1.8: Тригонометричні інтеграли
Інтеграли поліномів тригонометричних функцій\sin x\text{,}\cos x\text{,}\tan x тощо, як правило, оцінюються за допомогою комбінації простих замін та тригонометричних тотожностей. Існує, звичайно, дуже велика кількість 1 тригонометричних ідентичностей, але зазвичай ми використовуємо лише кілька з них. Найважливішими трьома є:
\begin{align*} \sin^2 x +\cos^2 x &= 1 \end{align*}
\begin{align*} \sin(2x)&=2\sin x\cos x \end{align*}
\begin{align*} \cos(2x)&=\cos^2 x - \sin^2 x\\ &=2\cos^2 x - 1\\ &=1-2\sin^2 x \end{align*}
Зверніть увагу, що останні два рядки Рівняння 1.8.3 слідують з першого рядка, замінюючи\sin^2x або\cos^2x використовуючи Рівняння 1.8.1. Також корисно переписати ці останні два рядки:
\begin{align*} \sin^2 x &= \frac{1-\cos(2x)}{2} \end{align*}
\begin{align*} \cos^2 x &= \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align*}
Ці останні два особливо корисні, оскільки вони дозволяють нам переписувати вищі сили синуса та косинуса з точки зору менших потужностей. Наприклад:
\ почати {вирівнювати*}\ sin^4 (x) &=\ лівий [\ frac {1-\ cos (2x)} {2}\ праворуч] ^2 &\ текст {рівняння} {\ текст {1.8.4}}\ &=\ frac {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ underbrace {\ cos^2 (2x)} _ {\ text {зробити це знову}} &\ текст {використовувати рівняння} {\ текст {1.8.5}}\\ &=\ гідророзриву {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ ліворуч (1 +\ cos (4x)\ праворуч)\\ &=\ гідророзриву {3} {8} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1} {8}\ cos (4x)\ end {align*}
Таким чином, хоча було важко інтегруватися\sin^4(x) безпосередньо, остаточний вираз досить простий (з невеликим правилом підміни).
Існує безліч таких хитрощів для інтеграції повноважень тригонометричних функцій. Тут ми концентруємося на двох сім'ях.
\ begin {align*}\ int\ sin^mx\ cos^nx\, d {x} &&\ текст {і} &&\ int\ tan^mx\ сек^nx\, d {x}\ end {align*}
дляn,m\text{.} цілого числа Деталі техніки залежать від парностіn іm — тобто парних чиn непарних чисел.m
Інтеграція\int \sin^m x\cos^n x\, d{x}
Один зn and m is odd
Розглянемо інтеграл\int \sin^2x \cos x\, d{x}\text{.} Ми можемо інтегрувати це шляхом підстановкиu=\sin x і\, d{u}=\cos x \, d{x}\text{.} Це дає
\ почати {вирівнювати*}\ int\ sin^2x\ cos x\, d {x} &=\ int u^2\, d {u}\ &=\ розрив {1} {3} u^3+C =\ frac {1} {3}\ sin^3x +C\ кінець {вирівняй*}
Цей метод можна використовувати щоразу, колиn є непарним цілим числом.
- Замінникu=\sin x і\, d{u}=\cos x\, d{x}\text{.}
- Це залишає рівну силу косинусів - перетворюйте їх за допомогою\cos^2x = 1-\sin^2x = 1-u^2\text{.}
Ось приклад.
Почніть з факторингу від однієї сили\cos x комбінувати зdx, щоб отримати\cos x\, d{x}=\, d{u}\text{.}
\ почати {вирівнювати*}\ int\ sin^2 x\ cos^3 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ sin^2 x} _ {= u^2}\ піддужка {\ cos^2 x} _ {=1-u^2}\ піддужка {\ cos x\, d {x}} _ {=, d {u}}\ текст {набір $u =\ гріх х $}\\ &=\ int u^2\ (1-u^2)\, d {u}\\ &=\ гідророзриву {u^3} {3} -\ frac {u^5} {5} +C\\ &=\ розрив {\ sin^3x} {3} -\ frac {\ sin^5x} {5} +C\ end {вирівнювати*}
Звичайно, якщоm це непарне ціле число, ми можемо використовувати ту ж стратегію з ролями\sin x і\cos x обмінюватися. Тобто підставляємоu=\cos x\text{,}\, d{u}=-\sin x\, d{x} і\sin^2 x=1-\cos^2x=1-u^2\text{.}
Обидваn and m are even
Якщоm і обидваn парні, стратегія полягає у використанні ідентичності трига 1.8.4 та 1.8.5, щоб повернутися доmn непарного випадку. Це, як правило, більш трудомісткий, ніж попередній випадок, який ми вивчали. Ось кілька прикладів, які виникають досить часто в додатках.
За 1.8.5
\int \cos^2 x\, d{x} = \frac{1}{2}\int \big[1+\cos(2x)\big]\, d{x} = \frac{1}{2} \Big[x+\frac{1}{2}\sin(2x)\Big] + C \nonumber
Спочатку ми підготуємо integrand\cos^4x для легкої інтеграції, застосувавши 1.8.5 пару разів. Ми вже використовували 1.8.5 один раз, щоб отримати
\ begin {збирати*}\ cos^2 x =\ frac {1} {2}\ великий [1+\ cos (2x)\ великий]\ кінець {збирати*}
Квадрат він дає
\ почати {збирати*}\ cos^4 x =\ гідророзриву {1} {4}\ великий [1+\ cos (2x)\ великий] ^2 =\ гідророзриву {1} {4} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ кінець {збирати*}
Тепер по 1.8.5 вдруге
\ почати {вирівнювати*}\ cos^4 x &=\ гідророзриву {1} {4} +\ гідророзриву {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1}\\ гідророзриву {1}\ cos (4x)} {2}\\ &=\ гідророзриву {3} {8} +\ гідророзриву {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1} {8}\ cos (4x)\ end {вирівнювати*}
Тепер легко інтегрувати
\ почати {вирівнювати*}\ int\ cos^4 х\, d {x} &=\ гідророзриву {3} {8}\ int дх+\ гідророзриву {1} {2}\ int\ cos (2x)\, d {x} +\ frac {1} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\\ &=\ frac {3} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\ &=\ frac {3} {8} x+\ розрив {1} {4}\ sin (2x) +\ розрив {1} {32}\ sin (4x) + C\ end {align*}
Тут ми застосовуємо і 1.8.4, і 1.8.5.
\begin{align*} \int \cos^2x \sin^2x\, d{x} &= \frac{1}{4} \int \big[1+\cos(2x)\big] \big[1-\cos(2x)\big] \, d{x}\\ &= \frac{1}{4} \int \big[ 1-\cos^2(2x) \big] \, d{x}\\ \end{align*}Потім ми можемо застосувати 1.8.5 знову
\ begin {align*} &=\ розрив {1} {4}\ int\ великий [1-\ гідророзриву {1} {2}\ лівий (1+\ cos (4x)\ правий)\ великий]\, d {x}\ &=\ frac {1} {8}\ int\ великий [1 -\ cos (4x)\ великий]\, d {x}\\ &=\ гідророзриву {1} {8} х -\ гідророзриву {1} {32}\ sin (4x) +C\ end {align*}Of! Ми також могли б зробити це, використовуючи 1.8.2, щоб написати integrand,\sin^2(2x) а потім використовувати 1.8.4, щоб написати його з точки зору\cos(4x)\text{.}
Звичайно, ми можемо обчислити певний інтеграл,\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x} використовуючи антидериватив для\cos^2 x цього, який ми знайшли в прикладі 1.8.7. Але ось складніший спосіб оцінити цей інтеграл, а також інтеграл\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x} в той же час, дуже швидко, не потребуючи антипохідного Прикладу 1.8.7.
Рішення
- Зверніть увагу, що\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x} і\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x} рівні, оскільки вони представляють одну і ту ж область - подивіться на графіки нижче - темно затінені області на двох графіках мають однакову площу, а злегка затінені області на двох графіках мають однакову площу.
- Отже,
\ почати {вирівнювати*}\ int_0^\ пі\ cos^2 х\, d {x} =\ int_0^\ пі\ sin^2 х\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ bigg [\ int_0^\ pi\ sin^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x}}\ bigg]\\ &=\ розрив {1} {2}\ int_0^\ пі\ великий [\ sin^2 x\ cos^2 х\ великий]\, d {x}\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^\ pi dx\\ &=\ розрив {\ pi} {2}\ кінець {align*}
Інтеграція\int \tan^m x\sec^n x\, d{x}
Стратегія боротьби з цими інтегралами аналогічна стратегії, яку ми використовували для оцінки інтегралів виду\int \sin^m x\cos^n x\, d{x} і знову залежить від парності показниківn іm\text{.} використовує 2.
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ tan x &=\ сек^2 х &\ frac {d} {dx}\ сек х &=\ сек х\,\ тан х & 1+\ tan^2x &=\ сек^2 х\ кінець {вирівнювати*}
Ми розділимо методи\int \tan^m x\sec^n x\, d{x} інтеграції на 5 випадків, які ми перерахуємо нижче. Вони стануть набагато зрозумілішими після прикладу (або двох).
- Колиm непарний і будь-якийn — перепишіть integrand з точки зору\sin x і\cos x\text{:}
\ почати {вирівнювати*}\ tan^m x\,\ sec^n x\, d {x} &=\ лівий (\ frac {\ sin x} {\ cos x}\ праворуч) ^м\ ліворуч (\ frac {1} {\ cos x}\ праворуч) ^n\ x}\, d {x}\ &=\ frac {\ sin^ {m-1} x} {\ cos^ {н+м} х}\\ sin x\, d {x}\ end {align*}
а потім замінитиu=\cos x\text{,}\, d{u} = -\sin x\, d{x}\text{,}\sin^2x = 1-\cos^2x=1-u^2\text{.} Див. Приклади 1.8.11 і 1.8.12. - Крім того, якщоm непарно іn \geq 1 перемістіть один\sec x\,\tan x коефіцієнт в сторону, щоб ви могли бачити\sec x\,\tan x\, d{x} в інтегралі, і замінитиu=\sec x\text{,}\, d{u}=\sec x\,\tan x\,\, d{x} і\tan^2 x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.} Див приклад 1.8.13.
- Якщоn навіть зn\ge 2\text{,} переміщенням один фактор\sec^2 x в сторону, так що ви можете бачити\sec^2 x\, d{x} в інтегралі, і підставитиu=\tan x\text{,}\, d{u}=\sec^2 x\,\, d{x} і\sec^2 x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.} Див. Приклад 1.8.14.
- Колиm рівний іn=0 - тобто integrand - це просто рівномірна сила дотичної - ми все ще можемо використовуватиu=\tan x підстановку, після використання\tan^2x = \sec^2 x - 1 (можливо, більше одного разу) для створення\sec^2 x\text{.} Див. Приклад 1.8.16.
- Це залишає випадокn непарним іm непарним. Існують такі стратегії, як вищезазначені для лікування цього випадку. Але вони складніші, а також включають більше трюків (які в основному потрібно запам'ятати). Приклади їх використання наведені в необов'язковому розділі під назвою «Інтеграція\sec x\text{,}\csc x\text{,}\sec^3 x і\csc^3 x», нижче. Більш пряма стратегія використовує іншу техніку під назвою «часткові дроби». Ми повернемося до цієї стратегії після того, як дізнаємося про часткові дроби. Див. Приклади 1.10.5 та 1.10.6 у розділі 1.10.
m is odd — odd power of tangent
У цьому випадку ми переписуємо integrand через синус і косинус, а потім підставляємоu=\cos x, \, d{u}=-\sin x \, d{x}\text{.}
Рішення
- Напишіть цілісний\tan x=\frac{1}{\cos x}\sin x\text{.}
- Тепер замінюємо такu=\cos x\text{,}\, d{u}=-\sin x\,\, d{x} само, як ми робили в лікуванні integrands форми\sin^mx\,\cos^nx зm непарними.
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan x\,\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ qquad\ qquad\ текст {замінник $u=\ cos x$}\ &=\ int\ frac {1} {u}\ cdot (-1)\, d {u}\ cdot (-1)\ d {u}\ &=-\ Журнал|U|+C\\ &=-\ log\ left |\ cos x\ право|+C\ qquad\ qquad\ text {також може писати в терміні секанс}\\ &=\ log\ left|\ cos x\ right|^ {-1} +C =\ журнал\ вліво|\ сек х\ вправо|+C\ end {вирівнювати*}
Рішення
- Напишіть цілісний\tan^3 x=\frac{\sin^2x}{\cos^3 x}\sin x\text{.}
- Зновуu=\cos x\text{,}\, d{u}=-\sin x\,\, d{x}\text{.} підставляємо. Переписуємо залишилися рівні повноваження\sin x використання\sin^2x=1-\cos^2x=1-u^2\text{.}
- Звідси
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^3 x\,\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin^2x} {\ cos^3x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ текст {замінник $u=\ cos x $}\\ &=\ int\ frac {1-u^2} {u^3} (-1), d {u}\\ &=\ розрив {u^ {-2}} {2} +\ log|U|+C\\ &=\ гідророзриву {1} {2\ cos^2 x} +\ лог\ ліворуч |\ cos x\ право|+C\ qquad\ текст {переписати з точки зору секанту}\\ &=\ frac { 1} {2}\ сек^2 х -\ журнал\ ліворуч |\ сек х\ право|+C\ end {align*}
m is odd and n\geq 1 — odd power of tangent and at least one secant
Тут ми збираємо коефіцієнт,\tan x \sec x а потімu = \sec x\, d{u} = \sec x \tan x \, d{x}\text{.} підставляємо, а потім можемо переписати будь-які залишилися навіть повноваження зtan x точки зору\sec x використання.\tan^2x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}
Рішення
- Почніть з факторингу однієї копії\sec x\tan x та об'єднайте її з,dx щоб сформувати\sec x\tan x\, d{x}\text{,}, яка буде\, d{u}\text{.}
- Тепер підставляємоu=\sec x\text{,}\, d{u}=\sec x\tan x\, d{x} і\tan^2x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}
- Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ tan^3x\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ tan^2 x} _ {u^2-1}\\ піддужка {\ sec^3 x} _ {u^3}\\ піддужка {\ сек x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {, d {u}}\ &=\ int\ великий [u^2-1] u^3\, d {u}\\ &=\ розрив {u^6} {6} -\ розрив {u^4} {4} +C\\ &=\ frac {1} {6}\ сек^6 х-\ розрив {1} {4}\ сек ^ 4 x + C\ кінець {вирівня*}
n\geq 2 is even — a positive even power of secant
У попередньому випадку ми підставили,u = \sec x\text{,} тоді як в цьому випадку ми підставляємоu=\tan x\text{.} Коли ми робимо це, ми пишемо,\, d{u}=\sec^2 x \, d{x} а потім переписуємо будь-які залишилися парні повноваження\sec x як повноваження\tan x використання.\sec^2x = 1+\tan^2x=1+u^2\text{.}
Рішення
- Фактор від однієї копії\sec^2 x і об'єднати його з,dx щоб сформувати\sec^2 x\, d{x}\text{,}, який буде\, d{u}\text{.}
- Потім підставитиu=\tan x\text{,}\, d{u}=\sec^2 x\, d{x} і переписати будь-які залишилися навіть повноваження\sec x як повноваження\tan x=u використання\sec^2x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}
- Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ сек^2 x} _ {1+u^2}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ великий [1+u^2]\, d {u}\\ &= u+\ розрив {u^3} {3} +C\\ &=\ tan x+\ розрив {1} {3}\ tan^3 x + C\ end {align*}
Рішення
Давайте повернемося до цього прикладу, використовуючи цей дещо інший підхід.
- Фактор від однієї копії\sec^2 x і об'єднати його з,dx щоб сформувати\sec^2 x\, d{x}\text{,}, який буде\, d{u}\text{.}
- Потім підставитиu=\tan x\text{,}\, d{u}=\sec^2 x\, d{x} і переписати будь-які залишилися навіть повноваження\sec x як повноваження\tan x=u використання\sec^2x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}
- Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ tan^3x\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ tan^3x} _ {u^3}\ піддужка {\ сек^2 x} _ {1+u^2}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {\, d {, d {u}}\ =\ int\ великий [u^3+u^5]\, d {u}\\ &=\ розрив {u^4} {4} +\ гідророзриву {u^6} {6} + C\\ &=\ frac {1} {4}\ tan^4 x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ кінець {4} x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ кінець {align*}
- Це не зовсім те саме, що відповідь, яку ми отримали вище в прикладі 1.8.13. Однак ми можемо показати, що вони (майже) еквівалентні. Для цього підставляємоv=\sec x і\tan^2x=\sec^2x-1 = v^2-1\text{:}
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {1} {6}\ tan^6x +\ розрив {1} {4}\ tan^4x &=\ розриву {1} {6} (v^2-1) ^3 +\ frac {1} {4} (v^2-1) ^2\ &=\ розрив {1} {6} (v^6-3v^4+3v^2-1) +\ розрив {1} {4} (v^4-2v^2+1)\\ &=\ гідророзриву {v^6} {6} -\ гідророзриву {v^4} {2} +\ розрив {v^2} {2} -\ розрив {1} {6} +\ гідророзрив {v^4} {4} -\ frac {v^4} 2} {2} +\ гідророзриву {1} {4}\\ &=\ гідророзриву {v^6} {6} -\ гідророзриву {v^4} {4} + 0\ cdot v^2 +\ ліворуч (\ гідророзриву {1} {4} -\ гідророзриву {1} {6}\ праворуч)\\ &=\ розриву {1} {6}\ сек^6x -\ frac {1} {1} {4}\ сек^4x +\ frac {1} {12}. \ end {вирівнювати*}
Так що при цьому\frac{1}{6}\tan^6x + \frac{1}{4}\tan^4x \neq \frac{1}{6}\sec^6x - \frac{1}{4}\sec^4x\text{,} вони відрізняються лише постійною. Отже, обидва є дійсними антипохідними\tan^3 x\sec^4x\text{.}
m is even and n=0 — even powers of tangent
Ми інтегруємо це,u=\tan x\text{.} встановивши Щоб це працювало, нам потрібно перетягнути один фактор\sec^2x в одну сторону, щоб сформувати\, d{u}=\sec^2x\, d{x}\text{.} Щоб знайти цей фактор\sec^2x ми (можливо, неодноразово) застосовуємо ідентичність\tan^2x=\sec^2x-1\text{.}
Рішення
- Немає\sec^2x терміна присутній, тому ми намагаємося створити його\tan^4x за допомогою\tan^2x = \sec^2 x - 1\text{.}
\ почати {вирівнювати*}\ tan^4 х &=\ tan^2 х\ cdot\ tan ^ 2 х\\ &=\ tan^2 х\ великий [\ сек ^ 2 х - 1\ великий]\\ &=\ tan^2x\ сек^2 х-\ піддужка {\ tan^2 x} _ {\ сек ^ 2x-1}\\ & =\ tan^2x\ сек ^ 2 х-\ сек^2 х + 1\ кінець {вирівнювати*}
- Тепер ми можемо підставитиu=\tan x\text{,}\, d{u}=\sec^2 x\, d{x}\text{.}
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^4 х\, d {x} & =\ int\ піддужка {\ tan^2x} _ {u^2}\\ піддужка {\ sec^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}} -\ int\ underbrace {\ sec^2 x\, d {x}} _ {, d {, d {u}}} +\ int\, d {x}\ &=\ int u^2\, d {u} -\ int\, d {u} +\ int\, d {x}\\ &=\ розрив {u^3} {3} -U+x+C\\ &=\ розрив {\ tan^3x} {3} -\ загар х +х +C\\ &=\ розрив {\ tan^3x} {3} -\ tan x +C\ кінець {*}
Рішення
Спробуємо той же підхід.
- Спочатку витягніть коефіцієнт\tan^2x для створення\sec^2x фактора:\begin{align*} \tan^8x &= \tan^6x \cdot \tan^2x\\ &= \tan^6x \cdot \big[ \sec^2x - 1\big]\\ &= \tan^6x \sec^2x - \tan^6x\\ \end{align*}
Перший термін тепер готовий до інтеграції, але нам потрібно повторно застосувати метод до другого терміну:
\ почати {вирівнювати*} &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ cdot\ великий [\ сек ^ 2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ tan^4x\ qquad\ текст {зробити це знову}\\ =\ tan^6x\ sec^2x x -\ tan^4x\ сек ^ 2x +\ tan^2x\ cdot\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек^2x +\ tan^2x\ сек^2x -\ tan^2x -\ tan^2x\ qquad\ текст {і знову}\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек ^ 2x +\ tan^2x\ sec^2x -\ великий [\ сек^2x-1\ великий]\ кінець {align*} - Звідси
\ почати {вирівнювати*} &\ int\ tan^8x\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ ліворуч [\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек^2x +\ tan^2x -\ сек^2x +1\ праворуч]\, d {x}\\\ &\ hskip0.25in =\ int\ ліворуч [\ tan^6x -\ tan^4x +\ tan^2x - 1\ праворуч]\ сек^2x\, d {x} +\ int\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ ліворуч [u^6 - u^4+u^2 - 1\ праворуч]\, d {u} + х +С\\ &\ hskip0.25in=\ гідророзриву {u^7} {7} -\ розрив {u^5} {5} +\ гідророзриву {u^3} {3} {3} - u + х +C\\ &\ hskip0.25in=\ гідророзриву {1} {7}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ тан^7x 5x +\ гідророзриву {1} {3}\ tan^3x -\ тан х + х +С\ кінець {вирівнювати*}
Дійсно, цей приклад говорить про те, що для цілогоk\geq 0\text{:}
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^ {2k} х\, d {x} &=\ розрив {1} {2к-1}\ tan^ {2k-1} (x) -\ розрив {1} {2k-3}\ tan^ {2k-3} х +\ cdots\\ &\ hskip1.0in - (-1) ^k\ tan x + (-1) ^k х +C\ end {вирівнювати*}
Цей останній приклад також показує, як ми можемо інтегрувати непарну силу тангенса:
Рішення
Виконуємо ті ж дії
- Витягніть коефіцієнт,\tan^2x щоб створити фактор\sec^2x\text{:}
\ почати {вирівнювати*}\ tan^7x &=\ tan^5x\ cdot\ tan^2x\\ &=\ tan^5x\ cdot\ великий [\ сек ^ 2x - 1\ big]\\ &=\ tan^5x\ sec^2x -\ tan^5x\ qquad\ текст {зробити це знову}\\ =\ tan^5x\ сек ^ 2x x -\ tan^3x\ cdot\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^5x\ сек ^ 2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ tan^3x\ qquad\ текст {і знову}\\ &=\ tan^5 х\ сек^2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ тан х\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^5x\ сек^2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ tan x\ sec^2x -\ загар х\ кінець {align*}
- Тепер ми можемо підставити,u=\tan x\, d{u}=\sec^2x \, d{x} а також використовувати результат з Прикладу 1.8.11, щоб подбати про останній термін:\begin{align*} \int \tan^7x\, d{x} &= \int \big[\tan^5x \sec^2x - \tan^3x \sec^2x + \tan x \sec^2x\big] \, d{x}\\ &\hskip2in- \int \tan x \, d{x}\\ \end{align*}
Тепер враховуйте загальний\sec^2x термін та інтегруйте\tan x через приклад 1.8.11
\ почати {вирівнювати*} &=\ int\ великий [\ tan^5x -\ tan^3x +\ загар х\ великий]\ сек х\, d {x} -\ log|\ сек х | +C\\ &=\ int\ великий [u^5 - u^3 + u\ big]\, d {u} -\ log|\ сек\ x | +C\\ &=\ frac {u^6} {6} -\ розрив {u^4} {4} +\ гідророзриву {u^2} {2} -\ log|\ сек x | +C\\ &=\ гідророзриву {1} {6}\ tan^6x -\ frac {1} {4}\ tan^4x +\ розрив {1} {2}\ tan^2x -\ журнал|\ сек х | + C\ end {вирівнювати*}
Цей приклад говорить про те, що для цілого числаk\geq 0\text{:}
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^ {2k+1} х\, d {x} &=\ розрив {1} {2k}\ tan^ {2k} (x) -\ розрив {1} {2k-2}\ tan^ {2k-2} х +\ cdots\\ &\ hskip0.25in - (-1) ^k\ frac {1} {2}}\ tan^2 x + (-1) ^k\ log|\ сек х | +C\ end {вирівнювати*}
Звичайно, ми не розглядали інтеграли, що включають повноваження\cot x і\csc x\text{.} Але вони можуть розглядатися приблизно так само, як\tan x і\sec x були.
Додатково - Інтеграція\sec x\text{,}\csc x\text{,}\sec^3 x та\csc^3 x
Як зазначалося вище, колиnm непарне і парне, можна використовувати аналогічні стратегії, що і в попередніх випадках. Однак обчислення часто більш залучені, і потрібно розгорнути більше хитрощів. З цієї причини ми робимо цей розділ необов'язковим — обчислення, безумовно, нетривіальні. Замість того, щоб намагатися побудувати когерентний «метод» для цього випадку, ми наводимо кілька прикладів, щоб дати уявлення про те, чого очікувати.
Рішення
Існує дуже підлий трюк, щоб обчислити цей інтеграл.
- Стандартна хитрість для цього інтеграла полягає в тому, щоб помножити integrand на1=\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}
\ begin {вирівнювати*}\ сек х &=\ сек х\\ розрив {\ сек x+\ tan x} {\ сек x+\ tan x} =\ розрив {\ сек^2x +\ сек х\ тан х} {\ сек x+\ tan x}\ кінець {align*}
- Зверніть увагу тепер, що чисельник цього виразу є саме похідною його знаменника. Отже, ми можемо замінитиu=\sec x+\tan x і\, d{u} = (\sec x\tan x+\sec^2 x)\,\, d{x}\text{.}
- Звідси
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ сек х\\ сек х\\ розрив {\ сек x+\ tan x} {\ сек x+\ tan x}\, d {x} =\ int\ frac {\ сек x\ tan x} {\ сек x+\ tan x}\, d {x}\\ &=\ int гідророзрив {1} {u}\, d {u}\\ &=\ журнал |U|+C\\ &=\ log|\ сек x+\ tan x|+c\ end {вирівнювати*}
- Вищевказаний трюк виглядає як абсолютно нездогадним, так і дуже важко запам'ятати. На щастя, є простий спосіб 3 відновити трюк. Ось воно.
- Мета полягає в тому, щоб вгадати функцію, похідна якої дорівнює\sec x\text{.}
- Так що дістаньте таблицю похідних і шукайте функції, похідні яких хоча б містять\sec x\text{.} Є дві:
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ tan x &=\ сек^2 х\\\ розриву {d} {dx}\ сек х &=\ тан х\,\ сек х\ кінець {align*}
- Зверніть увагу, що якщо ми додамо їх разом, ми отримаємо
\ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ великий (\ сек х+\ тан х\ великий) &= (\ сек х+\ тан х)\ сек х &\ має на увазі\\\ frac {\ frac {d} {dx}\ великий (\ сек x+\ tan x\ великий)} {\ сек x+\ tan x} &=\ сек х\ кінець {align*}
- Ми зробили це! Права сторона є,\sec x а ліва сторона - похідна від\log|\sec x+\tan x|\text{.}
Існує ще один метод інтеграції\int \sec x\, d{x}\text{,}, який є більш виснажливим, але більш прямим. Зокрема, він не передбачає запам'ятованого трюку. Ми спочатку використовуємо підстановкуu=\sin x\text{,}\, d{u}=\cos x\,\, d{x}\text{,} разом з\cos^2 x = 1-\sin^2x=1-u^2\text{.} This перетворює інтеграл в
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\, d {x} =\ int\ frac {\ cos x\\, d {x}} {\ cos^2 x}\\ &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ big|_ {u=\ sin x}\ end {вирівнювати*}
Ціле число\frac{1}{1-u^2} - це раціональна функція, тобто відношення двох многочленів. Існує процедура, яка називається методом часткових дробів, яка може бути використана для інтеграції будь-якої раціональної функції. Про це ми дізнаємося в розділі 1.10 «Часткові дроби». Детальна оцінка\int \sec x\,\, d{x}=\int\frac{\, d{u}}{1-u^2} інтеграла методом часткових дробів представлена в прикладі 1.10.5 нижче.
Крім того, існує стандартний трюк для оцінки\int\frac{\, d{u}}{1-u^2}, який дозволяє нам уникнути проходження всього алгоритму часткових дробів.
Рішення
Ми вже бачили, що
\ begin {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg|_ {u=\ sin x}\ end {align*}
Хитрість використовує спостереження, які
- \frac{1}{1-u^2}=\frac{1+u-u}{1-u^2}=\frac{1}{1-u}-\frac{u}{1-u^2}
- \frac{1}{1-u}має антидериватив-\log(1-u) (дляu\lt 1)
- Похідна від\dfrac{d}{du}(1-u^2)=-2u знаменника\frac{u}{1-u^2} однакова, аж до множника,-2\text{,} як чисельник з\frac{u}{1-u^2}\text{.} Таким чином, ми можемо легко оцінити інтеграл,\frac{u}{1-u^2} підставившиv=1-u^2\text{,}\, d{v}=-2u\,\, d{u}\text{.}
\ begin {збирати*}\ int\ frac {u\,\, d {u}} {1-u^2} =\ int\ гідророзриву {\, d {v}} {-2}} {v}\ bigg|_ {v=1-u^2} =-\ frac {1} {2}\ журнал (1-u^2) +C\ кінець {gather*}
Поєднання цих спостережень дає
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ bigg [\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg] _ {u=\ sin x} =\ bigg [\ int\ frac {1} {1-u}\, d {u} -\ int\ frac {u} {1-u}\ d {u}\ bigg] _ {u =\ sin x}\\ &=\ Великий [-\ лог (1-u) +\ гідророзриву {1} {2}\ лог (1-u^2) +C\ Big] _ {u=\ sin x}\\ &=-\ журнал (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1-\ sin ^2) х) +C\\ &=-\ журнал (1-\ sin x) +\ гідророзрив {1} {2}\ журнал (1-\ sin x) +\ гідророзриву {1} {2}\ журнал (1+\ sin x) +C\\ &=\ гідророзриву {1} {2}\ журнал\ розрив {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ кінець {align*}
Приклад 1.8.20 дав відповідь
\ begin {збирати*}\ int\ сек х\, d {x} =\ frac {1} {2}\ лог\ гідророзриву {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ end {gather*}
який, здається, відрізняється від відповіді в прикладі 1.8.19. Але вони дійсно однакові, оскільки
\ begin {align*} &\ розрив {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {1-\ sin^2 x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x}\\ має на увазі\ &\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ гідророзриву {1} {2}\ лог\ розрив {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x} =\ журнал\ Big|\ frac {\ sin x+1} {\ cos x}\ Big| =\ log|\ загар x+\ сек x |\ кінець {align*}
Of!
Рішення
Інтеграл також\int \csc x\, d{x} може бути оцінений обома вищезазначеними методами. Тобто або
- множивши integrand на розумно обраний,1=\frac{\cot x-\csc x}{\cot x-\csc x} а потім підставляючиu=\cot x -\csc x\text{,}\, d{u} = (-\csc^2 x+\csc x \cot x)\,\, d{x}\text{,} або
- шляхом підстановкиu=\cos x\text{,}\, d{u}=-\sin x\,\, d{x} дати,\int \csc x\, d{x}=-\int\frac{\, d{u}}{1-u^2} а потім за допомогою методу часткових дробів.
Ці два методи дають відповіді.
\ почати {зібрати}\ int\ csc x\, d {x} =\ log|\ cos x-\ csc x|+C =-\ гідророзриву {1} {2}\ журнал\ розрив {1+\ cos x} {1-\ cos x} +C\ етикетка {eq_intcScint}\ тег {\star}\ кінець {зібрати}
У цьому прикладі ми\int\csc x\, d{x} оцінимо ще третій метод, який може бути використаний для інтеграції раціональних\sin x and \cos x is a ratio with both the numerator and denominator being finite sums of terms of the form a\sin^m x\cos^n x\text{,} where a is a constant and m and n are positive integers. функцій 4 Раціональна функція\sin x і\cos x\text{.}
- У цьому способі використовується заміна
\ begin {align*} x & = 2\ arctan u &\ text {тобто} u &=\ tan\ frac {x} {2} &\ текст {і}\, d {x} &=\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\ end {align*}
— півкутова заміна. - Для вираження\sin x і з\cos x точки зоруu\text{,} ми спочатку використовуємо подвійний кут триг тотожності (Рівняння 1.8.2 і 1.8.3 зx \mapsto \frac{x}{2}) для вираження\sin x і\cos x в терміні\sin\frac{x}{2} і\cos\frac{x}{2}\text{:}
\ begin {align*}\ sin x &= 2\ sin\ гідророзриву {x} {2}\ cos\ frac {x} {2}\\ cos x &=\ cos^2\ розриву {x} {2} -\ sin^2\ frac {x} {2}\ end {align*}
- Потім використовуємо трикутник
висловити\sin\frac{x}{2} і з\cos\frac{x}{2} точки зоруu\text{.} Нижня і права сторони трикутника були обрані так, що\tan\frac{x}{2}=u\text{.} Це говорить нам, що
\ почати {вирівнювати*}\ sin\ розрив {x} {2} &=\ гідророзриву {u} {\ sqrt {1+u^2}} &\ cos\ гідророзриву {x} {2} &=\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}}\ end {align*}
- Це в свою чергу означає, що:
\ begin {align*}\ sin x & = 2\ sin\ розрив {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =2\ гідророзриву {u} {\ sqrt {1+u^2}}\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}} =\ розрив {2u} {1+u^2}\ cos x&=\ cos^2\ гідророзриву {x} {2} -\ sin^2\ гідророзриву {x} {2} =\ гідророзриву {1} {1+u^2} -\ розрив {u^2} {1+u^2} =\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ кінець {вирівнювати*}
Of! - Давайте скористаємося цією заміною для оцінки\int \csc x\,\, d{x}\text{.}
\ почати {вирівнювати*}\ int\ csc x\, d {x} &=\ int\ розриву {1} {\ sin x}\, d {x} =\ int\ frac {1+u^2} {2u}\\ розрив {2} {1+u^2}\, d {u} =\ int\ frac {1} {u}, d {u}\\ &=\ Журнал|U|+C =\ журнал\ Big|\ tan\ гідророзриву {x} {2}\ Big|+C\ end {align*}
Щоб побачити, що ця відповідь дійсно така ж, як і в (\star), зауважте, що\ почати {збирати*}\ ліжечко х-\ csc x =\ frac {\ cos x-1} {\ sin x} =\ frac {-2\ sin^2 (x/2)} {2\ sin (x/2)\ cos (x/2)} =-\ tan\ frac {x} {2}\ кінець {збирати*}
Рішення
Стандартний трюк, який використовується для оцінки\int \sec^3 x\, d{x}, - це інтеграція частинами.
- Встановитиu=\sec x\text{,}\, d{v}=\sec^2 x\, d{x}\text{.} Звідси\, d{u}=\sec x\tan x\, d{x}\text{,}v=\tan x і
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек^3 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ сек x} _ {u}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {dv}\ &=\ піддужка {\ сек x} _ {u}\\ піддужка {\ tan x} _ {\ tan x} _ {v} -\ int піддужка {\ tan x} _ {v}\\ underbrace {\ сек x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {u}}\ end {align*}
- Так як у\tan^2 x+1=\sec^2 x\text{,} нас є\tan^2 x=\sec^2 x-1 і
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ сек х\\ тан х -\ int [\ сек ^ 3 х-\ сек х]\, d {x}\ &=\ сек х\\ tan x +\ log|\ сек x+\ tan x|+C -\ int\ сек ^ 3 х\, d {x}\ кінець {align*}
де ми використовували\int \sec x\, d{x} = \log|\sec x+\tan x|+C\text{,} які ми бачили в прикладі 1.8.19. - Тепер\int \sec^3 x\, d{x} переміщаємо з правого боку в ліву сторону
\ begin {вирівнювати*} 2\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ сек х\ tan x +\ log|\ сек х+\ тан х |+C &\ текст {і так}\\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ розрив {1} {2}\ сек х\ tan x +\ frac {1} {2}\ log|\ сек x+\ tan x|+C\ end {вирівнювати*}
для нової довільної константиC (яка становить лише половину старої).
Інтеграл також\int \sec^3\, d{x} може бути оцінений двома іншими методами.
- Замінникu=\sin x\text{,}\, d{u}=\cos x\, d{x} для\int\sec^3 x\, d{x} перетворення в\int\frac{\, d{u}}{{[1-u^2]}^2} і оцінку останнього за допомогою методу часткових дробів. Це зроблено в прикладі 1.10.6 в розділі 1.10.
- Скористайтесяu=\tan\frac{x}{2} заміною. Ми використовуємо цей метод для оцінки\int\csc^3 x\, d{x} в прикладі 1.8.23, нижче.
Рішення
Скористаємося підстановкою половинного кута, яку ми ввели в прикладі 1.8.21.
- У цьому способі ми встановлюємо
\ почати {вирівнювати*} u&=\ тан\ розрив {x} {2}\ квад\, d {x} =\ розрив {2} {1+u^2}\, d {u}\ квад\ sin x =\ frac {2u} {1+u^2}\ квад\ cos x =\ розрив {1-u^2} {1+u^2}\ кінець *}
- Інтеграл тоді стає
\ почати {вирівнювати*}\ int\ csc^3 х\, d {x} &=\ int\ розриву {1} {\ sin^3 x}\, d {x}\\ &=\ int {\ Великий (\ frac {1+u^2} {2u}\ Великий)} ^3\\ розрив {2} {1+u^2}, d {u}\ &=\ гідророзриву {1} {4}\ int\ розрив {1+2u^2+u^4} {u^3}\, d {u}\\ &=\ розрив {1} {4}\ Великий\ {\ frac {u^ {-2}} {-2} +2}\ log|u|+\ frac {u^2} {2}\ Великий\} +C\ &=\ гідророзриву {1} {8}\ Великий\ {-\ cot^2\ гідророзриву {x} {2} +4 \ log\ Big|\ tan\ гідророзриву {x} {2}\ Big| +\ tan^2\ гідророзриву {x} {2}\ Big\} +C\ end {align*}
Of! - Це цілком прийнятна відповідь. Але якщо вам не подобається, вони можуть бути усунені за допомогою\frac{x}{2}
\ begin {align*}\ tan^2\ гідророзриву {x} {2} -\ cot^2\ гідророзриву {x} {2} &=\ гідророзриву {\ sin^2\ гідророзриву {x} {2}} {\ cos^2}} -\ frac {\ cos^2\ frac {x} {2}} {sin^2\ frac {2} c {x} {2}}\\ &=\ гідророзриву {\ sin^4\ гідророзриву {x} {2} -\ cos^4\ гідророзриву {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x} {2}}\\ &=\ гідророзриву {\ big (\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ гідророзриву {x} {2}\ великий)\ великий (\ sin^2\ frac {x} { 2} +\ cos^2\ розрив {x} {2}\ великий)} {\ sin^2\ розрив {x} {2}\ cos^2\ гідророзриву {x} {2}}\\ &=\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ розрив {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x}} {2}\ cos^2\ розрив {x} {2}}\ qquad\ текст {оскільки $\ sin^2\ frac {x} {2} +\ cos^2\ frac {x} {2} =1$}\ &=\ frac {-\ cos x} {\ frac {1} {4}\ sin^2x}\ qquad\ qquad\ qquad\\ текст {по} {\ текст {1.8.2}}\ текст {і} {\ текст {1.8.3}}\ end {вирівнювати*}
і\ begin {align*}\ tan\ гідророзриву {x} {2} &=\ гідророзриву {\ sin\ гідророзриву {x} {2}} {\ cos\ гідророзриву {x} {2}} =\ гідророзриву {x} {2}} {\ sin\ гідророзриву {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =\ frac {\ frac {1} {2} [1-\ cos x]} {\ frac {1} {2}\ sin x}\ qquad\ qquad\ qquad\ text {by}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityB.html} {\ текст {1.8.2}}\ текст {і}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityC.html} {\ текст {1.8.3}}\ end {align*}
Тож ми також можемо написати\ почати {збирати*}\ int\ csc^3 x\, d {x} =-\ гідророзриву {1} {2}\ ліжечко х\ csc x +\ frac {1} {2}\ log|\ csc x-\ cot x|+c\ end {gather*}
Цей останній необов'язковий розділ був трохи страшним - давайте повернемося до чогось трохи простішого.
Вправи
Нагадаємо, що ми використовуємо\log x для позначення логарифмаx з основою.e\text{.} В інших курсах його часто позначають\ln x\text{.}
Етап 1
Припустимо, ви хочете оцінити\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x \, d{x} за допомогою підміниu=\cos x\text{.} Що з наступного повинно бути вірним, щоб ваша заміна працювала?
- nповинно бути рівним
- nповинен бути непарним
- nмає бути цілим числом
- nповинен бути позитивним
- nможе бути будь-яким дійсним числом
Оцінити\displaystyle\int \sec^n x \tan x \, d{x}\text{,} деn строго натуральне число.
Виведіть особистість\tan^2 x +1 = \sec^2 x з легшої для запам'ятовування ідентичності\sin^2x+\cos^2 x =1\text{.}
Етап 2
Питання з 4 по 10 стосуються повноважень синусів і косинусів. Перегляньте розділ 1.8.1 в примітках до стратегій інтеграції.
Питання з 12 по 21 стосуються повноважень тангенсів і секантів. Перегляньте розділ 1.8.2 в примітках до стратегій.
Оцінити\displaystyle\int\cos^3x\,\, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int_0^\pi\cos^2x\,\, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int\sin^{36}t\,\cos^3t\,\, d{t}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos ^4 x} \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int_0^{\pi/3} \sin^{4}x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \sin^{5}x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \sin^{1.2}x\cos x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan x \sec^2 x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan^3 x \sec^5x \,\, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int\sec^4x\,\tan^{46}x\,\, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan^3 x \sec^{1.5} x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan^3x\sec^2x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan^4 x \sec^2 x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan^3 x \sec^{-0.7}x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan^5 x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int_0^{\pi/6} \tan^6 x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan^8 x \sec^4 x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan x \sqrt{\sec x} \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \sec^{8}\theta \tan^{e}\theta \, d{\theta}\text{.}
Етап 3
Формула зменшення.
- nДозволяти натуральне число зn\ge 2\text{.} Вивести формулу скорочення
\int\tan^n(x)\,\, d{x}=\frac{\tan^{n-1}(x)}{n-1} -\int\tan^{n-2}(x)\,\, d{x}. \nonumber
- Розрахувати\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan^6(x)\,\, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 \theta}\, d{\theta}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \cot x\, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int \sin(\cos x)\sin^3 x \, d{x}\text{.}
Оцінити\displaystyle\int x\sin x \cos x \, d{x}\text{.}
- Більш педантичний читач міг побудувати їх нескінченний список.
- Вам потрібно буде запам'ятати похідні дотичної і січної. Однак не потрібно запам'ятовувати1+\tan^2x = \sec^2 x\text{.} Щоб вивести його дуже швидко, просто розділіть\sin^2 x+\cos^2 x = 1 на\cos^2 x\text{.}
- Ми дякуємо Сербану Раяну за те, що він довів це до нашої уваги.