1.8: Тригонометричні інтеграли

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60912

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Інтеграли поліномів тригонометричних функцій$\sin x\text{,}$$\cos x\text{,}$$\tan x$ тощо, як правило, оцінюються за допомогою комбінації простих замін та тригонометричних тотожностей. Існує, звичайно, дуже велика кількість ¹ тригонометричних ідентичностей, але зазвичай ми використовуємо лише кілька з них. Найважливішими трьома є:

Рівняння 1.8.1

\[\begin{align*} \sin^2 x +\cos^2 x &= 1 \end{align*}\]

Рівняння 1.8.2

\[\begin{align*} \sin(2x)&=2\sin x\cos x \end{align*}\]

Рівняння 1.8.3

\[\begin{align*} \cos(2x)&=\cos^2 x - \sin^2 x\\ &=2\cos^2 x - 1\\ &=1-2\sin^2 x \end{align*}\]

Зверніть увагу, що останні два рядки Рівняння 1.8.3 слідують з першого рядка, замінюючи$\sin^2x$ або$\cos^2x$ використовуючи Рівняння 1.8.1. Також корисно переписати ці останні два рядки:

Рівняння 1.8.4

\[\begin{align*} \sin^2 x &= \frac{1-\cos(2x)}{2} \end{align*}\]

Рівняння 1.8.5

\[\begin{align*} \cos^2 x &= \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align*}\]

Ці останні два особливо корисні, оскільки вони дозволяють нам переписувати вищі сили синуса та косинуса з точки зору менших потужностей. Наприклад:

\ почати {вирівнювати*}\ sin^4 (x) &=\ лівий [\ frac {1-\ cos (2x)} {2}\ праворуч] ^2 &\ текст {рівняння} {\ текст {1.8.4}}\ &=\ frac {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ underbrace {\ cos^2 (2x)} _ {\ text {зробити це знову}} &\ текст {використовувати рівняння} {\ текст {1.8.5}}\\ &=\ гідророзриву {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ ліворуч (1 +\ cos (4x)\ праворуч)\\ &=\ гідророзриву {3} {8} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1} {8}\ cos (4x)\ end {align*}

Таким чином, хоча було важко інтегруватися$\sin^4(x)$ безпосередньо, остаточний вираз досить простий (з невеликим правилом підміни).

Існує безліч таких хитрощів для інтеграції повноважень тригонометричних функцій. Тут ми концентруємося на двох сім'ях.

\ begin {align*}\ int\ sin^mx\ cos^nx\, d {x} &&\ текст {і} &&\ int\ tan^mx\ сек^nx\, d {x}\ end {align*}

для$n,m\text{.}$ цілого числа Деталі техніки залежать від парності$n$ і$m$ — тобто парних чи$n$ непарних чисел.$m$

Інтеграція$\int \sin^m x\cos^n x\, d{x}$

Один з$n$ and $m$ is odd

Розглянемо інтеграл$\int \sin^2x \cos x\, d{x}\text{.}$ Ми можемо інтегрувати це шляхом підстановки$u=\sin x$ і$\, d{u}=\cos x \, d{x}\text{.}$ Це дає

\ почати {вирівнювати*}\ int\ sin^2x\ cos x\, d {x} &=\ int u^2\, d {u}\ &=\ розрив {1} {3} u^3+C =\ frac {1} {3}\ sin^3x +C\ кінець {вирівняй*}

Цей метод можна використовувати щоразу, коли$n$ є непарним цілим числом.

Замінник$u=\sin x$ і$\, d{u}=\cos x\, d{x}\text{.}$
Це залишає рівну силу косинусів - перетворюйте їх за допомогою$\cos^2x = 1-\sin^2x = 1-u^2\text{.}$

Ось приклад.

Приклад 1.8.6$\int \sin^2 x\cos^3 x\, d{x}$

Почніть з факторингу від однієї сили$\cos x$ комбінувати з$dx$, щоб отримати$\cos x\, d{x}=\, d{u}\text{.}$

\ почати {вирівнювати*}\ int\ sin^2 x\ cos^3 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ sin^2 x} _ {= u^2}\ піддужка {\ cos^2 x} _ {=1-u^2}\ піддужка {\ cos x\, d {x}} _ {=, d {u}}\ текст {набір $u =\ гріх х $}\\ &=\ int u^2\ (1-u^2)\, d {u}\\ &=\ гідророзриву {u^3} {3} -\ frac {u^5} {5} +C\\ &=\ розрив {\ sin^3x} {3} -\ frac {\ sin^5x} {5} +C\ end {вирівнювати*}

Звичайно, якщо$m$ це непарне ціле число, ми можемо використовувати ту ж стратегію з ролями$\sin x$ і$\cos x$ обмінюватися. Тобто підставляємо$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\, d{x}$ і$\sin^2 x=1-\cos^2x=1-u^2\text{.}$

Обидва$n$ and $m$ are even

Якщо$m$ і обидва$n$ парні, стратегія полягає у використанні ідентичності трига 1.8.4 та 1.8.5, щоб повернутися до$m$$n$ непарного випадку. Це, як правило, більш трудомісткий, ніж попередній випадок, який ми вивчали. Ось кілька прикладів, які виникають досить часто в додатках.

Приклад 1.8.7$\int \cos^2 x\, d{x}$

За 1.8.5

\[ \int \cos^2 x\, d{x} = \frac{1}{2}\int \big[1+\cos(2x)\big]\, d{x} = \frac{1}{2} \Big[x+\frac{1}{2}\sin(2x)\Big] + C \nonumber \]

Приклад 1.8.8$\int \cos^4 x\, d{x}$

Спочатку ми підготуємо integrand$\cos^4x$ для легкої інтеграції, застосувавши 1.8.5 пару разів. Ми вже використовували 1.8.5 один раз, щоб отримати

\ begin {збирати*}\ cos^2 x =\ frac {1} {2}\ великий [1+\ cos (2x)\ великий]\ кінець {збирати*}

Квадрат він дає

\ почати {збирати*}\ cos^4 x =\ гідророзриву {1} {4}\ великий [1+\ cos (2x)\ великий] ^2 =\ гідророзриву {1} {4} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ кінець {збирати*}

Тепер по 1.8.5 вдруге

\ почати {вирівнювати*}\ cos^4 x &=\ гідророзриву {1} {4} +\ гідророзриву {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1}\\ гідророзриву {1}\ cos (4x)} {2}\\ &=\ гідророзриву {3} {8} +\ гідророзриву {1} {2}\ cos (2x) +\ гідророзриву {1} {8}\ cos (4x)\ end {вирівнювати*}

Тепер легко інтегрувати

\ почати {вирівнювати*}\ int\ cos^4 х\, d {x} &=\ гідророзриву {3} {8}\ int дх+\ гідророзриву {1} {2}\ int\ cos (2x)\, d {x} +\ frac {1} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\\ &=\ frac {3} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\ &=\ frac {3} {8} x+\ розрив {1} {4}\ sin (2x) +\ розрив {1} {32}\ sin (4x) + C\ end {align*}

Приклад 1.8.9$\int \cos^2x \sin^2x\, d{x}$

Тут ми застосовуємо і 1.8.4, і 1.8.5.

\[\begin{align*} \int \cos^2x \sin^2x\, d{x} &= \frac{1}{4} \int \big[1+\cos(2x)\big] \big[1-\cos(2x)\big] \, d{x}\\ &= \frac{1}{4} \int \big[ 1-\cos^2(2x) \big] \, d{x}\\ \end{align*}\]

Потім ми можемо застосувати 1.8.5 знову

\ begin {align*} &=\ розрив {1} {4}\ int\ великий [1-\ гідророзриву {1} {2}\ лівий (1+\ cos (4x)\ правий)\ великий]\, d {x}\ &=\ frac {1} {8}\ int\ великий [1 -\ cos (4x)\ великий]\, d {x}\\ &=\ гідророзриву {1} {8} х -\ гідророзриву {1} {32}\ sin (4x) +C\ end {align*}

Of! Ми також могли б зробити це, використовуючи 1.8.2, щоб написати integrand,$\sin^2(2x)$ а потім використовувати 1.8.4, щоб написати його з точки зору$\cos(4x)\text{.}$

Приклад 1.8.10$\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x}$ and $\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x}$

Звичайно, ми можемо обчислити певний інтеграл,$\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x}$ використовуючи антидериватив для$\cos^2 x$ цього, який ми знайшли в прикладі 1.8.7. Але ось складніший спосіб оцінити цей інтеграл, а також інтеграл$\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x}$ в той же час, дуже швидко, не потребуючи антипохідного Прикладу 1.8.7.

Рішення

Зверніть увагу, що$\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x}$ і$\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x}$ рівні, оскільки вони представляють одну і ту ж область - подивіться на графіки нижче - темно затінені області на двох графіках мають однакову площу, а злегка затінені області на двох графіках мають однакову площу.

Отже,
\ почати {вирівнювати*}\ int_0^\ пі\ cos^2 х\, d {x} =\ int_0^\ пі\ sin^2 х\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ bigg [\ int_0^\ pi\ sin^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x}}\ bigg]\\ &=\ розрив {1} {2}\ int_0^\ пі\ великий [\ sin^2 x\ cos^2 х\ великий]\, d {x}\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^\ pi dx\\ &=\ розрив {\ pi} {2}\ кінець {align*}

Інтеграція$\int \tan^m x\sec^n x\, d{x}$

Стратегія боротьби з цими інтегралами аналогічна стратегії, яку ми використовували для оцінки інтегралів виду$\int \sin^m x\cos^n x\, d{x}$ і знову залежить від парності показників$n$ і$m\text{.}$ використовує ².

\ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ tan x &=\ сек^2 х &\ frac {d} {dx}\ сек х &=\ сек х\,\ тан х & 1+\ tan^2x &=\ сек^2 х\ кінець {вирівнювати*}

Ми розділимо методи$\int \tan^m x\sec^n x\, d{x}$ інтеграції на 5 випадків, які ми перерахуємо нижче. Вони стануть набагато зрозумілішими після прикладу (або двох).

Коли$m$ непарний і будь-який$n$ — перепишіть integrand з точки зору$\sin x$ і$\cos x\text{:}$
\ почати {вирівнювати*}\ tan^m x\,\ sec^n x\, d {x} &=\ лівий (\ frac {\ sin x} {\ cos x}\ праворуч) ^м\ ліворуч (\ frac {1} {\ cos x}\ праворуч) ^n\ x}\, d {x}\ &=\ frac {\ sin^ {m-1} x} {\ cos^ {н+м} х}\\ sin x\, d {x}\ end {align*}
а потім замінити$u=\cos x\text{,}$$\, d{u} = -\sin x\, d{x}\text{,}$$\sin^2x = 1-\cos^2x=1-u^2\text{.}$ Див. Приклади 1.8.11 і 1.8.12.
Крім того, якщо$m$ непарно і$n \geq 1$ перемістіть один$\sec x\,\tan x$ коефіцієнт в сторону, щоб ви могли бачити$\sec x\,\tan x\, d{x}$ в інтегралі, і замінити$u=\sec x\text{,}$$\, d{u}=\sec x\,\tan x\,\, d{x}$ і$\tan^2 x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}$ Див приклад 1.8.13.
Якщо$n$ навіть з$n\ge 2\text{,}$ переміщенням один фактор$\sec^2 x$ в сторону, так що ви можете бачити$\sec^2 x\, d{x}$ в інтегралі, і підставити$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\,\, d{x}$ і$\sec^2 x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}$ Див. Приклад 1.8.14.
Коли$m$ рівний і$n=0$ - тобто integrand - це просто рівномірна сила дотичної - ми все ще можемо використовувати$u=\tan x$ підстановку, після використання$\tan^2x = \sec^2 x - 1$ (можливо, більше одного разу) для створення$\sec^2 x\text{.}$ Див. Приклад 1.8.16.
Це залишає випадок$n$ непарним і$m$ непарним. Існують такі стратегії, як вищезазначені для лікування цього випадку. Але вони складніші, а також включають більше трюків (які в основному потрібно запам'ятати). Приклади їх використання наведені в необов'язковому розділі під назвою «Інтеграція$\sec x\text{,}$$\csc x\text{,}$$\sec^3 x$ і$\csc^3 x$», нижче. Більш пряма стратегія використовує іншу техніку під назвою «часткові дроби». Ми повернемося до цієї стратегії після того, як дізнаємося про часткові дроби. Див. Приклади 1.10.5 та 1.10.6 у розділі 1.10.

$m$ is odd — odd power of tangent

У цьому випадку ми переписуємо integrand через синус і косинус, а потім підставляємо$u=\cos x, \, d{u}=-\sin x \, d{x}\text{.}$

Приклад 1.8.11$\int \tan x\, d{x}$

Рішення

Напишіть цілісний$\tan x=\frac{1}{\cos x}\sin x\text{.}$
Тепер замінюємо так$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\,\, d{x}$ само, як ми робили в лікуванні integrands форми$\sin^mx\,\cos^nx$ з$m$ непарними.
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan x\,\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ qquad\ qquad\ текст {замінник $u=\ cos x$}\ &=\ int\ frac {1} {u}\ cdot (-1)\, d {u}\ cdot (-1)\ d {u}\ &=-\ Журнал|U|+C\\ &=-\ log\ left |\ cos x\ право|+C\ qquad\ qquad\ text {також може писати в терміні секанс}\\ &=\ log\ left|\ cos x\ right|^ {-1} +C =\ журнал\ вліво|\ сек х\ вправо|+C\ end {вирівнювати*}

Приклад 1.8.12$\int \tan^3 x\, d{x}$

Рішення

Напишіть цілісний$\tan^3 x=\frac{\sin^2x}{\cos^3 x}\sin x\text{.}$
Знову$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\,\, d{x}\text{.}$ підставляємо. Переписуємо залишилися рівні повноваження$\sin x$ використання$\sin^2x=1-\cos^2x=1-u^2\text{.}$
Звідси
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^3 x\,\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin^2x} {\ cos^3x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ текст {замінник $u=\ cos x $}\\ &=\ int\ frac {1-u^2} {u^3} (-1), d {u}\\ &=\ розрив {u^ {-2}} {2} +\ log|U|+C\\ &=\ гідророзриву {1} {2\ cos^2 x} +\ лог\ ліворуч |\ cos x\ право|+C\ qquad\ текст {переписати з точки зору секанту}\\ &=\ frac { 1} {2}\ сек^2 х -\ журнал\ ліворуч |\ сек х\ право|+C\ end {align*}

$m$ is odd and $n\geq 1$ — odd power of tangent and at least one secant

Тут ми збираємо коефіцієнт,$\tan x \sec x$ а потім$u = \sec x$$\, d{u} = \sec x \tan x \, d{x}\text{.}$ підставляємо, а потім можемо переписати будь-які залишилися навіть повноваження з$tan x$ точки зору$\sec x$ використання.$\tan^2x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}$

Приклад 1.8.13$\int \tan^3 x\sec^4 x\, d{x}$

Рішення

Почніть з факторингу однієї копії$\sec x\tan x$ та об'єднайте її з,$dx$ щоб сформувати$\sec x\tan x\, d{x}\text{,}$, яка буде$\, d{u}\text{.}$
Тепер підставляємо$u=\sec x\text{,}$$\, d{u}=\sec x\tan x\, d{x}$ і$\tan^2x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}$
Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ tan^3x\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ tan^2 x} _ {u^2-1}\\ піддужка {\ sec^3 x} _ {u^3}\\ піддужка {\ сек x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {, d {u}}\ &=\ int\ великий [u^2-1] u^3\, d {u}\\ &=\ розрив {u^6} {6} -\ розрив {u^4} {4} +C\\ &=\ frac {1} {6}\ сек^6 х-\ розрив {1} {4}\ сек ^ 4 x + C\ кінець {вирівня*}

$n\geq 2$ is even — a positive even power of secant

У попередньому випадку ми підставили,$u = \sec x\text{,}$ тоді як в цьому випадку ми підставляємо$u=\tan x\text{.}$ Коли ми робимо це, ми пишемо,$\, d{u}=\sec^2 x \, d{x}$ а потім переписуємо будь-які залишилися парні повноваження$\sec x$ як повноваження$\tan x$ використання.$\sec^2x = 1+\tan^2x=1+u^2\text{.}$

Приклад 1.8.14$\int \sec^4 x\, d{x}$

Рішення

Фактор від однієї копії$\sec^2 x$ і об'єднати його з,$dx$ щоб сформувати$\sec^2 x\, d{x}\text{,}$, який буде$\, d{u}\text{.}$
Потім підставити$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\, d{x}$ і переписати будь-які залишилися навіть повноваження$\sec x$ як повноваження$\tan x=u$ використання$\sec^2x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}$
Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ сек^2 x} _ {1+u^2}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ великий [1+u^2]\, d {u}\\ &= u+\ розрив {u^3} {3} +C\\ &=\ tan x+\ розрив {1} {3}\ tan^3 x + C\ end {align*}

Приклад 1.8.15$\int \tan^3 x\sec^4x \, d{x}$ — redux

Рішення

Давайте повернемося до цього прикладу, використовуючи цей дещо інший підхід.

Фактор від однієї копії$\sec^2 x$ і об'єднати його з,$dx$ щоб сформувати$\sec^2 x\, d{x}\text{,}$, який буде$\, d{u}\text{.}$
Потім підставити$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\, d{x}$ і переписати будь-які залишилися навіть повноваження$\sec x$ як повноваження$\tan x=u$ використання$\sec^2x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}$
Це дає
\ begin {вирівнювати*}\ int\ tan^3x\ сек^4 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ tan^3x} _ {u^3}\ піддужка {\ сек^2 x} _ {1+u^2}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {\, d {, d {u}}\ =\ int\ великий [u^3+u^5]\, d {u}\\ &=\ розрив {u^4} {4} +\ гідророзриву {u^6} {6} + C\\ &=\ frac {1} {4}\ tan^4 x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ кінець {4} x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ кінець {align*}
Це не зовсім те саме, що відповідь, яку ми отримали вище в прикладі 1.8.13. Однак ми можемо показати, що вони (майже) еквівалентні. Для цього підставляємо$v=\sec x$ і$\tan^2x=\sec^2x-1 = v^2-1\text{:}$
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {1} {6}\ tan^6x +\ розрив {1} {4}\ tan^4x &=\ розриву {1} {6} (v^2-1) ^3 +\ frac {1} {4} (v^2-1) ^2\ &=\ розрив {1} {6} (v^6-3v^4+3v^2-1) +\ розрив {1} {4} (v^4-2v^2+1)\\ &=\ гідророзриву {v^6} {6} -\ гідророзриву {v^4} {2} +\ розрив {v^2} {2} -\ розрив {1} {6} +\ гідророзрив {v^4} {4} -\ frac {v^4} 2} {2} +\ гідророзриву {1} {4}\\ &=\ гідророзриву {v^6} {6} -\ гідророзриву {v^4} {4} + 0\ cdot v^2 +\ ліворуч (\ гідророзриву {1} {4} -\ гідророзриву {1} {6}\ праворуч)\\ &=\ розриву {1} {6}\ сек^6x -\ frac {1} {1} {4}\ сек^4x +\ frac {1} {12}. \ end {вирівнювати*}
Так що при цьому$\frac{1}{6}\tan^6x + \frac{1}{4}\tan^4x \neq \frac{1}{6}\sec^6x - \frac{1}{4}\sec^4x\text{,}$ вони відрізняються лише постійною. Отже, обидва є дійсними антипохідними$\tan^3 x\sec^4x\text{.}$

$m$ is even and $n=0$ — even powers of tangent

Ми інтегруємо це,$u=\tan x\text{.}$ встановивши Щоб це працювало, нам потрібно перетягнути один фактор$\sec^2x$ в одну сторону, щоб сформувати$\, d{u}=\sec^2x\, d{x}\text{.}$ Щоб знайти цей фактор$\sec^2x$ ми (можливо, неодноразово) застосовуємо ідентичність$\tan^2x=\sec^2x-1\text{.}$

Приклад 1.8.16$\int \tan^4 x\, d{x}$

Рішення

Немає$\sec^2x$ терміна присутній, тому ми намагаємося створити його$\tan^4x$ за допомогою$\tan^2x = \sec^2 x - 1\text{.}$
\ почати {вирівнювати*}\ tan^4 х &=\ tan^2 х\ cdot\ tan ^ 2 х\\ &=\ tan^2 х\ великий [\ сек ^ 2 х - 1\ великий]\\ &=\ tan^2x\ сек^2 х-\ піддужка {\ tan^2 x} _ {\ сек ^ 2x-1}\\ & =\ tan^2x\ сек ^ 2 х-\ сек^2 х + 1\ кінець {вирівнювати*}
Тепер ми можемо підставити$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\, d{x}\text{.}$
\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^4 х\, d {x} & =\ int\ піддужка {\ tan^2x} _ {u^2}\\ піддужка {\ sec^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}} -\ int\ underbrace {\ sec^2 x\, d {x}} _ {, d {, d {u}}} +\ int\, d {x}\ &=\ int u^2\, d {u} -\ int\, d {u} +\ int\, d {x}\\ &=\ розрив {u^3} {3} -U+x+C\\ &=\ розрив {\ tan^3x} {3} -\ загар х +х +C\\ &=\ розрив {\ tan^3x} {3} -\ tan x +C\ кінець {*}

Приклад 1.8.17$\int \tan^8x \, d{x}$

Рішення

Спробуємо той же підхід.

Спочатку витягніть коефіцієнт$\tan^2x$ для створення$\sec^2x$ фактора:\[\begin{align*} \tan^8x &= \tan^6x \cdot \tan^2x\\ &= \tan^6x \cdot \big[ \sec^2x - 1\big]\\ &= \tan^6x \sec^2x - \tan^6x\\ \end{align*}\]
Перший термін тепер готовий до інтеграції, але нам потрібно повторно застосувати метод до другого терміну:
\ почати {вирівнювати*} &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ cdot\ великий [\ сек ^ 2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ tan^4x\ qquad\ текст {зробити це знову}\\ =\ tan^6x\ sec^2x x -\ tan^4x\ сек ^ 2x +\ tan^2x\ cdot\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек^2x +\ tan^2x\ сек^2x -\ tan^2x -\ tan^2x\ qquad\ текст {і знову}\\ &=\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек ^ 2x +\ tan^2x\ sec^2x -\ великий [\ сек^2x-1\ великий]\ кінець {align*}
Звідси
\ почати {вирівнювати*} &\ int\ tan^8x\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ ліворуч [\ tan^6x\ сек^2x -\ tan^4x\ сек^2x +\ tan^2x -\ сек^2x +1\ праворуч]\, d {x}\\\ &\ hskip0.25in =\ int\ ліворуч [\ tan^6x -\ tan^4x +\ tan^2x - 1\ праворуч]\ сек^2x\, d {x} +\ int\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ ліворуч [u^6 - u^4+u^2 - 1\ праворуч]\, d {u} + х +С\\ &\ hskip0.25in=\ гідророзриву {u^7} {7} -\ розрив {u^5} {5} +\ гідророзриву {u^3} {3} {3} - u + х +C\\ &\ hskip0.25in=\ гідророзриву {1} {7}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ тан^7x 5x +\ гідророзриву {1} {3}\ tan^3x -\ тан х + х +С\ кінець {вирівнювати*}

Дійсно, цей приклад говорить про те, що для цілого$k\geq 0\text{:}$

\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^ {2k} х\, d {x} &=\ розрив {1} {2к-1}\ tan^ {2k-1} (x) -\ розрив {1} {2k-3}\ tan^ {2k-3} х +\ cdots\\ &\ hskip1.0in - (-1) ^k\ tan x + (-1) ^k х +C\ end {вирівнювати*}

Цей останній приклад також показує, як ми можемо інтегрувати непарну силу тангенса:

Приклад 1.8.18$\int \tan^7 x$

Рішення

Виконуємо ті ж дії

Витягніть коефіцієнт,$\tan^2x$ щоб створити фактор$\sec^2x\text{:}$
\ почати {вирівнювати*}\ tan^7x &=\ tan^5x\ cdot\ tan^2x\\ &=\ tan^5x\ cdot\ великий [\ сек ^ 2x - 1\ big]\\ &=\ tan^5x\ sec^2x -\ tan^5x\ qquad\ текст {зробити це знову}\\ =\ tan^5x\ сек ^ 2x x -\ tan^3x\ cdot\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^5x\ сек ^ 2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ tan^3x\ qquad\ текст {і знову}\\ &=\ tan^5 х\ сек^2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ тан х\ великий [\ сек^2x - 1\ великий]\\ &=\ tan^5x\ сек^2x -\ tan^3x\ сек^2x +\ tan x\ sec^2x -\ загар х\ кінець {align*}
Тепер ми можемо підставити,$u=\tan x$$\, d{u}=\sec^2x \, d{x}$ а також використовувати результат з Прикладу 1.8.11, щоб подбати про останній термін:\[\begin{align*} \int \tan^7x\, d{x} &= \int \big[\tan^5x \sec^2x - \tan^3x \sec^2x + \tan x \sec^2x\big] \, d{x}\\ &\hskip2in- \int \tan x \, d{x}\\ \end{align*}\]
Тепер враховуйте загальний$\sec^2x$ термін та інтегруйте$\tan x$ через приклад 1.8.11
\ почати {вирівнювати*} &=\ int\ великий [\ tan^5x -\ tan^3x +\ загар х\ великий]\ сек х\, d {x} -\ log|\ сек х | +C\\ &=\ int\ великий [u^5 - u^3 + u\ big]\, d {u} -\ log|\ сек\ x | +C\\ &=\ frac {u^6} {6} -\ розрив {u^4} {4} +\ гідророзриву {u^2} {2} -\ log|\ сек x | +C\\ &=\ гідророзриву {1} {6}\ tan^6x -\ frac {1} {4}\ tan^4x +\ розрив {1} {2}\ tan^2x -\ журнал|\ сек х | + C\ end {вирівнювати*}

Цей приклад говорить про те, що для цілого числа$k\geq 0\text{:}$

\ почати {вирівнювати*}\ int\ tan^ {2k+1} х\, d {x} &=\ розрив {1} {2k}\ tan^ {2k} (x) -\ розрив {1} {2k-2}\ tan^ {2k-2} х +\ cdots\\ &\ hskip0.25in - (-1) ^k\ frac {1} {2}}\ tan^2 x + (-1) ^k\ log|\ сек х | +C\ end {вирівнювати*}

Звичайно, ми не розглядали інтеграли, що включають повноваження$\cot x$ і$\csc x\text{.}$ Але вони можуть розглядатися приблизно так само, як$\tan x$ і$\sec x$ були.

Додатково - Інтеграція$\sec x\text{,}$$\csc x\text{,}$$\sec^3 x$ та$\csc^3 x$

Як зазначалося вище, коли$n$$m$ непарне і парне, можна використовувати аналогічні стратегії, що і в попередніх випадках. Однак обчислення часто більш залучені, і потрібно розгорнути більше хитрощів. З цієї причини ми робимо цей розділ необов'язковим — обчислення, безумовно, нетривіальні. Замість того, щоб намагатися побудувати когерентний «метод» для цього випадку, ми наводимо кілька прикладів, щоб дати уявлення про те, чого очікувати.

Приклад 1.8.19$\int \sec x\, d{x}$ — by trickery

Рішення

Існує дуже підлий трюк, щоб обчислити цей інтеграл.

Стандартна хитрість для цього інтеграла полягає в тому, щоб помножити integrand на$1=\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}$
\ begin {вирівнювати*}\ сек х &=\ сек х\\ розрив {\ сек x+\ tan x} {\ сек x+\ tan x} =\ розрив {\ сек^2x +\ сек х\ тан х} {\ сек x+\ tan x}\ кінець {align*}
Зверніть увагу тепер, що чисельник цього виразу є саме похідною його знаменника. Отже, ми можемо замінити$u=\sec x+\tan x$ і$\, d{u} = (\sec x\tan x+\sec^2 x)\,\, d{x}\text{.}$
Звідси
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ сек х\\ сек х\\ розрив {\ сек x+\ tan x} {\ сек x+\ tan x}\, d {x} =\ int\ frac {\ сек x\ tan x} {\ сек x+\ tan x}\, d {x}\\ &=\ int гідророзрив {1} {u}\, d {u}\\ &=\ журнал |U|+C\\ &=\ log|\ сек x+\ tan x|+c\ end {вирівнювати*}
Вищевказаний трюк виглядає як абсолютно нездогадним, так і дуже важко запам'ятати. На щастя, є простий спосіб ³ відновити трюк. Ось воно.
- Мета полягає в тому, щоб вгадати функцію, похідна якої дорівнює$\sec x\text{.}$
- Так що дістаньте таблицю похідних і шукайте функції, похідні яких хоча б містять$\sec x\text{.}$ Є дві:
  \ begin {вирівнювати*}\ розрив {d} {dx}\ tan x &=\ сек^2 х\\\ розриву {d} {dx}\ сек х &=\ тан х\,\ сек х\ кінець {align*}
- Зверніть увагу, що якщо ми додамо їх разом, ми отримаємо
  \ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ великий (\ сек х+\ тан х\ великий) &= (\ сек х+\ тан х)\ сек х &\ має на увазі\\\ frac {\ frac {d} {dx}\ великий (\ сек x+\ tan x\ великий)} {\ сек x+\ tan x} &=\ сек х\ кінець {align*}
- Ми зробили це! Права сторона є,$\sec x$ а ліва сторона - похідна від$\log|\sec x+\tan x|\text{.}$

Існує ще один метод інтеграції$\int \sec x\, d{x}\text{,}$, який є більш виснажливим, але більш прямим. Зокрема, він не передбачає запам'ятованого трюку. Ми спочатку використовуємо підстановку$u=\sin x\text{,}$$\, d{u}=\cos x\,\, d{x}\text{,}$ разом з$\cos^2 x = 1-\sin^2x=1-u^2\text{.}$ This перетворює інтеграл в

\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\, d {x} =\ int\ frac {\ cos x\\, d {x}} {\ cos^2 x}\\ &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ big|_ {u=\ sin x}\ end {вирівнювати*}

Ціле число$\frac{1}{1-u^2}$ - це раціональна функція, тобто відношення двох многочленів. Існує процедура, яка називається методом часткових дробів, яка може бути використана для інтеграції будь-якої раціональної функції. Про це ми дізнаємося в розділі 1.10 «Часткові дроби». Детальна оцінка$\int \sec x\,\, d{x}=\int\frac{\, d{u}}{1-u^2}$ інтеграла методом часткових дробів представлена в прикладі 1.10.5 нижче.

Крім того, існує стандартний трюк для оцінки$\int\frac{\, d{u}}{1-u^2}$, який дозволяє нам уникнути проходження всього алгоритму часткових дробів.

Приклад 1.8.20$\int \sec x\, d{x}$ — by more trickery

Рішення

Ми вже бачили, що

\ begin {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg|_ {u=\ sin x}\ end {align*}

Хитрість використовує спостереження, які

$\frac{1}{1-u^2}=\frac{1+u-u}{1-u^2}=\frac{1}{1-u}-\frac{u}{1-u^2}$
$\frac{1}{1-u}$має антидериватив$-\log(1-u)$ (для$u\lt 1$)
Похідна від$\dfrac{d}{du}(1-u^2)=-2u$ знаменника$\frac{u}{1-u^2}$ однакова, аж до множника,$-2\text{,}$ як чисельник з$\frac{u}{1-u^2}\text{.}$ Таким чином, ми можемо легко оцінити інтеграл,$\frac{u}{1-u^2}$ підставивши$v=1-u^2\text{,}$$\, d{v}=-2u\,\, d{u}\text{.}$
\ begin {збирати*}\ int\ frac {u\,\, d {u}} {1-u^2} =\ int\ гідророзриву {\, d {v}} {-2}} {v}\ bigg|_ {v=1-u^2} =-\ frac {1} {2}\ журнал (1-u^2) +C\ кінець {gather*}

Поєднання цих спостережень дає

\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек х\, d {x} &=\ bigg [\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg] _ {u=\ sin x} =\ bigg [\ int\ frac {1} {1-u}\, d {u} -\ int\ frac {u} {1-u}\ d {u}\ bigg] _ {u =\ sin x}\\ &=\ Великий [-\ лог (1-u) +\ гідророзриву {1} {2}\ лог (1-u^2) +C\ Big] _ {u=\ sin x}\\ &=-\ журнал (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1-\ sin ^2) х) +C\\ &=-\ журнал (1-\ sin x) +\ гідророзрив {1} {2}\ журнал (1-\ sin x) +\ гідророзриву {1} {2}\ журнал (1+\ sin x) +C\\ &=\ гідророзриву {1} {2}\ журнал\ розрив {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ кінець {align*}

Приклад 1.8.20 дав відповідь

\ begin {збирати*}\ int\ сек х\, d {x} =\ frac {1} {2}\ лог\ гідророзриву {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ end {gather*}

який, здається, відрізняється від відповіді в прикладі 1.8.19. Але вони дійсно однакові, оскільки

\ begin {align*} &\ розрив {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {1-\ sin^2 x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x}\\ має на увазі\ &\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ гідророзриву {1} {2}\ лог\ розрив {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x} =\ журнал\ Big|\ frac {\ sin x+1} {\ cos x}\ Big| =\ log|\ загар x+\ сек x |\ кінець {align*}

Of!

Приклад 1.8.21$\int \csc x\, d{x}$ — by the $u=\tan\frac{x}{2}$ substitution

Рішення

Інтеграл також$\int \csc x\, d{x}$ може бути оцінений обома вищезазначеними методами. Тобто або

множивши integrand на розумно обраний,$1=\frac{\cot x-\csc x}{\cot x-\csc x}$ а потім підставляючи$u=\cot x -\csc x\text{,}$$\, d{u} = (-\csc^2 x+\csc x \cot x)\,\, d{x}\text{,}$ або
шляхом підстановки$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\,\, d{x}$ дати,$\int \csc x\, d{x}=-\int\frac{\, d{u}}{1-u^2}$ а потім за допомогою методу часткових дробів.

Ці два методи дають відповіді.

\ почати {зібрати}\ int\ csc x\, d {x} =\ log|\ cos x-\ csc x|+C =-\ гідророзриву {1} {2}\ журнал\ розрив {1+\ cos x} {1-\ cos x} +C\ етикетка {eq_intcScint}\ тег {$\star$}\ кінець {зібрати}

У цьому прикладі ми$\int\csc x\, d{x}$ оцінимо ще третій метод, який може бути використаний для інтеграції раціональних$\sin x$ and $\cos x$ is a ratio with both the numerator and denominator being finite sums of terms of the form $a\sin^m x\cos^n x\text{,}$ where $a$ is a constant and $m$ and $n$ are positive integers. функцій ⁴ Раціональна функція$\sin x$ і$\cos x\text{.}$

У цьому способі використовується заміна
\ begin {align*} x & = 2\ arctan u &\ text {тобто} u &=\ tan\ frac {x} {2} &\ текст {і}\, d {x} &=\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\ end {align*}
— півкутова заміна.
Для вираження$\sin x$ і з$\cos x$ точки зору$u\text{,}$ ми спочатку використовуємо подвійний кут триг тотожності (Рівняння 1.8.2 і 1.8.3 з$x \mapsto \frac{x}{2}$) для вираження$\sin x$ і$\cos x$ в терміні$\sin\frac{x}{2}$ і$\cos\frac{x}{2}\text{:}$
\ begin {align*}\ sin x &= 2\ sin\ гідророзриву {x} {2}\ cos\ frac {x} {2}\\ cos x &=\ cos^2\ розриву {x} {2} -\ sin^2\ frac {x} {2}\ end {align*}
Потім використовуємо трикутник

висловити$\sin\frac{x}{2}$ і з$\cos\frac{x}{2}$ точки зору$u\text{.}$ Нижня і права сторони трикутника були обрані так, що$\tan\frac{x}{2}=u\text{.}$ Це говорить нам, що

\ почати {вирівнювати*}\ sin\ розрив {x} {2} &=\ гідророзриву {u} {\ sqrt {1+u^2}} &\ cos\ гідророзриву {x} {2} &=\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}}\ end {align*}
Це в свою чергу означає, що:
\ begin {align*}\ sin x & = 2\ sin\ розрив {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =2\ гідророзриву {u} {\ sqrt {1+u^2}}\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}} =\ розрив {2u} {1+u^2}\ cos x&=\ cos^2\ гідророзриву {x} {2} -\ sin^2\ гідророзриву {x} {2} =\ гідророзриву {1} {1+u^2} -\ розрив {u^2} {1+u^2} =\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ кінець {вирівнювати*}
Of!
Давайте скористаємося цією заміною для оцінки$\int \csc x\,\, d{x}\text{.}$
\ почати {вирівнювати*}\ int\ csc x\, d {x} &=\ int\ розриву {1} {\ sin x}\, d {x} =\ int\ frac {1+u^2} {2u}\\ розрив {2} {1+u^2}\, d {u} =\ int\ frac {1} {u}, d {u}\\ &=\ Журнал|U|+C =\ журнал\ Big|\ tan\ гідророзриву {x} {2}\ Big|+C\ end {align*}
Щоб побачити, що ця відповідь дійсно така ж, як і в ($\star$), зауважте, що
\ почати {збирати*}\ ліжечко х-\ csc x =\ frac {\ cos x-1} {\ sin x} =\ frac {-2\ sin^2 (x/2)} {2\ sin (x/2)\ cos (x/2)} =-\ tan\ frac {x} {2}\ кінець {збирати*}

Приклад 1.8.22$\int \sec^3 x\, d{x}$ — by trickery

Рішення

Стандартний трюк, який використовується для оцінки$\int \sec^3 x\, d{x}$, - це інтеграція частинами.

Встановити$u=\sec x\text{,}$$\, d{v}=\sec^2 x\, d{x}\text{.}$ Звідси$\, d{u}=\sec x\tan x\, d{x}\text{,}$$v=\tan x$ і
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек^3 x\, d {x} &=\ int\ піддужка {\ сек x} _ {u}\\ піддужка {\ сек^2 x\, d {x}} _ {dv}\ &=\ піддужка {\ сек x} _ {u}\\ піддужка {\ tan x} _ {\ tan x} _ {v} -\ int піддужка {\ tan x} _ {v}\\ underbrace {\ сек x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {u}}\ end {align*}
Так як у$\tan^2 x+1=\sec^2 x\text{,}$ нас є$\tan^2 x=\sec^2 x-1$ і
\ почати {вирівнювати*}\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ сек х\\ тан х -\ int [\ сек ^ 3 х-\ сек х]\, d {x}\ &=\ сек х\\ tan x +\ log|\ сек x+\ tan x|+C -\ int\ сек ^ 3 х\, d {x}\ кінець {align*}
де ми використовували$\int \sec x\, d{x} = \log|\sec x+\tan x|+C\text{,}$ які ми бачили в прикладі 1.8.19.
Тепер$\int \sec^3 x\, d{x}$ переміщаємо з правого боку в ліву сторону
\ begin {вирівнювати*} 2\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ сек х\ tan x +\ log|\ сек х+\ тан х |+C &\ текст {і так}\\ int\ сек^3 х\, d {x} &=\ розрив {1} {2}\ сек х\ tan x +\ frac {1} {2}\ log|\ сек x+\ tan x|+C\ end {вирівнювати*}
для нової довільної константи$C$ (яка становить лише половину старої).

Інтеграл також$\int \sec^3\, d{x}$ може бути оцінений двома іншими методами.

Замінник$u=\sin x\text{,}$$\, d{u}=\cos x\, d{x}$ для$\int\sec^3 x\, d{x}$ перетворення в$\int\frac{\, d{u}}{{[1-u^2]}^2}$ і оцінку останнього за допомогою методу часткових дробів. Це зроблено в прикладі 1.10.6 в розділі 1.10.
Скористайтеся$u=\tan\frac{x}{2}$ заміною. Ми використовуємо цей метод для оцінки$\int\csc^3 x\, d{x}$ в прикладі 1.8.23, нижче.

Приклад 1.8.23$\int \csc^3 x\, d{x}$ – by the $u=\tan\frac{x}{2}$ substitution

Рішення

Скористаємося підстановкою половинного кута, яку ми ввели в прикладі 1.8.21.

У цьому способі ми встановлюємо
\ почати {вирівнювати*} u&=\ тан\ розрив {x} {2}\ квад\, d {x} =\ розрив {2} {1+u^2}\, d {u}\ квад\ sin x =\ frac {2u} {1+u^2}\ квад\ cos x =\ розрив {1-u^2} {1+u^2}\ кінець *}
Інтеграл тоді стає
\ почати {вирівнювати*}\ int\ csc^3 х\, d {x} &=\ int\ розриву {1} {\ sin^3 x}\, d {x}\\ &=\ int {\ Великий (\ frac {1+u^2} {2u}\ Великий)} ^3\\ розрив {2} {1+u^2}, d {u}\ &=\ гідророзриву {1} {4}\ int\ розрив {1+2u^2+u^4} {u^3}\, d {u}\\ &=\ розрив {1} {4}\ Великий\ {\ frac {u^ {-2}} {-2} +2}\ log|u|+\ frac {u^2} {2}\ Великий\} +C\ &=\ гідророзриву {1} {8}\ Великий\ {-\ cot^2\ гідророзриву {x} {2} +4 \ log\ Big|\ tan\ гідророзриву {x} {2}\ Big| +\ tan^2\ гідророзриву {x} {2}\ Big\} +C\ end {align*}
Of!
Це цілком прийнятна відповідь. Але якщо вам не подобається, вони можуть бути усунені за допомогою$\frac{x}{2}$
\ begin {align*}\ tan^2\ гідророзриву {x} {2} -\ cot^2\ гідророзриву {x} {2} &=\ гідророзриву {\ sin^2\ гідророзриву {x} {2}} {\ cos^2}} -\ frac {\ cos^2\ frac {x} {2}} {sin^2\ frac {2} c {x} {2}}\\ &=\ гідророзриву {\ sin^4\ гідророзриву {x} {2} -\ cos^4\ гідророзриву {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x} {2}}\\ &=\ гідророзриву {\ big (\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ гідророзриву {x} {2}\ великий)\ великий (\ sin^2\ frac {x} { 2} +\ cos^2\ розрив {x} {2}\ великий)} {\ sin^2\ розрив {x} {2}\ cos^2\ гідророзриву {x} {2}}\\ &=\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ розрив {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x}} {2}\ cos^2\ розрив {x} {2}}\ qquad\ текст {оскільки $\ sin^2\ frac {x} {2} +\ cos^2\ frac {x} {2} =1$}\ &=\ frac {-\ cos x} {\ frac {1} {4}\ sin^2x}\ qquad\ qquad\ qquad\\ текст {по} {\ текст {1.8.2}}\ текст {і} {\ текст {1.8.3}}\ end {вирівнювати*}
і
\ begin {align*}\ tan\ гідророзриву {x} {2} &=\ гідророзриву {\ sin\ гідророзриву {x} {2}} {\ cos\ гідророзриву {x} {2}} =\ гідророзриву {x} {2}} {\ sin\ гідророзриву {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =\ frac {\ frac {1} {2} [1-\ cos x]} {\ frac {1} {2}\ sin x}\ qquad\ qquad\ qquad\ text {by}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityB.html} {\ текст {1.8.2}}\ текст {і}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityC.html} {\ текст {1.8.3}}\ end {align*}
Тож ми також можемо написати
\ почати {збирати*}\ int\ csc^3 x\, d {x} =-\ гідророзриву {1} {2}\ ліжечко х\ csc x +\ frac {1} {2}\ log|\ csc x-\ cot x|+c\ end {gather*}

Цей останній необов'язковий розділ був трохи страшним - давайте повернемося до чогось трохи простішого.

Вправи

Нагадаємо, що ми використовуємо$\log x$ для позначення логарифма$x$ з основою.$e\text{.}$ В інших курсах його часто позначають$\ln x\text{.}$

Етап 1

1

Припустимо, ви хочете оцінити$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x \, d{x}$ за допомогою підміни$u=\cos x\text{.}$ Що з наступного повинно бути вірним, щоб ваша заміна працювала?

$n$повинно бути рівним
$n$повинен бути непарним
$n$має бути цілим числом
$n$повинен бути позитивним
$n$може бути будь-яким дійсним числом

2

Оцінити$\displaystyle\int \sec^n x \tan x \, d{x}\text{,}$ де$n$ строго натуральне число.

3

Виведіть особистість$\tan^2 x +1 = \sec^2 x$ з легшої для запам'ятовування ідентичності$\sin^2x+\cos^2 x =1\text{.}$

Етап 2

Питання з 4 по 10 стосуються повноважень синусів і косинусів. Перегляньте розділ 1.8.1 в примітках до стратегій інтеграції.

Питання з 12 по 21 стосуються повноважень тангенсів і секантів. Перегляньте розділ 1.8.2 в примітках до стратегій.

4 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int\cos^3x\,\, d{x}\text{.}$

5 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int_0^\pi\cos^2x\,\, d{x}\text{.}$

6 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int\sin^{36}t\,\cos^3t\,\, d{t}\text{.}$

7

Оцінити$\displaystyle\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos ^4 x} \, d{x}\text{.}$

8

Оцінити$\displaystyle\int_0^{\pi/3} \sin^{4}x \, d{x}\text{.}$

9

Оцінити$\displaystyle\int \sin^{5}x \, d{x}\text{.}$

10

Оцінити$\displaystyle\int \sin^{1.2}x\cos x \, d{x}\text{.}$

11

Оцінити$\displaystyle\int \tan x \sec^2 x \, d{x}\text{.}$

12 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int \tan^3 x \sec^5x \,\, d{x}\text{.}$

13 (✳)

Оцінити$\displaystyle\int\sec^4x\,\tan^{46}x\,\, d{x}\text{.}$

14

Оцінити$\displaystyle\int \tan^3 x \sec^{1.5} x \, d{x}\text{.}$

15

Оцінити$\displaystyle\int \tan^3x\sec^2x \, d{x}\text{.}$

16

Оцінити$\displaystyle\int \tan^4 x \sec^2 x \, d{x}\text{.}$

17

Оцінити$\displaystyle\int \tan^3 x \sec^{-0.7}x \, d{x}\text{.}$

18

Оцінити$\displaystyle\int \tan^5 x \, d{x}\text{.}$

19

Оцінити$\displaystyle\int_0^{\pi/6} \tan^6 x \, d{x}\text{.}$

20

Оцінити$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan^8 x \sec^4 x \, d{x}\text{.}$

21

Оцінити$\displaystyle\int \tan x \sqrt{\sec x} \, d{x}\text{.}$

22

Оцінити$\displaystyle\int \sec^{8}\theta \tan^{e}\theta \, d{\theta}\text{.}$

Етап 3

23 (✳)

Формула зменшення.

$n$Дозволяти натуральне число з$n\ge 2\text{.}$ Вивести формулу скорочення
\[ \int\tan^n(x)\,\, d{x}=\frac{\tan^{n-1}(x)}{n-1} -\int\tan^{n-2}(x)\,\, d{x}. \nonumber \]
Розрахувати$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan^6(x)\,\, d{x}\text{.}$

24

Оцінити$\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x \, d{x}\text{.}$

25

Оцінити$\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 \theta}\, d{\theta}\text{.}$

26

Оцінити$\displaystyle\int \cot x\, d{x}\text{.}$

27

Оцінити$\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) \, d{x}\text{.}$

28

Оцінити$\displaystyle\int \sin(\cos x)\sin^3 x \, d{x}\text{.}$

29

Оцінити$\displaystyle\int x\sin x \cos x \, d{x}\text{.}$

Більш педантичний читач міг побудувати їх нескінченний список.
Вам потрібно буде запам'ятати похідні дотичної і січної. Однак не потрібно запам'ятовувати$1+\tan^2x = \sec^2 x\text{.}$ Щоб вивести його дуже швидко, просто розділіть$\sin^2 x+\cos^2 x = 1$ на$\cos^2 x\text{.}$
Ми дякуємо Сербану Раяну за те, що він довів це до нашої уваги.

Рівняння 1.8.1

Рівняння 1.8.2

Рівняння 1.8.3

Рівняння 1.8.4

Рівняння 1.8.5

Інтеграція\(\int \sin^m x\cos^n x\, d{x}\)

Один з\(n\) and \(m\) is odd

Приклад 1.8.6\(\int \sin^2 x\cos^3 x\, d{x}\)

Обидва\(n\) and \(m\) are even

Приклад 1.8.7\(\int \cos^2 x\, d{x}\)

Приклад 1.8.8\(\int \cos^4 x\, d{x}\)

Приклад 1.8.9\(\int \cos^2x \sin^2x\, d{x}\)

Приклад 1.8.10\(\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x}\) and \(\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x}\)

Інтеграція\(\int \tan^m x\sec^n x\, d{x}\)

\(m\) is odd — odd power of tangent

Приклад 1.8.11\(\int \tan x\, d{x}\)

Приклад 1.8.12\(\int \tan^3 x\, d{x}\)

\(m\) is odd and \(n\geq 1\) — odd power of tangent and at least one secant

Приклад 1.8.13\(\int \tan^3 x\sec^4 x\, d{x}\)

\(n\geq 2\) is even — a positive even power of secant

Приклад 1.8.14\(\int \sec^4 x\, d{x}\)

Приклад 1.8.15\(\int \tan^3 x\sec^4x \, d{x}\) — redux

\(m\) is even and \(n=0\) — even powers of tangent

Приклад 1.8.16\(\int \tan^4 x\, d{x}\)

Приклад 1.8.17\(\int \tan^8x \, d{x}\)

Приклад 1.8.18\(\int \tan^7 x\)

Додатково - Інтеграція\(\sec x\text{,}\)\(\csc x\text{,}\)\(\sec^3 x\) та\(\csc^3 x\)

Приклад 1.8.19\(\int \sec x\, d{x}\) — by trickery

Приклад 1.8.20\(\int \sec x\, d{x}\) — by more trickery

Приклад 1.8.21\(\int \csc x\, d{x}\) — by the \(u=\tan\frac{x}{2}\) substitution

Приклад 1.8.22\(\int \sec^3 x\, d{x}\) — by trickery

Приклад 1.8.23\(\int \csc^3 x\, d{x}\) – by the \(u=\tan\frac{x}{2}\) substitution

Вправи

Етап 1

1

2

3

Етап 2

4 (✳)

5 (✳)

6 (✳)

7

8

9

10

11

12 (✳)

13 (✳)

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Етап 3

23 (✳)

24

25

26

27

28

29