1.12: Неправильні інтеграли

Визначення

До цього моменту ми розглядали лише добре поводяться інтеграли$\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}$ Хоча алгебра, яка бере участь у деяких наших прикладах, була досить складною, всі інтеграли мали

• кінцеві межі інтеграції$a$$b\text{,}$ та
• обмежений integrand$f(x)$ (і насправді безперервний, за винятком, можливо, для скінченно багатьох стрибків розривів).

Не всі інтеграли, які нам потрібно вивчити, досить приємні.

Визначення 1.12.1

Інтеграл, що має або нескінченну межу інтеграції, або необмежений цілісний називається неправильним інтегралом.

Два приклади

\ begin {align*}\ int_0^\ infty\ розрив {dx} {1+x^2} &&\ текст {і} &&\ int_0^1\ frac {dx} {x}\ end {align*}

Перший має нескінченну область інтеграції, а цілісність другого прагне$\infty$ як$x$ наближається до лівого кінця області інтеграції. Почнемо з прикладу, який ілюструє пастки, в які можна потрапити, якщо ставитися до таких інтегралів недбало. Тоді ми подивимося, як ставитися до них дбайливо.

Приклад 1.12.2$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\, d{x}$

Розглянемо інтегральний

\ begin {збирати*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x}\ end {збирати*}

Якщо ми «робимо» цей інтеграл абсолютно наївно, то отримаємо

\ begin {вирівнювати*}\ int_ {-1} ^1\ розриву {1} {x^2}\ dx &=\ гідророзриву {x^ {-1}} {-1}\ big|_ {-1} ^1\ &=\ розрив {1} {-1} -\ гідророзриву {-1} {-1} {-1}\\ &=-2\ кінець {вирівня*}

що неправильно ¹. Насправді відповідь смішна. Integrand$\frac{1}{x^2} \gt 0\text{,}$ так інтеграл повинен бути позитивним.

Недолік аргументу полягає в тому, що фундаментальна теорема числення, яка говорить про те, що

якщо$F'(x)=f(x)$ тоді$\int_a^b f(x)\,\, d{x}=F(b)-F(a)$

застосовується лише тоді, коли$F'(x)$ існує і дорівнює$f(x)$ для всіх$a\le x\le b\text{.}$ У цьому випадку$F'(x)=\frac{1}{x^2}$ не існує для$x=0\text{.}$ Заданий інтеграл є неправильним. Пізніше побачимо, що правильна відповідь$+\infty\text{.}$

Давайте покладемо цей приклад на одну сторону на мить і звернемося до інтегралу$\int_a^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}\text{.}$ У цьому випадку integrand обмежена, але область інтеграції поширюється на$+\infty\text{.}$ Ми можемо оцінити цей інтеграл, підкрадаючись до нього. Ми обчислюємо його на обмеженій області інтеграції, як$\int_a^R\frac{\, d{x}}{1+x^2}\text{,}$ і тоді беремо ліміт$R\rightarrow\infty\text{.}$

Давайте втілимо це на практиці:

Приклад 1.12.3$\int_a^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}$

Рішення:

• Оскільки домен поширюється на$+\infty$ ми спочатку інтегруємо на кінцевому домені

  \ begin {вирівнювати*}\ int_a^r\ розрив {\, d {x}} {1+x^2} &=\ арктин х\ bigg|_a^r\ &=\ арктин R -\ arctan a\ end {align*}

• Потім ми приймаємо межу як$R \to +\infty\text{:}$

  \ begin {align*}\ int_a^\ infty\ розрив {\, d {x}} {1+x^2} &=\ lim_ {R\ to\ infty}\ int_a^r\ frac {\, d {x}} {1+x^2}\ &=\ lim_ {R\ до\ infty}\ великий [\ арктан R\ дуга а\ великий]\\ &=\ гідророзриву {\ pi} {2} -\ arctan a.\ end {align*}

Якщо бути більш точним, ми фактично формально визначити інтеграл з нескінченною областю як межа інтеграла з скінченною областю, як ми приймаємо одну або кілька меж інтеграції до нескінченності.

Визначення 1.12.4 Неправильний інтеграл з нескінченною областю інтеграції

1. Якщо інтеграл$\int_a^R f(x)\, d{x}$ існує для всіх,$R \gt a\text{,}$ то

   $$\int_a^\infty f(x)\, d{x}=\lim_{R\rightarrow\infty}\int_a^R f(x)\, d{x} \nonumber$$

   коли межа існує (і є кінцевою).
2. Якщо інтеграл$\int_r^b f(x)\, d{x}$ існує для всіх,$r \lt b\text{,}$ то

   $$\int_{-\infty}^b f(x)\, d{x}=\lim_{r\rightarrow-\infty}\int_r^b f(x)\, d{x} \nonumber$$

   коли межа існує (і є кінцевою).
3. Якщо інтеграл$\int_r^R f(x)\, d{x}$ існує для всіх,$r \lt R\text{,}$ то

   $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\, d{x}=\lim_{r\rightarrow-\infty}\int_r^c f(x)\, d{x} +\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^R f(x)\, d{x} \nonumber$$

   коли обидві межі існують (і є кінцевими). $c$Можна використовувати будь-який.

Коли межа (и) існують, інтеграл, як кажуть, є конвергентним. Інакше кажуть, що він розходиться.

Ми також повинні бути в змозі лікувати інтеграл$\int_0^1\frac{\, d{x}}{x}$, як це має скінченну область інтеграції, але чиє integrand необмежений близько однієї межі інтеграції ² Наш підхід подібний - ми підкрадаємося до проблеми. Обчислюємо інтеграл на меншій області, наприклад$\int_t^1\frac{\, d{x}}{x}\text{,}$ з,$t \gt 0\text{,}$ а потім беремо ліміт$t\rightarrow 0+\text{.}$

Приклад 1.12.5$\int_0^1 \frac{1}{x}\, d{x}$

Рішення:

• Оскільки integrand не обмежений поблизу,$x=0\text{,}$ ми інтегруємо на менший домен$t\leq x \leq 1$ з$t \gt 0\text{:}$

  \ begin {align*}\ int_t^1\ розриву {1} {x}\, d {x} &=\ log|x|\ big|_t^1 = -\ log|t|\ end {align*}

• Потім ми беремо межу,$t \to 0^+$ щоб отримати

  \ почати {вирівнювати*}\ int_0^1\ розрив {1} {x}\, d {x} &=\ lim_ {t=0^+}\ int_t^1\ frac {1} {x}\, d {x} =\ lim_ {t=0^+} -\ log|t| = +\ infty\ кінець {align*}

  Таким чином, цей інтеграл розходиться до$+\infty\text{.}$

Дійсно, ми визначаємо інтеграли з необмеженими інтегралами за допомогою цього процесу:

Визначення 1.12.6 Неправильний інтеграл з необмеженим цілим

1. Якщо інтеграл$\int_t^b f(x)\, d{x}$ існує для всіх,$a \lt t \lt b\text{,}$ то

   $$\int_a^b f(x)\, d{x}=\lim_{t\rightarrow a+}\int_t^b f(x)\, d{x} \nonumber$$

   коли межа існує (і є кінцевою).
2. Якщо інтеграл$\int_a^T f(x)\, d{x}$ існує для всіх,$a \lt T \lt b\text{,}$ то

   $$\int_a^b f(x)\, d{x}=\lim_{T\rightarrow b-}\int_a^T f(x)\, d{x} \nonumber$$

   коли межа існує (і є кінцевою).
3. Нехай$a \lt c \lt b\text{.}$ Якщо інтеграли$\int_a^T f(x)\, d{x}$ і$\int_t^b f(x)\, d{x}$ існують для всіх,$a \lt T \lt c$ а$c \lt t \lt b\text{,}$ потім

   $$\int_a^b f(x)\, d{x}=\lim_{T\rightarrow c-}\int_a^T f(x)\, d{x} +\lim_{t\rightarrow c+}\int_t^b f(x)\, d{x} \nonumber$$

   коли обидві межі існують (і є кінцевими).

Коли межа (и) існують, інтеграл, як кажуть, є конвергентним. Інакше кажуть, що він розходиться.

Зверніть увагу, що (c) використовується, коли integrand необмежений в якийсь момент в середині області інтеграції, як це було в нашому оригінальному прикладі

\ begin {збирати*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x}\ end {збирати*}

Швидкий розрахунок показує, що цей інтеграл розходиться на$+\infty$

\ begin {align*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x} &=\ lim_ {a\ to 0^-}\ int_ {-1} ^a\ frac {1} {x^2}\, d {x} +\ lim_ {b\ to 0^+}\ int_b^1\ frac {1} x^2}\, d {x}\\ &=\ lim_ {a\ to 0^-}\ ліворуч [1-\ розрив {1} {a}\ праворуч] +\ lim_ {b\ to 0^+}\ ліворуч [\ frac {1} {b} -1\ праворуч]\\ &= +\ infty\ end {align*}

Більш загально, якщо інтеграл має більше одного «джерела неправильного» (наприклад, нескінченний домен інтеграції та цілісний з необмеженим цілісним або множинним нескінченними розривами), то ви розділите його на суму інтегралів з єдиним «джерелом неправильності» в кожному. Для інтеграла, в цілому, щоб сходитися кожен член в цій сумі повинен сходитися.

Наприклад

Приклад 1.12.7$\int_{-\infty}^\infty\frac{\, d{x}}{(x-2)x^2}$

Розглянемо інтегральний

\ begin {збирати*}\ int_ {-\ infty} ^\ infty\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2}\ кінець {збирати*}

• Домен інтеграції, який поширюється як$+\infty$ на$-\infty\text{.}$
• Integrand є одниною (тобто стає нескінченною) в$x=2$ і в$x=0\text{.}$
• Таким чином, ми б написати інтеграл як

  \ begin {align*}\ int_ {-\ infty} ^\ infty\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} &=\ int_ {-\ infty} ^ {a}\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} +\ int_ {a} ^0\ frac {\, d {x} {(x-2) x^2} +\ int_0^b\ розриву {\, d {x}} {(x-2) x^2}\\ &+\ int_b^2\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} +\ int_2^c\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} +\ int_c^\ infty\ розриву {\, d {x}} {(x-2) x^2}\ end {align*}

  де

  • $a$це будь-яке число строго менше$0\text{,}$
  • $b$це будь-яке число строго між$0$ і$2\text{,}$ і
  • $c$це будь-яке число строго більше, ніж$2\text{.}$

  Так, наприклад, візьмемо$a=-1, b=1, c=3\text{.}$

• Коли ми оглядаємо праву сторону, ми бачимо, що
  • перший інтеграл має область інтеграції, що поширюється на$-\infty$
  • другий інтеграл має integrand, який стає необмеженим як$x\rightarrow 0-\text{,}$
  • третій інтеграл має integrand, який стає необмеженим, як$x\rightarrow 0+\text{,}$
  • четвертий інтеграл має цілісний, який стає необмеженим, як$x\rightarrow 2-\text{,}$
  • п'ятий інтеграл має цілісний, який стає необмеженим, як$x\rightarrow 2+\text{,}$ і
  • останній інтеграл має область інтеграції, що поширюється на$+\infty\text{.}$
• Кожен з цих інтегралів потім може бути виражений як межа інтеграла на малій області.

Приклади

З більш формальними визначеннями, тепер ми готові до деяких (важливих) прикладів.

Приклад 1.12.8$\int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}$ with $p \gt 0$

Рішення:

• Виправте будь-який$p \gt 0\text{.}$
• Область інтеграла$\int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}$ поширюється на$+\infty$ і integrand$\frac{1}{x^p}$ є безперервною і обмеженою на всій області.
• Таким чином, ми пишемо цей інтеграл як межа

  \ begin {align*}\ int_1^\ infty\ розрив {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ int_1^r\ frac {\, d {x}} {x^p}\ end {align*}

• Антидериватив$1/x^p$ змін, коли$p=1\text{,}$ так ми розділимо проблему на три випадки,$p \gt 1\text{,}$$p=1$ і$p \lt 1\text{.}$
• Коли$p \gt 1\text{,}$

  \ begin {вирівнювати*}\ int_1^r\ розрив {\, d {x}} {x^p} &=\ розриву {1} {1-p} x^ {1-p}\ bigg|_1^R\\ &=\ розрив {R^ {1-p} -1} {1-p}\ кінець {вирівнювати*}}

  Беручи ліміт, як$R \to \infty$ дає

  \ begin {align*}\ int_1^\ infty\ fty\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ to\ infty}\ int_1^r\ frac {\, d {x}}\\ &=\ lim_ {R\ to\ infty}\ frac {R^ {1-p}} {1-p}} p}\\ &=\ гідророзриву {-1} {1-p} =\ гідророзриву {1} {p-1}\ end {align*}

  так як$1-p \lt 0\text{.}$
• Аналогічно, коли$p \lt 1$ ми маємо

  \ почати {вирівнювати*}\ int_1^\ infty\ розрив {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ to\ infty}\ int_1^r\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ до\ infty}\ frac {R^ {1-p}} {1-p}\\ &= +\ infty\ кінець {вирівнювати*}

  тому що$1-p \gt 0$ і термін$R^{1-p}$ розходиться на$+\infty\text{.}$
• Нарешті, коли$p=1$

  \ begin {вирівнювати*}\ int_1^r\ гідророзриву {\, d {x}} {x} &=\ log|r|-\ журнал 1 =\ журнал R\ end {align*}

  Тоді приймаючи межу, як$R \to \infty$ дає нам

  \ begin {align*}\ int_1^\ infty\ розрив {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ to\ infty}\ log|r| = +\ infty. \ end {вирівнювати*}

• Отже, підсумовуючи, ми маємо

  \ begin {align*}\ int_1^\ infty\ fty\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ почати {випадки}\ текст {дивергент} &\ текст {якщо} p\ le 1\\ frac {1} {p-1} &\ text {якщо} p\ gt 1\ кінець {випадки}\ кінець {end {align*}

Приклад 1.12.9$\int_0^1\frac{\, d{x}}{x^p}$ with $p \gt 0$

Рішення:

• Знову виправте будь-який$p \gt 0\text{.}$
• Область інтегралу$\int_0^1\frac{\, d{x}}{x^p}$ є кінцевою, але integrand$\frac{1}{x^p}$ стає необмеженим, як$x$ наближається до лівого кінця,$0\text{,}$ області інтеграції.
• Таким чином, ми пишемо цей інтеграл як

  \ begin {align*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {t\ rightarrow 0+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x^p}\ кінець {align*}

• Знову ж таки, антидериватив змінюється,$p=1\text{,}$ тому ми розділимо проблему на три випадки.
• Коли у$p \gt 1$ нас є

  \ begin {align*}\ int_t^1\ розриву {\, d {x}} {x^p} &=\ розриву {1} {1-p} x^ {1-p}\ bigg|_t^1\ &=\ розрив {1-t^ {1-p}} {1-p}\ кінець {align*}

  Оскільки,$1-p \lt 0$ коли ми беремо межу, як$t\to 0$ термін$t^{1-p}$ розходиться,$+\infty$ і ми отримуємо

  \ begin {align*}\ int_0^1\ розриву {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {t\ to0^+}\ розриву {1-t^ {1-p}} {1-p} = +\ infty\ end {align*}

• Коли$p=1$ ми аналогічно отримуємо

  \ почати {вирівнювати*}\ int_0^1\ розрив {\, d {x}} {x} &=\ lim_ {t\ to0+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x}\ &=\ lim_ {t\ to0+}\ великий (-\ log|t |\ великий)\\ = +\ infty\ кінець {вирівнювати*}

• Нарешті, коли у$p \lt 1$ нас є

  \ почати {вирівнювати*}\ int_0^1\ розрив {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {t\ to0^+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x^p}\ &=\ lim_ {t\ to0^+}\ frac {1-t^ {1-p}} {1-p} =\ гідророзриву {1} {1-p}\ кінець {вирівнювати*}

  так як$1-p \gt 0\text{.}$
• Підсумовуючи

  \ begin {align*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ begin {випадки}\ frac {1} {1-p} &\ текст {якщо} p\ lt 1\\ текст {дивергент} &\ текст {якщо} p\ ge 1\ кінець {випадки}\ end {align*}

Приклад 1.12.10$\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}$ with $p \gt 0$

Рішення:

• Ще раз виправити$p \gt 0\text{.}$
• Цього разу область інтегралу$\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}$ поширюється на$+\infty\text{,}$ і, крім того, integrand$\frac{1}{x^p}$ стає необмеженим, як$x$ наближається до лівого кінця,$0\text{,}$ області інтеграції.
• Отже, ми розділимо домен на дві частини - враховуючи наші останні два приклади, очевидне місце для скорочення знаходиться на$x=1\text{:}$

  $$\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p} =\int_0^1\frac{\, d{x}}{x^p} + \int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x^p} \nonumber$$

• Ми побачили, в прикладі 1.12.9, що перший інтеграл розходився всякий раз,$p\ge 1\text{,}$ і ми також бачили, в прикладі 1.12.8, що другий інтеграл розходився, коли$p\le 1\text{.}$
• Таким чином, інтеграл$\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}$ розходиться для всіх значень$p\text{.}$

Приклад 1.12.11$\int_{-1}^1\frac{\, d{x}}{x}$

Це досить тонкий приклад. Подивіться на ескіз нижче:

Це говорить про те, що підписана область зліва від$y$ -осі повинна точно скасувати область праворуч від$y$ -осі, роблячи значення інтеграла$\int_{-1}^1\frac{\, d{x}}{x}$ рівно нулю.

Але обидва інтеграли

\ begin {align*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x} &=\ lim_ {t\ rightarrow 0+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x} =\ lim_ {t\ rightarrow 0+}\ великий [\ журнал х\ великий] _t^1 =\ lim_ {t\ rightarrow 0+}\ великий] _t^1 =\ lim_ {t\ rightarrow 0+} стрілка 0+}\ лог\ frac {1} {t} =+\ infty\\ int_ {-1} ^0\ frac {\, d {x}} {x} &=\ lim_ {T\ праворуч 0-}\ int_ {-1} ^T\ frac {\, d {x}} {x} =\ lim_ {T\ праворуч 0-}\ Великий [\ log|x|\ Великий ] _ {-1} ^T =\ lim_ {T\ стрілка вправо 0-}\ log|T |\ =-\ infty\ кінець {вирівнювати*}

розходяться так$\int_{-1}^1\frac{\, d{x}}{x}$ розходиться. Не робіть помилки, думаючи, що$\infty-\infty=0\text{.}$ Це невизначено. І це невизначено з поважної причини.

Наприклад, ми щойно побачили, що область праворуч від$y$ -осі

$$\lim_{t\rightarrow 0+}\int_t^1\frac{\, d{x}}{x}=+\infty \nonumber$$

і що область зліва від$y$ -осі є (замінити$-7t$$T$ вище)

$$\lim_{t\rightarrow 0+}\int_{-1}^{-7t}\frac{\, d{x}}{x}=-\infty \nonumber$$

Якщо$\infty-\infty=0\text{,}$ наступний ліміт повинен бути$0\text{.}$

\ begin {align*}\ lim_ {t\ праворуч 0+}\ bigg [\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x} +\ int_ {-1} ^ {-7t}\ frac {\, d {x}} {x}\ bigg] &=\ lim_ {t\ праворуч 0+}\ великий [\ лог c {1} {t} +\ журнал |-7t|\ великий]\\ &=\ lim_ {t\ правий стрілка 0+}\ великий [\ лог\ frac {1} {t} +\ лог (7t)\ великий]\\ &=\ lim_ {t\ правий стрілка 0+}\ великий [-\ журнал t+\ log7 +\ лог t\ великий] =\ lim_ {т\ стрілка вправо 0+}\ журнал 7\\ &=\ журнал 7\ end {align*}

Це, здається, дає$\infty-\infty=\log 7\text{.}$ Звичайно, число$7$ було вибрано випадковим чином. Ви можете$\infty-\infty$ зробити будь-який номер взагалі, зробивши відповідну заміну для$7\text{.}$

Приклад 1.12.12 Приклад 1.12.2 переглянуто

Ретельне обчислення інтеграла Прикладу 1.12.2

\ begin {align*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x} &=\ lim_ {T\ праворуч 0-}\ int_ {-1} ^T\ frac {1} {x^2}\, d {x} +\ lim_ {t\ праворуч 0+}\ int_t^1\ frac {1} {x^2}\, d {x}\\ &=\ lim_ {T\ праворуч 0-}\ Великий [-\ frac {1} {x}\ Великий] _ {-1} ^T +\ lim_ {t\ праворуч 0+}\ Великий [-\ frac {1} {x}\ Big] _t^1\\ &=\ infty+\ infty\ end {вирівнювати*}

Звідси інтеграл розходиться до$+\infty\text{.}$

Приклад 1.12.13$\int_{-\infty}^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}$

Так як

\ begin {align*}\ lim_ {R\ стрілка вправо\ infty}\ int_0^r\ frac {\, d {x}} {1+x^2} &=\ lim_ {R\ праворуч\ infty}\ великий [\ арктин х\ великий] _0^R =\ lim_ {R\ праворуч\ infty}\ арктин R =\ фрак {\ pi} {2}\\ lim_ {r\ rightarrow-\ infty}\ int_r^0\ frac {\, d {x}} {1+x^2} &=\ lim_ {r\ rightarrow-\ infty}\ великий [\ арктин х\ великий] _r^0 =\ lim_ {r\ правої стрілки-\ infty} -\ арктан r =\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

Інтеграл$\int_{-\infty}^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}$ сходиться і приймає значення$\pi\text{.}$

Приклад 1.12.14 Коли$\int_e^\infty\frac{\, d{x}}{x(\log x)^p}$ converge?

За якими$p$ значеннями$\int_e^\infty\frac{\, d{x}}{x(\log x)^p}$ сходяться?

Рішення:

• Для$x\ge e\text{,}$ знаменника ніколи не$x(\log x)^p$ дорівнює нулю. Таким чином, integrand обмежений на всій області інтеграції, і цей інтеграл є неправильним тільки тому, що домен інтеграції поширюється на$+\infty$ і ми продовжуємо, як зазвичай.
• У нас є

  \ begin {align*}\ int_e^\ infty\ frac {\, d {x}} {x (\ журнал x) ^p} &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ int_e^r\ frac {\, d {x}} {x (\ журнал x) ^p}\ qquad\ qquad\ qquad\ текст {використовувати підстановку}\ &=\ lim_ {R\ стрілка вправо\ infty}\ int_1^ {\ журнал R}\ frac {\, d {u}}\ qquad\ qquad\ text {з} u =\ лог x,\, d {u} =\ frac {\, d {x}} {x}\ &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ begin {випадки}\ frac {1} {1-p}\ Великий [(\ лог R) ^ {1-p} -1\ великий] &\ текст {якщо} p\ ne 1\\ журнал (\ лог R) &\ текст {якщо} p=1\ end {випадки}\ &=\ begin {випадки}\ text {якщо}\ le 1\\\ розриву {1} {p-1} &\ текст {якщо} p\ gt 1\ кінець {випадки}\ end {align*}

  На цьому останньому кроці ми використовували аналогічну логіку, що використовується в прикладі 1.12.8, але з$R$ заміненою на$\log R\text{.}$

Приклад 1.12.15 Гамма-функція

Гамма-функція$\Gamma(x)$ визначається неправильним інтегралом

$$\Gamma(t) = \int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}\, d{x} \nonumber$$

Тепер ми обчислимо$\Gamma(n)$ для всіх натуральних чисел$n\text{.}$

• Для початку обчислимо

  \ begin {align*}\ Гамма (1) &=\ int_0^\ infty e^ {-x}\, d {x} =\ lim_ {R\ праворуч\ infty}\ int_0^r e^ {-x}\, d {x} =\ lim_ {R\ праворуч\ infty}\ Великий [-e^ {-x}\ Великий] _0 ^R = 1\ кінець {вирівнювати*}

• Потім обчислити $$\begin{align*} \Gamma(2) &= \int_0^\infty x e^{-x}\, d{x}\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R x e^{-x}\, d{x}\\ \end{align*}$$

  Використовуйте інтеграцію по частинам з$u=x, \, d{v}=e^{-x}\, d{x},$ так$v=-e^{-x}, \, d{u}=\, d{x}$

  \ почати {вирівнювати*} & =\ lim_ {R\ стрілка вправо\ intty}\ bigg [- x^ {-x}\ Big|_0^R +\ int_0^r e^ {-x}\, d {x}\ bigg]\\ & =\ lim_ {R\ праворуч\ int_0^r}\ Великий [- x^ {-x} - e^ {-x} - x}\ Big] _0^R\\ & = 1\ end {align*} Для останньої рівності ми використовували це$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x e^{-x}=0\text{.}$
• Тепер ми переходимо до загального,$n\text{,}$ використовуючи той же тип обчислень, як ми тільки що використовували для оцінки$\Gamma(2)\text{.}$ для будь-якого натурального числа.$n\text{,}$ $$\begin{align*} \Gamma(n+1) &= \int_0^\infty x^n e^{-x}\, d{x}\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R x^n e^{-x}\, d{x}\\ \end{align*}$$

  Знову інтегрувати частинами з$u=x^n,\, d{v}= e^{-x}\, d{x}\text{,}$ таким$v=-e^{-x}, \, d{u}=nx^{n-1}\, d{x}$

  \ begin {вирівнювати*} & =\ lim_ {R\ стрілка вправо\ infty}\ bigg [- x^ne^ {-x}\ Big|_0^R +\ int_0^r nx^ {n-1} e^ {-x}\, d {x}\ bigg]\\ & =\ lim_ {R\ праворуч\ infty} n\ int_0^r x^ {n-1} e^ {-x}\, d {x}\\ & = n\ Гамма (n)\ end {align*} Щоб дістатися до третього рядка, ми використали це$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^n e^{-x}=0\text{.}$
• Тепер, коли ми знаємо,$\Gamma(2)=1$ і$\Gamma(n+1)= n\Gamma(n)\text{,}$ для всіх$n\in\mathbb{N}\text{,}$ ми можемо обчислити всі$\Gamma(n)$ в.

  \ почати {вирівнювати*} {1}\ Гамма (2) &=1\\ Гамма (3) &=\ Гамма (2+1) =2\ Гамма (2) =2\ cdot 1\\ Гамма (4) &=\ Гамма (3+1) =3\ cdot2\ cdot 1\\ Гамма (5) &=\ Гамма (4+1) =3\ cdot2\ cdot 1\\ Гамма (5) &=\ Гамма (4+1) =4\ Гамма (4) = 4\ cdot3\ крапка 2\ крапка 1\\ &\ точки\\ гамма (n) &= (n-1)\ точка (n-2)\ крапки 4\ крапка 3\ крапка 2\ точка 1 = (n-1)! \ end {вирівнювати*}

  Тобто факторіал - це всього ³ гамма-функція, зсунута на одиницю.

Тести збіжності для неправильних інтегралів

Дуже часто зустрічаються інтеграли, які занадто складні для явної оцінки. Натомість часто використовуються числові схеми наближення, оцінені комп'ютером (див. Розділ 1.11). Ви хочете бути впевненим, що хоча б інтеграл сходиться перед подачею його в комп'ютер ⁴. На щастя, зазвичай можна визначити, чи збігається неправильний інтеграл, навіть коли ви не можете оцінити його явно.

Зауваження 1.12.16

У педагогічних цілях ми зосередимося на проблемі визначення того,$\int_a^\infty f(x)\, d{x}$ збігається чи ні інтеграл, коли не$f(x)$ має особливостей для$x\ge a\text{.}$ Нагадаємо, що першим кроком у аналізі будь-якого неправильного інтеграла є написання його у вигляді суми інтегралів, кожен з яких має лише одиничний» джерело некоректності» — або область інтеграції, яка поширюється на$+\infty\text{,}$ або область інтеграції, яка поширюється на$-\infty\text{,}$ або цілісний, який є одниною на одному кінці області інтеграції. Тож ми зараз розглянемо лише першу з цих трьох можливостей. Але методи, які ми збираємося побачити, мають очевидні аналоги для двох інших можливостей.

Тепер приступимо. Уявіть собі, що у нас є неправильний інтеграл$\int_a^\infty f(x)\, d{x}\text{,}$, який не$f(x)$ має особливостей для$x\ge a$ і що$f(x)$ досить складно, що ми не можемо оцінити інтеграл явно ⁵. Ідея полягає в тому, щоб знайти ще один неправильний інтеграл$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$

• з досить$g(x)$ простим, що ми можемо оцінити інтеграл$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ явно, або, принаймні, легко визначити, чи$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ сходиться чи ні, і
• з$g(x)$ поводженням досить, як$f(x)$ для великих$x$, що інтеграл$\int_a^\infty f(x)\, d{x}$ сходиться, якщо і тільки якщо$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ сходиться.

Поки що це досить розпливчаста стратегія. Ось теорема, яка починає робити її більш точною.

Теорема 1.12.17 Порівняння

$a$Дозволяти бути дійсним числом. $g$Дозволяти$f$ і бути функції, які визначені і безперервні для всіх$x\ge a$ і припустити, що$g(x)\ge 0$ для всіх$x\ge a\text{.}$

1. Якщо$|f(x)|\le g(x)$ для всіх$x\ge a$ і якщо$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ сходиться, то$\int_a^\infty f(x)\, d{x}$ і сходиться.
2. Якщо$f(x)\ge g(x)$ для всіх$x\ge a$ і якщо$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ розходиться, то$\int_a^\infty f(x)\, d{x}$ і розходиться.

Ми не будемо доводити цю теорему, але, сподіваюся, наступні підтверджуючі аргументи повинні принаймні здаватися вам розумними. Розглянемо малюнок нижче:

• Якщо$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ сходиться, то площа

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le g (x)\\ великий\}\ текст {скінченний.} \ end {збирати*}

  $|f(x)|\le g(x)\text{,}$Коли регіон

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le |f (x) |\\ великий\}\ текст {міститься всередині}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le g (x)\ big\}\ кінець {gather*}

  і так повинні також мати кінцеву площу. Отже, райони обох регіонів

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le f (x)\\ великий\}\ текст {і}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ f (x)\ le y\ le 0\ big\}\ кінець {збирати*}

  кінцеві занадто ⁶.
• Якщо$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ розходиться, то площа

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le g (x)\\ великий\}\ текст {нескінченно.} \ end {збирати*}

  $f(x)\ge g(x)\text{,}$Коли регіон

  \ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le f (x)\\ великий\}\ текст {містить регіон}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le g (x)\\ big\}\ кінець {gather*}

  і так також має нескінченну площу.

Приклад 1.12.18$\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}$

Ми не можемо оцінити інтеграл$\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}$ явно ⁷, однак ми все одно хотіли б зрозуміти, чи є він кінцевим чи ні - він сходиться або розходиться?

Рішення: Для відповіді на питання ми будемо використовувати теорему 1.12.17.

• Отже, ми хочемо знайти ще один інтеграл, який ми можемо обчислити, і що ми можемо порівняти з$\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}\text{.}$ Для цього ми вибираємо цілісний, який виглядає,$e^{-x^2}\text{,}$ але чий невизначений інтеграл ми знаємо - наприклад,$e^{-x}\text{.}$
• Коли$x\ge 1\text{,}$ ми маємо$x^2\ge x$ і, отже,$e^{-x^2}\le e^{-x}\text{.}$ Таким чином, ми можемо використовувати теорему 1.12.17 для порівняння

  \ begin {збирати*}\ int_1^\ infty e^ {-x^2}\, d {x}\ текст {з}\ int_1^\ infty e^ {-x}\, d {x}\ end {збирати*}

• Інтегральна

  \ begin {align*}\ int_1^\ infty e^ {-x}\, d {x} &=\ lim_ {R\ праворуч\ infty}\ int_1^r e^ {-x}\, d {x}\ &=\ lim_ {R\ праворуч\ infty}\ Великий [-e^ {-x}\ Великий] _1^ {R\ R}\\ &=\ lim_ {R\ стрілка вправо\ infty}\ Великий [e^ {-1} -e^ {-R}\ Великий] =e^ {-1}\ end {align*}

  сходиться.
• Так, за теоремою 1.12.17, з$a=1\text{,}$$f(x)=e^{-x^2}$ і$g(x)=e^{-x}\text{,}$ інтеграл теж$\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}$ сходиться (він приблизно дорівнює$0.1394$).

Приклад 1.12.19$\int_{1/2}^\infty e^{-x^2}\, d{x}$

Рішення:

• Інтеграл$\int_{1/2}^\infty e^{-x^2}\, d{x}$ досить схожий на інтеграл$\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}$ Прикладу 1.12.18. Але ми не можемо просто повторити аргумент Приклад 1.12.18 тому що це не правда, що$e^{-x^2}\le e^{-x}$ коли$0 \lt x \lt 1\text{.}$
• Насправді, для того,$0 \lt x \lt 1\text{,}$$x^2 \lt x$ щоб$e^{-x^2} \gt e^{-x}\text{.}$
• Однак різниця між поточним прикладом і прикладом 1.12.18 є

  \ begin {align*}\ int_ {1/2} ^\ infty e^ {-x^2}\, d {x} -\ int_1^\ infty e^ {-x^2}\, d {x} &=\ int_ {1/2} ^1 e^ {-x^2}\, d {x}\ кінець {align*}

  що явно чітко визначене кінцеве число (його насправді близько$0.286$). Важливо зазначити, що ми трохи неохайні, приймаючи різницю двох інтегралів, як це - ми припускаємо, що обидва інтеграли сходяться. Детальніше про це нижче.
• Таким чином, ми очікуємо, що$\int_{1/2}^\infty e^{-x^2}\, d{x}$ повинна бути сума належного інтегрального інтеграла$\int_{1/2}^1 e^{-x^2}\, d{x}$ і конвергентного інтеграла$\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}$ і так повинно бути збіжним інтегралом. Це дійсно так. Теорема нижче дає обґрунтування.

Теорема 1.12.20

$c$Дозволяти$a$ і бути дійсними числами з$a \lt c$ і нехай функція$f(x)$ буде безперервною для всіх$x\ge a\text{.}$ Тоді неправильний інтеграл$\int_a^\infty f(x)\ \, d{x}$ сходиться тоді і тільки тоді, коли неправильний інтеграл$\int_c^\infty f(x)\ \, d{x}$ сходиться.

Доказ

За визначенням неправильний інтеграл$\int_a^\infty f(x)\, d{x}$ сходиться тоді і тільки тоді, коли межа

\ begin {align*}\ lim_ {R\ стрілка вправо\ infty}\ int_a^r f (x)\, d {x} &=\ lim_ {R\ праворуч\ infty}\ bigg [\ int_a^c f (x)\, d {x} +\ int_c^r f (x)\, d {x}\ bigg]\ &&=\ int_a^c f (x)\, d {x} +\ lim_ {R\ стрілка вправо\ infty}\ int_c^r f (x)\, d {x}\ end {align*}

існує і є кінцевим. (Пам'ятайте, що при обчисленні межі$\int_a^c f(x)\, d{x}$ є кінцевою постійною, незалежною від$R$ і тому може бути витягнута з межі.) Але це відбувається тоді і тільки тоді, коли межа$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^R f(x)\, d{x}$ існує і є кінцевою, що, в свою чергу, відбувається тоді і тільки тоді, коли інтеграл$\int_c^\infty f(x)\, d{x}$ сходиться.

Приклад 1.12.21 Чи$\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}$ converge?

Інтеграл$\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}$ сходиться або розходиться?

Рішення:

• Нашим першим завданням є виявлення потенційних джерел некоректності для цього інтегралу.
• Домен інтеграції поширюється на,$+\infty\text{,}$ але ми також повинні перевірити, чи містить integrand якісь особливості. На області інтеграції$x\ge 1$ так знаменник ніколи не дорівнює нулю, а integrand є безперервним. Таким чином, єдина проблема полягає в$+\infty\text{.}$
• Друге наше завдання - розвинути деяку інтуїцію ⁸. Оскільки єдина проблема полягає в тому, що область інтеграції поширюється до нескінченності, незалежно від того, чи збігається інтеграл, буде визначатися поведінкою інтеграла для дуже великих$x\text{.}$
• Коли$x$ дуже великий,$x^2$ набагато більше, ніж$x$ (який ми можемо написати як$x^2\gg x$), так що знаменник$x^2+x\approx x^2$ і ціле

  \ почати {вирівнювати*}\ розрив {\ sqrt {x}} {x^2+x} &\ приблизно\ розрив {\ sqrt {x}} {x^2} =\ розрив {1} {x^ {3/2}}\ кінець {align*}

• За прикладом 1.12.8, з$p=\frac{3}{2}\text{,}$ інтегралом$\int_1^\infty \frac{\, d{x}}{x^{3/2}}$ сходиться. Тож ми очікуємо, що$\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}$ сходиться теж.
• Наше остаточне завдання - переконатися в правильності нашої інтуїції. Для цього ми хочемо застосувати частину (а) теореми 1.12.17 з$f(x)= \frac{\sqrt{x}}{x^2+x}$ і$g(x)$ бути$\frac{1}{x^{3/2}}\text{,}$ або, можливо, деякі постійні часи$\frac{1}{x^{3/2}}\text{.}$ Тобто нам потрібно показати, що для всіх$x \geq 1$ (тобто в області інтеграції)

  \ begin {збирати*}\ розрив {\ sqrt {x}} {x^2+x}\ leq\ frac {A} {x^ {3/2}}\ кінець {збирати*}

  для деяких постійних$A\text{.}$ Давайте спробуємо це.
• Оскільки$x\geq 1$ ми знаємо, що $$\begin{align*} x^2+x & \gt x^2\\ \end{align*}$$

  Тепер візьміть взаємні обидві сторони:

  \ begin {вирівнювати*}\ розрив {1} {x^2+x} &\ lt\ frac {1} {x^2}\\ end {align*}

  Помножте обидві сторони на$\sqrt{x}$ (що завжди позитивно, тому знак нерівності не змінюється)

  \ почати {вирівнювати*}\ розрив {\ sqrt {x}} {x^2+x} &\ lt\ frac {\ sqrt {x}} {x^2} =\ frac {1} {x^ {3/2}}\ end {align*}
• Так теорема 1.12.17 (а) і приклад 1.12.8, з дійсно$p=\frac{3}{2}$ показують, що інтеграл$\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}$ сходиться.

Зверніть увагу, що в цьому останньому прикладі нам вдалося показати, що інтеграл існує, знаходячи цілісний, який поводився так само для великих$x\text{.}$ Наша інтуїція тоді повинна була бути посилена деякими ретельними нерівностями, щоб застосувати теорему порівняння 1.12.17. Було б непогано уникнути цього останнього кроку і вміти стрибати від інтуїції до висновку, не возитися з нерівностями. На щастя, є варіант теореми 1.12.17, який часто легше застосувати, і який також добре поєднується з такою інтуїцією, яку ми розробили для вирішення Приклад 1.12.21.

Ключова фраза в попередньому пункті - «поводиться так само для великих$x$». Хороший спосіб формалізувати цей вираз - «$f(x)$поводиться як$g(x)$ для великих$x$» - вимагати, щоб межа

\ begin {align*}\ lim_ {x\ rightarrow\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)} &\ text {існує і є скінченним ненульовим числом.} \ end {вирівнювати*}

Припустимо, що це так і викликаємо ліміт$L\ne 0\text{.}$ Тоді

• співвідношення$\frac{f(x)}{g(x)}$ повинно наближатися$L$, як$x$ правило$+\infty\text{.}$
• Отже, коли$x$ це дуже великий - скажімо,$x \gt B\text{,}$ для якоїсь великої кількості$B$ - ми повинні мати це.

  \ begin {align*}\ розрив {1} {2} L\ leq\ frac {f (x)} {g (x)}\ leq 2L &&\ текст {для всіх $x\ gt B$}\ end {align*}

  Аналогічно,$f(x)$ лежить між$\frac{L}{2}g(x)$ і$2Lg(x)\text{,}$ для всіх$x\ge B\text{.}$
• Отже, інтеграл$f(x)$ сходиться тоді і тільки в тому випадку, якщо інтеграл$g(x)$ сходиться, за теоремами 1.12.17 і 1.12.20.

Ці міркування призводять до наступного варіанту теореми 1.12.17.

Теорема 1.12.22 Граничне порівняння

$-\infty \lt a \lt \infty\text{.}$Нехай$f$ і$g$ бути функції, які визначені і безперервні для всіх$x\ge a$ і припустимо, що$g(x)\ge 0$ для всіх$x\ge a\text{.}$

1. Якщо$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ сходиться і межа

   \ begin {збирати*}\ lim_ {x\ rightarrow\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)}\ end {збирати*}

   існує, то$\int_a^\infty f(x)\, d{x}$ сходиться.
2. Якщо$\int_a^\infty g(x)\, d{x}$ розходиться і межа

   \ begin {збирати*}\ lim_ {x\ rightarrow\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)}\ end {збирати*}

   існує і є ненульовим, потім$\int_a^\infty f(x)$ розходиться.

Зверніть увагу, що в (b) межа повинна існувати і бути ненульовою, тоді як в (a) ми вимагаємо лише того, щоб межа існувала (вона може бути нульовою).

Ось приклад того, як використовується теорема 1.12.22.

Приклад 1.12.23$\int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}$

Інтеграл$\displaystyle \int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}$ сходиться або розходиться?

Рішення:

• Нашим першим завданням є виявлення потенційних джерел некоректності для цього інтегралу.
• Область інтеграції поширюється на$+\infty\text{.}$ На області інтеграції знаменник ніколи не дорівнює нулю, тому integrand є безперервним. Таким чином, єдина проблема полягає в$+\infty\text{.}$
• Наше друге завдання - розвинути деяку інтуїцію щодо поведінки integrand для дуже великого.$x\text{.}$ Хороший спосіб почати - думати про розмір кожного члена, коли$x$ стає великим.
• Коли$x$ дуже великий:
  • $e^{-x} \ll x^2\text{,}$щоб знаменник$e^{-x}+x^2\approx x^2\text{,}$ і
  • $|\sin x|\le 1 \ll x\text{,}$щоб чисельник$x+\sin x\approx x\text{,}$ і
  • цілісний$\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2} \approx \frac{x}{x^2} =\frac{1}{x}\text{.}$

  Зверніть увагу, що ми використовуємо,$A \ll B$ щоб означати,$A$ що «набагато менше, ніж$B$». Аналогічно$A\gg B$ означає «$A$набагато більше, ніж$B$». Нам насправді не потрібно бути занадто точними щодо його значення поза цим у теперішньому контексті.

• Тепер, оскільки$\int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x}$ розходиться, ми також очікуємо$\int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}$ розходитися.
• Наше остаточне завдання - переконатися в правильності нашої інтуїції. Для цього встановлюємо

  \ begin {вирівнювати*} f (x) &=\ розрив {x+\ sin x} {e^ {-x} +x^2} & g (x) &=\ розрив {1} {x}\ end {align*}

  і обчислити

  \ почати {вирівнювати*}\ lim_ {х\ стрілка вправо\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {х\ стрілка вправо\ infty}\ frac {x+\ sin x} {-x} +x^2}\ div\ frac {1} {x}\ &=\ lim_ {x\ rightar рядок\ infty}\ розрив {(1+\ sin х/х) х} {(e^ {-х} /х ^ 2+1) х ^ 2}\ раз х\\ &=\ lim_ {x\ праворуч\ infty}\ frac {1+\ sin х/х} {е ^ {-х} /х ^ 2+1}\ &\ = 1\ кінець {align*}

• Оскільки$\int_1^\infty g(x)\, d{x} = \int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x}$ розходиться, на прикладі 1.12.8 з$p=1\text{,}$ теоремою 1.12.22 (b) тепер говорить нам, що теж$\int_1^\infty f(x)\, d{x} = \int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}$ розходиться.

Вправи

Етап 1

1

Для яких значень інтеграла$b$ є$\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2-1} \, d{x}$ неправильним?

2

Для яких значень інтеграла$b$ є$\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2+1} \, d{x}$ неправильним?

3

Нижче$y=f(x)$ наведені графіки і$y=g(x)\text{.}$ припустимо$\displaystyle\int_0^\infty f(x) \, d{x}$ сходяться, і$\displaystyle\int_0^\infty g(x) \, d{x}$ розходяться. Припускаючи, що графіки продовжуються так, як показано$x \to \infty\text{,}$, який графік є,$f(x)\text{,}$ а який$g(x)\text{?}$

4 (✳)

Вирішіть, чи є таке твердження істинним чи хибним. Якщо помилково, наведіть контрприклад. Якщо true, надайте коротке обґрунтування. (Припустимо, що$f(x)$ і$g(x)$ є безперервними функціями.)

Якщо$\displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x) \,\, d{x}$ сходиться і$g(x)\ge f(x)\ge 0$ для всіх$x\text{,}$ то$\displaystyle\int_{1}^{\infty} g(x) \,\, d{x}$ сходиться.

5

Нехай$f(x) = e^{-x}$ і$g(x)=\dfrac{1}{x+1}\text{.}$ Примітка$\int_{0}^\infty f(x) \, d{x}$ сходиться в той час як$\int_{0}^\infty g(x) \, d{x}$ розходиться.

Для кожної з функцій,$h(x)$ описаних нижче, вирішіть, чи$\int_{0\vphantom{\frac12}}^\infty h(x) \, d{x}$ збігається чи розходиться, чи недостатньо інформації для вирішення. Обгрунтуйте своє рішення.

1. $h(x)\text{,}$безперервний і визначений для всіх$x \ge0\text{,}$$h(x) \leq f(x)\text{.}$
2. $h(x)\text{,}$безперервний і визначений для всіх$x\ge 0\text{,}$$f(x) \leq h(x) \leq g(x)\text{.}$
3. $h(x)\text{,}$безперервний і визначений для всіх$x\ge 0\text{,}$$-2f(x) \leq h(x) \leq f(x)\text{.}$

Етап 2

6 (✳)

Оцініть інтеграл$\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\, d{x}$ або стан, що він розходиться.

7 (✳)

Визначте, чи$\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\, d{x}$ є інтеграл збіжним або розходиться. Якщо він сходиться, знайдіть його значення.

8 (✳)

Чи$\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{4x^2-x}}\,\, d{x}$ сходиться неправильний інтеграл? Обґрунтуйте свою відповідь.

9 (✳)

Інтеграл$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^2+\sqrt{x}}$ сходиться або розходиться? Обґрунтуйте свою претензію.

10

Інтеграл$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \cos x \, d{x}$ сходиться або розходиться? Якщо він сходиться, оцініть його.

11

Інтеграл$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \sin x \, d{x}$ сходиться або розходиться? Якщо він сходиться, оцініть його.

12

Оцініть$\displaystyle\int_{10}^\infty \frac{x^4-5x^3+2x-7}{x^5+3x+8} \, d{x}\text{,}$ або стверджуйте, що він розходиться.

13

Оцініть$\displaystyle\int_0^{10} \frac{x-1}{x^2-11x+10} \, d{x}\text{,}$ або стверджуйте, що він розходиться.

14 (✳)

Визначте (з обґрунтуванням!) яке з наступного відноситься до інтегралу$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}\text{:}$

1. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}$розходиться
2. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}$сходиться, але$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\, d{x}$ розходиться
3. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}$сходиться, як робить$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\, d{x}$

Зауваження: ці варіанти, відповідно, полягають в тому, що інтеграл розходиться, сходиться умовно, і сходиться абсолютно. Ви побачите цю термінологію, яка використовується для серій у розділі 3.4.1.

15 (✳)

Вирішіть,$I=\displaystyle\int_0^\infty\frac{|\sin x|}{x^{3/2}+x^{1/2}}\, d{x}$ сходиться або розходиться. Обґрунтуйте.

16 (✳)

Інтеграл$\displaystyle\int_0^\infty\frac{x+1}{x^{1/3}(x^2+x+1)}\,\, d{x}$ сходиться або розходиться?

Етап 3

17

Ми створюємо високе тіло у формі вувузели, обертаючи лінію$y = \dfrac{1}{x\vphantom{\frac{1}{2}}}$ від$x=a$ до$x=1$ приблизно$y$ -осі, де$a$ є деяка постійна між 0 і 1.

True або false: Незалежно від того, наскільки велика константа,$M$ є деяке значення,$a$ яке робить тверде тіло з об'ємом більше, ніж$M\text{.}$

18 (✳)

Яка найбільша величина,$q$ для якої інтеграл$\displaystyle \int_1^\infty \frac1{x^{5q}}\,\, d{x}$ розходиться?

19

Для яких значень$p$ інтеграла$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x}{(x^2+1)^p} \, d{x}$ сходиться?

20

Оцініть$\displaystyle\int_2^\infty \frac{1}{t^4-1}\, d{t}\text{,}$ або стверджуйте, що він розходиться.

21

Інтеграл$\displaystyle\int_{-5}^5 \left(\frac{1}{\sqrt{|x|}} + \frac{1}{\sqrt{|x-1|}}+\frac{1}{\sqrt{|x-2|}}\right)\, d{x}$ сходиться або розходиться?

22

Оцініть$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\sin x \, d{x}\text{,}$ або стверджуйте, що він розходиться.

23 (✳)

Інтегральна$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin^4 x}{x^2}\, \, d{x}$ конвергентна або розходиться? Поясніть, чому.

24

Інтеграл$\displaystyle\int_0^\infty \frac{x}{e^x+\sqrt{x}} \, d{x}$ сходиться або розходиться?

25 (✳)

$M_{n,t}$Дозволяти середнє правило наближення для$\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{1+x}\, d{x}$ з$n$ рівними підінтервалами. Знайти значення$t$ і значення$n$ такого, що$M_{n,t}$ відрізняється від$\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\, d{x}$ на максимум.$10^{-4}\text{.}$ Нагадаємо, що помилка,$E_n$ введена при використанні Midpoint Rule з$n$ підінтервалами підпорядковується.

\ begin {збирати*} |e_n|\ le\ frac {M (b-a) ^3} {24n^2}\ кінець {збирати*}

де$M$ - максимальне абсолютне значення другої похідної цілого$a$ і і$b$ є кінцевими точками інтервалу інтеграції.

26

Припустимо$f(x)$, є безперервним для всіх дійсних чисел, і$\displaystyle\int_1^\infty f(x) \, d{x}$ сходиться.

1. Якщо$f(x)$ непарний,$\displaystyle\int_{-\infty\vphantom{\frac12}}^{-1} f(x) \, d{x}$ сходиться або розходиться, або недостатньо інформації, щоб вирішити?
2. Якщо$f(x)$ рівний,$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x) \, d{x}$ сходиться або розходиться, або не вистачає інформації, щоб вирішити?

27

Правда чи брехня:

Існує деяке дійсне число$x\text{,}$ з$x \geq 1\text{,}$ таким, що$\displaystyle\int_0^x \frac{1}{e^t} \, d{t} = 1\text{.}$

1. Дуже неправильно. Але це не приклад «навіть не неправильно» - це фраза, приписувана фізику Вольфгангу Паулі, який був відомий своєю жорсткою критикою неакуратних аргументів. Ця фраза зазвичай використовується для опису аргументів, які є настільки незв'язними, що не тільки не можна довести, що вони правдиві, але їм не вистачає достатньої узгодженості, щоб мати можливість показати, що вони помилкові. Зацікавленому читачеві варто трохи зайнятися пошуковиком і подивитися на поняття falisfyability.
2. Це, в свою чергу, дозволить нам мати справу з інтегралами, чиє integrand необмежений десь всередині області інтеграції.
3. Гамма-функція набагато важливіша, ніж просто узагальнення факторіала. Він з'являється по всій математиці, фізиці, статистиці та за її межами. Він має всілякі цікаві властивості і його визначення може бути розширено від натуральних чисел$n$ до всіх чисел$0,-1,-2,-3,\cdots\text{.}$ за винятком Наприклад, можна показати, що$\Gamma(1-z)\Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}.$
4. Застосування методів числового інтегрування до дивергентного інтегралу може призвести до ідеально розумно виглядають, але дуже неправильні відповіді.
5. Ви могли б, наприклад, придумати щось на зразок нашого бігового прикладу$\int_a^\infty e^{-t^2} \, d{t}\text{.}$
6. Ми розділили регіони, в яких$f(x)$ є позитивним і негативним, тому що інтеграл$\int_a^\infty f(x)\,d{x}$ являє собою підписану область об'єднання$\big\{\ (x,y)\ \big|\ x\ge a,\ 0\le  y\le f(x)\ \big\}$ і$\big\{\ (x,y)\ \big|\ x\ge a,\ f(x)\le y\le 0\  \big\}\text{.}$
7. Це було предметом багатьох зауважень і виносок.
8. Для цього потрібна практика, практика та більше практики. При ризику алітерації - будь ласка, виконайте безліч практичних проблем.