1.8: Тригонометричні інтеграли
Інтеграли поліномів тригонометричних функційsinx,cosx,tanx тощо, як правило, оцінюються за допомогою комбінації простих замін та тригонометричних тотожностей. Існує, звичайно, дуже велика кількість 1 тригонометричних ідентичностей, але зазвичай ми використовуємо лише кілька з них. Найважливішими трьома є:
sin2x+cos2x=1
sin(2x)=2sinxcosx
cos(2x)=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x
Зверніть увагу, що останні два рядки Рівняння 1.8.3 слідують з першого рядка, замінюючиsin2x абоcos2x використовуючи Рівняння 1.8.1. Також корисно переписати ці останні два рядки:
sin2x=1−cos(2x)2
cos2x=1+cos(2x)2
Ці останні два особливо корисні, оскільки вони дозволяють нам переписувати вищі сили синуса та косинуса з точки зору менших потужностей. Наприклад:
\ почати {вирівнювати*}\ sin^4 (x) &=\ лівий [\ frac {1-\ cos (2x)} {2}\ праворуч] ^2 &\ текст {рівняння} {\ текст {1.8.4}}\ &=\ frac {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ underbrace {\ cos^2 (2x)} _ {\ text {зробити це знову}} &\ текст {використовувати рівняння} {\ текст {1.8.5}}\\ &=\ гідророзриву {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ ліворуч (1 +\ cos (4x)\ праворуч)\\ &=\ гідророзриву {3} {8} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1} {8}\ cos (4x)\ end {align*}
Таким чином, хоча було важко інтегруватисяsin4(x) безпосередньо, остаточний вираз досить простий (з невеликим правилом підміни).
Існує безліч таких хитрощів для інтеграції повноважень тригонометричних функцій. Тут ми концентруємося на двох сім'ях.
\ begin {align*}\ int\ sin^mx\ cos^nx\, d {x} &&\ текст {і} &&\ int\ tan^mx\ сек^nx\, d {x}\ end {align*}
дляn,m. цілого числа Деталі техніки залежать від парностіn іm — тобто парних чиn непарних чисел.m
Інтеграція∫sinmxcosnxdx
Один зn and m is odd
Розглянемо інтеграл∫sin2xcosxdx. Ми можемо інтегрувати це шляхом підстановкиu=sinx іdu=cosxdx. Це дає
\ почати {вирівнювати*}\ int\ sin^2x\ cos x\, d {x} &=\ int u^2\, d {u}\ &=\ розрив {1} {3} u^3+C =\ frac {1} {3}\ sin^3x +C\ кінець {вирівняй*}
Цей метод можна використовувати щоразу, колиn є непарним цілим числом.
- Замінникu=sinx іdu=cosxdx.
- Це залишає рівну силу косинусів - перетворюйте їх за допомогоюcos2x=1−sin2x=1−u2.
Ось приклад.
Почніть з факторингу від однієї силиcosx комбінувати зdx, щоб отриматиcosxdx=du.
\ почати {вирівнювати*}\ int\ sin^2 x\ cos^3 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ sin^2 x} _ {= u^2}\ піддужка {\ cos^2 x} _ {=1-u^2}\ піддужка {\ cos x\, d {x}} _ {=, d {u}}\ текст {набір $u =\ гріх х $}\\ &=\ int u^2\ (1-u^2)\, d {u}\\ &=\ гідророзриву {u^3} {3} -\ frac {u^5} {5} +C\\ &=\ розрив {\ sin^3x} {3} -\ frac {\ sin^5x} {5} +C\ end {вирівнювати*}
Звичайно, якщоm це непарне ціле число, ми можемо використовувати ту ж стратегію з ролямиsinx іcosx обмінюватися. Тобто підставляємоu=cosx,du=−sinxdx іsin2x=1−cos2x=1−u2.
Обидваn and m are even
Якщоm і обидваn парні, стратегія полягає у використанні ідентичності трига 1.8.4 та 1.8.5, щоб повернутися доmn непарного випадку. Це, як правило, більш трудомісткий, ніж попередній випадок, який ми вивчали. Ось кілька прикладів, які виникають досить часто в додатках.
За 1.8.5
∫cos2xdx=12∫[1+cos(2x)]dx=12[x+12sin(2x)]+C
Спочатку ми підготуємо integrandcos4x для легкої інтеграції, застосувавши 1.8.5 пару разів. Ми вже використовували 1.8.5 один раз, щоб отримати
\ begin {збирати*}\ cos^2 x =\ frac {1} {2}\ великий [1+\ cos (2x)\ великий]\ кінець {збирати*}
Квадрат він дає
\ почати {збирати*}\ cos^4 x =\ гідророзриву {1} {4}\ великий [1+\ cos (2x)\ великий] ^2 =\ гідророзриву {1} {4} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ кінець {збирати*}
Тепер по 1.8.5 вдруге
\ почати {вирівнювати*}\ cos^4 x &=\ гідророзриву {1} {4} +\ гідророзриву {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1}\\ гідророзриву {1}\ cos (4x)} {2}\\ &=\ гідророзриву {3} {8} +\ гідророзриву {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1} {8}\ cos (4x)\ end {вирівнювати*}
Тепер легко інтегрувати
\ почати {вирівнювати*}\ int\ cos^4 х\, d {x} &=\ гідророзриву {3} {8}\ int дх+\ гідророзриву {1} {2}\ int\ cos (2x)\, d {x} +\ frac {1} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\\ &=\ frac {3} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\ &=\ frac {3} {8} x+\ розрив {1} {4}\ sin (2x) +\ розрив {1} {32}\ sin (4x) + C\ end {align*}
Тут ми застосовуємо і 1.8.4, і 1.8.5.
∫cos2xsin2xdx=14∫[1+cos(2x)][1−cos(2x)]dx=14∫[1−cos2(2x)]dxПотім ми можемо застосувати 1.8.5 знову
\ begin {align*} &=\ розрив {1} {4}\ int\ великий [1-\ гідророзриву {1} {2}\ лівий (1+\ cos (4x)\ правий)\ великий]\, d {x}\ &=\ frac {1} {8}\ int\ великий [1 -\ cos (4x)\ великий]\, d {x}\\ &=\ гідророзриву {1} {8} х -\ гідророзриву {1} {32}\ sin (4x) +C\ end {align*}Of! Ми також могли б зробити це, використовуючи 1.8.2, щоб написати integrand,sin2(2x) а потім використовувати 1.8.4, щоб написати його з точки зоруcos(4x).
Звичайно, ми можемо обчислити певний інтеграл,∫π0cos2xdx використовуючи антидериватив дляcos2x цього, який ми знайшли в прикладі 1.8.7. Але ось складніший спосіб оцінити цей інтеграл, а також інтеграл∫π0sin2xdx в той же час, дуже швидко, не потребуючи антипохідного Прикладу 1.8.7.
Рішення
- Зверніть увагу, що∫π0cos2xdx і∫π0sin2xdx рівні, оскільки вони представляють одну і ту ж область - подивіться на графіки нижче - темно затінені області на двох графіках мають однакову площу, а злегка затінені області на двох графіках мають однакову площу.
- Отже,
\ почати {вирівнювати*}\ int_0^\ пі\ cos^2 х\, d {x} =\ int_0^\ пі\ sin^2 х\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ bigg [\ int_0^\ pi\ sin^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x}}\ bigg]\\ &=\ розрив {1} {2}\ int_0^\ пі\ великий [\ sin^2 x\ cos^2 х\ великий]\, d {x}\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^\ pi dx\\ &=\ розрив {\ pi} {2}\ кінець {align*}
Інтеграція∫tanmxsecnxdx
Стратегія боротьби з цими інтегралами аналогічна стратегії, яку ми використовували для оцінки інтегралів виду∫sinmxcosnxdx і знову залежить від парності показниківn іm. використовує 2.
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ tan x &=\ сек^2 х &\ frac {d} {dx}\ сек х &=\ сек х\,\ тан х & 1+\ tan^2x &=\ сек^2 х\ кінець {вирівнювати*}
Ми розділимо методи∫tanmxsecnxdx інтеграції на 5 випадків, які ми перерахуємо нижче. Вони стануть набагато зрозумілішими після прикладу (або двох).
- Колиm непарний і будь-якийn — перепишіть integrand з точки зоруsinx іcosx:
\ почати {вирівнювати*}\ tan^m x\,\ sec^n x\, d {x} &=\ лівий (\ frac {\ sin x} {\ cos x}\ праворуч) ^м\ ліворуч (\ frac {1} {\ cos x}\ праворуч) ^n\ x}\, d {x}\ &=\ frac {\ sin^ {m-1} x} {\ cos^ {н+м} х}\\ sin x\, d {x}\ end {align*}
а потім замінитиu=cosx,du=−sinxdx,sin2x=1−cos2x=1−u2. Див. Приклади 1.8.11 і 1.8.12. - Крім того, якщоm непарно іn≥1 перемістіть одинsecxtanx коефіцієнт в сторону, щоб ви могли бачитиsecxtanxdx в інтегралі, і замінитиu=secx,du=secxtanxdx іtan2x=sec2x−1=u2−1. Див приклад 1.8.13.
- Якщоn навіть зn≥2, переміщенням один факторsec2x в сторону, так що ви можете бачитиsec2xdx в інтегралі, і підставитиu=tanx,du=sec2xdx іsec2x=1+tan2x=1+u2. Див. Приклад 1.8.14.
- Колиm рівний іn=0 - тобто integrand - це просто рівномірна сила дотичної - ми все ще можемо використовуватиu=tanx підстановку, після використанняtan2x=sec2x−1 (можливо, більше одного разу) для створенняsec2x. Див. Приклад 1.8.16.
- Це залишає випадокn непарним іm непарним. Існують такі стратегії, як вищезазначені для лікування цього випадку. Але вони складніші, а також включають більше трюків (які в основному потрібно запам'ятати). Приклади їх використання наведені в необов'язковому розділі під назвою «Інтеграціяsecx,cscx,sec3x іcsc3x», нижче. Більш пряма стратегія використовує іншу техніку під назвою «часткові дроби». Ми повернемося до цієї стратегії після того, як дізнаємося про часткові дроби. Див. Приклади 1.10.5 та 1.10.6 у розділі 1.10.
m is odd — odd power of tangent
У цьому випадку ми переписуємо integrand через синус і косинус, а потім підставляємоu=cosx,du=−sinxdx.
Рішення
- Напишіть ціліснийtanx=1cosxsinx.
- Тепер замінюємо такu=cosx,du=−sinxdx само, як ми робили в лікуванні integrands формиsinmxcosnx зm непарними.
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan x\,\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ qquad\ qquad\ текст {замінник $u=\ cos x$}\ &=\ int\ frac {1} {u}\ cdot (-1)\, d {u}\ cdot (-1)\ d {u}\ &=-\ Журнал|U|+C\\ &=-\ log\ left |\ cos x\ право|+C\ qquad\ qquad\ text {також може писати в терміні секанс}\\ &=\ log\ left|\ cos x\ right|^ {-1} +C =\ журнал\ вліво|\ сек х\ вправо|+C\ end {вирівнювати*}
Рішення
- Напишіть ціліснийtan3x=sin2xcos3xsinx.
- Зновуu=cosx,du=−sinxdx. підставляємо. Переписуємо залишилися рівні повноваженняsinx використанняsin2x=1−cos2x=1−u2.
- Звідси
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^3 x\,\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin^2x} {\ cos^3x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ текст {замінник $u=\ cos x $}\\ &=\ int\ frac {1-u^2} {u^3} (-1), d {u}\\ &=\ розрив {u^ {-2}} {2} +\ log|U|+C\\ &=\ гідророзриву {1} {2\ cos^2 x} +\ лог\ ліворуч |\ cos x\ право|+C\ qquad\ текст {переписати з точки зору секанту}\\ &=\ frac { 1} {2}\ сек^2 х -\ журнал\ ліворуч |\ сек х\ право|+C\ end {align*}
m is odd and n≥1 — odd power of tangent and at least one secant
Тут ми збираємо коефіцієнт,tanxsecx а потімu=secxdu=secxtanxdx. підставляємо, а потім можемо переписати будь-які залишилися навіть повноваження зtanx точки зоруsecx використання.tan2x=sec2x−1=u2−1.
Рішення
- Почніть з факторингу однієї копіїsecxtanx та об'єднайте її з,dx щоб сформуватиsecxtanxdx,, яка будеdu.
- Тепер підставляємоu=secx,du=secxtanxdx іtan2x=sec2x−1=u2−1.
- Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ tan^3x\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ tan^2 x} _ {u^2-1}\\ піддужка {\ sec^3 x} _ {u^3}\\ піддужка {\ сек x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {, d {u}}\ &=\ int\ великий [u^2-1] u^3\, d {u}\\ &=\ розрив {u^6} {6} -\ розрив {u^4} {4} +C\\ &=\ frac {1} {6}\ сек^6 х-\ розрив {1} {4}\ сек ^ 4 x + C\ кінець {вирівня*}
n≥2 is even — a positive even power of secant
У попередньому випадку ми підставили,u=secx, тоді як в цьому випадку ми підставляємоu=tanx. Коли ми робимо це, ми пишемо,du=sec2xdx а потім переписуємо будь-які залишилися парні повноваженняsecx як повноваженняtanx використання.sec2x=1+tan2x=1+u2.
Рішення
- Фактор від однієї копіїsec2x і об'єднати його з,dx щоб сформуватиsec2xdx,, який будеdu.
- Потім підставитиu=tanx,du=sec2xdx і переписати будь-які залишилися навіть повноваженняsecx як повноваженняtanx=u використанняsec2x=1+tan2x=1+u2.
- Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ сек^2 x} _ {1+u^2}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ великий [1+u^2]\, d {u}\\ &= u+\ розрив {u^3} {3} +C\\ &=\ tan x+\ розрив {1} {3}\ tan^3 x + C\ end {align*}
Рішення
Давайте повернемося до цього прикладу, використовуючи цей дещо інший підхід.
- Фактор від однієї копіїsec2x і об'єднати його з,dx щоб сформуватиsec2xdx,, який будеdu.
- Потім підставитиu=tanx,du=sec2xdx і переписати будь-які залишилися навіть повноваженняsecx як повноваженняtanx=u використанняsec2x=1+tan2x=1+u2.
- Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ tan^3x\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ tan^3x} _ {u^3}\ піддужка {\ сек^2 x} _ {1+u^2}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {\, d {, d {u}}\ =\ int\ великий [u^3+u^5]\, d {u}\\ &=\ розрив {u^4} {4} +\ гідророзриву {u^6} {6} + C\\ &=\ frac {1} {4}\ tan^4 x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ кінець {4} x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ кінець {align*}
- Це не зовсім те саме, що відповідь, яку ми отримали вище в прикладі 1.8.13. Однак ми можемо показати, що вони (майже) еквівалентні. Для цього підставляємоv=secx іtan2x=sec2x−1=v2−1:
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {1} {6}\ tan^6x +\ розрив {1} {4}\ tan^4x &=\ розриву {1} {6} (v^2-1) ^3 +\ frac {1} {4} (v^2-1) ^2\ &=\ розрив {1} {6} (v^6-3v^4+3v^2-1) +\ розрив {1} {4} (v^4-2v^2+1)\\ &=\ гідророзриву {v^6} {6} -\ гідророзриву {v^4} {2} +\ розрив {v^2} {2} -\ розрив {1} {6} +\ гідророзрив {v^4} {4} -\ frac {v^4} 2} {2} +\ гідророзриву {1} {4}\\ &=\ гідророзриву {v^6} {6} -\ гідророзриву {v^4} {4} + 0\ cdot v^2 +\ ліворуч (\ гідророзриву {1} {4} -\ гідророзриву {1} {6}\ праворуч)\\ &=\ розриву {1} {6}\ сек^6x -\ frac {1} {1} {4}\ сек^4x +\ frac {1} {12}. \ end {вирівнювати*}
Так що при цьому16tan6x+14tan4x≠16sec6x−14sec4x, вони відрізняються лише постійною. Отже, обидва є дійсними антипохіднимиtan3xsec4x.
m is even and n=0 — even powers of tangent
Ми інтегруємо це,u=tanx. встановивши Щоб це працювало, нам потрібно перетягнути один факторsec2x в одну сторону, щоб сформуватиdu=sec2xdx. Щоб знайти цей факторsec2x ми (можливо, неодноразово) застосовуємо ідентичністьtan2x=sec2x−1.
Рішення
- Немаєsec2x терміна присутній, тому ми намагаємося створити йогоtan4x за допомогоюtan2x=sec2x−1.
\ почати {вирівнювати*}\ tan^4 х &=\ tan^2 х\ cdot\ tan ^ 2 х\\ &=\ tan^2 х\ великий [\ сек ^ 2 х - 1\ великий]\\ &=\ tan^2x\ сек^2 х-\ піддужка {\ tan^2 x} _ {\ сек ^ 2x-1}\\ & =\ tan^2x\ сек ^ 2 х-\ сек^2 х + 1\ кінець {вирівнювати*}
- Тепер ми можемо підставитиu=tanx,du=sec2xdx.
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^4 х\, d {x} & =\ int\ піддужка {\ tan^2x} _ {u^2}\\ піддужка {\ sec^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}} -\ int\ underbrace {\ sec^2 x\, d {x}} _ {, d {, d {u}}} +\ int\, d {x}\ &=\ int u^2\, d {u} -\ int\, d {u} +\ int\, d {x}\\ &=\ розрив {u^3} {3} -U+x+C\\ &=\ розрив {\ tan^3x} {3} -\ загар х +х +C\\ &=\ розрив {\ tan^3x} {3} -\ tan x +C\ кінець {*}
Рішення
Спробуємо той же підхід.
- Спочатку витягніть коефіцієнтtan2x для створенняsec2x фактора:tan8x=tan6x⋅tan2x=tan6x⋅[sec2x−1]=tan6xsec2x−tan6x
Перший термін тепер готовий до інтеграції, але нам потрібно повторно застосувати метод до другого терміну:
\ почати {вирівнювати*} &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ cdot\ великий [\ сек ^ 2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ tan^4x\ qquad\ текст {зробити це знову}\\ =\ tan^6x\ sec^2x x -\ tan^4x\ сек ^ 2x +\ tan^2x\ cdot\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек^2x +\ tan^2x\ сек^2x -\ tan^2x -\ tan^2x\ qquad\ текст {і знову}\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек ^ 2x +\ tan^2x\ sec^2x -\ великий [\ сек^2x-1\ великий]\ кінець {align*} - Звідси
\ почати {вирівнювати*} &\ int\ tan^8x\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ ліворуч [\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек^2x +\ tan^2x -\ сек^2x +1\ праворуч]\, d {x}\\\ &\ hskip0.25in =\ int\ ліворуч [\ tan^6x -\ tan^4x +\ tan^2x - 1\ праворуч]\ сек^2x\, d {x} +\ int\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ ліворуч [u^6 - u^4+u^2 - 1\ праворуч]\, d {u} + х +С\\ &\ hskip0.25in=\ гідророзриву {u^7} {7} -\ розрив {u^5} {5} +\ гідророзриву {u^3} {3} {3} - u + х +C\\ &\ hskip0.25in=\ гідророзриву {1} {7}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ тан^7x 5x +\ гідророзриву {1} {3}\ tan^3x -\ тан х + х +С\ кінець {вирівнювати*}
Дійсно, цей приклад говорить про те, що для цілогоk≥0:
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^ {2k} х\, d {x} &=\ розрив {1} {2к-1}\ tan^ {2k-1} (x) -\ розрив {1} {2k-3}\ tan^ {2k-3} х +\ cdots\\ &\ hskip1.0in - (-1) ^k\ tan x + (-1) ^k х +C\ end {вирівнювати*}
Цей останній приклад також показує, як ми можемо інтегрувати непарну силу тангенса:
Рішення
Виконуємо ті ж дії
- Витягніть коефіцієнт,tan2x щоб створити факторsec2x:
\ почати {вирівнювати*}\ tan^7x &=\ tan^5x\ cdot\ tan^2x\\ &=\ tan^5x\ cdot\ великий [\ сек ^ 2x - 1\ big]\\ &=\ tan^5x\ sec^2x -\ tan^5x\ qquad\ текст {зробити це знову}\\ =\ tan^5x\ сек ^ 2x x -\ tan^3x\ cdot\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^5x\ сек ^ 2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ tan^3x\ qquad\ текст {і знову}\\ &=\ tan^5 х\ сек^2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ тан х\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^5x\ сек^2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ tan x\ sec^2x -\ загар х\ кінець {align*}
- Тепер ми можемо підставити,u=tanxdu=sec2xdx а також використовувати результат з Прикладу 1.8.11, щоб подбати про останній термін:∫tan7xdx=∫[tan5xsec2x−tan3xsec2x+tanxsec2x]dx−∫tanxdx
Тепер враховуйте загальнийsec2x термін та інтегруйтеtanx через приклад 1.8.11
\ почати {вирівнювати*} &=\ int\ великий [\ tan^5x -\ tan^3x +\ загар х\ великий]\ сек х\, d {x} -\ log|\ сек х | +C\\ &=\ int\ великий [u^5 - u^3 + u\ big]\, d {u} -\ log|\ сек\ x | +C\\ &=\ frac {u^6} {6} -\ розрив {u^4} {4} +\ гідророзриву {u^2} {2} -\ log|\ сек x | +C\\ &=\ гідророзриву {1} {6}\ tan^6x -\ frac {1} {4}\ tan^4x +\ розрив {1} {2}\ tan^2x -\ журнал|\ сек х | + C\ end {вирівнювати*}
Цей приклад говорить про те, що для цілого числаk≥0:
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^ {2k+1} х\, d {x} &=\ розрив {1} {2k}\ tan^ {2k} (x) -\ розрив {1} {2k-2}\ tan^ {2k-2} х +\ cdots\\ &\ hskip0.25in - (-1) ^k\ frac {1} {2}}\ tan^2 x + (-1) ^k\ log|\ сек х | +C\ end {вирівнювати*}
Звичайно, ми не розглядали інтеграли, що включають повноваженняcotx іcscx. Але вони можуть розглядатися приблизно так само, якtanx іsecx були.
Додатково - Інтеграціяsecx,cscx,sec3x таcsc3x
Як зазначалося вище, колиnm непарне і парне, можна використовувати аналогічні стратегії, що і в попередніх випадках. Однак обчислення часто більш залучені, і потрібно розгорнути більше хитрощів. З цієї причини ми робимо цей розділ необов'язковим — обчислення, безумовно, нетривіальні. Замість того, щоб намагатися побудувати когерентний «метод» для цього випадку, ми наводимо кілька прикладів, щоб дати уявлення про те, чого очікувати.
Рішення
Існує дуже підлий трюк, щоб обчислити цей інтеграл.
- Стандартна хитрість для цього інтеграла полягає в тому, щоб помножити integrand на1=secx+tanxsecx+tanx
\ begin {вирівнювати*}\ сек х &=\ сек х\\ розрив {\ сек x+\ tan x} {\ сек x+\ tan x} =\ розрив {\ сек^2x +\ сек х\ тан х} {\ сек x+\ tan x}\ кінець {align*}
- Зверніть увагу тепер, що чисельник цього виразу є саме похідною його знаменника. Отже, ми можемо замінитиu=secx+tanx іdu=(secxtanx+sec2x)dx.
- Звідси
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ сек х\\ сек х\\ розрив {\ сек x+\ tan x} {\ сек x+\ tan x}\, d {x} =\ int\ frac {\ сек x\ tan x} {\ сек x+\ tan x}\, d {x}\\ &=\ int гідророзрив {1} {u}\, d {u}\\ &=\ журнал |U|+C\\ &=\ log|\ сек x+\ tan x|+c\ end {вирівнювати*}
- Вищевказаний трюк виглядає як абсолютно нездогадним, так і дуже важко запам'ятати. На щастя, є простий спосіб 3 відновити трюк. Ось воно.
- Мета полягає в тому, щоб вгадати функцію, похідна якої дорівнюєsecx.
- Так що дістаньте таблицю похідних і шукайте функції, похідні яких хоча б містятьsecx. Є дві:
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ tan x &=\ сек^2 х\\\ розриву {d} {dx}\ сек х &=\ тан х\,\ сек х\ кінець {align*}
- Зверніть увагу, що якщо ми додамо їх разом, ми отримаємо
\ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ великий (\ сек х+\ тан х\ великий) &= (\ сек х+\ тан х)\ сек х &\ має на увазі\\\ frac {\ frac {d} {dx}\ великий (\ сек x+\ tan x\ великий)} {\ сек x+\ tan x} &=\ сек х\ кінець {align*}
- Ми зробили це! Права сторона є,secx а ліва сторона - похідна відlog|secx+tanx|.
Існує ще один метод інтеграції∫secxdx,, який є більш виснажливим, але більш прямим. Зокрема, він не передбачає запам'ятованого трюку. Ми спочатку використовуємо підстановкуu=sinx,du=cosxdx, разом зcos2x=1−sin2x=1−u2. This перетворює інтеграл в
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\, d {x} =\ int\ frac {\ cos x\\, d {x}} {\ cos^2 x}\\ &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ big|_ {u=\ sin x}\ end {вирівнювати*}
Ціле число11−u2 - це раціональна функція, тобто відношення двох многочленів. Існує процедура, яка називається методом часткових дробів, яка може бути використана для інтеграції будь-якої раціональної функції. Про це ми дізнаємося в розділі 1.10 «Часткові дроби». Детальна оцінка∫secxdx=∫du1−u2 інтеграла методом часткових дробів представлена в прикладі 1.10.5 нижче.
Крім того, існує стандартний трюк для оцінки∫du1−u2, який дозволяє нам уникнути проходження всього алгоритму часткових дробів.
Рішення
Ми вже бачили, що
\ begin {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg|_ {u=\ sin x}\ end {align*}
Хитрість використовує спостереження, які
- 11−u2=1+u−u1−u2=11−u−u1−u2
- 11−uмає антидериватив−log(1−u) (дляu<1)
- Похідна відddu(1−u2)=−2u знаменникаu1−u2 однакова, аж до множника,−2, як чисельник зu1−u2. Таким чином, ми можемо легко оцінити інтеграл,u1−u2 підставившиv=1−u2,dv=−2udu.
\ begin {збирати*}\ int\ frac {u\,\, d {u}} {1-u^2} =\ int\ гідророзриву {\, d {v}} {-2}} {v}\ bigg|_ {v=1-u^2} =-\ frac {1} {2}\ журнал (1-u^2) +C\ кінець {gather*}
Поєднання цих спостережень дає
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ bigg [\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg] _ {u=\ sin x} =\ bigg [\ int\ frac {1} {1-u}\, d {u} -\ int\ frac {u} {1-u}\ d {u}\ bigg] _ {u =\ sin x}\\ &=\ Великий [-\ лог (1-u) +\ гідророзриву {1} {2}\ лог (1-u^2) +C\ Big] _ {u=\ sin x}\\ &=-\ журнал (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1-\ sin ^2) х) +C\\ &=-\ журнал (1-\ sin x) +\ гідророзрив {1} {2}\ журнал (1-\ sin x) +\ гідророзриву {1} {2}\ журнал (1+\ sin x) +C\\ &=\ гідророзриву {1} {2}\ журнал\ розрив {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ кінець {align*}
Приклад 1.8.20 дав відповідь
\ begin {збирати*}\ int\ сек х\, d {x} =\ frac {1} {2}\ лог\ гідророзриву {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ end {gather*}
який, здається, відрізняється від відповіді в прикладі 1.8.19. Але вони дійсно однакові, оскільки
\ begin {align*} &\ розрив {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {1-\ sin^2 x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x}\\ має на увазі\ &\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ гідророзриву {1} {2}\ лог\ розрив {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x} =\ журнал\ Big|\ frac {\ sin x+1} {\ cos x}\ Big| =\ log|\ загар x+\ сек x |\ кінець {align*}
Of!
Рішення
Інтеграл також∫cscxdx може бути оцінений обома вищезазначеними методами. Тобто або
- множивши integrand на розумно обраний,1=cotx−cscxcotx−cscx а потім підставляючиu=cotx−cscx,du=(−csc2x+cscxcotx)dx, або
- шляхом підстановкиu=cosx,du=−sinxdx дати,∫cscxdx=−∫du1−u2 а потім за допомогою методу часткових дробів.
Ці два методи дають відповіді.
\ почати {зібрати}\ int\ csc x\, d {x} =\ log|\ cos x-\ csc x|+C =-\ гідророзриву {1} {2}\ журнал\ розрив {1+\ cos x} {1-\ cos x} +C\ етикетка {eq_intcScint}\ тег {⋆}\ кінець {зібрати}
У цьому прикладі ми∫cscxdx оцінимо ще третій метод, який може бути використаний для інтеграції раціональнихsinx and cosx is a ratio with both the numerator and denominator being finite sums of terms of the form asinmxcosnx, where a is a constant and m and n are positive integers. функцій 4 Раціональна функціяsinx іcosx.
- У цьому способі використовується заміна
\ begin {align*} x & = 2\ arctan u &\ text {тобто} u &=\ tan\ frac {x} {2} &\ текст {і}\, d {x} &=\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\ end {align*}
— півкутова заміна. - Для вираженняsinx і зcosx точки зоруu, ми спочатку використовуємо подвійний кут триг тотожності (Рівняння 1.8.2 і 1.8.3 зx↦x2) для вираженняsinx іcosx в термініsinx2 іcosx2:
\ begin {align*}\ sin x &= 2\ sin\ гідророзриву {x} {2}\ cos\ frac {x} {2}\\ cos x &=\ cos^2\ розриву {x} {2} -\ sin^2\ frac {x} {2}\ end {align*}
- Потім використовуємо трикутник
висловитиsinx2 і зcosx2 точки зоруu. Нижня і права сторони трикутника були обрані так, щоtanx2=u. Це говорить нам, що
\ почати {вирівнювати*}\ sin\ розрив {x} {2} &=\ гідророзриву {u} {\ sqrt {1+u^2}} &\ cos\ гідророзриву {x} {2} &=\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}}\ end {align*}
- Це в свою чергу означає, що:
\ begin {align*}\ sin x & = 2\ sin\ розрив {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =2\ гідророзриву {u} {\ sqrt {1+u^2}}\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}} =\ розрив {2u} {1+u^2}\ cos x&=\ cos^2\ гідророзриву {x} {2} -\ sin^2\ гідророзриву {x} {2} =\ гідророзриву {1} {1+u^2} -\ розрив {u^2} {1+u^2} =\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ кінець {вирівнювати*}
Of! - Давайте скористаємося цією заміною для оцінки∫cscxdx.
\ почати {вирівнювати*}\ int\ csc x\, d {x} &=\ int\ розриву {1} {\ sin x}\, d {x} =\ int\ frac {1+u^2} {2u}\\ розрив {2} {1+u^2}\, d {u} =\ int\ frac {1} {u}, d {u}\\ &=\ Журнал|U|+C =\ журнал\ Big|\ tan\ гідророзриву {x} {2}\ Big|+C\ end {align*}
Щоб побачити, що ця відповідь дійсно така ж, як і в (⋆), зауважте, що\ почати {збирати*}\ ліжечко х-\ csc x =\ frac {\ cos x-1} {\ sin x} =\ frac {-2\ sin^2 (x/2)} {2\ sin (x/2)\ cos (x/2)} =-\ tan\ frac {x} {2}\ кінець {збирати*}
Рішення
Стандартний трюк, який використовується для оцінки∫sec3xdx, - це інтеграція частинами.
- Встановитиu=secx,dv=sec2xdx. Звідсиdu=secxtanxdx,v=tanx і
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек^3 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ сек x} _ {u}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {dv}\ &=\ піддужка {\ сек x} _ {u}\\ піддужка {\ tan x} _ {\ tan x} _ {v} -\ int піддужка {\ tan x} _ {v}\\ underbrace {\ сек x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {u}}\ end {align*}
- Так як уtan2x+1=sec2x, нас єtan2x=sec2x−1 і
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ сек х\\ тан х -\ int [\ сек ^ 3 х-\ сек х]\, d {x}\ &=\ сек х\\ tan x +\ log|\ сек x+\ tan x|+C -\ int\ сек ^ 3 х\, d {x}\ кінець {align*}
де ми використовували∫secxdx=log|secx+tanx|+C, які ми бачили в прикладі 1.8.19. - Тепер∫sec3xdx переміщаємо з правого боку в ліву сторону
\ begin {вирівнювати*} 2\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ сек х\ tan x +\ log|\ сек х+\ тан х |+C &\ текст {і так}\\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ розрив {1} {2}\ сек х\ tan x +\ frac {1} {2}\ log|\ сек x+\ tan x|+C\ end {вирівнювати*}
для нової довільної константиC (яка становить лише половину старої).
Інтеграл також∫sec3dx може бути оцінений двома іншими методами.
- Замінникu=sinx,du=cosxdx для∫sec3xdx перетворення в∫du[1−u2]2 і оцінку останнього за допомогою методу часткових дробів. Це зроблено в прикладі 1.10.6 в розділі 1.10.
- Скористайтесяu=tanx2 заміною. Ми використовуємо цей метод для оцінки∫csc3xdx в прикладі 1.8.23, нижче.
Рішення
Скористаємося підстановкою половинного кута, яку ми ввели в прикладі 1.8.21.
- У цьому способі ми встановлюємо
\ почати {вирівнювати*} u&=\ тан\ розрив {x} {2}\ квад\, d {x} =\ розрив {2} {1+u^2}\, d {u}\ квад\ sin x =\ frac {2u} {1+u^2}\ квад\ cos x =\ розрив {1-u^2} {1+u^2}\ кінець *}
- Інтеграл тоді стає
\ почати {вирівнювати*}\ int\ csc^3 х\, d {x} &=\ int\ розриву {1} {\ sin^3 x}\, d {x}\\ &=\ int {\ Великий (\ frac {1+u^2} {2u}\ Великий)} ^3\\ розрив {2} {1+u^2}, d {u}\ &=\ гідророзриву {1} {4}\ int\ розрив {1+2u^2+u^4} {u^3}\, d {u}\\ &=\ розрив {1} {4}\ Великий\ {\ frac {u^ {-2}} {-2} +2}\ log|u|+\ frac {u^2} {2}\ Великий\} +C\ &=\ гідророзриву {1} {8}\ Великий\ {-\ cot^2\ гідророзриву {x} {2} +4 \ log\ Big|\ tan\ гідророзриву {x} {2}\ Big| +\ tan^2\ гідророзриву {x} {2}\ Big\} +C\ end {align*}
Of! - Це цілком прийнятна відповідь. Але якщо вам не подобається, вони можуть бути усунені за допомогоюx2
\ begin {align*}\ tan^2\ гідророзриву {x} {2} -\ cot^2\ гідророзриву {x} {2} &=\ гідророзриву {\ sin^2\ гідророзриву {x} {2}} {\ cos^2}} -\ frac {\ cos^2\ frac {x} {2}} {sin^2\ frac {2} c {x} {2}}\\ &=\ гідророзриву {\ sin^4\ гідророзриву {x} {2} -\ cos^4\ гідророзриву {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x} {2}}\\ &=\ гідророзриву {\ big (\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ гідророзриву {x} {2}\ великий)\ великий (\ sin^2\ frac {x} { 2} +\ cos^2\ розрив {x} {2}\ великий)} {\ sin^2\ розрив {x} {2}\ cos^2\ гідророзриву {x} {2}}\\ &=\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ розрив {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x}} {2}\ cos^2\ розрив {x} {2}}\ qquad\ текст {оскільки $\ sin^2\ frac {x} {2} +\ cos^2\ frac {x} {2} =1$}\ &=\ frac {-\ cos x} {\ frac {1} {4}\ sin^2x}\ qquad\ qquad\ qquad\\ текст {по} {\ текст {1.8.2}}\ текст {і} {\ текст {1.8.3}}\ end {вирівнювати*}
і\ begin {align*}\ tan\ гідророзриву {x} {2} &=\ гідророзриву {\ sin\ гідророзриву {x} {2}} {\ cos\ гідророзриву {x} {2}} =\ гідророзриву {x} {2}} {\ sin\ гідророзриву {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =\ frac {\ frac {1} {2} [1-\ cos x]} {\ frac {1} {2}\ sin x}\ qquad\ qquad\ qquad\ text {by}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityB.html} {\ текст {1.8.2}}\ текст {і}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityC.html} {\ текст {1.8.3}}\ end {align*}
Тож ми також можемо написати\ почати {збирати*}\ int\ csc^3 x\, d {x} =-\ гідророзриву {1} {2}\ ліжечко х\ csc x +\ frac {1} {2}\ log|\ csc x-\ cot x|+c\ end {gather*}
Цей останній необов'язковий розділ був трохи страшним - давайте повернемося до чогось трохи простішого.
Вправи
Нагадаємо, що ми використовуємоlogx для позначення логарифмаx з основою.e. В інших курсах його часто позначаютьlnx.
Етап 1
Припустимо, ви хочете оцінити∫π/40sinxcosnxdx за допомогою підміниu=cosx. Що з наступного повинно бути вірним, щоб ваша заміна працювала?
- nповинно бути рівним
- nповинен бути непарним
- nмає бути цілим числом
- nповинен бути позитивним
- nможе бути будь-яким дійсним числом
Оцінити∫secnxtanxdx, деn строго натуральне число.
Виведіть особистістьtan2x+1=sec2x з легшої для запам'ятовування ідентичностіsin2x+cos2x=1.
Етап 2
Питання з 4 по 10 стосуються повноважень синусів і косинусів. Перегляньте розділ 1.8.1 в примітках до стратегій інтеграції.
Питання з 12 по 21 стосуються повноважень тангенсів і секантів. Перегляньте розділ 1.8.2 в примітках до стратегій.
Оцінити∫cos3xdx.
Оцінити∫π0cos2xdx.
Оцінити∫sin36tcos3tdt.
Оцінити∫sin3xcos4xdx.
Оцінити∫π/30sin4xdx.
Оцінити∫sin5xdx.
Оцінити∫sin1.2xcosxdx.
Оцінити∫tanxsec2xdx.
Оцінити∫tan3xsec5xdx.
Оцінити∫sec4xtan46xdx.
Оцінити∫tan3xsec1.5xdx.
Оцінити∫tan3xsec2xdx.
Оцінити∫tan4xsec2xdx.
Оцінити∫tan3xsec−0.7xdx.
Оцінити∫tan5xdx.
Оцінити∫π/60tan6xdx.
Оцінити∫π/40tan8xsec4xdx.
Оцінити∫tanx√secxdx.
Оцінити∫sec8θtaneθdθ.
Етап 3
Формула зменшення.
- nДозволяти натуральне число зn≥2. Вивести формулу скорочення
∫tann(x)dx=tann−1(x)n−1−∫tann−2(x)dx.
- Розрахувати∫π/40tan6(x)dx.
Оцінити∫tan5xcos2xdx.
Оцінити∫1cos2θdθ.
Оцінити∫cotxdx.
Оцінити∫exsin(ex)cos(ex)dx.
Оцінити∫sin(cosx)sin3xdx.
Оцінити∫xsinxcosxdx.
- Більш педантичний читач міг побудувати їх нескінченний список.
- Вам потрібно буде запам'ятати похідні дотичної і січної. Однак не потрібно запам'ятовувати1+tan2x=sec2x. Щоб вивести його дуже швидко, просто розділітьsin2x+cos2x=1 наcos2x.
- Ми дякуємо Сербану Раяну за те, що він довів це до нашої уваги.