1.7: Інтеграція частинами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60940

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Фундаментальна теорема числення говорить нам, що інтегрувати похідну дуже легко. Зокрема, ми знаємо, що

\ begin {align*}\ int\ frac {d} {dx}\ ліворуч (F (x)\ вправо)\, d {x} &= F (x) +C\ end {align*}

Ми можемо використовувати це для того, щоб розробити інше правило інтеграції - зокрема правило, яке допоможе нам інтегрувати продукти простішої функції, такі як

\ begin {збирати*}\ int х e^x\, d {x}\ end {збирати*}

При цьому ми дійдемо до методу, який називається «інтеграція частинами».

Для цього ми починаємо з правила продукту та інтегруємо. Нагадаємо, що правило продукту говорить

\ begin {збирати*}\ розрив {d} {dx} u (x) v (x) = u' (x)\, v (x) +u (x)\, v' (x)\ end {збирати*}

Інтеграція цього дає

\ begin {align*}\ int\ великий [u' (x)\, v (x) +u (x)\, v' (x)\ великий]\, d {x} &=\ big [\ text {функція, похідна якої $u'v+uv'$}\ великий] + C\\ &=u (x) v (x) +C\ end {align*}

Тепер це, само по собі, не страшно корисно. Для того, щоб застосувати його, ми повинні мати функцію, integrand якої є сумою продуктів, яка знаходиться саме в$u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\text{.}$ цій формі Це занадто спеціалізовані.

Однак якщо ми трохи дражнимо це:

\[\begin{align*} \int \big[ u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) \big]\, d{x} &= \int u'(x)\,v(x) \,\, d{x} +\int u(x)\,v'(x) \,\, d{x}\\ \end{align*}\]

Наведіть один з інтегралів в ліву сторону

\ begin {align*} u (x) v (x) -\ int u' (x)\, v (x)\, d {x} &=\ int u (x)\, v' (x)\, d {x}\\ end {align*}

Поміняти місцями ліву та праву сторони

\ begin {align*}\ int u (x)\, v' (x)\, d {x} &= u (x) v (x) -\ int u' (x)\, v (x)\, d {x}\ end {align*}

У такому вигляді ми беремо інтеграл одного виробу і виражаємо його в терміні інтеграла іншого твору. Якщо ми висловлюємо це так, це не здається занадто корисним. Однак якщо другий інтеграл простіше, то цей процес нам допомагає.

Давайте зробимо простий приклад, перш ніж пояснити це загалом.

Приклад 1.7.1$\int xe^x \, d{x}$

Обчислити інтеграл$\displaystyle \int xe^x \, d{x}\text{.}$

Рішення

Ми починаємо з того, що приймаємо рівняння вище
\ begin {align*}\ int u (x)\, v' (x)\, d {x} &= u (x) v (x) -\ int u' (x)\, v (x)\, d {x}\ end {align*}
Тепер набір$u(x)=x$ і$v'(x)=e^x\text{.}$ Як ми знали, як зробити цей вибір? Деякі стратегії ми пояснимо пізніше. Наразі давайте просто приймемо цей вибір і продовжуємо йти.
Для того, щоб використовувати формулу, яку нам потрібно знати,$u'(x)$ і$v(x)\text{.}$ в цьому випадку це досить просто:$u'(x)=1$ і$v(x)=e^x\text{.}$
Підключіть все в формулу:\[\begin{align*} \int x e^x \, d{x} &= x e^x - \int e^x \, d{x}\\ \end{align*}\]
Таким чином, наш оригінальний більш складний інтеграл був перетворений в питання обчислень легко один.
\ begin {вирівнювати*} &= х e^x - e^x+C\ end {вирівнювати*}
Ми можемо перевірити нашу відповідь, диференціюючи:
\ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ ліворуч (x e^x - e^x+C\ праворуч) &=\ underbrace {x x + 1\ cdot e^x} _ {\ text {за правилом продукту}} - e^x + 0\ &= x e^x &\ text {за потребою.} \ end {вирівнювати*}

Процес, який ми використовували у наведеному вище прикладі, називається «інтеграція частинами». Коли наш integrand є продуктом, ми намагаємося записати його як$u(x) v'(x)$ - нам потрібно вибрати один коефіцієнт бути,$u(x)$ а інший -$v'(x)\text{.}$ ми потім обчислюємо,$u'(x)$$v(x)$ а потім застосовуємо наступну теорему:

Теорема 1.7.2 Інтеграція частинами

Нехай$u(x)$ і$v(x)$ бути безперервно диференційованими. Тоді

\ begin {збирати*}\ int u (x)\, v' (x)\, d {x} = u (x)\, v (x) -\ int v (x)\, u' (x)\, d {x}\ end {збирати*}

Якщо ми пишемо$dv$$\, d{u}$ for$v'(x)\, d{x}$ і$u'(x)\, d{x}$ for (як підказує правило підміни), то формула стає

\ begin {збирати*}\ int u\, d {v} = u\, v-\ int v\, d {u}\ end {збирати*}

Застосування цієї формули відоме як інтеграція частинами.

Відповідним твердженням для певних інтегралів є

\ почати {збирати*}\ int_a^b u (x)\, v' (x)\, d {x} = u (b)\, v (b) -u (a)\, v (a) -\ int_a^b v (x)\, u' (x)\, d {x}\ end {збирати*}

Інтеграція частинами не так просто застосувати, як правило продукту для похідних. Це тому, що вона покладається на нас

розсудливо вибираючи,$u(x)$ а$v'(x)\text{,}$ потім
обчислювальних$u'(x)$ і$v(x)$ - що вимагає від нас антидиференціації$v'(x)\text{,}$ і, нарешті,
що інтеграл$\int u'(x) v(x)\, d{x}$ легше, ніж інтеграл ми почали с.

Зверніть увагу, що будь-яке антипохідне$v'(x)$ буде робити. Всі$v'(x)$ антипохідні мають форму$v(x)+A$ з$A$ постійною. Введення цього в інтеграцію по частинам формула дає

\ begin {align*}\ int u (x) v' (x)\, d {x} &= u (x)\ ліворуч (v (x) +A\ вправо) -\ int u' (x)\ ліворуч (v (x) +A\ праворуч)\, d {x}\ &= u (x) v (x) + A u (x) -\ int u (x) -\ int u (x) (x)\, d {x} -\ підстроювання {A\ int u' (x)\, d {x}} _ {= A u (x) + C}\\ &= u (x) v (x) -\ int u' (x) v (x)\, d {x} + C\ end {align*}

Так що$A$ константа завжди скасує.

У більшості додатків (але не у всіх) наш integrand буде продуктом двох факторів, тому у нас є два варіанти для$u(x)$ і$v'(x)\text{.}$ Зазвичай один з цих варіантів буде «хорошим» (в тому, що це призводить до більш простого інтегралу), а інший буде «поганим» (ми не можемо антидиференціювати наш вибір$v'(x)$ або отриманий інтеграл складніше). Давайте проілюструємо, що ми маємо на увазі, повернувшись до нашого попереднього прикладу.

Приклад 1.7.3$\int xe^x \, d{x}$ — again

Наша цілісність є добутком двох факторів

\ begin {вирівнювати*} х &&\ текст {і} && e^x\ end {align*}

Це дає нам два очевидних вибору$u$ і$v'\text{:}$

\ begin {align*} u (x) &= x & v '(x) &= e ^ x\\\ текст {або}\\ u (x) &= e ^ x & v' (x) &= x\ end {align*}

Ми повинні вивчити обидва варіанти:

Якщо$v'(x)=e^x\text{.}$ візьмемо$u(x)=x$ і Ми то швидко обчислимо
\ begin {align*} u' (x) &= 1 &\ текст {і} && v (x) =e^x\ end {align*}
що означає, що нам потрібно буде інтегрувати (у правій частині формули інтеграції по частинам)
\ begin {вирівнювати*}\ int u' (x) v (x)\, d {x} &=\ int 1\ cdot e^x\, d {x}\ end {align*}
який виглядає просто. Це хороший показник того, що це правильний вибір$u(x)$ і$v'(x)\text{.}$
Але перш ніж ми це зробимо, ми також повинні вивчити інший вибір, а саме,$u(x)=e^x$ і$v'(x)=x\text{.}$ Це означає, що
\ begin {align*} u' (x) &= e^x &\ текст {і} && v (x) &=\ розрив {1} {2} x^2\ end {align*}
а це означає, що нам потрібно інтегрувати
\ begin {align*}\ int u' (x) v (x)\, d {x} &=\ int\ frac {1} {2} x^2\ cdot e^x\, d {x}. \ end {вирівнювати*}
Це, принаймні, так само важко, як інтеграл, з якого ми почали. Отже, ми повинні спробувати перший вибір.

Зробивши наш вибір, ми інтегруємо по частинам, щоб отримати

\ begin {вирівнювати*}\ int xe^x\, d {x} &= xe^x -\ int e^x\, d {x}\ &= xe^x - e^x+C.\ end {align*}

Наведені вище міркування є дуже типовим робочим процесом при використанні інтеграції частинами.

Інтеграція по частинам часто використовується

для усунення факторів$x$ з integrand, як$xe^x$ за допомогою цього$\frac{d}{dx}x=1$ і
для усунення a$\log x$ з цілого, використовуючи що$\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}$ і
для усунення зворотних функцій трига, як$\arctan x\text{,}$ з integrand, використовуючи, що, наприклад,$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\text{.}$

Приклад 1.7.4$\int x\sin x\, d{x}$

Рішення

Знову ми маємо продукт двох факторів, що дають нам два можливі варіанти вибору.
1. Якщо ми$u(x)=x$ виберемо,$v'(x)=\sin x\text{,}$ то отримаємо
  \ begin {align*} u' (x) &= 1 &\ текст {і} && v (x) &= -\ cos x\ end {align*}
  який виглядає перспективним.
2. З іншого боку, якщо ми виберемо,$u(x)=\sin x$ і$v'(x)=x\text{,}$ тоді у нас є
  \ begin {align*} u' (x) &=\ cos х &\ текст {і} && v (x) &=\ розрив {1} {2} x^2\ end {align*}
  який виглядає гірше - нам потрібно інтегрувати$\int \frac{1}{2}x^2 \cos x \, d{x}\text{.}$
Так що дотримуємося першого вибору. Підключення$u(x)=x\text{,}$$v(x)=-\cos x$ до інтеграції частинами дає нам
\ почати {вирівнювати*}\ int х\ sin х\, d {x} &= -х\ cos х -\ int 1\ cdot (-\ cos x)\, d {x}\\ &= -х\ cos x +\ sin x + C\ end {align*}
Знову ми можемо перевірити нашу відповідь, диференціюючи:
\ begin {align*}\ розрив {d} {dx}\ ліворуч (-х\ cos x +\ sin x + C\ праворуч) &= -\ cos x + x\ sin x +\ cos x +\ cos x + 0\\ &= х\ sin x\ галочка\ кінець {align*}

Після того, як ми трохи попрактикували це, нам насправді не потрібно писати стільки. Давайте вирішимо це ще раз, але показуючи лише те, що нам потрібно.

Рішення

Ми використовуємо інтеграцію частинами, щоб вирішити інтеграл.
Встановити,$u(x)=x$ а$v'(x)=\sin x\text{.}$ потім$u'(x)=1$$v(x)=-\cos x\text{,}$ і
\ begin {align*}\ int х\ sin х\, d {x} &= -х\ cos х +\ int\ cos x\, d {x}\ &= -х\ cos x +\ sin x + C\ end {align*}

Це досить стандартна практика, щоб зменшити позначення ще більше в цих проблемах. Як зазначалося вище, багато людей пишуть формулу інтеграції частинами як

\ begin {вирівнювати*}\ int u\, d {v} &= ув -\ int v\, d {u}\ end {вирівнювати*}

де$\, d{u}, \, d{v}$ скорочено для$u'(x)\, d{x}, v'(x)\, d{x}\text{.}$ Давайте напишемо попередній приклад, використовуючи це позначення.

Приклад 1.7.5$\int x\sin x\, d{x}$ yet again

Рішення

Використовуючи інтеграцію по частинам, ми встановлюємо$u=x$ і$\, d{v}=\sin x\, d{x}\text{.}$ Це робить$\, d{u}= 1\, d{x}$ і$v=-\cos x\text{.}$ Отже

\ почати {вирівнювати*}\ int х\ sin x\, d {x} &=\ int u\, d {v}\ &= ув -\ int v\, d {u}\ &= -х\ cos х +\ int\ cos x\, d {x}\\ &= -х\ cos x +\ sin x + C\ end {align*}

Ви можете бачити, що це дуже акуратний спосіб написати ці проблеми, і ми будемо продовжувати використовувати це скорочення в прикладах, які наступні нижче.

Ми також можемо використовувати інтеграцію частинами для усунення вищих сил$x\text{.}$ Нам просто потрібно застосовувати метод не один раз.

Приклад 1.7.6$\int x^2 e^x \, d{x}$

Рішення

Нехай$u=x^2$ і$\, d{v}=e^x\, d{x}\text{.}$ Це потім дає$\, d{u}=2x\, d{x}$ і$v=e^x\text{,}$ і
\ begin {вирівнювати*}\ int x^2 e^x\, d {x} &= x^2 e^x -\ int 2x e^x\, d {x}\ end {align*}
Отже, ми зменшили проблему обчислення оригінального інтеграла до інтеграції$2xe^x\text{.}$ Ми знаємо, як це зробити - просто знову інтегруйте по частинам:
\ почати {вирівнювати*}\ int x^2 e^x\, d {x} &= x^2 e^x -\ int 2x e^x\, d {x} &\ текст {встановити $ u = 2x,\, d {v} =е ^ x\, d {x} $}\ &= x^2 e^x -\ вліво (2xe ^ x -\ int 2 e^x -\ int 2 ^ x\, d {x}\ право) &\ текст {так як $\, d {u} =2\, d {x}, v=e^x$}\\ &= x^2 e^x - 2x^x + 2e^x + C\ end {align*}
Ми можемо, якщо потрібно, перевірити нашу відповідь, диференціюючи:
\ begin {вирівнювати*} &\ frac {d} {dx}\ ліворуч (x^2 e^x - 2x^x + 2e^x+ C\ праворуч)\\ &\ hskip1in=\ ліворуч (x^2 e^x + 2e ^ x\ праворуч) + 2e ^ x + 0\ &\ hskip1in= x^2 e^x\ галочка\ кінець {align*}

Аналогічне ітераційне застосування інтеграції частинами буде працювати для інтегралів

\ begin {збирати*}\ int P (x)\ лівий (Ae^ {ax} + B\ sin (bx) + C\ cos (cx)\ праворуч)\, d {x}\ end {gather*}

де$P(x)$ - многочлен і$A,B,C,a,b,c$ є константами.

Тепер давайте розглянемо інтеграли, що містять логарифми. Ми не знаємо антипохідного,$\log x\text{,}$ але ми можемо усунути$\log x$ з цілісного, використовуючи інтеграцію частинами з$u=\log x\text{.}$ Запам'ятовувати$\log x = \log_e x = \ln x\text{.}$

Приклад 1.7.7$\int x\log x\, d{x}$

Рішення

У нас є два$u$ варіанти$\, d{v}\text{.}$
1. Встановити$u=x$ і$\, d{v}=\log x\, d{x}\text{.}$ Це дає$v$,$\, d{u}=\, d{x}$ але важко обчислити - ми ще не зробили цього ¹. Перш ніж йти далі цим шляхом, ми повинні подивитися, що відбувається з іншим вибором.
2. Встановити$u=\log x$ і$\, d{v}=x\, d{x}\text{.}$ Це дає$\, d{u}=\frac{1}{x}\, d{x}$$v=\frac{1}{2}x^2\text{,}$ і ми повинні інтегрувати
  \ почати {вирівнювати*}\ int v\,\, d {u} &=\ int\ frac {1} {x}\ cdot\ розриву {1} {2} x^2\, d {x}\ end {align*}
  що легко.
Отже, приступаємо до другого вибору.
\ begin {align*}\ int x\ журнал x\, d {x} &=\ розриву {1} {2} x^2\ журнал х -\ int\ розриву {1} {2} x\, d {x}\ &=\ розрив {1} {2} x^2\ журнал х -\ розрив {1} {4} x^2 +C\ кінець {2} x^2\ журнал x -\ розрив {1} {4} x^2 +кінець {align*}
Ми можемо швидко перевірити нашу відповідь:
\ begin {align*}\ розрив {d} {dx}\ великий (\ розрив {x^2} {2}\ ln x -\ розрив {x^2} {4} +C\ Великий) &= х\,\ ln x +\ розрив {x^2} {2}\,\ розрив {1} {x} -\ frac {x} {2} +0 = x}\,\ ln x\ end {вирівнювати*}

Приклад 1.7.8$\int \log x\, d{x}$

Не відразу очевидно, що слід використовувати інтеграцію частинами для обчислення інтеграла

\ begin {збирати*}\ int\ журнал x\, d {x}\ end {збирати*}

так як integrand не є продуктом. Але ми повинні наполегливо - справді, це ситуація, коли наші коротші позначення допомагають прояснити, як діяти далі.

Рішення

У попередньому прикладі ми бачили, що ми можемо видалити фактор,$\log x$ встановивши$u=\log x$ та використовуючи інтеграцію частинами. Спробуємо повторити це. Коли ми робимо цей вибір, ми змушені прийняти$\, d{v}=\, d{x}$ - тобто ми вибираємо$v'(x)=1\text{.}$ Після того, як ми зробили цей підлий крок, все слід абсолютно безпосередньо.
Тоді ми маємо,$\, d{u} = \frac{1}{x}\, d{x}$$v = x\text{,}$ і формула інтеграції частинами дає нам
\ begin {align*}\ int\ журнал х\, d {x} &= х\ журнал х -\ int\ frac {1} {x}\ cdot x\, d {x}\ &= х\ журнал х -\ int 1\, d {x}\\ &= х\ журнал х - х + C\ end {align*}
Як завжди, непогано перевірити наш результат, перевіривши, що похідна відповіді дійсно є цілісним.
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ великий (х\ ln х-х +С\ великий) &=\ ln х + х\,\ розрив {1} {x} -1+0 =\ ln x\ end {align*}

Цей же метод працює майже точно для обчислення антипохідних$\arcsin(x)$ і$\arctan(x)\text{:}$

Приклад 1.7.9$\int \arctan(x)\, d{x}$ and $\int \arcsin(x)\, d{x}$

Обчислити антипохідні обернених синусоїдних і обернених тангенсів функцій.

Рішення

Знову жоден з цих інтегралів не є продуктами, але це не перешкода. В обох випадках встановлюємо$\, d{v}=\, d{x}$ (тобто$v'(x)=1$) і вибираємо$v(x)=x\text{.}$
Для зворотного засмаги вибираємо$u=\arctan(x)\text{,}$ так$\, d{u}=\frac{1}{1+x^2}\, d{x}\text{:}$\[\begin{align*} \int \arctan(x) \, d{x} &= x \arctan(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, d{x}\\ \end{align*}\]
тепер використовуйте правило підстановки з$w(x)=1+x^2, w'(x)=2x$
\ почати {вирівнювати*} &= х\ арктан (x) -\ int\ frac {w' (x)} {2}\ cdot\ frac {1} {w}\, d {x}\\ &= х\ арктан (x) -\ frac {1}\ int\ frac {1} {w}\, d {w}\\\ &= x дуга тан (x) -\ розрив {1} {2}\ лог |w| + C\\ &= х\ арктин (x) -\ гідророзриву {1} {2}\ log|1+x^2| + C\ qquad\ текст {але $1+x^2\ gt 0$, так що}\\ &= x\ arctan (x) - \ гідророзриву {1} {2}\ журнал (1+x^2) + C\ end {вирівнювати*}
Аналогічно для зворотного синуса вибираємо$u=\arcsin(x)$ так$\, d{u} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, d{x}\text{:}$\[\begin{align*} \int \arcsin(x) \, d{x} &= x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, d{x}\\ \end{align*}\]
Тепер використовуйте правило підстановки з$w(x)=1-x^2, w'(x)=-2x$
\ почати {вирівнювати*} &= x\ arcsin (x) -\ int\ frac {-w' (x)} {2}\ cdot w^ {-1/2}\, d {x}\ &= x\\ arcsin (x) +\ frac {1}\ int w^ {-1/2}\, d {w}\\ &= х\ дуга (x) +\ frac {1} {2}\ cdot 2 w^ {1/2} + C\\ &= x\ arcsin (x) +\ sqrt {1-x^2} + C\ end {align*}
Обидва можна перевірити досить швидко, диференціюючи - але ми залишаємо це як вправу для читача.

Є багато інших прикладів, які ми могли б зробити, але ми закінчимо з хитрим.

Приклад 1.7.10$\int e^x \sin x\, d{x}$

Рішення

Давайте спробуємо це трохи наївно, а потім повернемося і зробимо це більш ретельно (і успішно).

Ми можемо вибрати$u=e^x, \, d{v}=\sin x\, d{x}$ або навпаки.
1. Нехай$u=e^x, \, d{v}=\sin x\, d{x}\text{.}$ тоді$\, d{u}=e^x\, d{x}$ і$v=-\cos x\text{.}$ це дає
  \ begin {align*}\ int e^x\ sin х &= -е ^ х\ cos х +\ int e^x\ cos х\ cos x\, d {x}\ end {align*}
  Таким чином, у нас залишився integrand, який дуже схожий на той, з якого ми почали. А як щодо іншого вибору?
2. Нехай$u=\sin x, \, d{v}=e^x\, d{x}\text{.}$ тоді$\, d{u}=\cos x\, d{x}$ і$v= e^x\text{.}$ це дає
  \ begin {align*}\ int e^x\ sin х &= e^x\ sin х -\ int e^x\ cos x\, d {x}\ end {align*}
  Таким чином, ми знову залишилися з integrand, який дуже схожий на той, з якого ми почали.
Як ми будемо діяти? — Виходить простіше, якщо робити і те, і інше,$\int e^x\sin x\, d{x}$ і$\int e^x \cos x\, d{x}$ одночасно. Ми робимо це в наступному прикладі.

Приклад 1.7.11$\int_a^b e^x\sin x\, d{x}$ and $\int_a^b e^x\cos x\, d{x}$

Цього разу ми збираємося зробити два інтеграли

\ begin {align*} I_1&=\ int_a^b e^x\ sin x\, d {x} & I_2 &=\ int_a^b e^x\ cos х\, d {x}\ end {align*}

в більш-менш один і той же час.

Перший\[\begin{align*} I_1=\int_a^b e^x\sin x\, d{x} &=\int_a^b u \, d{v} \qquad\\ \end{align*}\]
Вибирайте$u=e^x, \, d{v} = \sin x\, d{x}\text{,}$ так$v = -\cos x, \, d{u}= e^x\, d{x}$
\ begin {align*} &=\ Великий [-e^x\ cos x\ Big] _a^b +\ int_a^b e^x\ cos x\, d {x}\ end {align*} Ми не знайшли,$I_1$ але ми пов'язали його з$I_2\text{.}$
\ begin {align*} I_1&=\ Великий [-e^x\ cos х\ Big] _a^b +I_2\ end {align*}
Тепер почнемо спочатку з$I_2\text{.}$\[\begin{align*} I_2=\int_a^b e^x\cos x\, d{x} &=\int_a^b u\, d{v}\\ \end{align*}\]
Вибирайте$u=e^x, \, d{v} = \cos x\, d{x}\text{,}$ так$v = \sin x, \, d{u}= e^x\, d{x}$
\ begin {align*} &=\ Великий [e^x\ sin x\ Big] _a^b -\ int_a^b e^x\ sin x\, d {x}\ end {align*} Знову ми не знайшли,$I_2$ але ми пов'язали його назад з$I_1\text{.}$
\ begin {align*} I_2&=\ Великий [e^x\ sin x\ Big] _a^b -I_1\ end {align*}
Отже, підсумовуючи, ми маємо
\ begin {align*} I_1&=\ Великий [-e^x\ cos х\ Big] _a^b +I_2 & I_2&=\ Великий [e^x\ гріх х\ Big] _a^b -I_1\ end {align*}
Так що тепер, підставити вираз для$I_2$ з другого рівняння в перше рівняння, щоб отримати
\ begin {align*} I_1 &=\ Великий [-e^x\ cos х +e ^ х\ гріх х\ великий] _a^b -I_1\ &\ hskip0.5in\ текст {що означає}\ qquad I_1=\ frac {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ гріх х\ cos x\ великий)\ великий] _a^b\ end {вирівнювати*}
Якщо ми підставимо навпаки, ми отримаємо
\ begin {align*} I_2 &=\ Великий [e^x\ гріх х +e ^ x\ cos x\ Big] _a^b -I_2\\ &\ hskip0.5in\ текст {що означає}\ qquad I_2=\ frac {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ гріх х\ cos x\ великий)\ великий] _^a b\ end {вирівнювати*}
Тобто,
\ begin {align*}\ int_a^b e^x\ sin x\, d {x} &=\ розрив {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ sin x-\ cos х\ великий)\ великий] _a^b\\ int_a^b e^x\ cos x\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ Big [e^x\ великий (\ sin x+\ cos х\ великий)\ великий] _a^b\ end {align*}
Це також говорить, наприклад, що$\frac{1}{2}e^x\big(\sin x-\cos x\big)$ це антипохідне$e^x\sin x$ так, що
\ begin {збирати*}\ int e^x\ sin x\, d {x} =\ frac {1} {2} e^x\ великий (\ sin x-\ cos х\ великий) +C\ end {збирати*}
Зверніть увагу, що ми завжди можемо перевірити, чи правильно це чи ні. Це правильно, якщо і тільки якщо похідна правої сторони$e^x\sin x\text{.}$ тут йде. За правилом продукту
\ begin {align*} &=\ розрив {d} {dx}\ Великий [\ гідророзриву {1} {2} e^x\ великий (\ sin x-\ cos x\ великий) +C\ Big]\\ &=\ frac {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ sin x-\ cos х\ великий) +e ^ x\ big (\ cos x\ big) +e ^ x\ big (\ cos x\ big гріх х\ великий)\ великий] = е ^ х\ sin x\ end {align*}
яка є бажаною похідною.
Існує ще один спосіб знайти$\int e^x\sin x\, d{x}$,$\int e^x\cos x\, d{x}$ який, на відміну від вищезазначених обчислень, не передбачає жодних хитрощів. Але це вимагає використання комплексних чисел і тому виходить за рамки цього курсу. Секрет полягає у використанні того$\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ і$\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\text{,}$ де$i$ знаходиться квадратний корінь$-1$ комплексної системи числення. Див. Приклад B.2.6.

Вправи

Етап 1

1

Метод інтеграції шляхом заміщення походить від$\Rule{2cm}{1pt}{0pt}$ правила диференціації.

Метод інтеграції частинами походить від$\Rule{2cm}{1pt}{0pt}$ правила диференціації.

2

Припустимо, ви хочете оцінити інтеграл за допомогою інтеграції по частинам. Ви обираєте частину свого integrand, щоб бути$u\text{,}$ і частиною бути$\, d{v}\text{.}$ Частина, обрана як$u$ буде: (диференційована, антидиференційована). Обрана частина буде такою, як$\, d{v}$ буде: (диференційована, антидиференційована).

3

$g(x)$Дозволяти$f(x)$ і бути диференційованими функціями. Використовуючи часткове правило для диференціації, дайте еквівалентний вираз$\displaystyle\int \frac{f'(x)}{g(x)}\, d{x}\text{.}$

4

Припустимо, ми хочемо використовувати інтеграцію частинами$\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \, d{x}$ для оцінки деяких диференційованих функцій$u$ і$v\text{.}$ Нам потрібно знайти антипохідну,$v'(x)\text{,}$ але варіантів нескінченно багато. Покажіть, що кожне антипохідне$v'(x)$ дає еквівалентну остаточну відповідь.

5

Припустимо, ви хочете оцінити,$\displaystyle\int f(x)\, d{x}$ використовуючи інтеграцію по частинам. Поясніть$\, d{v} = f(x)\, d{x}\text{,}$$u=1$, чому взагалі поганий вибір.

Примітка: порівняйте це з прикладом 1.7.8, де ми вибрали$u=f(x)\text{,}$$\, d{v}=1\, d{x}\text{.}$

Етап 2

6 (✳)

Оцінити${\displaystyle\int x\log x\,\, d{x}}\text{.}$

7 (✳)

Оцінити${\displaystyle\int \frac{\log x}{x^7}\,\, d{x}}\text{.}$

8 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,\, d{x}\text{.}$

9 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,\, d{x}\text{.}$

10

Оцінити$\displaystyle\int x^3 e^x \, d{x}\text{.}$

11

Оцінити$\displaystyle\int x \log^3 x \, d{x}\text{.}$

12

Оцінити$\displaystyle\int x^2\sin x\, d{x} \text{.}$

13

Оцінити$\displaystyle\int (3t^2-5t+6)\log t\, d{t}\text{.}$

14

Оцінити$\displaystyle\int \sqrt{s}e^{\sqrt{s}}\, d{s}\text{.}$

15

Оцінити$\displaystyle\int \log^2 x \, d{x}\text{.}$

16

Оцінити$\displaystyle\int 2xe^{x^2+1}\, d{x}\text{.}$

17 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int\arccos y\,\, d{y}\text{.}$

Етап 3

18 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int 4y\arctan(2y) \,\, d{y}\text{.}$

19

Оцінити$\displaystyle\int x^2\arctan x \, d{x}\text{.}$

20

Оцінити$\displaystyle\int e^{x/2}\cos(2x)\, d{x}\text{.}$

21

Оцінити$\displaystyle\int \sin(\log x)\, d{x}\text{.}$

22

Оцінити$\displaystyle\int 2^{x+\log_2 x} \, d{x}\text{.}$

23

Оцінити$\displaystyle\int e^{\cos x}\sin(2x)\, d{x}\text{.}$

24

Оцінити$\displaystyle\int \dfrac{x e^{-x}}{(1-x)^2}\,\, d{x}\text{.}$

25 (✳)

Формула зменшення.

Вивести формулу зменшення
\[ \int\sin^n(x)\,\, d{x}=-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)\,\, d{x}. \nonumber \]
Обчисліть$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\, d{x}\text{.}$

26 (✳)

$R$Дозволяти бути частиною першого квадранта, який лежить нижче кривої$y=\arctan x$ і між лініями$x=0$ і$x=1\text{.}$

Намалюйте область$R$ і визначте її площу.
Знайдіть об'єм твердого тіла, отриманого$R$ обертанням навколо$y$ осі —.

27 (✳)

$R$Дозволяти область між кривими$T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ і$B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ на інтервалі$0 \le x \le 3\text{.}$ (Це правда, що$T(x)\ge B(x)$ для всіх$0\le x\le 3\text{.}$) Обчислити обсяг твердого тіла, утвореного$R$ обертанням навколо$x$ -осі.

28 (✳)

Дозвольте$f(0) = 1\text{,}$$f(2) = 3$ і$f'(2) = 4\text{.}$ обчислити$\displaystyle\int_0^4 f''\big(\sqrt{x}\big)\,\, d{x}\text{.}$

29

Оцінити$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{2}{n}\left(\frac{2}{n}i-1\right)e^{\frac{2}{n}i-1}\text{.}$

Скоро ми будемо.

Приклад 1.7.1\(\int xe^x \, d{x}\)

Теорема 1.7.2 Інтеграція частинами

Приклад 1.7.3\(\int xe^x \, d{x}\) — again

Приклад 1.7.4\(\int x\sin x\, d{x}\)

Приклад 1.7.5\(\int x\sin x\, d{x}\) yet again

Приклад 1.7.6\(\int x^2 e^x \, d{x}\)

Приклад 1.7.7\(\int x\log x\, d{x}\)

Приклад 1.7.8\(\int \log x\, d{x}\)

Приклад 1.7.9\(\int \arctan(x)\, d{x}\) and \(\int \arcsin(x)\, d{x}\)

Приклад 1.7.10\(\int e^x \sin x\, d{x}\)

Приклад 1.7.11\(\int_a^b e^x\sin x\, d{x}\) and \(\int_a^b e^x\cos x\, d{x}\)

Вправи

Етап 1

1

2

3

4

5

Етап 2

6 (✳)

7 (✳)

8 (✳)

9 (✳)

10

11

12

13

14

15

16

17 (✳)

Етап 3

18 (✳)

19

20

21

22

23

24

25 (✳)

26 (✳)

27 (✳)

28 (✳)

29