\text{.}\)
• Тепер наріжте область на тонкі горизонтальні смужки ширини.\(\, d{y}\text{.}\)

  

• Коли ми обертаємо область близько лінії,\(x=0\text{,}\) кожну смужку змітає тонкою шайбою.
  • внутрішній радіус якого є,\(y^2\) а зовнішній радіус -\(4\text{,}\) і
  • товщина є\(\, d{y}\) і, отже,
  • має обсяг\(\pi(r_{out}^2 - r_{in}^2)\, d{y} = \pi(16-y^4)\, d{y}\text{.}\)
• Оскільки наша нижня смуга знаходиться на,\(y=0\) а наша верхня смуга - в загальному\(y=2\text{,}\) обсязі.

  \ begin {align*}\ текст {Том} &=\ int _0^2\ pi (16-y^4)\, d {y} =\ лівий [16\ pi y -\ frac {\ pi} {5} y^5\ праворуч] _0^2 = 32\ пі -\ frac {32\ пі} {5} =\ розриву {128\ пі} {5}. \ end {вирівнювати*}

Існує ще один спосіб ⁷ зробити це, який ми показуємо в кінці цього розділу.

Приклад 1.6.6 Піраміда

Знайдіть об'єм піраміди, яка має висоту\(h\) і основою якої є квадрат сторони\(b\text{.}\)

Рішення

Ось ескіз частини піраміди, яка знаходиться в першому октанті; ми показуємо лише цю частину, щоб зробити діаграми простішими.

Зверніть увагу, що на цій схемі показана лише 1 чверть всієї піраміди.

• Щоб обчислити його обсяг, нарізаємо його вгору на тонкі горизонтальні «квадратні млинці». Типовий млинець також з'являється на ескізі вище.
  • Млинець по висоті\(z\) - це\(\frac{h-z}{h}\) частка відстані від вершини піраміди до її основи.
  • Отже, повний млинець ⁸ на висоті\(z\) - це квадрат сторони.\(\frac{h-z}{h}b\text{.}\) Як перевірку, зверніть увагу, що коли\(z=h\) млинець має сторону\(\frac{h-h}{h}b=0\text{,}\) і коли\(z=0\) млинець має сторону\(\frac{h-0}{h}b=b\text{.}\)
  • Так млинець має площу поперечного перерізу\(\big(\frac{h-z}{h}b\big)^2\) і товщину ⁹,\(\, d{z}\) а значить.
  • обсяг\(\big(\frac{h-z}{h}b\big)^2\, d{z}\text{.}\)
• Обсяг всієї піраміди (не тільки частини піраміди в першому октанті) дорівнює\[\begin{align*} \int_0^h \Big(\frac{h-z}{h}b\Big)^2\, d{z} &=\frac{b^2}{h^2} \int_0^h (h-z)^2\, d{z}\\ \end{align*}\]

  Тепер скористайтеся правилом підміни з\(t=(h-z), \, d{z}\to-\, d{t}\)

  \ begin {вирівнювати*} &=\ розрив {b^2} {h^2}\ int_h^0 -t^2\, d {t}\\ &=-\ гідророзриву {b^2} {h^2}\ bigg [\ frac {t^3} {3}\ bigg] _h^0\ &=-\ frac {b^2} {h^3} 2}\ bigg [-\ розрив {h^3} {3}\ bigg]\\ &=\ гідророзриву {1} {3} b^2h\ end {align*}

Давайте трохи посилимо труднощі.

Приклад 1.6.7 Кільце для серветки

Припустимо, ви робите два кільця серветки ¹⁰, просвердливши отвори різного діаметру через два дерев'яних кульки. Один куля має радіус,\(r\) а інший радіус\(R\) з\(r \lt R\text{.}\) Ви вибираєте діаметр отворів таким чином, щоб обидва кільця серветки мали однакову висоту,\(2h\text{.}\) дивіться на малюнку нижче.

Яке кільце ¹¹ має більше дерева в ньому?

Рішення

Обчислимо обсяг кільця серветки з радіусом. Потім\(R\text{.}\) ми зможемо отримати обсяг кільця серветки радіусом\(r\text{,}\), просто замінивши\(R \mapsto r\) в результаті.

• Для обчислення обсягу кільця серветки радіусом\(R\text{,}\) нарізаємо його на тонкі горизонтальні «млинці». Ось ескіз частини кільця серветки в першому октанті, що показує типовий млинець.

  

• Координати двох точок, позначених у\(yz\) -площині цієї фігури, знаходять, пам'ятаючи, що
  • рівняння сфери\(x^2+y^2+z^2=R^2\text{.}\)
  • Дві точки мають\(y \gt 0\) і знаходяться в\(yz\) -площині, так що\(x=0\) для них. Так\(y=\sqrt{R^2-z^2}\text{.}\)
  • Зокрема, у верхній частині серветки кільце\(z=h\text{,}\) так, щоб\(y=\sqrt{R^2-h^2}\text{.}\)
• Млинець на висоті,\(z\text{,}\) показаний на ескізі, являє собою «шайбу» — круглий диск з вирізаним в його центрі круглим отвором.
  • Зовнішній радіус шайби дорівнює\(\sqrt{R^2-z^2}\) і
  • внутрішній радіус шайби\(\sqrt{R^2-h^2}\text{.}\)
  • площа поперечного перерізу шайби становить

    \ почати {збирати*}\ пі\ великий (\ sqrt {r^2-z^2}\,\ великий) ^2-\ пі\ великий (\ sqrt {R^2-h^2}\,\ великий) ^2 =\ pi (h^2-z^2)\ кінець {збирати*}

• Млинець на висоті\(z\)
  • має товщину\(dz\) і
  • площа поперечного перерізу\(\pi(h^2-z^2)\) і, отже,
  • обсяг\(\pi(h^2-z^2)\, d{z}\text{.}\)
• Так як\(z\) проходить від\(-h\) до\(+h\text{,}\) загального обсягу деревини в серветці кільце радіусом\(R\) становить

  \ begin {align*}\ int_ {-h} ^h\ pi (h^2-z^2)\, d {z} &=\ пі\ Великий [h^2z-\ FRAC {z^3} {3}\ Big] _ {-h} ^h\ &=\ pi\ великий [\ великий (h^3-\ frac {h^3} {3}\ Великий) -\ Великий ((-h) ^3-\ розрив {(-h) ^3} {3}\ Великий)\ Великий]\\ &=\ пі\ Великий [\ розриву {2} {3} h^3-\ frac {2} {3}\ великий (-h\ великий) ^3\ Big]\\ &=\ frac {4\ pi} {3} h\\ big кінець {вирівнювати*}

Цей обсяг не залежить від,\(R\text{.}\) отже, кільце серветки радіусом\(r\) містить точно такий же об'єм деревини, як серветкове кільце радіусу.\(R\text{!}\)

Приклад 1.6.8 Виїмка

До центру циліндричного колоди, що має радіус\(20\) см, вирізається\(45^\circ\) виїмка. Одна плоска грань виїмки перпендикулярна осі колоди. Дивіться ескіз нижче. Який обсяг деревини був видалений?

Рішення

Ми показуємо два рішення цієї проблеми, які мають порівнянну складність. Різниця полягає в формі млинців, які ми використовуємо для збільшення обсягу. У розчині 1 нарізаємо прямокутні млинці паралельно\(yz\) -площині і в розчині 2 нарізаємо трикутні млинці паралельно\(xz\) -площині.

Рішення 1:

• Сконцентруйтеся на виїмці. Поверніть його навколо так, щоб грань площини лежала в\(xy\) -площині.
• Потім наріжте виїмку на вертикальні прямокутники (паралельно\(yz\) -площині), як на малюнку зліва внизу.

• Оциліндричне колоду мало радіус\(20\) см. Таким чином, кругова частина кордону основи виїмки має рівняння\(x^2+y^2=20^2\text{.}\) (Ми ставимо початок\(xy\) -площині в центрі кола.) Якщо наша система координат така, що\(x\) є постійною на кожному зрізі, то
  • основою зрізу є відрізок лінії від\((x,-y,0)\)\((x,+y,0)\) куди\(y=\sqrt{20^2-x^2}\) так, щоб
  • зріз має ширину\(2y=2\sqrt{20^2-x^2}\) і
  • висота\(x\) (оскільки верхня грань виїмки знаходиться біля\(45^\circ\) основи — див. Вид збоку, намальований на малюнку праворуч вгорі).
  • Так зріз має площу поперечного перерізу\(2x\sqrt{20^2-x^2}\text{.}\)
• На підставі виїмки\(x\) проходить від\(0\) до,\(20\) тому обсяг виїмки дорівнює.\[\begin{align*} V&=\int_0^{20}2x\sqrt{20^2-x^2}\, d{x}\\ \end{align*}\]

  Зробіть зміну змінних\(u=20^2-x^2\) (не забудьте змінити\(\, d{x} \rightarrow -\frac{1}{2x}\, d{u}\)):

  \ почати {вирівнювати*} V&=\ int_ {20^2} ^ {0} -\ sqrt {u}\,\, d {u}\\ &=\ лівий [-\ frac {u^ {3/2}} {3/2}\ праворуч] _ {20^2} ^0\\ &=\ розрив {2} {3} 20^3 =\ frac {16,000} {3}\ end {вирівнювати*}

Рішення 2:

• Концентрат виїмки. Поверніть його навколо так, щоб його основа лежала в\(xy\) -площині з худим краєм уздовж\(y\) -осі.
• Наріжте виїмку на трикутники паралельно\(xz\) -площині, як на малюнку зліва внизу. На малюнку нижче трикутник буває лежати в площині, де\(y\) негативний.

• Оциліндричне колоду мало радіус\(20\) см. Таким чином, кругова частина кордону основи виїмки має рівняння\(x^2+y^2=20^2\text{.}\) Наша система координат така, що\(y\) є постійною на кожному зрізі, так що
  • підставою трикутника є відрізок лінії від\((0,y,0)\)\((x,y,0)\) куди\(x=\sqrt{20^2-y^2}\) так, щоб
  • трикутник має підставу\(x=\sqrt{20^2-y^2}\) і
  • висота\(x=\sqrt{20^2-y^2}\) (оскільки верхня грань виїмки знаходиться біля\(45^\circ\) основи — див. Вид збоку, намальований на малюнку праворуч вгорі).
  • Так зріз має площу поперечного перерізу\(\frac{1}{2}\big(\sqrt{20^2-y^2}\big)^2\text{.}\)
• На підставі виїмки\(y\) проходить від\(-20\) до,\(20\text{,}\) тому обсяг виїмки дорівнює.

  \ почати {вирівнювати*} V & =\ розриву {1} {2}\ int_ {-20} ^ {20} (20^2-и^2)\, d {y}\\ &=\ int_0^ {20} (20^2-и^2)\, d {y}\\ &=\ Великий [20^2y-\ frac {y^3} {3}\ Великий] _0^ {20}\\ &=\ гідророзриву {2} {3} 20^3=\ гідророзриву {16,000} {3}\ end {align*}

Додатково - Циліндричні оболонки

Повернемося до Прикладу 1.6.5, в якому ми обертаємо область навколо\(y\) -осі. Тут ми покажемо ще одне рішення цієї проблеми, яке виходить шляхом нарізки області на вертикальні смужки. При обертанні навколо\(y\) -осі кожна така смужка змітає тонку циліндричну оболонку. Звідси і назва такого підходу (і цей підрозділ).

Приклад 1.6.9 Знову обертається

Область між кривою\(y=\sqrt{x}\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(x=0\) і лініями\(x=4\) обертається навколо лінії\(x=0\text{.}\) Знайти обсяг області змітається.

Рішення

• Розглянемо регіон і нарізаємо його тонкими вертикальними смужками ширини.\(\, d{x}\text{.}\)

  

• Коли ми обертаємо область близько лінії,\(y=0\text{,}\) кожна смужка змітає тонку циліндричну оболонку.
  • радіус якого дорівнює\(x\text{,}\)
  • висота є\(\sqrt{x}\text{,}\) і
  • товщина є\(\, d{x}\) і, отже,
  • має обсяг\(2 \pi \times \text{radius} \times \text{height} \times \text{thickness} = 2 \pi x^{3/2} \, d{x}\text{.}\)
• Оскільки наша крайня ліва смуга знаходиться на,\(x=0\) а наша крайня права смуга - в\(x=4\text{,}\) загальній сумі.

  \ почати {вирівнювати*}\ текст {Том} &=\ int _0^4 2\ пі x^ {3/2}\, d {x} =\ лівий [\ frac {4\ пі} {5} x^ {5/2}\ праворуч] _0^4 =\ розрив {4\ пі} {5}\ cdot 32 =\ frac {128\ пі} {5}\ кінець *}

  який (на щастя) погоджується з нашими попередніми обчисленням.

Вправи

Етап 1

1

Розглянемо правильний круглий конус.

Якої форми бувають горизонтальні поперечні перерізи? Чи однакові вертикальні перерізи?

2

Два гончара починають з блоку глиняних\(h\) одиниць заввишки та однакових квадратних різаків для печива. Вони утворюють колони, натискаючи квадратний різак печива прямо вниз над глиною, так що його поперечний переріз був таким же квадратним, як різак для печива. Поттер А штовхає їх різак печива вниз, поки їх глиняний блок сидить нерухомо на столі; Поттер Б штовхає їх різак печива вниз, поки їх глиняний блок обертається на гончарному крузі, тому їх колона виглядає скрученою. Яка колонка має більший обсяг?

3

\(R\)Дозволяти область обмежена вище графіком\(y=f(x)\) показаного нижче і обмежена нижче\(x\) -вісь, від\(x=0\) до\(x=6\text{.}\) ескіз шайби, які утворюються обертанням\(R\) навколо\(y\) -осі. У своєму ескізі позначте всі радіуси з точки зору\(y\text{,}\) та позначте товщину.

4 (✳)

Запишіть певні інтеграли, які представляють наступні величини. Не оцінюйте інтеграли явно.

1. Обсяг твердого тіла, отриманого обертанням навколо\(x\) осі —області між\(x\) віссю —і\(y=\sqrt{x}\, e^{x^2}\) для\(0\le x\le 3\text{.}\)
2. Обсяг твердого тіла, отриманого при обертанні області, обмеженої кривими\(y=x^2\) і\(y=x+2\) близько лінії\(x=3\text{.}\)

5 (✳)

Запишіть певні інтеграли, які представляють наступні величини. Не оцінюйте інтеграли явно.

1. Обсяг твердого тіла, отриманого при обертанні скінченної площини області, обмеженої кривими\(y=1-x^2\) і\(y=4-4x^2\) навколо прямої\(y=-1\text{.}\)
2. Обсяг твердого тіла, отриманого при обертанні скінченної площини області, обмеженої кривою\(y=x^2-1\) і лінією\(y=0\) навколо прямої\(x=5\text{.}\)

6 (✳)

Запишіть певний інтеграл, який представляє об'єм твердого тіла, отриманого\(y=-1\) обертанням навколо прямої області між кривими\(y=x^2\) і\(y=8-x^2\text{.}\) Не оцінюйте інтеграли явно.

7

Тетраедр - це об'ємна форма з чотирма гранями, кожна з яких є рівностороннім трикутником. (Можливо, ви бачили цю форму як 4-сторонню матрицю; подумайте про піраміду з трикутною основою.) Використовуючи методи з цього розділу, обчислити об'єм тетраедра з довжиною сторони\(\ell\text{.}\) Ви можете без доказів припустити, що висота тетраедра з довжиною сторони\(\ell\) дорівнює\(\sqrt{\frac{2}{3}}\ell\text{.}\)

Етап 2

8 (✳)

Нехай\(a \gt 0\) буде постійною. \(R\)Дозволяти кінцева область, обмежена графіком\(y=1+\sqrt{x}e^{x^2}\text{,}\) прямої\(y=1\text{,}\) і лінії\(x=a\text{.}\) Використовуючи вертикальні зрізи, знайти обсяг, що\(R\) генерується при повороті навколо лінії\(y=1\text{.}\)

9 (✳)

Знайдіть об'єм твердого тіла, створеного обертанням скінченної області, обмеженої\(x\) віссю\(y = 1/x\) —і\(3x + 3y = 10\) навколо неї.

10 (✳)

\(R\)Дозволяти область всередині кола\(x^2 + (y-2)^2=1\text{.}\)\(S\) Дозволяти бути твердим тілом, отриманим\(R\) обертанням навколо\(x\) -осі.

1. Запишіть інтеграл, що представляє обсяг\(S\text{.}\)
2. Оцініть інтеграл, який ви записали в частині (а).

11 (✳)

Область\(R\) - це частина першого квадранта, яка знаходиться нижче параболи\(y^2=8x\) і вище гіперболи.\(y^2-x^2=15\text{.}\)

1. Ескіз регіону\(R\text{.}\)
2. Знайдіть обсяг твердого тіла, отриманого обертанням\(R\) навколо\(x\) осі.

12 (✳)

Область\(R\) обмежена\(y=\log x\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(x=1\) і\(x=2\text{.}\) (Нагадаємо, що ми використовуємо\(\log x\) для позначення логарифма\(x\) з основою\(e\text{.}\) В інших курсах його часто позначають\(\ln x\text{.}\))

1. Ескіз регіону\(R\text{.}\)
2. Знайдіть обсяг твердого тіла, отриманого обертанням цієї області навколо\(y\) осі.

13 (✳)

Кінцева область між кривими\(y = \cos(\frac x2)\) і\(y = x^2 - \pi^2\) обертається навколо лінії\(y=-{\pi^2}\text{.}\) Використовуючи вертикальні зрізи (диски і/або шайби), знайдіть обсяг отриманого твердого тіла.

14 (✳)

Тверда речовина\(V\) має висоту 2 метри і має квадратні горизонтальні перерізи. Довжина сторони перетину квадрата на висоті\(x\) метрів над підставою -\(\frac{2}{1+x}\) м Знайдіть обсяг цього твердого тіла.

15 (✳)

Розглянемо тверде тіло, основою якого є кінцева частина\(xy\) площини —, обмежена кривими,\(y=x^2\) а\(y=8-x^2\text{.}\) поперечні перерізи, перпендикулярні\(x\) осі —, є квадратами з однією стороною в\(xy\) площині —. Обчислити обсяг цього твердого тіла.

16 (✳)

Frustrum правого круглого конуса (як показано нижче) має висоту\(h\text{.}\) Його основа являє собою круглий диск з радіусом,\(4\) а його вершина - круглий диск з радіусом\(2\text{.}\) Обчисліть обсяг frustrum.

Етап 3

17

Форма землі часто наближена сплюснутим сфероїдом, а не сферою. Сфероїд сплющений утворюється обертанням еліпса навколо своєї другорядної осі (його найкоротшого діаметра).

1. Знайти обсяг сплюснутого сфероїда, отриманого обертанням верхньої (позитивної) половини еліпса\((ax)^2+(by)^2=1\) навколо\(x\) -осі, де\(a\) і\(b\) є додатними константами з\(a \geq b\text{.}\)
2. Припустимо, ¹² земля має радіус на екваторі 6378,137 км, а радіус у полюсів 6356,752 км. Якщо ми моделюємо землю як сплюснутий сфероїд, утворений обертанням верхньої половини еліпса\((ax)^2+(by)^2=1\) навколо\(x\) -осі, що таке\(a\) і\(b\text{?}\)
3. Який обсяг цієї моделі землі? (Скористайтеся калькулятором.)
4. Припустимо, ми розрахували об'єм землі, моделюючи її як сферу радіусом\(6378.137\) км. Якими були б наші абсолютні та відносні помилки, порівняно з нашим сплюснутим сфероїдним розрахунком?

18 (✳)

\(R\)Дозволяти бути обмеженою областю, яка лежить між кривою\(y = 4 - (x - 1)^2\) і лінією\(y = x + 1\text{.}\)

1. Намалюйте\(R\) і знайдіть його площу.
2. Запишіть певний інтеграл, що дає обсяг області, отриманої обертанням\(R\) навколо прямої\(y = 5\text{.}\) Не оцінюйте цей інтеграл.

19 (✳)

Нехай\(\cR=\big\{(x,y)\ :\ (x-1)^2+y^2\le 1\text{ and } x^2+(y-1)^2\le 1\ \big\}\text{.}\)

1. Намалюйте\(\cR\) і знайдіть його площу.
2. Якщо\(\cR\) обертається навколо\(y\) осі —, який обсяг генерується?

20 (✳)

\(\cR\)Дозволяти площині область обмежена\(x=0,\ x=1,\ y=0\) і\(y=c\sqrt{1+x^2}\text{,}\) де\(c\) є позитивною константою.

1. Знайдіть об'єм\(V_1\) твердого тіла, отриманого\(\cR\) обертанням навколо\(x\) осі —.
2. Знайдіть об'єм\(V_2\) твердого тіла, отриманого\(\cR\) обертанням навколо\(y\) осі —.
3. Якщо в\(V_1=V_2\text{,}\) чому цінність\(c\text{?}\)

21 (✳)

На графіку нижче показана область між\(y = 4 + \pi \sin x\) і\(y = 4 + 2\pi - 2x\text{.}\)

Область обертається навколо прямої\(y = -1\text{.}\) Експрес через певні інтеграли об'єм отриманого твердого тіла. Не оцінюйте інтеграли.

22

На конкретній, високооднорідній ¹³ планеті ми спостерігаємо, що щільність атмосфери\(h\) кілометрів над поверхнею задається рівнянням,\(\rho(h) = c2^{-h/6}\quad \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\text{,}\) де\(c\) щільність на поверхні планети.

1. Яка маса атмосфери міститься у вертикальній колоні радіусом один метр, висотою шістдесят кілометрів?
2. Якої висоти повинна бути колона, щоб містити\(\dfrac{3000c\pi}{\log 2}\) кілограми повітря?

1. Ну - можливо, ідея не надто складна і є продовженням ідеї, яка використовується для обчислення областей у попередньому розділі. На практиці це може бути досить складно, як ми побачимо.
2. Зазвичай такі інтеграли (і більше) охоплюються в третьому курсі числення.
3. Принаймні біти його за участю інтегралів.
4. Перший октант - це сукупність всіх точок\((x,y,z)\) with \(x\ge 0\text{,}\) \(y\ge 0\) and \(z\ge 0\text{.}\)
5. Ще раз те, що ми дійсно робимо, це вибрати натуральне число.\(n\text{,}\) slice the octant of the sphere into \(n\) pancakes each of thickness \(\Delta x=\frac{r}{n}\) and then take the limit \(n\rightarrow\infty\text{.}\) In the integral \(\Delta x\) is replaced by \(dx\text{.}\) Knowing that this is what is going to happen, we again just skip a few steps.
6. Гаразд гаразд... Ми пропустили учня. Я впевнений, що там десь є каламбур.
7. Метод не є основною частиною курсу і його слід вважати необов'язковим.
8. Зверніть увагу, що це повний млинець, а не тільки частина в першому октанті.
9. Ми знову використовуємо нашу суму Рімана, уникаючи хитрості.
10. Зручні речі мати (в поєднанні з тканинними серветками), якщо ваші батьки приходять на вечерю і ви хочете переконати їх, що ви «дбаєте про себе».
11. Хороше питання, яке потрібно задати, щоб відвернути батьків від того, що ви подаєте заморожені буріто.
12. Інформаційний лист про Землю, NASA, доступ 2 липня 2017
13. Це явно спрощена модель: щільність повітря постійно змінюється і залежить від безлічі складних факторів окрім висоти. Однак рівняння, яке ми використовуємо, не так далеко від ідеалізованої моделі земної атмосфери, взятої з Законів тиску та газу Шмідом, отриманої 3 липня 2017 року.