1.7: Інтеграція частинами
Фундаментальна теорема числення говорить нам, що інтегрувати похідну дуже легко. Зокрема, ми знаємо, що
\ begin {align*}\ int\ frac {d} {dx}\ ліворуч (F (x)\ вправо)\, d {x} &= F (x) +C\ end {align*}
Ми можемо використовувати це для того, щоб розробити інше правило інтеграції - зокрема правило, яке допоможе нам інтегрувати продукти простішої функції, такі як
\ begin {збирати*}\ int х e^x\, d {x}\ end {збирати*}
При цьому ми дійдемо до методу, який називається «інтеграція частинами».
Для цього ми починаємо з правила продукту та інтегруємо. Нагадаємо, що правило продукту говорить
\ begin {збирати*}\ розрив {d} {dx} u (x) v (x) = u' (x)\, v (x) +u (x)\, v' (x)\ end {збирати*}
Інтеграція цього дає
\ begin {align*}\ int\ великий [u' (x)\, v (x) +u (x)\, v' (x)\ великий]\, d {x} &=\ big [\ text {функція, похідна якої $u'v+uv'$}\ великий] + C\\ &=u (x) v (x) +C\ end {align*}
Тепер це, само по собі, не страшно корисно. Для того, щоб застосувати його, ми повинні мати функцію, integrand якої є сумою продуктів, яка знаходиться саме вu′(x)v(x)+u(x)v′(x). цій формі Це занадто спеціалізовані.
Однак якщо ми трохи дражнимо це:
∫[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)]dx=∫u′(x)v(x)dx+∫u(x)v′(x)dx
Наведіть один з інтегралів в ліву сторону
\ begin {align*} u (x) v (x) -\ int u' (x)\, v (x)\, d {x} &=\ int u (x)\, v' (x)\, d {x}\\ end {align*}
Поміняти місцями ліву та праву сторони
\ begin {align*}\ int u (x)\, v' (x)\, d {x} &= u (x) v (x) -\ int u' (x)\, v (x)\, d {x}\ end {align*}
У такому вигляді ми беремо інтеграл одного виробу і виражаємо його в терміні інтеграла іншого твору. Якщо ми висловлюємо це так, це не здається занадто корисним. Однак якщо другий інтеграл простіше, то цей процес нам допомагає.
Давайте зробимо простий приклад, перш ніж пояснити це загалом.
Обчислити інтеграл∫xexdx.
Рішення
- Ми починаємо з того, що приймаємо рівняння вище
\ begin {align*}\ int u (x)\, v' (x)\, d {x} &= u (x) v (x) -\ int u' (x)\, v (x)\, d {x}\ end {align*}
- Тепер набірu(x)=x іv′(x)=ex. Як ми знали, як зробити цей вибір? Деякі стратегії ми пояснимо пізніше. Наразі давайте просто приймемо цей вибір і продовжуємо йти.
- Для того, щоб використовувати формулу, яку нам потрібно знати,u′(x) іv(x). в цьому випадку це досить просто:u′(x)=1 іv(x)=ex.
- Підключіть все в формулу:∫xexdx=xex−∫exdx
Таким чином, наш оригінальний більш складний інтеграл був перетворений в питання обчислень легко один.
\ begin {вирівнювати*} &= х e^x - e^x+C\ end {вирівнювати*} - Ми можемо перевірити нашу відповідь, диференціюючи:
\ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ ліворуч (x e^x - e^x+C\ праворуч) &=\ underbrace {x x + 1\ cdot e^x} _ {\ text {за правилом продукту}} - e^x + 0\ &= x e^x &\ text {за потребою.} \ end {вирівнювати*}
Процес, який ми використовували у наведеному вище прикладі, називається «інтеграція частинами». Коли наш integrand є продуктом, ми намагаємося записати його якu(x)v′(x) - нам потрібно вибрати один коефіцієнт бути,u(x) а інший -v′(x). ми потім обчислюємо,u′(x)v(x) а потім застосовуємо наступну теорему:
Нехайu(x) іv(x) бути безперервно диференційованими. Тоді
\ begin {збирати*}\ int u (x)\, v' (x)\, d {x} = u (x)\, v (x) -\ int v (x)\, u' (x)\, d {x}\ end {збирати*}
Якщо ми пишемоdvdu forv′(x)dx іu′(x)dx for (як підказує правило підміни), то формула стає
\ begin {збирати*}\ int u\, d {v} = u\, v-\ int v\, d {u}\ end {збирати*}
Застосування цієї формули відоме як інтеграція частинами.
Відповідним твердженням для певних інтегралів є
\ почати {збирати*}\ int_a^b u (x)\, v' (x)\, d {x} = u (b)\, v (b) -u (a)\, v (a) -\ int_a^b v (x)\, u' (x)\, d {x}\ end {збирати*}
Інтеграція частинами не так просто застосувати, як правило продукту для похідних. Це тому, що вона покладається на нас
- розсудливо вибираючи,u(x) аv′(x), потім
- обчислювальнихu′(x) іv(x) - що вимагає від нас антидиференціаціїv′(x), і, нарешті,
- що інтеграл∫u′(x)v(x)dx легше, ніж інтеграл ми почали с.
Зверніть увагу, що будь-яке антипохіднеv′(x) буде робити. Всіv′(x) антипохідні мають формуv(x)+A зA постійною. Введення цього в інтеграцію по частинам формула дає
\ begin {align*}\ int u (x) v' (x)\, d {x} &= u (x)\ ліворуч (v (x) +A\ вправо) -\ int u' (x)\ ліворуч (v (x) +A\ праворуч)\, d {x}\ &= u (x) v (x) + A u (x) -\ int u (x) -\ int u (x) (x)\, d {x} -\ підстроювання {A\ int u' (x)\, d {x}} _ {= A u (x) + C}\\ &= u (x) v (x) -\ int u' (x) v (x)\, d {x} + C\ end {align*}
Так щоA константа завжди скасує.
У більшості додатків (але не у всіх) наш integrand буде продуктом двох факторів, тому у нас є два варіанти дляu(x) іv′(x). Зазвичай один з цих варіантів буде «хорошим» (в тому, що це призводить до більш простого інтегралу), а інший буде «поганим» (ми не можемо антидиференціювати наш вибірv′(x) або отриманий інтеграл складніше). Давайте проілюструємо, що ми маємо на увазі, повернувшись до нашого попереднього прикладу.
Наша цілісність є добутком двох факторів
\ begin {вирівнювати*} х &&\ текст {і} && e^x\ end {align*}
Це дає нам два очевидних виборуu іv′:
\ begin {align*} u (x) &= x & v '(x) &= e ^ x\\\ текст {або}\\ u (x) &= e ^ x & v' (x) &= x\ end {align*}
Ми повинні вивчити обидва варіанти:
- Якщоv′(x)=ex. візьмемоu(x)=x і Ми то швидко обчислимо
\ begin {align*} u' (x) &= 1 &\ текст {і} && v (x) =e^x\ end {align*}
що означає, що нам потрібно буде інтегрувати (у правій частині формули інтеграції по частинам)\ begin {вирівнювати*}\ int u' (x) v (x)\, d {x} &=\ int 1\ cdot e^x\, d {x}\ end {align*}
який виглядає просто. Це хороший показник того, що це правильний вибірu(x) іv′(x). - Але перш ніж ми це зробимо, ми також повинні вивчити інший вибір, а саме,u(x)=ex іv′(x)=x. Це означає, що
\ begin {align*} u' (x) &= e^x &\ текст {і} && v (x) &=\ розрив {1} {2} x^2\ end {align*}
а це означає, що нам потрібно інтегрувати\ begin {align*}\ int u' (x) v (x)\, d {x} &=\ int\ frac {1} {2} x^2\ cdot e^x\, d {x}. \ end {вирівнювати*}
Це, принаймні, так само важко, як інтеграл, з якого ми почали. Отже, ми повинні спробувати перший вибір.
Зробивши наш вибір, ми інтегруємо по частинам, щоб отримати
\ begin {вирівнювати*}\ int xe^x\, d {x} &= xe^x -\ int e^x\, d {x}\ &= xe^x - e^x+C.\ end {align*}
Наведені вище міркування є дуже типовим робочим процесом при використанні інтеграції частинами.
Інтеграція по частинам часто використовується
- для усунення факторівx з integrand, якxex за допомогою цьогоddxx=1 і
- для усунення alogx з цілого, використовуючи щоddxlogx=1x і
- для усунення зворотних функцій трига, якarctanx, з integrand, використовуючи, що, наприклад,ddxarctanx=11+x2.
Рішення
- Знову ми маємо продукт двох факторів, що дають нам два можливі варіанти вибору.
- Якщо миu(x)=x виберемо,v′(x)=sinx, то отримаємо
\ begin {align*} u' (x) &= 1 &\ текст {і} && v (x) &= -\ cos x\ end {align*}
який виглядає перспективним. - З іншого боку, якщо ми виберемо,u(x)=sinx іv′(x)=x, тоді у нас є
\ begin {align*} u' (x) &=\ cos х &\ текст {і} && v (x) &=\ розрив {1} {2} x^2\ end {align*}
який виглядає гірше - нам потрібно інтегрувати∫12x2cosxdx.
- Якщо миu(x)=x виберемо,v′(x)=sinx, то отримаємо
- Так що дотримуємося першого вибору. Підключенняu(x)=x,v(x)=−cosx до інтеграції частинами дає нам
\ почати {вирівнювати*}\ int х\ sin х\, d {x} &= -х\ cos х -\ int 1\ cdot (-\ cos x)\, d {x}\\ &= -х\ cos x +\ sin x + C\ end {align*}
- Знову ми можемо перевірити нашу відповідь, диференціюючи:
\ begin {align*}\ розрив {d} {dx}\ ліворуч (-х\ cos x +\ sin x + C\ праворуч) &= -\ cos x + x\ sin x +\ cos x +\ cos x + 0\\ &= х\ sin x\ галочка\ кінець {align*}
Після того, як ми трохи попрактикували це, нам насправді не потрібно писати стільки. Давайте вирішимо це ще раз, але показуючи лише те, що нам потрібно.
Рішення
- Ми використовуємо інтеграцію частинами, щоб вирішити інтеграл.
- Встановити,u(x)=x аv′(x)=sinx. потімu′(x)=1v(x)=−cosx, і
\ begin {align*}\ int х\ sin х\, d {x} &= -х\ cos х +\ int\ cos x\, d {x}\ &= -х\ cos x +\ sin x + C\ end {align*}
Це досить стандартна практика, щоб зменшити позначення ще більше в цих проблемах. Як зазначалося вище, багато людей пишуть формулу інтеграції частинами як
\ begin {вирівнювати*}\ int u\, d {v} &= ув -\ int v\, d {u}\ end {вирівнювати*}
деdu,dv скорочено дляu′(x)dx,v′(x)dx. Давайте напишемо попередній приклад, використовуючи це позначення.
Рішення
Використовуючи інтеграцію по частинам, ми встановлюємоu=x іdv=sinxdx. Це робитьdu=1dx іv=−cosx. Отже
\ почати {вирівнювати*}\ int х\ sin x\, d {x} &=\ int u\, d {v}\ &= ув -\ int v\, d {u}\ &= -х\ cos х +\ int\ cos x\, d {x}\\ &= -х\ cos x +\ sin x + C\ end {align*}
Ви можете бачити, що це дуже акуратний спосіб написати ці проблеми, і ми будемо продовжувати використовувати це скорочення в прикладах, які наступні нижче.
Ми також можемо використовувати інтеграцію частинами для усунення вищих силx. Нам просто потрібно застосовувати метод не один раз.
Рішення
- Нехайu=x2 іdv=exdx. Це потім даєdu=2xdx іv=ex, і
\ begin {вирівнювати*}\ int x^2 e^x\, d {x} &= x^2 e^x -\ int 2x e^x\, d {x}\ end {align*}
- Отже, ми зменшили проблему обчислення оригінального інтеграла до інтеграції2xex. Ми знаємо, як це зробити - просто знову інтегруйте по частинам:
\ почати {вирівнювати*}\ int x^2 e^x\, d {x} &= x^2 e^x -\ int 2x e^x\, d {x} &\ текст {встановити $ u = 2x,\, d {v} =е ^ x\, d {x} $}\ &= x^2 e^x -\ вліво (2xe ^ x -\ int 2 e^x -\ int 2 ^ x\, d {x}\ право) &\ текст {так як $\, d {u} =2\, d {x}, v=e^x$}\\ &= x^2 e^x - 2x^x + 2e^x + C\ end {align*}
- Ми можемо, якщо потрібно, перевірити нашу відповідь, диференціюючи:
\ begin {вирівнювати*} &\ frac {d} {dx}\ ліворуч (x^2 e^x - 2x^x + 2e^x+ C\ праворуч)\\ &\ hskip1in=\ ліворуч (x^2 e^x + 2e ^ x\ праворуч) + 2e ^ x + 0\ &\ hskip1in= x^2 e^x\ галочка\ кінець {align*}
Аналогічне ітераційне застосування інтеграції частинами буде працювати для інтегралів
\ begin {збирати*}\ int P (x)\ лівий (Ae^ {ax} + B\ sin (bx) + C\ cos (cx)\ праворуч)\, d {x}\ end {gather*}
деP(x) - многочлен іA,B,C,a,b,c є константами.
Тепер давайте розглянемо інтеграли, що містять логарифми. Ми не знаємо антипохідного,logx, але ми можемо усунутиlogx з цілісного, використовуючи інтеграцію частинами зu=logx. Запам'ятовуватиlogx=logex=lnx.
Рішення
- У нас є дваu варіантиdv.
- Встановитиu=x іdv=logxdx. Це даєv,du=dx але важко обчислити - ми ще не зробили цього 1. Перш ніж йти далі цим шляхом, ми повинні подивитися, що відбувається з іншим вибором.
- Встановитиu=logx іdv=xdx. Це даєdu=1xdxv=12x2, і ми повинні інтегрувати
\ почати {вирівнювати*}\ int v\,\, d {u} &=\ int\ frac {1} {x}\ cdot\ розриву {1} {2} x^2\, d {x}\ end {align*}
що легко.
- Отже, приступаємо до другого вибору.
\ begin {align*}\ int x\ журнал x\, d {x} &=\ розриву {1} {2} x^2\ журнал х -\ int\ розриву {1} {2} x\, d {x}\ &=\ розрив {1} {2} x^2\ журнал х -\ розрив {1} {4} x^2 +C\ кінець {2} x^2\ журнал x -\ розрив {1} {4} x^2 +кінець {align*}
- Ми можемо швидко перевірити нашу відповідь:
\ begin {align*}\ розрив {d} {dx}\ великий (\ розрив {x^2} {2}\ ln x -\ розрив {x^2} {4} +C\ Великий) &= х\,\ ln x +\ розрив {x^2} {2}\,\ розрив {1} {x} -\ frac {x} {2} +0 = x}\,\ ln x\ end {вирівнювати*}
Не відразу очевидно, що слід використовувати інтеграцію частинами для обчислення інтеграла
\ begin {збирати*}\ int\ журнал x\, d {x}\ end {збирати*}
так як integrand не є продуктом. Але ми повинні наполегливо - справді, це ситуація, коли наші коротші позначення допомагають прояснити, як діяти далі.
Рішення
- У попередньому прикладі ми бачили, що ми можемо видалити фактор,logx встановившиu=logx та використовуючи інтеграцію частинами. Спробуємо повторити це. Коли ми робимо цей вибір, ми змушені прийнятиdv=dx - тобто ми вибираємоv′(x)=1. Після того, як ми зробили цей підлий крок, все слід абсолютно безпосередньо.
- Тоді ми маємо,du=1xdxv=x, і формула інтеграції частинами дає нам
\ begin {align*}\ int\ журнал х\, d {x} &= х\ журнал х -\ int\ frac {1} {x}\ cdot x\, d {x}\ &= х\ журнал х -\ int 1\, d {x}\\ &= х\ журнал х - х + C\ end {align*}
- Як завжди, непогано перевірити наш результат, перевіривши, що похідна відповіді дійсно є цілісним.
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ великий (х\ ln х-х +С\ великий) &=\ ln х + х\,\ розрив {1} {x} -1+0 =\ ln x\ end {align*}
Цей же метод працює майже точно для обчислення антипохіднихarcsin(x) іarctan(x):
Обчислити антипохідні обернених синусоїдних і обернених тангенсів функцій.
Рішення
- Знову жоден з цих інтегралів не є продуктами, але це не перешкода. В обох випадках встановлюємоdv=dx (тобтоv′(x)=1) і вибираємоv(x)=x.
- Для зворотного засмаги вибираємоu=arctan(x), такdu=11+x2dx:∫arctan(x)dx=xarctan(x)−∫x⋅11+x2dx
тепер використовуйте правило підстановки зw(x)=1+x2,w′(x)=2x
\ почати {вирівнювати*} &= х\ арктан (x) -\ int\ frac {w' (x)} {2}\ cdot\ frac {1} {w}\, d {x}\\ &= х\ арктан (x) -\ frac {1}\ int\ frac {1} {w}\, d {w}\\\ &= x дуга тан (x) -\ розрив {1} {2}\ лог |w| + C\\ &= х\ арктин (x) -\ гідророзриву {1} {2}\ log|1+x^2| + C\ qquad\ текст {але $1+x^2\ gt 0$, так що}\\ &= x\ arctan (x) - \ гідророзриву {1} {2}\ журнал (1+x^2) + C\ end {вирівнювати*} - Аналогічно для зворотного синуса вибираємоu=arcsin(x) такdu=1√1−x2dx:∫arcsin(x)dx=xarcsin(x)−∫x√1−x2dx
Тепер використовуйте правило підстановки зw(x)=1−x2,w′(x)=−2x
\ почати {вирівнювати*} &= x\ arcsin (x) -\ int\ frac {-w' (x)} {2}\ cdot w^ {-1/2}\, d {x}\ &= x\\ arcsin (x) +\ frac {1}\ int w^ {-1/2}\, d {w}\\ &= х\ дуга (x) +\ frac {1} {2}\ cdot 2 w^ {1/2} + C\\ &= x\ arcsin (x) +\ sqrt {1-x^2} + C\ end {align*} - Обидва можна перевірити досить швидко, диференціюючи - але ми залишаємо це як вправу для читача.
Є багато інших прикладів, які ми могли б зробити, але ми закінчимо з хитрим.
Рішення
Давайте спробуємо це трохи наївно, а потім повернемося і зробимо це більш ретельно (і успішно).
- Ми можемо вибратиu=ex,dv=sinxdx або навпаки.
- Нехайu=ex,dv=sinxdx. тодіdu=exdx іv=−cosx. це дає
\ begin {align*}\ int e^x\ sin х &= -е ^ х\ cos х +\ int e^x\ cos х\ cos x\, d {x}\ end {align*}
Таким чином, у нас залишився integrand, який дуже схожий на той, з якого ми почали. А як щодо іншого вибору? - Нехайu=sinx,dv=exdx. тодіdu=cosxdx іv=ex. це дає
\ begin {align*}\ int e^x\ sin х &= e^x\ sin х -\ int e^x\ cos x\, d {x}\ end {align*}
Таким чином, ми знову залишилися з integrand, який дуже схожий на той, з якого ми почали.
- Нехайu=ex,dv=sinxdx. тодіdu=exdx іv=−cosx. це дає
- Як ми будемо діяти? — Виходить простіше, якщо робити і те, і інше,∫exsinxdx і∫excosxdx одночасно. Ми робимо це в наступному прикладі.
Цього разу ми збираємося зробити два інтеграли
\ begin {align*} I_1&=\ int_a^b e^x\ sin x\, d {x} & I_2 &=\ int_a^b e^x\ cos х\, d {x}\ end {align*}
в більш-менш один і той же час.
- ПершийI1=∫baexsinxdx=∫baudv
Вибирайтеu=ex,dv=sinxdx, такv=−cosx,du=exdx
\ begin {align*} &=\ Великий [-e^x\ cos x\ Big] _a^b +\ int_a^b e^x\ cos x\, d {x}\ end {align*} Ми не знайшли,I1 але ми пов'язали його зI2.\ begin {align*} I_1&=\ Великий [-e^x\ cos х\ Big] _a^b +I_2\ end {align*}
- Тепер почнемо спочатку зI2.I2=∫baexcosxdx=∫baudv
Вибирайтеu=ex,dv=cosxdx, такv=sinx,du=exdx
\ begin {align*} &=\ Великий [e^x\ sin x\ Big] _a^b -\ int_a^b e^x\ sin x\, d {x}\ end {align*} Знову ми не знайшли,I2 але ми пов'язали його назад зI1.\ begin {align*} I_2&=\ Великий [e^x\ sin x\ Big] _a^b -I_1\ end {align*}
- Отже, підсумовуючи, ми маємо
\ begin {align*} I_1&=\ Великий [-e^x\ cos х\ Big] _a^b +I_2 & I_2&=\ Великий [e^x\ гріх х\ Big] _a^b -I_1\ end {align*}
- Так що тепер, підставити вираз дляI2 з другого рівняння в перше рівняння, щоб отримати
\ begin {align*} I_1 &=\ Великий [-e^x\ cos х +e ^ х\ гріх х\ великий] _a^b -I_1\ &\ hskip0.5in\ текст {що означає}\ qquad I_1=\ frac {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ гріх х\ cos x\ великий)\ великий] _a^b\ end {вирівнювати*}
Якщо ми підставимо навпаки, ми отримаємо\ begin {align*} I_2 &=\ Великий [e^x\ гріх х +e ^ x\ cos x\ Big] _a^b -I_2\\ &\ hskip0.5in\ текст {що означає}\ qquad I_2=\ frac {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ гріх х\ cos x\ великий)\ великий] _^a b\ end {вирівнювати*}
Тобто,\ begin {align*}\ int_a^b e^x\ sin x\, d {x} &=\ розрив {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ sin x-\ cos х\ великий)\ великий] _a^b\\ int_a^b e^x\ cos x\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ Big [e^x\ великий (\ sin x+\ cos х\ великий)\ великий] _a^b\ end {align*}
- Це також говорить, наприклад, що12ex(sinx−cosx) це антипохіднеexsinx так, що
\ begin {збирати*}\ int e^x\ sin x\, d {x} =\ frac {1} {2} e^x\ великий (\ sin x-\ cos х\ великий) +C\ end {збирати*}
- Зверніть увагу, що ми завжди можемо перевірити, чи правильно це чи ні. Це правильно, якщо і тільки якщо похідна правої сторониexsinx. тут йде. За правилом продукту
\ begin {align*} &=\ розрив {d} {dx}\ Великий [\ гідророзриву {1} {2} e^x\ великий (\ sin x-\ cos x\ великий) +C\ Big]\\ &=\ frac {1} {2}\ Великий [e^x\ великий (\ sin x-\ cos х\ великий) +e ^ x\ big (\ cos x\ big) +e ^ x\ big (\ cos x\ big гріх х\ великий)\ великий] = е ^ х\ sin x\ end {align*}
яка є бажаною похідною. - Існує ще один спосіб знайти∫exsinxdx,∫excosxdx який, на відміну від вищезазначених обчислень, не передбачає жодних хитрощів. Але це вимагає використання комплексних чисел і тому виходить за рамки цього курсу. Секрет полягає у використанні тогоsinx=eix−e−ix2i іcosx=eix+e−ix2, деi знаходиться квадратний корінь−1 комплексної системи числення. Див. Приклад B.2.6.
Вправи
Етап 1
Метод інтеграції шляхом заміщення походить від правила диференціації.
Метод інтеграції частинами походить від правила диференціації.
Припустимо, ви хочете оцінити інтеграл за допомогою інтеграції по частинам. Ви обираєте частину свого integrand, щоб бутиu, і частиною бутиdv. Частина, обрана якu буде: (диференційована, антидиференційована). Обрана частина буде такою, якdv буде: (диференційована, антидиференційована).
g(x)Дозволятиf(x) і бути диференційованими функціями. Використовуючи часткове правило для диференціації, дайте еквівалентний вираз∫f′(x)g(x)dx.
Припустимо, ми хочемо використовувати інтеграцію частинами∫u(x)⋅v′(x)dx для оцінки деяких диференційованих функційu іv. Нам потрібно знайти антипохідну,v′(x), але варіантів нескінченно багато. Покажіть, що кожне антипохіднеv′(x) дає еквівалентну остаточну відповідь.
Припустимо, ви хочете оцінити,∫f(x)dx використовуючи інтеграцію по частинам. Пояснітьdv=f(x)dx,u=1, чому взагалі поганий вибір.
Примітка: порівняйте це з прикладом 1.7.8, де ми вибралиu=f(x),dv=1dx.
Етап 2
Оцінити∫xlogxdx.
Оцінити∫logxx7dx.
Оцінити∫π0xsinxdx.
Оцінити∫π20xcosxdx.
Оцінити∫x3exdx.
Оцінити∫xlog3xdx.
Оцінити∫x2sinxdx.
Оцінити∫(3t2−5t+6)logtdt.
Оцінити∫√se√sds.
Оцінити∫log2xdx.
Оцінити∫2xex2+1dx.
Оцінити∫arccosydy.
Етап 3
Оцінити∫4yarctan(2y)dy.
Оцінити∫x2arctanxdx.
Оцінити∫ex/2cos(2x)dx.
Оцінити∫sin(logx)dx.
Оцінити∫2x+log2xdx.
Оцінити∫ecosxsin(2x)dx.
Оцінити∫xe−x(1−x)2dx.
Формула зменшення.
- Вивести формулу зменшення
∫sinn(x)dx=−sinn−1(x)cos(x)n+n−1n∫sinn−2(x)dx.
- Обчисліть∫π/20sin8(x)dx.
RДозволяти бути частиною першого квадранта, який лежить нижче кривоїy=arctanx і між лініямиx=0 іx=1.
- Намалюйте областьR і визначте її площу.
- Знайдіть об'єм твердого тіла, отриманогоR обертанням навколоy осі —.
RДозволяти область між кривимиT(x)=√xe3x іB(x)=√x(1+2x) на інтервалі0≤x≤3. (Це правда, щоT(x)≥B(x) для всіх0≤x≤3.) Обчислити обсяг твердого тіла, утвореногоR обертанням навколоx -осі.
Дозвольтеf(0)=1,f(2)=3 іf′(2)=4. обчислити∫40f″(√x)dx.
Оцінитиlim
- Скоро ми будемо.